1、 第 1 页 / 共 16 页 考点考点 13 两角和与差的正弦、余弦两角和与差的正弦、余弦、正切正切 1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,能从两角差的余弦公式推导出两角 和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式。 2、体会化归思想的应用;掌握上述两角和与差的三角函数公式,能运用它们进行简单的三角函 数式的化简、求值及恒等式证明 . 3、能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,体会化归思想的应用。 4、掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切),能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒 等式证明。 “两角和(差)的正弦、余弦和正切”在全国各地区是考查的重点,课标
2、要求是“两个周期函数 的叠加仍然是一个周期函数”,其本质就是 a sin x +b cos x = A sin ( x + )的转化, 根据高考考试说明只需对特殊角进行转化,不必涉及非特殊角的情形 . 此外,三角恒等式的证 明未必会考(近 5 年江苏高考都没有考),但常利用三角恒等变换进行化简与变形来解决综合 题,因为化简的正确性将直接关系到整道题目能否顺利、 正确的解决,所以 “两角和(差)的正弦、 余弦和正切”务必要引起足够的重视 注意此处的教学要求为必考内容,必须要引起足够的重视 . 首先,两角和(差)的正弦、余弦及 正切是三角恒等变换的基础和核心,后续的二倍角等公式实际是两角和(差)的
3、特例;其次,高考 并不一定会考三角恒等式的证明(近五年的江苏省高考试卷就说明了这一点),在这里重要的是 强化三角恒等变换的能力,弱化公式的机械记忆;最后,用三角变换研究较复杂函数的性质,更 易体现“在知识的交汇点处命题”这一高考命题的基本思想,这样的题目更显得活泼、有生气, 这一点在 20082020 年的各地高考试卷中均有相当明显的反映 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总考点总结结 第 2 页 / 共 16 页 1、 【2020 年北京卷】.若函数( )sin( )cosf xxx 的最大值为 2，则常数的一个取值为_ 【答案】 2 （2
4、, 2 kkZ 均可） 【解析】因为 2 2 cossinsin1 coscossin1sinf xxxx ， 所以 2 2 cossin12 ，解得sin1，故可取 2 . 故答案为： 2 （2, 2 kkZ 均可）. 2、 【江苏卷】8.已知 2 sin () 4 = 2 3 ，则sin2的值是_. 【答案】 1 3 【解析】 22 221 sin ()(cossin)(1 sin2 ) 4222 Q 121 (1 sin2 )sin2 233 故答案为： 1 3 3、 【2020 年全国 3 卷】已知 2tantan(+ 4 )=7，则 tan=（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D.
5、 2 【答案】D 【解析】2tantan7 4 ， tan1 2tan7 1tan ， 令tan ,1tt，则 1 27 1 t t t ，整理得 2 440tt，解得2t ，即tan2 . 故选：D. 4、 【2020 年全国 2 卷】2.若 为第四象限角，则（ ） A. cos20 B. cos20 D. sin20 【答案】D 【解析】方法一：由 为第四象限角，可得 3 222, 2 kkkZ ， 所以34244,kkkZ 此时2的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin20 故选：D. 第 3 页 / 共 16 页 方法二：当 6 时，cos2cos0 3 ，选项 B错误；
6、当 3 时， 2 cos2cos0 3 ，选项 A错误； 由在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sincos0，选项 C 错误，选项 D正确； 故选：D. 5、 【2020 年全国 1 卷】.已知 ( )0, ，且3cos28cos5，则sin（ ） A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 【答案】A 【解析】3cos28cos5，得 2 6cos8cos80 ， 即 2 3cos4cos40 ，解得 2 cos 3 或cos2（舍去） ， 又 2 5 (0, ),sin1cos 3 . 故选：A. 6、 【2020 年浙江卷】.已知tan2，则cos2_； tan
7、() 4 _ 【答案】 (1). 3 5 - (2). 1 3 【解析】 2222 22 2222 cossin1 tan1 23 cos2cossin cossin1tan1 25 ， tan12 11 tan() 41tan123 ， 故答案为： 3 1 , 5 3 7、【2019 年高考全国卷理数】已知 (0， 2 )，2sin2=cos2+1，则 sin= A 1 5 B 5 5 第 4 页 / 共 16 页 C 3 3 D 2 5 5 【答案】B 【解析】2 s i n2c o s 21， 2 4sincos2cos.0,cos0 2 ， sin0, 2sincos， 又 22 si
8、ncos1， 22 1 5sin1,sin 5 ， 又s i n0， 5 sin 5 ，故选 B 8、 【2018 年高考全国卷理数】若 1 sin 3 ，则cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 【答案】B 【解析】 22 17 cos21 2sin1 2 ( ) 39 . 故选 B. 9、【2019 年高考江苏卷】已知 tan2 3 tan 4 ，则 sin 2 4 的值是 . 【答案】 2 10 【解析】由 tan1tantantan2 tan1 tan13 tan 1tan4 ，得 2 3tan5tan20， 解得tan2，或 1 tan 3 . sin 2sin2c
