1、 第 1 页 / 共 16 页 考点考点 06 函数模型及其应用函数模型及其应用 1、能用导数方法求解有关利润最大等与最值有关的问题。 2、感受导数在解决实际问题中的作用。 利用导数研究函数的最值是函数模型的一个重要模块，导数是求函数的一种重要工具，对 函数的解析式没有特殊的要求，无论解析式是复杂或者简单，与三角函数还是与其他模块的结 合都可以运用导数求解，常考的知识点可以与立体几何、三角函数、解析几何等模块结合，这 是近几年江苏高考命题的趋势。 在高考复习中要注意以下几点： 1、导数的实际应用关键是构建函数模型。第一步：弄清问题，选取自变量，确立函数的取值 范围；第二步：构建函数，将实际问题
2、转化为数学问题；第三步：解决构建数学问题；第四步： 将解出的结果回归实际问题，对结果进行取舍。 2、在建立函数模型时，要注意函数的定义域，要积累常见函数模型如分式函数、三次函数、 三角函数等知识点模块的结合。 1、 【2020 年山东卷】.基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染 者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模 型：(e) rt I t 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律， 指数增长率r与R0， T近似满足R0 =1+rT. 有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，
3、T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1倍需要 的时间约为(ln20.69) （ ） 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 五年高考真题五年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 16 页 A. 1.2天 B. 1.8 天 C. 2.5 天 D. 3.5天 【答案】B 【解析】因 0 3.28R ，6T ， 0 1RrT ，所以 3.28 1 0.38 6 r ，所以 0.38rtt I tee， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 1 t天， 则 1 0.38()0.38 2 t tt ee ，所以 1 0.38 2
4、 t e，所以 1 0.38ln2t ， 所以 1 ln20.69 1.8 0.380.38 t 天. 故选：B. 2、 【2020 年北京卷】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的 企业要限期整改、 设企业的污水摔放量 W与时间 t的关系为 ( )Wf t ， 用 ( )( )f bf a ba 的大小评价在 , a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所 示. 给出下列四个结论： 在 12 , t t这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 2 t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在
5、 3 t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； 甲企业在 11223 0,tt tt t这三段时间中，在 1 0,t的污水治理能力最强 其中所有正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】 ( )( )f bf a ba 表示区间端点连线斜率的负数， 第 3 页 / 共 16 页 在 12 , t t这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比 乙企业强；正确； 甲企业在 11223 0,tt tt t这三段时间中，甲企业在 12 , t t这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大， 即在 12 , t t的污水治理能力最强错误； 在 2 t时刻，甲切线的斜率
6、比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企 业强；正确； 在 3 t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确； 故答案为： 3、 【2020 年江苏卷】17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、 桥AB与 MN平行， OO为铅垂线(O 在 AB上).经测量， 左侧曲线AO上任一点D到 MN的距离 1 h(米) 与D到 OO 的距离a(米)之间满足关系式 2 1 1 40 ha ； 右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 2 h(米)与F到 OO 的距离 b(米)之间满足关系式 3 2 1 6
7、 800 hbb .已知点 B到 OO的距离为 40 米. （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD和 EF，且 CE为 80 米，其中 C，E在 AB上(不包括端点). 桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 3 2 k(万元)(k0).问O E为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价 最低? 【解析】 （1）由题意得 23 11 |406 40 | 80 40800 O AO A | | 8040120ABO AO B 米 （2）设总造价为 ( )f x万元， 2 1 |80160 40 O O，设|O Ex ， 第 4 页 / 共 1
