1、 第 1 页 / 共 16 页 考点考点 22 点线面的判断与证明点线面的判断与证明 1. 了解空间线面平行、 面面平行的有关概念,能正确地判断空间线线、 线面、 面面的位置关系; 理解关于空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理;并能用图形语言和符号语言表述 这些定理 . 2 能运用公理及其推论和相关定理证明一些空间位置关系的简单命题 . 江苏高考对立体几何的考查主要有两个方面,一是对体积(或点到平面的距离)、表面积的 一类计算问题的考查,二是对直线与平面的位置关系的考查 . 以一大一小两题的形式进行考 查,其中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的位置关系的考查是高考中必考的
2、问题,尤其是直线与平面平行、垂直关系的证明尤为重要 . 在证明的过程中,一定要注意推理 的严密性,条件不要遗漏 . 另外,要关注与位置关系有关的一类探究性问题,它体现了新课程 中考查学生的探究能力的要求,值得注意。 对于江苏之外地区的高考在大题的考查中，除了考查线面、面面以及线线的位置关系的证 明外，第 2 问设置了空间向量求角与距离的求解题。 复习中,一要重视对本部分概念的内涵与外延的理解、定理的应用,做到弄清搞透;二要重 视对典型问题求解基本思想方法的掌握,做到应用自如,特别是化归、 转化等思想方法的掌握与 应用;三要重视解题过程的规范训练,尽量避免因解题不规范而丢分 . 对于本部分的内容
3、,高 考的重点还是线线平行、线面平行、面面平行的判定以及它们的性质的应用 1、 【2020 年全国 2 卷】设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 16 页 p4：若直线 l平面 ，直线 m平面 ，则 ml. 则下述命题中所有真命题的序号是_. 14 pp 12 pp 23 pp 34 pp 【答案】 【解析】对于命题 1 p，可设 1 l与 2 l相交
4、，这两条直线确定的平面为； 若 3 l与 1 l相交，则交点A在平面内， 同理， 3 l与 2 l的交点B也在平面内， 所以，AB，即 3 l，命题 1 p为真命题； 对于命题 2 p，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题 2 p为假命题； 对于命题 3 p，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题 3 p为假命题； 对于命题 4 p，若直线m 平面， 则m垂直于平面内所有直线， 直线l 平面，直线m 直线l， 命题 4 p为真命题. 综上可知，为真命题，为假命题， 14 pp真命题， 12 pp为假命题， 23 pp为真命题， 34 pp为真命题. 故答案为：. 第 3 页 / 共
5、16 页 2、 【2020 年浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两 相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】依题意, ,m n l是空间不过同一点的三条直线， 当, ,m n l在同一平面时，可能/ /m n l，故不能得出, ,m n l两两相交. 当, ,m n l两两相交时，设,mnA mlB nlC ，根据公理2可知 ,m n确定一个平面，而 ,BmCn ，根据公理1可知，直线BC即l，所以, ,m n l在同一平面. 综上所述，“, ,m
6、 n l在同一平面”是“, ,m n l两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 3、【2019 年高考全国卷理数】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性 质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的 必要条件，故选 B 4、【2019 年高考全国卷理数】如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平 面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 A
7、BM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 第 4 页 / 共 16 页 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示，作EOCD于O，连接ON，BD，易得直线 BM，EN 是三角形 EBD 的中线，是 相交直线. 过M作MFOD于F，连接BF， 平面CDE 平面ABCD，,EOCD EO平面CDE，EO平面ABCD，MF 平面ABCD， MFB 与EON均为直角三角形设正方形边长为 2，易知3,12EOONEN,， 35 ,7 22 MFBFBM ，BMEN，故选 B 5、【
