1、 第 1 页 / 共 13 页 考点考点 11 不等关系及不等关系及一元二次不等式一元二次不等式 1、掌握基本不等关系 2、掌握一元二次不等式的解法 3、了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系 1、不等关系在各地的高考中经常考查，考查的重点就是通过选择题的形式判断所给的不等关 系式是否正确。 2、一元二次不等式在高中数学中是一个工具，是必考的知识点，但是直接考查的不多，往往 与其它知识点结合考查， 多以简单的题目为主， 它多与导数、 函数、 解析几何等相关知识结合。 体现函数方程的思想。 1、对于给出的不等关系式，常用的方法就是特殊化。 2、掌握解一元二次不等式的方法和技巧。 3、 解不等式
2、恒成立问题的技巧:1. 对于一元二次不等式恒成立问掌握 三个“一元二次” 的关系，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于 0 就是 相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用 分离参数法求最值.2. 解恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围, 谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. 1、 【2020 年全国 1 卷文】1.已知集合 2 |340, 4,1,3,5Ax xxB ，则AB （ ） A. 4,1 B. 1,5 C. 3,5 D. 1,3 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析
3、 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 13 页 【答案】D 【解析】由 2 340 xx解得14x ， 所以| 14Axx ， 又因为4,1,3,5B ，所以1,3AB ， 故选：D. 2、 【2020 年山东卷】若定义在R的奇函数 f(x)在( ,0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足(10)xf x的 x的 取值范围是（ ） A. )1,13, B. 3, 1 ,0 1 C. 1,01,) D. 1,01,3 【答案】D 【解析】因为定义在R上的奇函数 ( )f x在(,0) 上单调递减，且(2)0f， 所以 ( )f x在(0,)上也是单调递减，且( 2)0
4、f ，(0)0f， 所以当(, 2)(0,2)x 时，( )0f x ，当( 2,0)(2,)x 时，( )0f x ， 所以由(10)xf x可得： 0 21012 x xx 或 或 0 01212 x xx 或 或0 x 解得10 x 或13x， 所以满足(10)xf x的x的取值范围是 1,01,3， 故选：D. 3、 【2020 年天津卷】设aR，则“1a ”是“ 2 aa ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】求解二次不等式 2 aa可得： 1a 或0a ， 据此可知：1a 是 2 aa的充分不必要条件
5、. 第 3 页 / 共 13 页 故选：A. 4、 【2020 年全国 2 卷】.若2233 xyxy ，则（ ） A. ln(1)0yx B. ln(1)0yx C. ln| 0 xy D. ln| 0 xy 【答案】A 【解析】由2233 xyxy 得：2323 xxyy ， 令 23 tt f t ， 2xy 为R上的增函数，3 x y 为R上的减函数， f t为R上的增函数， xy ， 0yxQ ，11yx ，ln10yx ，则 A 正确，B 错误； xyQ与1的大小不确定，故 CD无法确定. 故选：A. 5、 【2020 年全国 2 卷】.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业
6、务，每天能完成 1200 份订单的 配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某 日积压 500 份订单未配货， 预计第二天的新订单超过 1600份的概率为 0.05， 志愿者每人每天能完成 50份订 单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者（ ） A. 10 名 B. 18 名 C. 24 名 D. 32 名 【答案】B 【解析】由题意，第二天新增订单数为500 1600 1200900，设需要志愿者 x 名， 50 0.95 900 x ，17.1x,故需要志愿者18名. 故选：B 6、 【
7、2020 年北京卷】已知函数( )21 x f xx，则不等式 ( )0f x 的解集是（ ） A. ( 1,1) B. (, 1)(1,) C. (0,1) D. (,0)(1,) 【答案】D 【解析】因为 21 x f xx ，所以 0f x 等价于2 1 x x， 第 4 页 / 共 13 页 在同一直角坐标系中作出2xy 和 1yx 的图象如图： 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21 x x的解为0 x或1x . 所以不等式 0f x 的解集为：,01,. 故选：D. 7、 【2020 年天津卷】设 0.8 0.7 0.7 1 3,log0.8 3 abc ，则,
8、 ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. bac C. bca D. cab 【答案】D 【解析】因为 0.7 31a ， 0.8 0.80.7 1 33 3 ba ， 0.70.7 log0.8log0.71c ， 所以1cab . 故选：D. 8、 【2020 年天津卷】设 0.8 0.7 0.7 1 3,log0.8 3 abc ，则, ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. bac C. bca D. cab 【答案】D 第 5 页 / 共 13 页 【解析】因为 0.7 31a ， 0.8 0.80.7 1 33 3 ba ， 0.70.7 log0.8log