8、6 页 32 131 ( )(1606 )160(80) ,(040) 800240 f xkxxkxx 322 1336 ( )(160),( )()020 8008080080 f xkxxfxkxxx (0 舍去) 当020 x时，( )0fx ；当2040 x时，( )0fx ，因此当20 x=时， ( )f x取最小值， 答：当20OE米时，桥墩 CD 与 EF的总造价最低. 4、【2019 年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度 满足 m2m1= 2 1 5 2 lg E E ，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1，2）已知太阳的星
9、等是26.7，天狼星的 星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A1010.1 B10.1 Clg10.1 D1010.1 【答案】A 【解析】两颗星的星等与亮度满足 1 21 2 5 lg 2 E mm E ， 令 21 1.45,26.7mm ， 则 1 21 2 22 lg( 1.4526.7)10.1, 55 E mm E 从而 10.1 1 2 10 E E . 故选 A. 5、【2019 年高考全国卷理数】2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着 陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测 器
10、的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 2 L点的轨 道运行 2 L点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M，月球质量为 M，地月距离为 R， 2 L点到月球的距离为 r， 根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程： 121 223 () () MMM Rr RrrR . 设 r R ，由于的值很小，因此在近似计算中 345 3 2 33 3 (1) ，则 r 的近似值为 第 5 页 / 共 16 页 A 2 1 M R M B 2 1 2 M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3 M R M 【答案】D 【解析】由
11、 r R ，得rR， 因为 121 223 () () MMM Rr RrrR ， 所以 121 22222 (1) (1) MMM RRR ， 即 543 23 2 22 1 133 (1)3 (1)(1) M M ， 解得 2 3 1 3 M M ， 所以 2 3 1 . 3 M rRR M 故选 D. 6、 【2018 年江苏高考】 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 的一段圆弧（ 为此圆弧的中 点）和线段构成已知圆 的半径为 40米，点 到的距离为 50米现规划在此农田上修建两个温室 大棚，大棚 内的地块形状为矩形，大棚 内的地块形状为，要求均在线段上，均在 圆弧上设与所成的角为
12、 （1）用 分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚 内种植甲种蔬菜，大棚 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求 当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 第 6 页 / 共 16 页 【解析】分析： （1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公 式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围； （2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根 据单调性确定函数最值取法. 详解： 解： （1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PHMN，所以 OH=10 过 O 作 OEBC于 E，则 OEMN，所以COE=， 故 O
13、E=40cos，EC=40sin， 则矩形 ABCD的面积为 2 40cos（40sin+10）=800（4sincos+cos）， CDP 的面积为 2 40cos（4040sin）=1600（cossincos） 过 N 作 GNMN，分别交圆弧和 OE的延长线于 G和 K，则 GK=KN=10 令GOK=0，则 sin0= ，0（0， ） 当 0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sin的取值范围是 ，1） 答：矩形 ABCD的面积为 800（4sincos+cos）平方米，CDP的面积为 1600（cossincos），sin 的取值范围是 ，1） （2）因为甲、乙两种
14、蔬菜的单位面积年产值之比为 43， 设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k0）， 则年总产值为 4k 800（4sincos+cos）+3k 1600（cossincos） =8000k（sincos+cos），0， ） 设 f（）= sincos+cos，0， ）， 则 令，得 = ， 当 （0， ）时，所以 f（）为增函数； 第 7 页 / 共 16 页 当 （ ， ）时，所以 f（）为减函数， 因此，当 = 时，f（）取到最大值 答：当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 题型一、一元二次函数、指数函数等模型一元二次函数、指数函数等模型 1、 （2020