8、2018 年高考浙江卷】已知平面 ，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与 内任一直 线平行，所以是的充分不必要条件，故选 A. 6、【2019 年高考北京卷理数】已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm； m； l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 【答案】如果 l，m，则 lm. 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： 第 5 页 / 共 16 页 （1）如
9、果 l，m，则 lm，正确； （2）如果 l，lm，则 m，不正确，有可能 m 在平面 内； （3）如果 lm，m，则 l，不正确，有可能 l 与 斜交、l. 故答案为：如果 l，m，则 lm. 7、 【2020 年江苏卷】.在三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F分别是 AC，B1C 的中点 （1）求证：EF平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C平面 ABB1 【答案】 （1）证明详见解析； （2）证明详见解析. 【解析】 （1）由于,E F分别是 1 ,AC BC的中点，所以 1 /EF AB. 由于EF 平面 11 ABC, 1 AB 平面 11 A
10、BC，所以/EF平面 11 ABC. （2）由于 1 BC 平面ABC，AB平面ABC，所以 1 BCAB. 由于 1 ,ABAC ACBCC，所以AB 平面 1 ABC, 由于AB平面 1 ABB，所以平面 1 ABC 平面 1 ABB. 第 6 页 / 共 16 页 8、【2019 年高考江苏卷】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1； （2）BEC1E 【答案】 （1）见解析； （2）见解析. 【解析】 （1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点， 所以 EDAB. 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，
11、ABA1B1， 所以 A1B1ED. 又因为 ED平面 DEC1，A1B1平面 DEC1， 所以 A1B1平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BEAC. 因为三棱柱 ABCA1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC. 又因为 BE平面 ABC，所以 CC1BE. 因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C， 所以 BE平面 A1ACC1. 因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E. 9、【2018 年高考江苏卷】在平行六面体 1111 ABCDABC D 中， 1111 ,AAAB ABBC 第 7 页 / 共 16 页
12、 求证： （1）AB平面 11 A B C； （2）平面 11 ABB A 平面 1 A BC 【答案】 （1）见解析； （2）见解析. 【解析】 （1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1 因为 AB平面 A1B1C，A1B1平面 A1B1C， 所以 AB平面 A1B1C （2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形 又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1为菱形， 因此 AB1A1B 又因为 AB1B1C1，BCB1C1， 所以 AB1BC 又因为 A1BBC=B，A1B平面 A1BC，BC平面 A1BC， 所以 AB1平面
13、A1BC 因为 AB1平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1平面 A1BC 题型一题型一 性质定理与判定定理的综合考查性质定理与判定定理的综合考查 1 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）m、n 是平面外的两条直线，在 m的前提下，mn 是 n 二年模拟试题二年模拟试题 第 8 页 / 共 16 页 的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 /m，则存在l有/ml.而由/mn可得/ /nl，从而有/n.反之则不一定成立， ,m n可能相交， 平行或异面.所以/mn是/n的充分不必要条件，故选 A 2、 （2020 届
