1、 第 1 页 / 共 14 页 考点考点 10 基本不等式基本不等式 1、掌握基本不等式 2 ba ab 。 2、能用基本不等式证明简单不等式。 3、能用基本不等式求最值问题。 基本不等式是江苏数学考纲要求的 c 级要求，是江苏高考试卷重点考查的模块之一，在全 国各地也经常考查到。基本不等式是求函数最值得一种重要的方式，纵观近五年江苏高考不难 发现基本不等式经常与三角函数、直线和圆等结合求函数的最值。在高考中属于中档题或者难 题因此在复习中要引起学生的重视。 在学习中，要掌握运用基本不等式求函数的最值，要注意以下几点： 掌握基本不等式满足的条件：一正、二定、三相等。 掌握基本不等式的一些常见变
2、形，最终都要化成 d bx c ax的形式。 掌握基本不等式的一些常见题型和方法技巧，如三元变二元，二元变一元。以及双换元等。 在多次运用基本不等式的时一定要保证等号成立的条件。 1、 【2020 年山东卷】.已知 a0，b0，且 a+b=1，则（ ） A. 22 1 2 ab B. 1 2 2 a b 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 14 页 C. 22 loglog2ab D. 2ab 【答案】ABD 【解析】对于 A， 2 2222 1221abaaaa 2 1 2 11 2 22 a ， 当且仅当
3、1 2 ab时，等号成立，故 A 正确； 对于 B，211aba ，所以 1 1 22 2 a b ，故 B 正确； 对于 C， 2 22222 1 logloglogloglog2 24 ab abab ， 当且仅当 1 2 ab时，等号成立，故 C 不正确； 对于 D，因为 2 1 212ababab ， 所以2ab，当且仅当 1 2 ab时，等号成立，故 D正确； 故选：ABD 2、 【2020 年江苏卷】已知 224 51( ,)x yyx yR，则 22 xy的最小值是_ 【答案】 4 5 【解析】 224 51x yy 0y 且 4 2 2 1 5 y x y 422 222 22
4、2 114144 +2 555555 yyy xyy yyy ，当且仅当 2 2 14 55 y y ，即 22 31 , 102 xy时取等号. 22 xy的最小值为 4 5 . 故答案为： 4 5 . 3、 【2020 年天津卷】.已知 0,0ab ，且1ab ，则 118 22abab 的最小值为_ 【答案】4 【解析】0,0,0abab ，1ab , 1188 2222 abab abababab 第 3 页 / 共 14 页 88 24 22 abab abab ，当且仅当ab=4 时取等号， 结合1ab ,解得23,23ab，或23,23ab时，等号成立. 故答案为：4 4、 【2
5、019 年高考天津卷理数】设0,0,25xyxy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为_ 【答案】4 3 【解析】方法一： (1)(21)221266 2 xyxyyxxy xy xyxyxyxy . 因为0,0,25xyxy， 所以2522xyxy， 即 525 2,0 28 xyxy，当且仅当 5 2 2 xy时取等号成立. 又因为 66 22 24 3xyxy xyxy ，当且仅当 6 2 xy xy ，即=3xy时取等号，结合 25 8 xy 可知，xy可以取到 3，故 (1)(21)xy xy 的最小值为4 3. 方法二：0,0,25,xyxy 0,xy (1)(21)22126
6、6 22 12=4 3 xyxyyxxy xy xyxyxyxy . 当且仅当3xy 时等号成立， 故 (1)(21)xy xy 的最小值为4 3. 5、 【2018 年高考天津卷理数】已知,a bR，且360ab，则 1 2 8 a b 的最小值为 . 【答案】 【解析】由可知，且， 第 4 页 / 共 14 页 因为对于任意 x，恒成立，结合基本不等式的结论可得： .当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为 . 6、 【2018 年高考江苏卷】在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 120ABC，ABC的平分线 交AC于点 D，且1BD ，则4ac的最小值为_
7、【答案】9 【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得 ，化简得， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为 . 7、 【2017 年高考天津卷理数】若, a bR，0ab，则 44 41ab ab 的最小值为_ 【答案】4 【解析】 4422 414111 42 44 aba b abab abababab ，（前一个等号成立的条件是 22 2ab， 后一个等号成立的条件是 1 2 ab ，两个等号可以同时成立，当且仅当 22 22 , 24 ab时取等号） 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式： 22 ,2a bababR，当且仅 当ab时取等号；, a b R
8、，2abab，当且仅当ab时取等号解题时要注意公式的适用 条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1 的妙用” 8、 【2017 年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存 储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_ 【答案】30 【解析】总费用为 600900 464()4 2 900240 xx xx ，当且仅当 900 x x ，即30 x时等 号成立 第 5 页 / 共 14 页 题型一题型一 运用基本不等式求函数最值运用基本不等式求函数最值 1、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）若 3 3 log21