9、0.71c ， 所以1cab . 故选：D. 9、 【2019 年高考全国 II 卷理数】若 ab，则 Aln(ab)0 B3a0 Dab 【答案】C 【解析】取2,1ab，满足ab，ln()0ab，知 A 错，排除 A；因为9333 ab ，知 B 错， 排除 B；取1,2ab ，满足ab，12ab，知 D 错，排除 D，因为幂函数 3 yx是增函数， ab，所以 33 ab，故选 C 10、 【2019 年高考天津卷理数】设xR，则“ 2 50 xx ”是“|1| 1x”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 0
10、5x推不出11x， 由11x能推出05x， 故“ 2 50 xx ”是“|1| 1x”的必要不充分条件， 故选 B. 11、 【2018 年高考天津卷理数】设xR，则“ 11 | 22 x”是“ 3 1x ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 第 6 页 / 共 13 页 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】绝对值不等式 ， 由 . 据此可知是的充分而不必要条件. 故选 A. 12、 【2019 年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，
11、李明对这四种水果进行促销： 一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款 的 80% 当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为 _ 【答案】130 ；15. 【解析】 （1）10 x ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付60 8010130元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元, 120y 元时,李明得到的金额为80%y,符合要求. 120y 元时,有80%70%yxy恒成立,即87 , 8 y yxy x,即 m
12、in 15 8 y x 元. 所以x的最大值为15. 题型一 不等关系的判断 1、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知a b c d, ,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A若 ,ab cd ，则acbd 二年模拟试题二年模拟试题 第 7 页 / 共 13 页 B若 0,0abbcad ，则0 cd ab C若 ,ab cd 则adb c D若 ,0,ab cd 则 ab dc 【答案】BC 【解析】 若0ab，0cd，则acbd，故 A 错； 若0ab，0bcad，则0 bcad ab ，化简得0 cd ab ，故 B 对； 若cd，则dc ，又ab，则adb c ，故 C 对；
13、若1a，2b ，2c ，1d ，则1 a d ，1 b c ，1 ab dc ，故 D 错； 故选：BC 2、（2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考） 设 11ab ，0b， 则下列不等式中恒成立的是 （ ） A 11 ab B 11 ab C 2 ab D 22 ab 【答案】CD 【解析】 当 1 2, 2 ab ，满足条件但 11 ab 不成立，故 A 错误， 当0ab时， 11 ab ，故 B 错误， 11,0bb ， 2 01b ，则 2 ab，故 C 正确， 11,0,0ababab ， 22 ()()0abab ab，故 D 正确. 故选：CD 3、 （2020 届浙江省十
14、校联盟高三下学期开学）已知, a bR，则“1a ”是“1abb”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 | |abbabba ， 因为| | 1abb ， 第 8 页 / 共 13 页 所以| 1a ， 故后者能推出前者， 反之，比如1a ，3b，推不出后者， 故为必要不充分条件， 故选：B. 4、 （2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知0ab，给出下列命题： 若1ab，则1ab ； 若 33 1ab，则1ab ； 若1 ab ee ，则1ab ； 若lnln1ab，则1ab . 其中真命题的个数是（ ） A1 B2
15、C3 D4 【答案】B 【解析】 若1ab， 则1ab， 所以12abb ， 所以121abb ，即错误； 若 33 1ab， 则 33 1ab ， 即 23 (1)(1)aaab， 因为0ab， 所以 22 ab， 所以 22 1aab ， 所以1ab ，即1ab ，所以正确； 若1 ab ee， 则 11 1 ab a b bbb ee e eee ， 因为0b，所以12 a b ee ， 第 9 页 / 共 13 页 所以1ab ，即正确； 取ae，1b，满足1lnalnb， 但1a b ，所以错误； 所以真命题有， 故选：B 5、 （2020 届北京市顺义区高三上学期期末数学试题）若1
16、ba，则下列不等式一定正确的是（ ） A2ab B2ab C 11 ab D2 ba ab 【答案】D 【解析】因为：1ba 对于 A：当 34 , 23 ab=,所以 34 2 23 ab =?,故 A 错误； 对于 B：因为1ba,所以2ab,故 B 错误； 对于 C：因为1ba,所以 11 01 ba ,故 C 错误； 对于 D：因为1ba,所以22 bab a aba b , 又因为1ba,则 ba ab ,故不取等,即2 ba ab ,故 D 正确； 故选：D 6 6、(2019 苏北四市、苏中三市三调） 已知函数 2 2 20 ( ) 20 xxx f x xxx ， ， ， 则不