14、山东省滨州市三校高三上学期联考）设，为两个平面，则 的充要条件是（ ） A内有无数条直线与 平行 B，平行与同一个平面 C内有两条相交直线与 内两条相交直线平行 D，垂直与同一个平面 【答案】C 【解析】 对于 A，内有无数条直线与平行，可得与相交或或平行； 对于 B，平行于同一条直线，可得与相交或或平行； 对于 C，内有两条相交直线与内两条相交直线平行，可得 ； 对于 D，垂直与同一个平面，可得与相交或或平行 故选：C 3、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟）已知l，m是两条不同的直线，是平面，且/m，则（ ） A若/lm，则/l B若/l，则/lm C若lm，则l D若l，则lm 【
15、答案】D 【解析】 A 选项 有可能线在面内的情形，错误； B 选项中 l 与 m 还可以相交或异面，错误； C 选项中不满足线面垂直的判定定理，错误， D 选项中由线面垂直的性质定理可知正确. 故选：D 第 9 页 / 共 16 页 4、 （2020 浙江高三）已知 ， 是两个相交平面，其中 l，则（ ） A 内一定能找到与 l 平行的直线 B 内一定能找到与 l 垂直的直线 C若 内有一条直线与 l 平行，则该直线与 平行 D若 内有无数条直线与 l 垂直，则 与 垂直 【答案】B 【解析】 由 ， 是两个相交平面，其中 l，知： 在 A 中，当 l 与 ， 的交线相交时， 内不能找到与
16、l 平行的直线，故 A 错误； 在 B 中，由直线与平面的位置关系知 内一定能找到与 l 垂直的直线，故 B 正确； 在 C 中， 内有一条直线与 l 平行，则该直线与 平行或该直线在 内，故 C 错误； 在 D 中， 内有无数条直线与 l 垂直，则 与 不一定垂直，故 D 错误 故选：B 5、 （2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末）如果用 ,m n表示不同直线， , 表示不同平面，下列叙 述正确的是（ ） A若/m，/mn，则/n B若/mn，m ，n，则/ / C若 ，则/ / D若m，n，则/mn 【答案】D 【解析】 选项 A 中还有直线 n 在平面内的情况，故 A 不正确，
17、选项 B 中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故 B 不正确， 选项 C 中还有, 相交，故 C 不正确， 故选：D 6、(2019 苏北模拟） 已知，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，l，m.给出下列命 题： lm； lm； ml； lm. 其中正确的命题是_(填写所有正确命题的序号 ) 答案： 【解析】 ：由l，得l，又因为m，所以lm； 由l，得l或l，又因为m，所以l与m或异面或平行或相交； 第 10 页 / 共 16 页 由l，m，得lm.因为l只垂直于内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于； 由l，l，得.因为m，所以m. 7、 （2020 届山东省泰安市高
18、三上期末）已知, 是两个不重合的平面， ,m n是两条不重合的直线，则下列 命题正确的是（ ） A若/m n m，则n B若 /,mn， 则/mn C若m，m ，则/ D若 ,/ ,mm n n ，则/ 【答案】ACD 【解析】 若m，则, a b且abP使得ma，mb，又/m n，则na，nb，由线面垂直的判 定定理得n，故 A 对； 若/m，n，如图，设mAB，平面 1111 DCBA为平面，/m，设平面 11 ADD A为平面， 11 ADn，则mn，故 B 错； 垂直于同一条直线的两个平面平行，故 C 对； 若,/mm n，则n，又n，则/ ，故 D 对； 故选：ACD 8、 （202
19、0 届山东省济宁市高三上期末）己知m n、 为两条不重合的直线,、为两个不重合的平面,则下列 说法正确的是( ) A若/ / , / /m n且/ / ,则 /mn B若 / / ,mn mn 则/ / C若 / / ,/ /,mn nm ， 则/ /m 第 11 页 / 共 16 页 D若 / / ,mn n ，则/ /m 【答案】BC 【解析】 A. 若/ / , / /m n且/ / ,则可以 /mn， ,m n异面，或,m n相交，故A错误； B. 若 / / ,mn m 则n，又,n故/ /，B正确； C. 若 / / ,mn n 则m或m ，又/ /,m，故/ /m，C正确； D.