9、logabab ，则 2ab的最小值为（ ） A6 B 8 3 C3 D16 3 【答案】C 【解析】 3 3 log21logabab ， 33 log21 logabab 3 log3ab， 23abab，且0a，0b， 12 3 ab ， 112 22 3 abab ab 122 14 3 ba ab 52 33 ba ab 52 2 33 b a a b 3， 当且仅当 ba ab 且 12 3 ab 即1ab时，等号成立； 故选：C 2、 （2020 届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数 f x在 R 上单调,若正实数 , a b满足 490faf b ，则 11 ab 的最小值是(
10、 ) A1 B 9 2 C9 D18 【答案】A 【解析】奇函数 f x在 R 上单调，490faf b ，则499faf bfb 故49ab即49ab 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 14 页 11111141 452 451 999 ba ab ababab 当 4ba ab 即 3 ,3 2 ab时等号成立 故选：A 3、（2020 届山东省枣庄市高三上学期统考） 如图， 在 ABC中， 点 ,D E是线段BC上两个动点， 且AD AE xAByAC，则 14 xy 的最小值为（ ） A 3 2 B2 C 5 2 D 9 2 【答案】D 【解析】如图可知 x，y 均为正，设
11、 =m,ADABnAC AEABAC， :, ,B D E C共线， 1,1mn， ()()ADAExAByACmABnAC， 则2xymn， 141 1414149 ()5(52) 2222 yxyx xy xyxyxyxy ， 则 14 xy 的最小值为 9 2 ，故选 D. 4、 （2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟）设 aR，则“0a”是“ 2 2 2a a ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 第 7 页 / 共 14 页 【解析】由0a得， 22 22 2aa aa ，所以是充分条件； 由 2 a a 2 2可得0a
12、，所以是必要条件， 故“0a”是“ 2 2 2a a ”的充要条件答案选 C 5、 （2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末）设实数a、b满足0b，且2ab.则 1 8 a ab 的最小 值是（ ） A 9 8 B 9 16 C 7 16 D 1 4 【答案】C 【解析】由题意可知，0a. 当0a时， 1119 2 8161616161616 a abababa abababa b ， 当且仅当 16 ba ab 且2ab，即 2 5 a ， 8 5 b 时取等号， 当0a 时， 1117 2 8161616161616 a abababa abababab ， 当且仅当 16 ba ab
13、 且2ab时取等号， 综上可得， 1 8 a ab 的最小值 7 16 . 故选：C. 6、 （2020 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）若正实数x，y满足ln( 2 )lnlnxyxy ，则2xy取最 小值时，x（ ） A5 B3 C2 D1 【答案】B 【解析】 ln(2 )lnlnlnxyxyxy； 第 8 页 / 共 14 页 2xyxy，且0 x，0y ； 21 1 xy ； 212 2(2)()4 x xyxy xyy 222 152549 yxy xyx ， 当且仅当 22xy yx ，即3xy时取等号. 故选：B. 7、 （2020 届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模
14、拟统练（七)数学试题） 已知0a，0b，且1a b ，则 1 2a b 的最小值为_. 【答案】2 2 2 【解析】0a，0b，由1a b 得1ab ， 111 22222 222 2abb bbb . 当且仅当 2 2 b 时，等号成立，因此， 1 2a b 的最小值为2 2 2 . 故答案为：2 2 2 . 8、 （2020 届北京市陈经纶学校高三上学期数 0 月份月考试卷）已知0,0 xy，且2 520 xy.则xy的 最大值是_. 【答案】10 【解析】25202 252 102010 xyxyxyxy 当且仅当25xy，即5,2xy时，等号成立 则10 xy ，即xy的最大值是10
15、故答案为：10 9、 （2020 届山东省临沂市高三上期末）当 9 1 x x 取得最小值时，x_. 【答案】4 第 9 页 / 共 14 页 【解析】 99 11 2 915 11 xx xx 当且仅当 9 1 1 x x ，即4x时，等号成立. 故答案为：4 10、 （2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）函数 2 245 ( )(1) 1 xx f xx x 的最小值是_. 【答案】2 6 【解析】由于1x ，故10 x ，故 33 212 212 6 11 f xxx xx ，当且仅当 3 21 1 x x ，即 6 1 2 x 时，函数取得最小值为2 6. 故填：2 6. 11、