17、等式 ( )()f xfx 的解集为 【答案】( 2 0) (2)， 【解析】 ： ：若0 x ，则 22 ( )2 , ()2f xxx fxxx， 由 ( )()f xfx 得： 22 222xxxxx ，故 2x . 若0 x ，则 22 ( )2 , ()2f xxx fxxx， 由 ( )()f xfx 得： 22 2220 xxxxx ，故2 0 x . 综上，不等式 ( )()f xfx 的解集为( 2 0) (2)， . 题型二 一元二次不等式的解法 第 10 页 / 共 13 页 1、 （2020 届北京昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考）已知一元二次不等式 0f x
18、的解集为 |2x x 或3x ，则100 x f的解集为（ ）. A | 2x x 或lg3x B | 2lg3xx C | lg3x x D |lg3x x 【答案】D 【解析】一元二次不等式( )0f x 的解集为 |2x x 或3x ， 则( )0f x 的解集为 | 23xx ， 则(10 )0 x f可化为2103 x ； 解得 lg3x ， 所以所求不等式的解集为 |lg3x x 故选：D 2、 （2020 届北京市陈经纶学校高三上学期开学） 已知集合 | 1Ax x ， 集合 2 |4Bx x， 则AB （ ） A | 2x x B |12xx C |12xx DR 【答案】B
19、【解析】由 2 4x 解得22x ，故 |12ABxx，故选 B. 3、 （2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式 2 20axbx的解集为 12xx ，则不等式 2 20 xbxa的解集为（ ） A 1x 或 1 2 x B 1 1 2 xx C21xx D2x 或1x 【答案】A 【解析】 不等式 2 20axbx的解集为 | 12xx , 2 20axbx的两根为1，2，且0a， 第 11 页 / 共 13 页 即 2 12,12 b aa ,解得1,1,ab 则不等式可化为 2 210 xx 解得 1 1 2 xx 或 故选A 4、（2020 届北京市昌平区新学道临川学校高三上
20、学期期中考试数学试题）已知关于 x 的不等式0bax的 解集是2,，则关于 x 的不等式 2 330axab xb的解集是（ ） A , 32, U B3,2 C , 23, D2,3 【答案】A 【解析】由关于 x 的不等式0bax的解集是2,， 得2ba且0a ， 则关于 x 的不等式 2 330axab xb可化为 2 60 xx， 即320 xx， 解得：3x或2x ， 所求不等式的解集为： , 32, U. 故选：A. 5、(2019 苏北四市、苏中三市三调） 已知函数 2 2 20 ( ) 20 xxx f x xxx ， ， ， 则不等式 ( )()f xfx 的解集为 【答案】
21、( 2 0) (2)， 【解析】 ： ：若0 x ，则 22 ( )2 , ()2f xxx fxxx， 由 ( )()f xfx 得： 22 222xxxxx ，故 2x . 若 0 x ，则 22 ( )2 , ()2f xxx fxxx， 由 ( )()f xfx 得： 第 12 页 / 共 13 页 22 2220 xxxxx ，故2 0 x . 综上，不等式 ( )()f xfx 的解集为( 2 0) (2)， . 题型三 一元二次不等式中含参问题 1、 （2020 年 1 月北京市中学生标准学术能力诊断性测试）已知关于x的不等式 2 230axxa在 0,2上 有解，则实数a的取值
22、范围是（ ） A 3 , 3 B 4 , 7 C 3 3 ,+ D 4 , 7 【答案】A 【解析】0,2x时，不等式可化为 3 2 a ax x ； 当0a时，不等式为02，满足题意； 当0a时，不等式化为 32 x xa ，则 23 22 3x ax ，当且仅当 3x 时取等号， 所以 3 3 a ，即 3 0 3 a； 当0a 时， 32 x xa 恒成立； 综上所述，实数a的取值范围是 3 (,) 3 答案选 A 2、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）“xR ， 2 20 xxa ” 为假命题，则实数a的最大值为 _ 【答案】1 【解析】 由“x R ， 2 20 xxa ”为假
23、命题，可知，“xR ， 2 20 xxa ”为真命题， 2 2axx恒成立，由二次函数的性质可知， 2 21xx ， 则实数1a，即a的最大值为1 故答案为：1. 3、 （江苏省如皋市 2019-2020 学年高三上学期 10 月调研） 不等式 2 10mxmx 的解集为R， 则实数m的 取值范围为_. 【答案】04m 第 13 页 / 共 13 页 【解析】当0m时，不等式显然恒成立，即xR，满足条件。 当0m时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上，0。 所以0m， 2 40mm，即04m 综上所述：04m 4、 （江苏省南通市 2019-2020 学年高三上学期期初）已知函数 22 2f xxmxm. （1）若不等式 f xxk的解集为2,6，则实数m，k的值分别为 ； （2）若对任意1,x，恒有 0f x ，则实数m的取值范围为 . 【答案】 （1）3m，6k ； （2） 1 1, 2 m 【解析】 （1） f xxk，即 22 120 xmxmk， 根据题意： 2 261 2 62 m mk ，解得 3 6 m k . （2） 22 220f xxmxmxmxm恒成立， 当0m时，2xm或xm，故21m，解得 1 2 m ； 当0m时，易知成立； 当0m时，2xm或xm，故1m，解得1m. 综上所述： 1 1, 2 m .