20、 若 / / ,mn n 则m，则/ /m或m，D错误； 故选：BC 9、 （2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，PA2AB，则下列结论中： PBAE；平面 ABC平面 PBC；直线 BC平面 PAE；PDA45 . 其中正确的有_(把所有正确的序号都填上) 【答案】 【解析】 对于，因为 PA平面 ABC，所以 PAAE，又,EAAB PAABA，所以EA 平面 PAB，从而可 得EAPB，故正确 对于，由于 PA平面 ABC，所以平面 ABC 与平面 PBC 不可能垂直，故不正确 对于，由于在正六边形中BCAD，所以
21、 BC 与 EA 必有公共点，从而 BC 与平面 PAE 有公共点，所以 直线 BC 与平面 PAE 不平行，故不正确 对于，由条件得PAD为直角三角形，且 PAAD，又2PAABAD，所以PDA=45 故正确 综上正确 答案： 题型二题型二 线面平行、垂直的判定与性质线面平行、垂直的判定与性质 1、（江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年高三下学期阶段考试） 如图， 在正方体 1111 ABCDABC D中， 第 12 页 / 共 16 页 E是棱 1 A A的中点.求证： （1）AC/平面 1 EDB； （2）平面 1 EDB平面 1 BBD. 【答案】(1)证明见解析;(2)
22、证明见解析. 【解析】证明:(1)在正方体 1111 ABCDABC D中,设AC与BD相交于点O,则O为BD的中点 取 1 B D的中点F,连,OF EF.所以 1 OF/BB, 1 1 2 OFBB. 在正方体 1111 ABCDABC D中, 1111 ,/AA BB AABB.又点E是 1 A A的中点 所以,/AE OF AEOF.于是四边形AEFO是平行四边形,从而/AC EF. 又因为AC 平面 1 EDB,EF 平面 1 EDB,所以/AC平面 1 EDB. (2)在正方体 1111 ABCDABC D中, 1 B B 平面ABCD,而AC 平面ABCD, 所以 1 B BAC
23、.又在正方体 1111 ABCDABC D中,四边形ABCD为正方形 所以ACBD.由(1)知,/EFAC,于是 1 EFBB,EF BD. 又 1 B B 平面 1 B BD,BD 平面 1 B BD, 1 B BBDB,所以EF 平面 1 B BD. 又因为EF 平面 1 EDB,所以平面 1 EDB 平面 1 B BD. 2、 （江苏省南通市海安市 2019-2020 学年高三下学期 3 月月考）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E 是棱 1 A A的中点.求证： 第 13 页 / 共 16 页 （1）AC/平面 1 EDB； （2）平面 1 EDB平面 1 BBD. 【答
24、案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】(1)在正方体 1111 ABCDABC D中,设AC与BD相交于点O,则O为BD的中点 取 1 B D的中点F,连,OF EF.所以 1 OF/BB, 1 1 2 OFBB. 在正方体 1111 ABCDABC D中, 1111 ,/AA BB AABB.又点E是 1 A A的中点 所以,/AE OF AEOF.于是四边形AEFO是平行四边形,从而/AC EF. 又因为AC 平面 1 EDB,EF 平面 1 EDB,所以/AC平面 1 EDB. (2)在正方体 1111 ABCDABC D中, 1 B B 平面ABCD,而AC 平面ABCD,
25、 所以 1 B BAC.又在正方体 1111 ABCDABC D中,四边形ABCD为正方形 所以ACBD.由(1)知,/EFAC,于是 1 EFBB,EF BD. 又 1 B B 平面 1 B BD,BD 平面 1 B BD, 1 B BBDB,所以EF 平面 1 B BD. 又因为EF 平面 1 EDB,所以平面 1 EDB 平面 1 B BD. 3、(2019 镇江期末）如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是矩形，VD平面 ABCD，过 AD 的平面分别与 VB， VC 交于点 M，N. (1) 求证：BC平面 VCD； (2) 求证：ADMN. 第 14 页 / 共 16 页
26、 规范解答 (1)在四棱锥 VABCD 中， 因为 VD平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 VDBC.(3 分) 因为底面 ABCD 是矩形，所以 BCCD.(4 分) 又 CD平面 VCD，VD平面 VCD，CDVDD，则 BC平面 VCD.(7 分) (2)因为底面 ABCD 是矩形，所以 ADBC.(8 分) 又 AD平面 VBC，BC平面 VBC，则 AD平面 VBC.(11 分) 又平面 ADNM平面 VBCMN，AD平面 ADNM，则 ADMN.(14 分) 4、(2019 扬州期末）如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1B1B 为矩形，平面 AA1B1B平
