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考点10 基本不等式(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

1、 第 1 页 / 共 14 页 考点考点 10 基本不等式基本不等式 1、掌握基本不等式 2 ba ab 。 2、能用基本不等式证明简单不等式。 3、能用基本不等式求最值问题。 基本不等式是江苏数学考纲要求的 c 级要求,是江苏高考试卷重点考查的模块之一,在全 国各地也经常考查到。基本不等式是求函数最值得一种重要的方式,纵观近五年江苏高考不难 发现基本不等式经常与三角函数、直线和圆等结合求函数的最值。在高考中属于中档题或者难 题因此在复习中要引起学生的重视。 在学习中,要掌握运用基本不等式求函数的最值,要注意以下几点: 掌握基本不等式满足的条件:一正、二定、三相等。 掌握基本不等式的一些常见变

2、形,最终都要化成 d bx c ax的形式。 掌握基本不等式的一些常见题型和方法技巧,如三元变二元,二元变一元。以及双换元等。 在多次运用基本不等式的时一定要保证等号成立的条件。 1、 【2020 年山东卷】.已知 a0,b0,且 a+b=1,则( ) A. 22 1 2 ab B. 1 2 2 a b 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 14 页 C. 22 loglog2ab D. 2ab 【答案】ABD 【解析】对于 A, 2 2222 1221abaaaa 2 1 2 11 2 22 a , 当且仅当

3、1 2 ab时,等号成立,故 A 正确; 对于 B,211aba ,所以 1 1 22 2 a b ,故 B 正确; 对于 C, 2 22222 1 logloglogloglog2 24 ab abab , 当且仅当 1 2 ab时,等号成立,故 C 不正确; 对于 D,因为 2 1 212ababab , 所以2ab,当且仅当 1 2 ab时,等号成立,故 D正确; 故选:ABD 2、 【2020 年江苏卷】已知 224 51( ,)x yyx yR,则 22 xy的最小值是_ 【答案】 4 5 【解析】 224 51x yy 0y 且 4 2 2 1 5 y x y 422 222 22

4、2 114144 +2 555555 yyy xyy yyy ,当且仅当 2 2 14 55 y y ,即 22 31 , 102 xy时取等号. 22 xy的最小值为 4 5 . 故答案为: 4 5 . 3、 【2020 年天津卷】.已知 0,0ab ,且1ab ,则 118 22abab 的最小值为_ 【答案】4 【解析】0,0,0abab ,1ab , 1188 2222 abab abababab 第 3 页 / 共 14 页 88 24 22 abab abab ,当且仅当ab=4 时取等号, 结合1ab ,解得23,23ab,或23,23ab时,等号成立. 故答案为:4 4、 【2

5、019 年高考天津卷理数】设0,0,25xyxy,则 (1)(21)xy xy 的最小值为_ 【答案】4 3 【解析】方法一: (1)(21)221266 2 xyxyyxxy xy xyxyxyxy . 因为0,0,25xyxy, 所以2522xyxy, 即 525 2,0 28 xyxy,当且仅当 5 2 2 xy时取等号成立. 又因为 66 22 24 3xyxy xyxy ,当且仅当 6 2 xy xy ,即=3xy时取等号,结合 25 8 xy 可知,xy可以取到 3,故 (1)(21)xy xy 的最小值为4 3. 方法二:0,0,25,xyxy 0,xy (1)(21)22126

6、6 22 12=4 3 xyxyyxxy xy xyxyxyxy . 当且仅当3xy 时等号成立, 故 (1)(21)xy xy 的最小值为4 3. 5、 【2018 年高考天津卷理数】已知,a bR,且360ab,则 1 2 8 a b 的最小值为 . 【答案】 【解析】由可知,且, 第 4 页 / 共 14 页 因为对于任意 x,恒成立,结合基本不等式的结论可得: .当且仅当,即时等号成立. 综上可得的最小值为 . 6、 【2018 年高考江苏卷】在ABC中,角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c, 120ABC,ABC的平分线 交AC于点 D,且1BD ,则4ac的最小值为_

7、【答案】9 【解析】由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得 ,化简得, 因此 当且仅当时取等号,则的最小值为 . 7、 【2017 年高考天津卷理数】若, a bR,0ab,则 44 41ab ab 的最小值为_ 【答案】4 【解析】 4422 414111 42 44 aba b abab abababab ,(前一个等号成立的条件是 22 2ab, 后一个等号成立的条件是 1 2 ab ,两个等号可以同时成立,当且仅当 22 22 , 24 ab时取等号) 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式: 22 ,2a bababR,当且仅 当ab时取等号;, a b R

8、,2abab,当且仅当ab时取等号解题时要注意公式的适用 条件、等号成立的条件,同时求最值时注意“1 的妙用” 8、 【2017 年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买x吨,运费为 6 万元/次,一年的总存 储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是_ 【答案】30 【解析】总费用为 600900 464()4 2 900240 xx xx ,当且仅当 900 x x ,即30 x时等 号成立 第 5 页 / 共 14 页 题型一题型一 运用基本不等式求函数最值运用基本不等式求函数最值 1、 (2020 届山东省泰安市高三上期末)若 3 3 log21