9、oscos2 sin 444 22 22 222sincoscossin sin2cos2= 22sincos 第 5 页 / 共 16 页 2 2 22tan1 tan = 2tan1 ， 当tan2时，上式 2 2 22 2 1 22 = 22110 ； 当 1 tan 3 时，上式= 2 2 11 2 () 1 () 22 33 = 1 210 ()1 3 . 综上， 2 sin 2. 410 10、【2018 年高考全国理数】已知函数 2sinsin2f xxx，则 f x的最小值是_ 【答案】 3 3 2 【解析】 2 1 2cos2cos24cos2cos24 cos1cos 2
10、fxxxxxxx ， 所以当 1 cos 2 x 时函数单调递减，当 1 cos 2 x 时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为 5 2 ,2 33 kkk Z，函数的递增区间为 2 ,2 33 kkk Z， 所以当 2 , 3 xkkZ时，函数 f x取得最小值，此时 33 sin,sin2 22 xx ， 所以 min 333 3 2 222 f x ，故答案是 3 3 2 . 题型一题型一 两角和与差的正弦、余弦和正切两角和与差的正弦、余弦和正切 1、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）sin225 （ ） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D1 二年模拟试题二年模拟试题 第 6
11、 页 / 共 16 页 【答案】B 【解析】 因为 2 sin225sin(18045 )sin45 2 . 故选：B. 2、 （2020 届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题） sin20 cos10cos160 sin10（ ） A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 【答案】D 【解析】sin20 cos10cos160 sin10 sin20 cos10cos20 sin10 sin30 1 2 . 故选：D. 3、 （2020 届山东实验中学高三上期中）已知cos2cos 2 ，且 1 tan 3 ，则tan的 值为（ ） A-7 B7 C1 D-1 【答案
12、】B 【解析】 因为cos2cos 2 ， 所以sin2cos，即tan2= -， 又 1 tan 3 ， 则 tantan1 1 tantan3 ， 解得tan= 7， 第 7 页 / 共 16 页 故选 B. 4、 （2020 全国高三专题练习（文） ）已知 sincos 1 1 cos2 ， 1 tan() 3 ，则tan_. 【答案】 1 7 【解析】 因为 sincos 1 1 cos2 ，所以 2 sincos2sin且cos0，所以 1 tan 2 ； 又 1 tan() 3 ， 所以 11 tantan1 23 tantan 1 1tantan7 1 6 . 故答案为： 1 7
13、 . 5、 （江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年高三阶段测试）在锐角三角形 ABC 中 3 sin 5 A ， 1 tan() 3 AB ，则3tanC的值为_. 【答案】79 【解析】在锐角三角形ABC中 3 sin 5 A ， 2 4 cos1 sin 5 AA， sin3 tan cos4 A A A ， 31 tantan()13 43 tantan() 31 1tantan()9 1 43 AAB BAAB AAB ， 313 tantan79 49 tantan() 313 1tantan3 1 49 AB CAB AB ， 3tan79C 故答案为：79 6、 （
14、江苏省南通市如皋市 2019-2020 学年高三下学期期初考）已知 为锐角，且 1 cos 63 ，则 第 8 页 / 共 16 页 sin_ 【答案】 2 61 6 【解析】因为为锐角， 1 cos 63 ， 则 2 2 2 sin1 cos 663 ， 所以sinsin 66 sin.coscos.sin 6666 ， 2 2311 3232 2 61 6 . 故答案为： 2 6 1 6 . 7、(2019 无锡期末）已知 是第四象限角，且 cos 4 5，那么 sin 4 cos( )26 的值为_ 【答案】 5 2 14 因为 是第四象限角，所以 sin0， 则 sin 1cos23
15、5， 所以 sin 4 cos（26） sincos 4 cossin 4 cos2 2 2 （sincos） cos2sin2 2 2 （sincos） （cossin）（cossin） 2 2 4 5 3 5 5 2 14 . 解后反思 本题考查了同角三角函数关系，诱导公式，两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式的应 用，应注意正确选择二倍角的余弦公式进行化简 8、(2019 扬州期末）设 a，b 是非零实数，且满足 asin 7 bcos 7 acos 7bsin 7 tan10 21 ，则b a_ 【答案】 3 第 9 页 / 共 16 页 解法 1(方程法) 因为 a，b 是非零实数，