27、面 ABC， 点 E，F 分别是侧面 AA1B1B，BB1C1C 对角线的交点 (1) 求证：EF平面 ABC； (2) 求证：BB1AC. 规范解答 (1)在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1B1B，四边形 BB1C1C 均为平行四边形，E，F 分别是侧面 AA1B1B，BB1C1C 对角线的交点，所以 E，F 分别是 AB1，CB1的中点，所以 EFAC.(4 分) 因为 EF平面 ABC，AC平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(8 分) (2)因为四边形 AA1B1B 为矩形，所以 BB1AB. 因为平面 AA1B1B平面 ABC，且平面 AA1B1B平面 ABCAB，BB
28、1平面 AA1B1B， 所以 BB1平面 ABC.(12 分) 因为 AC平面 ABC，所以 BB1AC.(14 分) 易错警示 在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证，在进行推理论证时一定要 将定理的条件写全，不能遗漏，否则，在评分时将给予扣分，高考阅卷对立体几何题证明的规范性要求很 高要适度关注性质定理的使用，因为性质定理的使用往往涉及到添置辅助线或辅助平面，这无疑就增加 了试题的难度 5、(2019 南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥 PABCD 中，M，N 分别为棱 PA，PD 的中点已知侧面 PAD 底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，DADP. 求证：(1)M
29、N平面 PBC； MD平面 PAB. 第 15 页 / 共 16 页 【证明】(1)在四棱锥 PABCD 中，M，N 分别为棱 PA，PD 的中点，所以 MNAD.(2 分) 又底面 ABCD 是矩形，所以 BCAD.所以 MNBC.(4 分) 又 BC平面 PBC，MN平面 PBC，所以 MN平面 PBC. (6 分) (2)因为底面 ABCD 是矩形，所以 ABAD.又侧面 PAD底面 ABCD，侧面 PAD底面 ABCDAD，AB底面 ABCD，所以 AB侧面 PAD.(8 分) 又 MD侧面 PAD，所以 ABMD.(10 分) 因为 DADP，又 M 为 AP 的中点，从而 MDPA
30、. (12 分) 又 PA，AB 在平面 PAB 内，PAABA，所以 MD平面 PAB.(14 分) 6、(2019 苏锡常镇调研（一） ）如图，三棱锥 DABC 中，已知 ACBC，ACDC，BCDC，E，F 分别为 BD，CD 的中点求证： (1) EF平面 ABC； (2) BD平面 ACE. 规范解答 (1)三棱锥 DABC 中，因为 E 为 DB 的中点，F 为 DC 的中点，所以 EFBC，(3 分) 因为 BC平面 ABC，EF平面 ABC， 所以 EF平面 ABC.(6 分) (2)因为 ACBC，ACDC，BCDCC，BC，DC平面 BCD 所以 AC平面 BCD，(8 分
31、) 因为 BD平面 BCD，所以 ACBD，(10 分) 因为 DCBC，E 为 BD 的中点，所以 CEBD，(12 分) 因为 ACCEC，AC，CE平面 ACE，所以 BD平面 ACE.(14 分) 7、(2019 苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为正方形，A1B1B1C1.设 A1C 与 AC1交于点 D，B1C 与 BC1交于点 E. 求证：(1) DE平面 ABB1A1； (2) BC1平面 A1B1C. 规范解答 (1)因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面 ACC1A1为平行四边形又 A1C 与 AC1交于点 D，
32、所以 D 为 AC1的中点，同理，E 为 BC1的中点所以 DEAB.(3 分) 又 AB平面 ABB1A1，DE平面 ABB1A1， 所以 DE平面 ABB1A1.(6 分) (2)因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以 BB1平面 A1B1C1. 又因为 A1B1平面 A1B1C1，所以 BB1A1B1.(8 分) 又 A1B1B1C1，BB1，B1C1平面 BCC1B1，BB1B1C1B1，所以 A1B1平面 BCC1B1.(10 分) 第 16 页 / 共 16 页 又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 A1B1BC1.(12 分) 又因为侧面 BCC1B1为正方形，所以 BC1B1C. 又 A1B1B1CB1，A1B1，B1C平面 A1B1C， 所以 BC1平面 A1B1C.(14 分)