15、届北京市顺义区高三上学期期末） 某部影片的盈利额 （即影片的票房收入与固定成本之差） 记为 y , 观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图 （2） 、图（3）中的实线分别为调整后 y 与x的函数图象. 给出下列四种说法: 图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本; 图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; 图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; 图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本. 其中,正确的说法是_.（填写所有正确说法的编号） 【答案】 【解析】解:由图象(1)可设盈利额y与观影人数x的函数为y kx
16、b , 0,0kb,即k为票价, 当0k 时,yb,则b为固定成本, 二年模拟试题二年模拟试题 第 8 页 / 共 16 页 由图象(2)知,直线向上平移, k不变,即票价不变, b变大,则b变小,成本减小. 故错误,正确; 由图象(3)知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大, k变大,即提高票价, b不变,则b不变,成本不变. 故正确,错误; 故答案为: 2、 （2020 届山东省济宁市高三上期末）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中 华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明 史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“
17、放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳14的 质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足5730 0 2 t NN （ 0 N表示碳14原有的质量） ，则经过5730年 后，碳14的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 1 2 至 3 5 ， 据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到5730年之间 （参考数据： 22 log 31.6,log 52.3） 【答案】 1 2 4011 【解析】 当5730t 时， 1 00 1 2 2 NNN 经过5730年后，碳14的质量变为原来的 1 2 令 0 3 5 NN，则 5730 3 2 5 t 222 3 l
18、 o gl o g 3l o g 50 . 7 5 7 3 05 t 0.7 57304011t 良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间 故答案为 1 2 ；4011 3、(2019 南京、盐城一模）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”， 对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客某旅行社组织了 一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 f(x) mlnxx 600 x x21446(4x22， mR)， 其中 x 为每天的时刻， 若凌晨 6 点时， 测得空气质量指数为
19、 29.6. (1) 求实数 m 的值； (2) 求近期每天时段空气质量指数最高的时刻(参考数值：ln61.8) 第 9 页 / 共 16 页 解析： (1)由 f(6)29.6，代入 f(x)mlnxx 600 x x21446(4x22，mR)，解得 m12.(5 分) (2)由已知函数求导，得 f(x)12x x 600 144x2 （x2144）2(12x) 令 f(x)0，得 x12.(9 分) 列表得 x 4，12) 12 (12，22 f(x) 0 f(x) 极大值 所以函数在 x12 时取极大值也是最大值，即每天时段空气质量指数最高的时刻为 12 时. (12 分) 答：(1)
20、实数 m 的值为 12；(2)空气质量指数最高的时刻为 12 时(14 分) 解后反思 本题第(2)问，因为部分学生不能发现导函数中有公因式 12x，导致二次求导，但是没有交 代清楚，导致失分. 当然本题可以分别求函数 y12lnxx 和函数 y 600 x x21446 的最大值，并交代在 x 12 处同时取得最大值即可 在评分细则中， 第(2)问若不列表或文字说明单调性的扣 3 分； 最后未给出“答” 再扣 2 分. 4、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数 f x的边际函数 Mf x定义为 1Mf xf xf x某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x台 xN 的
21、收益函数为 2 300020R xxx （单位：万元） ，成本函数 5004000C xx（单位：万元） ，该公司每月最多生 产100台该医疗器材 （利润函数=收益函数成本函数） （1）求利润函数 P x及边际利润函数 MP x； （2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1） （3）求x为何值时利润函数 P x取得最大值，并解释边际利润函数 MP x的实际意义 【答案】 （1）( )P x 2 2025004000 xx； ( )MP x2480 40 x ； （2）14台，1934.3万元； （3）62x 或63；( )MP x反映了产量与利润增量