16、（2020 全国高三专题练习（理） ）已知圆 22 212xy关于直线10,0axbyab对称， 则 21 ab 的最小值为_ 【答案】9 【解析】由题意可知直线过圆心，即21a b 21212222 25529 baab ab abababba 当且仅当 22ab ba 时，又0,0ab 即ab时等号成立， 故 21 ab 的最小值为 9. 故答案为：9 12、 （2020 届江苏省七市第二次调研考试）若1x ，则 91 2 11 x xx 的最小值是_. 【答案】8 【解析】1x Q， 91 2 11 x xx 91 11628 11 xx xx ，当且仅当 9 1 1 x x 且 第 1
17、0 页 / 共 14 页 1 1 1 x x ，即2x时，等号成立.2x 时， 91 2 11 x xx 取得最小值8. 故答案为：8 13、 （2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知 , x y为正实数，则 29 2 yx xxy 的最小 值为_. 【答案】6 2 4 . 【解析】解：令0 y t x ， 则 29999 22242 2246 24 2222 yx ttt xxyttt ， 当且仅当 9 22 2 t t ，即 3 2 2 2 y t x 时，等号成立， 故答案为：6 2 4 . 14、(2019 常州期末） 已知正数 x，y 满足 x y x1，则 1
18、 x x y的最小值为_ 【答案】4 解法 1 1(直接消元) 由 x y x1 得 yxx 2， 故1 x x y 1 x x xx 21 x 1 1x 1 x（1x） 1 x1x 2 24， 当且仅当 x1x，即 x 1 2时取“” 故 1 x x y的最小值为 4. 解法 2 2(直接消元) 由 x y x1 得 y x1x，故 1 x x y 1 x 1 1x，以下同解法 1. 解法 3 3(消元，分离常数凑定值) 同解法 1，2 得 1 x x y 1 x 1 1x 1xx x 1xx 1x 2 1x x x 1x 4，当且仅当 1x x x 1x，即 x 1 2时取“” 故 1 x
19、 x y的最小值为 4. 解法4 4( “1 1” 的代换) 因为x y x1， 所以 1 x x y 1 x x y x y x2 y x 2x 2 y4， 当且仅当 y x 2x 2 y， 即 x1 2， y 1 4 时取“” 故 1 x x y的最小值为 4. 15、(2019 镇江期末）已知 x0，y0，xy 1 x 4 y，则 xy 的最小值为_ 【答案】3 第 11 页 / 共 14 页 思路分析 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解 解法 1 1 因为 x0，y0，所以 xy 1 2 x 2 2 y （12） 2 xy ，得 xy3，当且仅当 x1，y2 时取等号 解法
20、 2 2 xy （xy） 2 （xy） 1 x 4 y 5 y x 4x y 52 43，当且仅当 y x 4x y，即 x 1，y2 时取等号 16、(2019 苏北三市期末） 已知 a0，b0，且 a3b 1 b 1 a，则 b 的最大值为_ 【答案】. . 1 3 【解析】由 a3b 1 b 1 a，得 1 b3ba 1 a.又 a0，所以 1 b3ba 1 a2(当且仅当 a1 时取等号)，即 1 b 3b2，又 b0，解得 00(a，b，cR R)的解集为x|3x4， 则 c 25 ab的最小值为_ 【答案】. . 4 5 【解析】思路分析 先根据一元二次不等式的解集，确定 a0，以
21、及 a，b，c 的关系，再将所求 c 25 ab运用消 元法，统一成单变量 a 的函数问题，运用基本不等式求最值 依题意得 a0， x4， 则 xyx x x4 x x44 x4 x 4 x41(x4) 4 x452 （x4） 4 x459，当且仅当 x6 时，等号成 立，即 xy 的最小值是 9，故 m9. 解法 2 2(“1 1”的代换) 因为 x，y 是正实数，由 x4yxy0，得 4 x 1 y1，xy(xy) 4 x 1 y 4y x x y52 4y x x y59，当且仅当 x6，y3 时，等号成立，即 xy 的最小值是 9，故 m9. 解法 3 3(函数法) 令 txy，则 y
22、tx，代入 x4yxy0，得 x 2(3t)x4t0.(t3)2 16tt 210tq0，得 t1 或 t9.又 y x x40，且 x0，则 x4，故 t4，从而 t9.所以 m9. 3、(2018 南京、盐城一模）若不等式 ksin 2BsinAsinC19sinBsinC 对任意ABC 都成立，则实数 k 的最小 值为_ 【答案】100 思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转 化为二元问题研究二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理 解法 1 1(函数的最值) 因为 ksin 2BsinAsinC19sinBsinC，所以由正弦定理可得
23、 kb2ac19bc，即 k 19bcac b 2 .因为ABC 为任意三角形，所以 a|bc|，即 19bcac b 2 19bc|bc|c b 2 c b 2 18 c b， 01. 当 01 时， c b 2 20 c b100，即 19bc|bc|c b 2 的最大值为 100，所以 k100，即实数 k 的最小值为 100. 解法 2 2(基本不等式) 因为 ksin 2BsinAsinC19sinBsinC，所以由正弦定理可得 kb2ac19bc，即 k 19bcac b 2 .又 19bcac b 2 c b 19 a b .因为 cab，所以 c b1 a b，即 c b 19 a b 1 a b 19 a b 1 a b 19 a b 2 4 100(要求最大值，19 a b至少大于 0)当且仅当 1 a b19 a b，即 a b9 时取等号