9、logabab ,则 2ab的最小值为( ) A6 B 8 3 C3 D16 3 【答案】C 【解析】 3 3 log21logabab , 33 log21 logabab 3 log3ab, 23abab,且0a,0b, 12 3 ab , 112 22 3 abab ab 122 14 3 ba ab 52 33 ba ab 52 2 33 b a a b 3, 当且仅当 ba ab 且 12 3 ab 即1ab时,等号成立; 故选:C 2、 (2020 届山东省济宁市高三上期末)已知奇函数 f x在 R 上单调,若正实数 , a b满足 490faf b ,则 11 ab 的最小值是(

10、 ) A1 B 9 2 C9 D18 【答案】A 【解析】奇函数 f x在 R 上单调,490faf b ,则499faf bfb 故49ab即49ab 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 14 页 11111141 452 451 999 ba ab ababab 当 4ba ab 即 3 ,3 2 ab时等号成立 故选:A 3、(2020 届山东省枣庄市高三上学期统考) 如图, 在 ABC中, 点 ,D E是线段BC上两个动点, 且AD AE xAByAC,则 14 xy 的最小值为( ) A 3 2 B2 C 5 2 D 9 2 【答案】D 【解析】如图可知 x,y 均为正,设

11、 =m,ADABnAC AEABAC, :, ,B D E C共线, 1,1mn, ()()ADAExAByACmABnAC, 则2xymn, 141 1414149 ()5(52) 2222 yxyx xy xyxyxyxy , 则 14 xy 的最小值为 9 2 ,故选 D. 4、 (2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟)设 aR,则“0a”是“ 2 2 2a a ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 第 7 页 / 共 14 页 【解析】由0a得, 22 22 2aa aa ,所以是充分条件; 由 2 a a 2 2可得0a

12、,所以是必要条件, 故“0a”是“ 2 2 2a a ”的充要条件答案选 C 5、 (2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末)设实数a、b满足0b,且2ab.则 1 8 a ab 的最小 值是( ) A 9 8 B 9 16 C 7 16 D 1 4 【答案】C 【解析】由题意可知,0a. 当0a时, 1119 2 8161616161616 a abababa abababa b , 当且仅当 16 ba ab 且2ab,即 2 5 a , 8 5 b 时取等号, 当0a 时, 1117 2 8161616161616 a abababa abababab , 当且仅当 16 ba ab

13、 且2ab时取等号, 综上可得, 1 8 a ab 的最小值 7 16 . 故选:C. 6、 (2020 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)若正实数x,y满足ln( 2 )lnlnxyxy ,则2xy取最 小值时,x( ) A5 B3 C2 D1 【答案】B 【解析】 ln(2 )lnlnlnxyxyxy; 第 8 页 / 共 14 页 2xyxy,且0 x,0y ; 21 1 xy ; 212 2(2)()4 x xyxy xyy 222 152549 yxy xyx , 当且仅当 22xy yx ,即3xy时取等号. 故选:B. 7、 (2020 届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模

14、拟统练(七)数学试题) 已知0a,0b,且1a b ,则 1 2a b 的最小值为_. 【答案】2 2 2 【解析】0a,0b,由1a b 得1ab , 111 22222 222 2abb bbb . 当且仅当 2 2 b 时,等号成立,因此, 1 2a b 的最小值为2 2 2 . 故答案为:2 2 2 . 8、 (2020 届北京市陈经纶学校高三上学期数 0 月份月考试卷)已知0,0 xy,且2 520 xy.则xy的 最大值是_. 【答案】10 【解析】25202 252 102010 xyxyxyxy 当且仅当25xy,即5,2xy时,等号成立 则10 xy ,即xy的最大值是10

15、故答案为:10 9、 (2020 届山东省临沂市高三上期末)当 9 1 x x 取得最小值时,x_. 【答案】4 第 9 页 / 共 14 页 【解析】 99 11 2 915 11 xx xx 当且仅当 9 1 1 x x ,即4x时,等号成立. 故答案为:4 10、 (2020 届山东省枣庄市高三上学期统考)函数 2 245 ( )(1) 1 xx f xx x 的最小值是_. 【答案】2 6 【解析】由于1x ,故10 x ,故 33 212 212 6 11 f xxx xx ,当且仅当 3 21 1 x x ,即 6 1 2 x 时,函数取得最小值为2 6. 故填:2 6. 11、

16、(2020 全国高三专题练习(理) )已知圆 22 212xy关于直线10,0axbyab对称, 则 21 ab 的最小值为_ 【答案】9 【解析】由题意可知直线过圆心,即21a b 21212222 25529 baab ab abababba 当且仅当 22ab ba 时,又0,0ab 即ab时等号成立, 故 21 ab 的最小值为 9. 故答案为:9 12、 (2020 届江苏省七市第二次调研考试)若1x ,则 91 2 11 x xx 的最小值是_. 【答案】8 【解析】1x Q, 91 2 11 x xx 91 11628 11 xx xx ,当且仅当 9 1 1 x x 且 第 1