16、由 asin 7 bcos 7 acos 7 bsin 7 tan10 21 ，得 tan 7 b a 1b atan 7 tan10 21 ，解得b a tan10 21 tan 7 1tan10 21 tan 7 ，即b atan 10 21 7 tan 3 3. 解法 2(系数比较法) tan10 21 tan 7 3 tan 7 3 1 3tan 7 sin 7 3cos 7 cos 7 3sin 7 ， tan10 21 sin 7 b acos 7 cos 7 b asin 7 sin 7 3cos 7 cos 7 3sin 7 ，所以b a 3. 题型二题型二 二二倍角的正弦、余
17、弦和正切倍角的正弦、余弦和正切 1、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）已知 1 tan 3 ，则 2 sin2sin 1cos2 的值为_ 【答案】 5 18 【解析】 原式 22 2 2sincossintan tan 2cos2 ,又 1 tan 3 ， 原式 2 1 11153 3231818 ， 故答案为： 5 18 . 2、 （2020 浙江高三）若 0 2 ， ， 6 3 sin，则 cos_，tan2_ 【答案】 3 3 2 2 【解析】 0 2 ， ， 6 3 sin， 第 10 页 / 共 16 页 cos 2 3 1 3 sin，tan 2 sin cos ， ta
18、n2 2 2 222 11 ( 2) tan tan 2 2 故答案为： 3 3 ，2 2 3、 （2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）已知 1 sin 4 x ，x为第二象限角，则sin2x _. 【答案】 15 8 【解析】 由于 1 sin 4 x ，x为第二象限角，所以 2 15 cos1 sin 4 xx .所以 11515 sin22sin cos2 448 xxx . 故答案为： 15 8 4、 （2020 届河北省衡水中学高三年级上学期五调）已知 2 sin 3 ，则cos2（ ） A 7 9 B 1 9 C 1 9 D 5 9 【答案】C 【解析】由三角函数的诱导公式，可
19、得 2 sinsin 3 ，即 2 sin 3 ， 又由 22 21 cos21 2sin1 2 ( ) 39 . 5、 （2020 届北京西城区第四中学高三期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经 过点 (2 1)P ， ，则cos2 （ ） A 2 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 2 3 【答案】B 第 11 页 / 共 16 页 【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(2 1)P ， 所以 26 cos 32 1 ， 因此 2 1 cos22cos1 3 . 故选 B 6、 （2020 届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）
20、 已知 1 tan 122 ， 则s i n2_ 【答案】 34 3 10 【解析】 2 2tan 3 12 tantan(2) 6123 1 12 tan ， 可得 2 3tan6tan30 1212 ， 解得：tan23 12 ， （负值舍去） ， 1 tan() 122 ，即 tantan tan(23)1 12 21tan(23) 1tantan 12 ， 解得： 52 3 tan 3 ， 2 2 52 3 2 2tan34 3 3 sin2 11052 3 1() 3 tan 故答案为： 34 3 10 7、(2019 镇江期末） 若 2cos2sin 4 ， 2 ，则 sin2_
21、【答案】 7 8 解法 1 设 4 3 4， 4 ， 则 4.由 2cos2sin 4 ， 得 2cos 2 2 2sin2 4sincossin，而 sin0，故 cos1 4.所以 sin2sin 2 2 cos22cos217 8. 第 12 页 / 共 16 页 解法 2 由 2cos2sin 4 得 2(cossin)(cossin) 2 2 (cossin)又 2 ， 则 cossin0，故 cossin 2 2 .两边平方得 sin27 8. 8、 （2020 届浙江省台州市温岭中月模拟）已知函数 2 3sincoscos1 222 xxx fx. 1若 0, 2 x ， 5 6
22、 f x ，求cosx得值； 2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2 cos23bAca，求 f B的取值范 围. 【答案】 1 2 61 6 ； 2 1 0, 2 . 【解析】 解： 1 2 31 cos 3sincoscos1sin1 22222 xxxx f xx 3111 sincossin 22262 xxx ， 由0, 2 x ， 5 6 f x ， 可得 15 sin 626 x ， 所以 1 sin 63 x ， 2 2 cos 63 x ， 所以 32 2112 61 coscos 6623326 xx . 2因为2 cos23bAca， 由正弦定理可得，2
23、sincos2sin3sinBACA， 从而可得，2sincos2sincos2sincos3sinBAABBAA， 即 3 cos 2 B ， 第 13 页 / 共 16 页 因为0B， 所以0 6 B ，0 66 B ， 所以 1 sin0 26 B ， 所以 11 sin0, 622 f BB . 9、 (2019 通州、 海门、 启东期末） 设 0， 3 ， 已知向量 a( 6sin， 2)， b 1，cos 6 2 ， 且 ab. (1) 求 tan 6 的值； (2) 求 cos 27 12 的值 解析：(1) 因为 a( 6sina， 2)，b 1，cos 6 2 ，且 ab.
