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考点13 两角和与差的正弦、余弦、正切(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

1、 第 1 页 / 共 16 页 考点考点 13 两角和与差的正弦、余弦两角和与差的正弦、余弦、正切正切 1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,能从两角差的余弦公式推导出两角 和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式。 2、体会化归思想的应用;掌握上述两角和与差的三角函数公式,能运用它们进行简单的三角函 数式的化简、求值及恒等式证明 . 3、能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,体会化归思想的应用。 4、掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切),能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒 等式证明。 “两角和(差)的正弦、余弦和正切”在全国各地区是考查的重点,课标

2、要求是“两个周期函数 的叠加仍然是一个周期函数”,其本质就是 a sin x +b cos x = A sin ( x + )的转化, 根据高考考试说明只需对特殊角进行转化,不必涉及非特殊角的情形 . 此外,三角恒等式的证 明未必会考(近 5 年江苏高考都没有考),但常利用三角恒等变换进行化简与变形来解决综合 题,因为化简的正确性将直接关系到整道题目能否顺利、 正确的解决,所以 “两角和(差)的正弦、 余弦和正切”务必要引起足够的重视 注意此处的教学要求为必考内容,必须要引起足够的重视 . 首先,两角和(差)的正弦、余弦及 正切是三角恒等变换的基础和核心,后续的二倍角等公式实际是两角和(差)的

3、特例;其次,高考 并不一定会考三角恒等式的证明(近五年的江苏省高考试卷就说明了这一点),在这里重要的是 强化三角恒等变换的能力,弱化公式的机械记忆;最后,用三角变换研究较复杂函数的性质,更 易体现“在知识的交汇点处命题”这一高考命题的基本思想,这样的题目更显得活泼、有生气, 这一点在 20082020 年的各地高考试卷中均有相当明显的反映 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总考点总结结 第 2 页 / 共 16 页 1、 【2020 年北京卷】.若函数( )sin( )cosf xxx 的最大值为 2,则常数的一个取值为_ 【答案】 2 (2

4、, 2 kkZ 均可) 【解析】因为 2 2 cossinsin1 coscossin1sinf xxxx , 所以 2 2 cossin12 ,解得sin1,故可取 2 . 故答案为: 2 (2, 2 kkZ 均可). 2、 【江苏卷】8.已知 2 sin () 4 = 2 3 ,则sin2的值是_. 【答案】 1 3 【解析】 22 221 sin ()(cossin)(1 sin2 ) 4222 Q 121 (1 sin2 )sin2 233 故答案为: 1 3 3、 【2020 年全国 3 卷】已知 2tantan(+ 4 )=7,则 tan=( ) A. 2 B. 1 C. 1 D.

5、 2 【答案】D 【解析】2tantan7 4 , tan1 2tan7 1tan , 令tan ,1tt,则 1 27 1 t t t ,整理得 2 440tt,解得2t ,即tan2 . 故选:D. 4、 【2020 年全国 2 卷】2.若 为第四象限角,则( ) A. cos20 B. cos20 D. sin20 【答案】D 【解析】方法一:由 为第四象限角,可得 3 222, 2 kkkZ , 所以34244,kkkZ 此时2的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上,所以sin20 故选:D. 第 3 页 / 共 16 页 方法二:当 6 时,cos2cos0 3 ,选项 B错误;

6、当 3 时, 2 cos2cos0 3 ,选项 A错误; 由在第四象限可得:sin0,cos0,则sin22sincos0,选项 C 错误,选项 D正确; 故选:D. 5、 【2020 年全国 1 卷】.已知 ( )0, ,且3cos28cos5,则sin( ) A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 【答案】A 【解析】3cos28cos5,得 2 6cos8cos80 , 即 2 3cos4cos40 ,解得 2 cos 3 或cos2(舍去) , 又 2 5 (0, ),sin1cos 3 . 故选:A. 6、 【2020 年浙江卷】.已知tan2,则cos2_; tan

7、() 4 _ 【答案】 (1). 3 5 - (2). 1 3 【解析】 2222 22 2222 cossin1 tan1 23 cos2cossin cossin1tan1 25 , tan12 11 tan() 41tan123 , 故答案为: 3 1 , 5 3 7、【2019 年高考全国卷理数】已知 (0, 2 ),2sin2=cos2+1,则 sin= A 1 5 B 5 5 第 4 页 / 共 16 页 C 3 3 D 2 5 5 【答案】B 【解析】2 s i n2c o s 21, 2 4sincos2cos.0,cos0 2 , sin0, 2sincos, 又 22 si