22、的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少. 【解析】 （1）由题意知：1,100 x且 * xN， 2 ( )( )( )300020(5004000)P xR xC xxxx 2 20 x2500 x4000 ， 2 ( )(1)( )20(1)2500(1)4000MP xP xP xxx 2 2202500400048040 xxx. 第 10 页 / 共 16 页 （2）每台医疗器材的平均利润 ( )4000 202500 P x x xx 400 22500 ，当且仅当 10 2x 时 等号成立. 因为 * xN， 当每月生产14台机器时， 每台平均约为1934.3万
23、元， 每月生产15台时， 每台平均约为1933.3 万元，故每月生产14台时，每台医疗器材的平均利润最大为1934.3万元. （3） 22 ( )202500400020(62.5)74125P xxxx ， 由( )2480400MP xx，得62x，此时 P x随x增大而增大， 由 2480400MP xx得62x，此时 P x随x增大而减小， 62x 或63时， P x取得最大值. ( )MP x反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少. 5、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是 4 万元，每生产一件产品成本增加 100
24、元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x件产品的销售收入是 2 1 ( )500 4 R xxx （元） ，( )P x为 每天生产x件产品的平均利润（平均利润总利润/总产量）.销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销 售， ()baca ，其中c为最高限价()abc，为销售乐观系数，据市场调查，是由当ba 是c b，c a 的比例中项时来确定. （1）每天生产量x为多少时，平均利润( )P x取得最大值？并求( )P x的最大值； （2）求乐观系数的值； （3）若600c ，当厂家平均利润最大时，求a与b的值. 【答案】 （1）400,200； （2） 51 2 ； （3）400，100(
25、 53). 【解析】 试题分析： （1）先求出总利润 2 1 40040000 4 xx，依据（平均利润总利润/总产量）可得 140000 400 4 P xx x ，利用均值不等式得最大利润； （2）由已知得 ba ca ，结合比例中项的概 念可得 2 bacbca， 两边同时除以 2 ba将等式化为的方程， 解出方程即可；（3） 利用a 第 11 页 / 共 16 页 平均成本 40000 100 x 平均利润 p x，结合厂家平均利润最大时（由（1）的结果）可得a的值，利 用baca可得b的值. 试题解析： （1）依题意总利润 2 1 50010040000 4 xxx， 2 1 400
26、40000 4 xx， 2 1 40040000 140000 4 400 4 xx P xx xx , 200 400200. 此时 140000 4 x x ,400 x, 即，每天生产量为 400 件时，平均利润最大，最大值为 200 元 . （2）由baca得 ba ca ，ba是,cb ca的比例中项， 2 bacbca， 两边除以 2 ba得 11 cab a c acaca babababa ， 11 11 解得 51 2 . （3）厂家平均利润最大， 4000040000 100100200400 400 aP x x 元， 每件产品的毛利为ba，10051baca ， 100
27、53b 元，400a （元） ， 10053b 元. 6、 （2019 年北京高三月考）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用 时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中 %x （0 100 x ）的成员自驾 时，自驾群体的人均通勤时间为 30 030 1800 290 30100 x f x xx x ， ， （单位：分钟） ，而公交群体的人均 通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S的人均通勤时间 g x的表达式；讨论
28、 g x的单调性，并说明其实际意义 第 12 页 / 共 16 页 【解析】 （1）由题意知，当30100 x时， 1800 29040f xx x ， 即 2 659000 xx， 解得20 x或45x， 45 100 x，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030 x时， 30%40 1%40 10 x g xxx； 当30100 x时， 2 18013 290%40 1%58 5010 x g xxxxx x ； 2 40 10 13 58 5010 x g x x x ； 当032.5x时， g x单调递减； 当32.5100 x时， g x单调递增； 说明
29、该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少 题型二 与平面或空间几何体有关的最值问题 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调）图是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图 ，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 EAD 和 FBC 是全等的三角形点 F 在平面 ABCD 和 BC 上的射影分别为 H，M.已知 HM5 m，BC10 m，梯形 ABFE 的面积是FBC 面积的 2.2 倍设FMH 0 4 . (1