17、0 页 / 共 14 页 1 1 1 x x ,即2x时,等号成立.2x 时, 91 2 11 x xx 取得最小值8. 故答案为:8 13、 (2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题)已知 , x y为正实数,则 29 2 yx xxy 的最小 值为_. 【答案】6 2 4 . 【解析】解:令0 y t x , 则 29999 22242 2246 24 2222 yx ttt xxyttt , 当且仅当 9 22 2 t t ,即 3 2 2 2 y t x 时,等号成立, 故答案为:6 2 4 . 14、(2019 常州期末) 已知正数 x,y 满足 x y x1,则 1

18、 x x y的最小值为_ 【答案】4 解法 1 1(直接消元) 由 x y x1 得 yxx 2, 故1 x x y 1 x x xx 21 x 1 1x 1 x(1x) 1 x1x 2 24, 当且仅当 x1x,即 x 1 2时取“” 故 1 x x y的最小值为 4. 解法 2 2(直接消元) 由 x y x1 得 y x1x,故 1 x x y 1 x 1 1x,以下同解法 1. 解法 3 3(消元,分离常数凑定值) 同解法 1,2 得 1 x x y 1 x 1 1x 1xx x 1xx 1x 2 1x x x 1x 4,当且仅当 1x x x 1x,即 x 1 2时取“” 故 1 x

19、 x y的最小值为 4. 解法4 4( “1 1” 的代换) 因为x y x1, 所以 1 x x y 1 x x y x y x2 y x 2x 2 y4, 当且仅当 y x 2x 2 y, 即 x1 2, y 1 4 时取“” 故 1 x x y的最小值为 4. 15、(2019 镇江期末)已知 x0,y0,xy 1 x 4 y,则 xy 的最小值为_ 【答案】3 第 11 页 / 共 14 页 思路分析 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解 解法 1 1 因为 x0,y0,所以 xy 1 2 x 2 2 y (12) 2 xy ,得 xy3,当且仅当 x1,y2 时取等号 解法

20、 2 2 xy (xy) 2 (xy) 1 x 4 y 5 y x 4x y 52 43,当且仅当 y x 4x y,即 x 1,y2 时取等号 16、(2019 苏北三市期末) 已知 a0,b0,且 a3b 1 b 1 a,则 b 的最大值为_ 【答案】. . 1 3 【解析】由 a3b 1 b 1 a,得 1 b3ba 1 a.又 a0,所以 1 b3ba 1 a2(当且仅当 a1 时取等号),即 1 b 3b2,又 b0,解得 00(a,b,cR R)的解集为x|3x4, 则 c 25 ab的最小值为_ 【答案】. . 4 5 【解析】思路分析 先根据一元二次不等式的解集,确定 a0,以

21、及 a,b,c 的关系,再将所求 c 25 ab运用消 元法,统一成单变量 a 的函数问题,运用基本不等式求最值 依题意得 a0, x4, 则 xyx x x4 x x44 x4 x 4 x41(x4) 4 x452 (x4) 4 x459,当且仅当 x6 时,等号成 立,即 xy 的最小值是 9,故 m9. 解法 2 2(“1 1”的代换) 因为 x,y 是正实数,由 x4yxy0,得 4 x 1 y1,xy(xy) 4 x 1 y 4y x x y52 4y x x y59,当且仅当 x6,y3 时,等号成立,即 xy 的最小值是 9,故 m9. 解法 3 3(函数法) 令 txy,则 y

22、tx,代入 x4yxy0,得 x 2(3t)x4t0.(t3)2 16tt 210tq0,得 t1 或 t9.又 y x x40,且 x0,则 x4,故 t4,从而 t9.所以 m9. 3、(2018 南京、盐城一模)若不等式 ksin 2BsinAsinC19sinBsinC 对任意ABC 都成立,则实数 k 的最小 值为_ 【答案】100 思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边,然后再利用三角形中的边的不等关系,消元后转 化为二元问题研究二元问题的最值问题,可以用基本不等式来处理 解法 1 1(函数的最值) 因为 ksin 2BsinAsinC19sinBsinC,所以由正弦定理可得

23、 kb2ac19bc,即 k 19bcac b 2 .因为ABC 为任意三角形,所以 a|bc|,即 19bcac b 2 19bc|bc|c b 2 c b 2 18 c b, 01. 当 01 时, c b 2 20 c b100,即 19bc|bc|c b 2 的最大值为 100,所以 k100,即实数 k 的最小值为 100. 解法 2 2(基本不等式) 因为 ksin 2BsinAsinC19sinBsinC,所以由正弦定理可得 kb2ac19bc,即 k 19bcac b 2 .又 19bcac b 2 c b 19 a b .因为 cab,所以 c b1 a b,即 c b 19 a b 1 a b 19 a b 1 a b 19 a b 2 4 100(要求最大值,19 a b至少大于 0)当且仅当 1 a b19 a b,即 a b9 时取等号