8、ncos1, 22 1 5sin1,sin 5 , 又s i n0, 5 sin 5 ,故选 B 8、 【2018 年高考全国卷理数】若 1 sin 3 ,则cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 【答案】B 【解析】 22 17 cos21 2sin1 2 ( ) 39 . 故选 B. 9、【2019 年高考江苏卷】已知 tan2 3 tan 4 ,则 sin 2 4 的值是 . 【答案】 2 10 【解析】由 tan1tantantan2 tan1 tan13 tan 1tan4 ,得 2 3tan5tan20, 解得tan2,或 1 tan 3 . sin 2sin2c

9、oscos2 sin 444 22 22 222sincoscossin sin2cos2= 22sincos 第 5 页 / 共 16 页 2 2 22tan1 tan = 2tan1 , 当tan2时,上式 2 2 22 2 1 22 = 22110 ; 当 1 tan 3 时,上式= 2 2 11 2 () 1 () 22 33 = 1 210 ()1 3 . 综上, 2 sin 2. 410 10、【2018 年高考全国理数】已知函数 2sinsin2f xxx,则 f x的最小值是_ 【答案】 3 3 2 【解析】 2 1 2cos2cos24cos2cos24 cos1cos 2

10、fxxxxxxx , 所以当 1 cos 2 x 时函数单调递减,当 1 cos 2 x 时函数单调递增,从而得到函数的递减区间为 5 2 ,2 33 kkk Z,函数的递增区间为 2 ,2 33 kkk Z, 所以当 2 , 3 xkkZ时,函数 f x取得最小值,此时 33 sin,sin2 22 xx , 所以 min 333 3 2 222 f x ,故答案是 3 3 2 . 题型一题型一 两角和与差的正弦、余弦和正切两角和与差的正弦、余弦和正切 1、 (2020 届山东省潍坊市高三上期中)sin225 ( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D1 二年模拟试题二年模拟试题 第 6

11、 页 / 共 16 页 【答案】B 【解析】 因为 2 sin225sin(18045 )sin45 2 . 故选:B. 2、 (2020 届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题) sin20 cos10cos160 sin10( ) A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 【答案】D 【解析】sin20 cos10cos160 sin10 sin20 cos10cos20 sin10 sin30 1 2 . 故选:D. 3、 (2020 届山东实验中学高三上期中)已知cos2cos 2 ,且 1 tan 3 ,则tan的 值为( ) A-7 B7 C1 D-1 【答案

12、】B 【解析】 因为cos2cos 2 , 所以sin2cos,即tan2= -, 又 1 tan 3 , 则 tantan1 1 tantan3 , 解得tan= 7, 第 7 页 / 共 16 页 故选 B. 4、 (2020 全国高三专题练习(文) )已知 sincos 1 1 cos2 , 1 tan() 3 ,则tan_. 【答案】 1 7 【解析】 因为 sincos 1 1 cos2 ,所以 2 sincos2sin且cos0,所以 1 tan 2 ; 又 1 tan() 3 , 所以 11 tantan1 23 tantan 1 1tantan7 1 6 . 故答案为: 1 7

13、 . 5、 (江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年高三阶段测试)在锐角三角形 ABC 中 3 sin 5 A , 1 tan() 3 AB ,则3tanC的值为_. 【答案】79 【解析】在锐角三角形ABC中 3 sin 5 A , 2 4 cos1 sin 5 AA, sin3 tan cos4 A A A , 31 tantan()13 43 tantan() 31 1tantan()9 1 43 AAB BAAB AAB , 313 tantan79 49 tantan() 313 1tantan3 1 49 AB CAB AB , 3tan79C 故答案为:79 6、 (

14、江苏省南通市如皋市 2019-2020 学年高三下学期期初考)已知 为锐角,且 1 cos 63 ,则 第 8 页 / 共 16 页 sin_ 【答案】 2 61 6 【解析】因为为锐角, 1 cos 63 , 则 2 2 2 sin1 cos 663 , 所以sinsin 66 sin.coscos.sin 6666 , 2 2311 3232 2 61 6 . 故答案为: 2 6 1 6 . 7、(2019 无锡期末)已知 是第四象限角,且 cos 4 5,那么 sin 4 cos( )26 的值为_ 【答案】 5 2 14 因为 是第四象限角,所以 sin0, 则 sin 1cos23