24、所以 6sina 2cos 3，所以 sin 6 6 4 .2 分 因为 0， 3 ，所以 6 6 ， 2 ，(4 分) 所以 cos 6 10 4 ， 故 sin 6 1cos2 6 6 4 所以 tan 6 15 5 .(6 分) (2) 由(1)得 cos 2 3 2cos2 6 12 10 4 2 11 4.(8 分) 因为 0， 3 ，所以 2 3 3 ， ， 所以 sin 2 3 15 4 .(10 分) 所以 cos 27 12 cos cos 2 3 cos 4 sin 2a 3 sin 4 (12 分) 2 30 8 .(14 分) 考点三、公式的综合运用考点三、公式的综合运
25、用 第 14 页 / 共 16 页 1、 （河北省衡水市衡水中学 2019-2020 学年高三上学期期中（文)）已知角满足 1 cos() 63 ，则 sin(2) 6 （ ） A 4 2 9 B 4 2 9 C 7 9 D 7 9 【答案】D 【解析】 1 62633 cossinsin ， 2 sin 2cos2cos22 62633 cos 22 17 1212 ( ) 339 sin 故选 D 2、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）若 1 sin 34 ，则 cos2 3 （ ） A 7 8 B 1 4 C 1 4 D 7 8 【答案】A 【解析】 2 22 cos2co
26、s 2cos2cos22sin1 33333 17 21 168 故选A 3、 （2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知函数 44 3 sincossin2 cos2 2 f xxxxx. （1）求 f x的最小正周期； （2）当0, 4 x 时，求 f x的最大值和最小值. 【答案】 （1） 2 （2）最大值为 1，最小值为 1 4 【解析】 第 15 页 / 共 16 页 已知函数 44 3 ( )sincossin2 cos2 2 f xxxxx . 2 2222 3 sincos2sincossin4 4 xxxxx， 2 1 12 2 sinx 3 sin4 4 x
27、1 113 1cos4sin4 2 224 xx 133 cos4sin4 444 xx 13 sin 4 264 x ， （1） f x的最小正周期为 2 42 T . （2）当0 4 x ，时， 4 66 x ， 5 6 ， () 1 41 6 2 sinx ， 13 sin 4 264 x 11 4 ， 当4 6 x 6 时，即0 x时， f x取得最大值为 1， 当4 62 x 时，即 12 x 时， f x取得最小值为 1 4 . 4、 （2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数 2 ( )sin 2sin 22 3cos 33 f xxxxa 的最大值为 1. （）求常数a的值； （）求出( )0f x 成立的x的取值集合. 【答案】 （）3 1； （）|, 124 xkxkk Z. 【解析】 第 16 页 / 共 16 页 （）( )2sin2 cos3(cos21) 3 f xxxa sin23cos23xxa 2sin 23 3 xa ， 由 ( )f x的最大值为 1 可知，2 31a ， 31a ； （）由（）可知， 2sin 21 3 f xx ， 由2sin 210 3 x ，得 1 sin 2 32 x ， 5 222 636 kxk ， 即 124 kxk ，kZ， 故解集为|, 124 xkxkk Z