30、) 求屋顶面积 S 关于 的函数关系式； (2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比， 比例系数为 k(k 为正的常数)， 下部主体造价与其高度成正比， 比例系数为 16k.现欲造一栋上、下总高度为 6 m 的别墅，试问：当 为何值时，总造价最低？ ,) 第 13 页 / 共 16 页 思路分析 (1)先通过线面垂直得到 FHHM，放在 RtFHM 中，求出 FM，根据三角形的面积公式 求出FBC 的面积，根据已知条件就可以得到所求 S 关于 的函数关系式 (2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价 y 关于 的函数关系式，再通过导数法求函数的最小值 (1)规范解答 由题意 FH平面 ABCD，
31、FMBC，又因为 HM平面 ABCD，得 FHHM.(2 分) 在 RtFHM 中，HM5，FMH， 所以 FM 5 cos.(4 分) 因此FBC 的面积为1 210 5 cos 25 cos. 从而屋顶面积 S2SFBC2S梯形ABFE2 25 cos2 25 cos2.2 160 cos. 所以 S 关于 的函数关系式为 S 160 cos 0 4 .(6 分) (2)在 RtFHM 中，FH5tan，所以主体高度为 h65tan.(8 分) 所以别墅总造价为 yS kh 16k 160 cosk 80sin cos k96k80k 2sin cos 96k.(10 分) 记 f()2s
32、in cos ，0 4 ，所以 f()2sin1 cos2 ， 令 f()0，得 sin1 2，又 0 4 ，所以 6 .(12 分) 列表： 0， 6 6 6 ， 4 f() 0 f() 3 所以当 6 时，f()有最小值 答：当 为 6 时，该别墅总造价最低(14 分) 解后反思 理解题意，建立出函数的关系式，是处理最优解类型应用问题的关键，第(1)问，抓住条件” 梯形 ABFE 的面积是FBC 面积的 2.2 倍”，只要用 表示出FBC 面积，即可得到屋顶面积第(2)问， 需要先设出总造价为 y 元，抓住已知条件，求出主体高度并结合第(1)问中求得的屋顶面积，就可以建立函 数关系式 2、
33、(2019 南京、盐城一模）有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边 AB 长为 6 分米，另一边足够长现 从中截取矩形 ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好 能折卷成一个底面是弓形的柱 体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中 OEMF 是以 O 为圆心、EOF120的扇形，且弧EF ， GH 分别与边 BC，AD 相切于点 M，N. (1) 当 BE 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积； (2) 当 BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ 第 14 页 / 共 16 页 ,甲) ,乙) 解答 (1)在图甲中，连结 MO 交 EF 于点 T.设
34、 OEOFOMR， 在 RtOET 中，因为EOT1 2EOF60，所以 OT R 2，则 MTOMOT R 2. 从而 BEMTR 2，即 R2BE2.(2 分) 故所得柱体的底面积 SS扇形OEFSOEF1 3R 21 2R 2sin1204 3 3.(4 分) 又所得柱体的高 EG4，所以 VSEG16 3 4 3. 答：当 BE 长为 1 分米时，折卷成的包装盒的容积为 16 3 4 3 立方分米(6 分) (2)设 BEx，则 R2x，所以所得柱体的底面积 SS扇形OEFSOEF1 3R 21 2R 2sin120 4 3 3 x2. 又所得柱体的高 EG62x，所以 VSEG 8
35、3 2 3 (x33x2)，其中 0x0，f()单调递增； 2 当 0， 3 时，f()0，f()单调递减 所以当 0时，f()取得最大值(13 分) 答：当 cos1 33 8 时，可使市民活动广场和停车场的面积总和最大(14 分) 2、(2019 盐城三模）如图，已知 A，B 两镇分别位于东西湖岸 MN 的 A 处和湖中小岛的 B 处，点 C 在 A 的 正西方向 1 km 处，tanBAN3 4，BCN 4.现计划铺设一条电缆连通 A，B 两镇，有两种铺设方案：沿 线段 AB 在水下铺设；在湖岸 MN 上选一点 P，先沿线段 AP 在地下铺设，再沿线段 PB 在水下铺设，预 算地下、水下
36、的电缆铺设费用分别为 2 万元、4 万元 (1) 求 A，B 两镇间的距离； (2) 应该如何铺设，使总铺设费用最低？ 第 16 页 / 共 16 页 解答 (1) 如图，过 B 作 MN 的垂线，垂足为 D. 在 RtABD 中，tanBADtanBANBD AD 3 4， 所以 AD4 3BD. 在 RtBCD 中，tanBCDtanBCNBD CD1， 所以 CDBD. 则 ACADCD4 3BDBD 1 3BD1， 所以 BD3，则 CD3，AD4.(2 分) 由勾股定理得，AB AD2BD25(km) 所以 A，B 两镇间的距离为 5 km.(4 分) (2) 方案：沿线段 AB 在
37、水下铺设时，总铺设费用为 5420(万元)(6 分) 方案：设BPD，则 0， 2 ，其中 0BAN. 在 RtBDP 中，DP BD tan 3 tan，BP BD sin 3 sin， 所以 AP4DP4 3 tan. 则总铺设费用为 2AP4BP8 6 tan 12 sin86 2cos sin .(8 分) 设 f()2cos sin ，则 f()sin 22coscos sin2 12cos sin2 ，令 f()0，得 3，列表如下： 0， 3 3 3， 2 f() 0 f() 极小值 所以 f()的最小值为 f 3 3. 所以方案的总铺设费用最低为 86 3(万元)，此时 AP4 3.(12 分) 而 86 320，所以应选择方案进行铺设，点 P 选在 A 镇的正西方向(4 3) km 处，总铺设费用最 低(14 分)