15、5, 所以 sin 4 cos(26) sincos 4 cossin 4 cos2 2 2 (sincos) cos2sin2 2 2 (sincos) (cossin)(cossin) 2 2 4 5 3 5 5 2 14 . 解后反思 本题考查了同角三角函数关系,诱导公式,两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式的应 用,应注意正确选择二倍角的余弦公式进行化简 8、(2019 扬州期末)设 a,b 是非零实数,且满足 asin 7 bcos 7 acos 7bsin 7 tan10 21 ,则b a_ 【答案】 3 第 9 页 / 共 16 页 解法 1(方程法) 因为 a,b 是非零实数,

16、由 asin 7 bcos 7 acos 7 bsin 7 tan10 21 ,得 tan 7 b a 1b atan 7 tan10 21 ,解得b a tan10 21 tan 7 1tan10 21 tan 7 ,即b atan 10 21 7 tan 3 3. 解法 2(系数比较法) tan10 21 tan 7 3 tan 7 3 1 3tan 7 sin 7 3cos 7 cos 7 3sin 7 , tan10 21 sin 7 b acos 7 cos 7 b asin 7 sin 7 3cos 7 cos 7 3sin 7 ,所以b a 3. 题型二题型二 二二倍角的正弦、余

17、弦和正切倍角的正弦、余弦和正切 1、 (2020 届山东师范大学附中高三月考)已知 1 tan 3 ,则 2 sin2sin 1cos2 的值为_ 【答案】 5 18 【解析】 原式 22 2 2sincossintan tan 2cos2 ,又 1 tan 3 , 原式 2 1 11153 3231818 , 故答案为: 5 18 . 2、 (2020 浙江高三)若 0 2 , , 6 3 sin,则 cos_,tan2_ 【答案】 3 3 2 2 【解析】 0 2 , , 6 3 sin, 第 10 页 / 共 16 页 cos 2 3 1 3 sin,tan 2 sin cos , ta

18、n2 2 2 222 11 ( 2) tan tan 2 2 故答案为: 3 3 ,2 2 3、 (2020 届山东省枣庄市高三上学期统考)已知 1 sin 4 x ,x为第二象限角,则sin2x _. 【答案】 15 8 【解析】 由于 1 sin 4 x ,x为第二象限角,所以 2 15 cos1 sin 4 xx .所以 11515 sin22sin cos2 448 xxx . 故答案为: 15 8 4、 (2020 届河北省衡水中学高三年级上学期五调)已知 2 sin 3 ,则cos2( ) A 7 9 B 1 9 C 1 9 D 5 9 【答案】C 【解析】由三角函数的诱导公式,可

19、得 2 sinsin 3 ,即 2 sin 3 , 又由 22 21 cos21 2sin1 2 ( ) 39 . 5、 (2020 届北京西城区第四中学高三期中)已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边经 过点 (2 1)P , ,则cos2 ( ) A 2 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 2 3 【答案】B 第 11 页 / 共 16 页 【解析】因为角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边经过点(2 1)P , 所以 26 cos 32 1 , 因此 2 1 cos22cos1 3 . 故选 B 6、 (2020 届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二))

20、 已知 1 tan 122 , 则s i n2_ 【答案】 34 3 10 【解析】 2 2tan 3 12 tantan(2) 6123 1 12 tan , 可得 2 3tan6tan30 1212 , 解得:tan23 12 , (负值舍去) , 1 tan() 122 ,即 tantan tan(23)1 12 21tan(23) 1tantan 12 , 解得: 52 3 tan 3 , 2 2 52 3 2 2tan34 3 3 sin2 11052 3 1() 3 tan 故答案为: 34 3 10 7、(2019 镇江期末) 若 2cos2sin 4 , 2 ,则 sin2_

21、【答案】 7 8 解法 1 设 4 3 4, 4 , 则 4.由 2cos2sin 4 , 得 2cos 2 2 2sin2 4sincossin,而 sin0,故 cos1 4.所以 sin2sin 2 2 cos22cos217 8. 第 12 页 / 共 16 页 解法 2 由 2cos2sin 4 得 2(cossin)(cossin) 2 2 (cossin)又 2 , 则 cossin0,故 cossin 2 2 .两边平方得 sin27 8. 8、 (2020 届浙江省台州市温岭中月模拟)已知函数 2 3sincoscos1 222 xxx fx. 1若 0, 2 x , 5 6

22、 f x ,求cosx得值; 2在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足2 cos23bAca,求 f B的取值范 围. 【答案】 1 2 61 6 ; 2 1 0, 2 . 【解析】 解: 1 2 31 cos 3sincoscos1sin1 22222 xxxx f xx 3111 sincossin 22262 xxx , 由0, 2 x , 5 6 f x , 可得 15 sin 626 x , 所以 1 sin 63 x , 2 2 cos 63 x , 所以 32 2112 61 coscos 6623326 xx . 2因为2 cos23bAca, 由正弦定理可得,2

23、sincos2sin3sinBACA, 从而可得,2sincos2sincos2sincos3sinBAABBAA, 即 3 cos 2 B , 第 13 页 / 共 16 页 因为0B, 所以0 6 B ,0 66 B , 所以 1 sin0 26 B , 所以 11 sin0, 622 f BB . 9、 (2019 通州、 海门、 启东期末) 设 0, 3 , 已知向量 a( 6sin, 2), b 1,cos 6 2 , 且 ab. (1) 求 tan 6 的值; (2) 求 cos 27 12 的值 解析:(1) 因为 a( 6sina, 2),b 1,cos 6 2 ,且 ab.

24、所以 6sina 2cos 3,所以 sin 6 6 4 .2 分 因为 0, 3 ,所以 6 6 , 2 ,(4 分) 所以 cos 6 10 4 , 故 sin 6 1cos2 6 6 4 所以 tan 6 15 5 .(6 分) (2) 由(1)得 cos 2 3 2cos2 6 12 10 4 2 11 4.(8 分) 因为 0, 3 ,所以 2 3 3 , , 所以 sin 2 3 15 4 .(10 分) 所以 cos 27 12 cos cos 2 3 cos 4 sin 2a 3 sin 4 (12 分) 2 30 8 .(14 分) 考点三、公式的综合运用考点三、公式的综合运

25、用 第 14 页 / 共 16 页 1、 (河北省衡水市衡水中学 2019-2020 学年高三上学期期中(文))已知角满足 1 cos() 63 ,则 sin(2) 6 ( ) A 4 2 9 B 4 2 9 C 7 9 D 7 9 【答案】D 【解析】 1 62633 cossinsin , 2 sin 2cos2cos22 62633 cos 22 17 1212 ( ) 339 sin 故选 D 2、 (2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考)若 1 sin 34 ,则 cos2 3 ( ) A 7 8 B 1 4 C 1 4 D 7 8 【答案】A 【解析】 2 22 cos2co

26、s 2cos2cos22sin1 33333 17 21 168 故选A 3、 (2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)已知函数 44 3 sincossin2 cos2 2 f xxxxx. (1)求 f x的最小正周期; (2)当0, 4 x 时,求 f x的最大值和最小值. 【答案】 (1) 2 (2)最大值为 1,最小值为 1 4 【解析】 第 15 页 / 共 16 页 已知函数 44 3 ( )sincossin2 cos2 2 f xxxxx . 2 2222 3 sincos2sincossin4 4 xxxxx, 2 1 12 2 sinx 3 sin4 4 x

27、1 113 1cos4sin4 2 224 xx 133 cos4sin4 444 xx 13 sin 4 264 x , (1) f x的最小正周期为 2 42 T . (2)当0 4 x ,时, 4 66 x , 5 6 , () 1 41 6 2 sinx , 13 sin 4 264 x 11 4 , 当4 6 x 6 时,即0 x时, f x取得最大值为 1, 当4 62 x 时,即 12 x 时, f x取得最小值为 1 4 . 4、 (2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考)已知函数 2 ( )sin 2sin 22 3cos 33 f xxxxa 的最大值为 1. ()求常数a的值; ()求出( )0f x 成立的x的取值集合. 【答案】 ()3 1; ()|, 124 xkxkk Z. 【解析】 第 16 页 / 共 16 页 ()( )2sin2 cos3(cos21) 3 f xxxa sin23cos23xxa 2sin 23 3 xa , 由 ( )f x的最大值为 1 可知,2 31a , 31a ; ()由()可知, 2sin 21 3 f xx , 由2sin 210 3 x ,得 1 sin 2 32 x , 5 222 636 kxk , 即 124 kxk ,kZ, 故解集为|, 124 xkxkk Z