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考点25 直线与圆的综合问题(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

1、 第 1 页 / 共 17 页 考点考点 25 直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题 1、 体会用代数方法处理几何问题的思想,感受“形”与“数”的对立和统一,初步掌握数形结 合的思想方法在研究数学问题中的应用 . 2、 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离);能根据圆的方程判断圆与圆的 位置关系(外离、外切、相交、内切、内含); 3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 直线与圆每年都考查一道填空题或解答题,主要以直线与圆、圆与圆的位置关系为载体,考 查学生的探究与计算能力 . 考查中,大多以动圆、动直线作为模型,考查定点、定值、范围等 问题,解决此类问题,要充分利用数形结合、

2、等价转化、函数与方程的思想来解题,体现了能力 和知识的综合 在 2020 年全国各地试卷中往往与圆锥曲线相结合,综合考查范围问题、最值问题以及隐 圆问题的考查。 1、 直线与圆相交的问题,要能充分利用好圆的几何性质,垂径定理是最常见的性质;圆 心距是核心问题,通过圆心距可以求出弦长,而给出弦长,要能第一时间求出圆心距 2、 解析几何中的向量问题,往往需要先通过线性运算后转化,再通过向量坐标运算来处 理 3、圆的切线长的问题,主要考查了转化与化归的思想切线长通常用勾股定理来求解, 这样问题就转化为求圆外一点与圆上一点距离的最小值,而这种距离的最值问题,是圆的考查 中常见的知识点 考纲要求考纲要求

3、 近三年高考近三年高考情况分析情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 17 页 1、 【2020 年江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 3 (0) 2 P,A,B 是圆 C: 22 1 ()36 2 xy上的两个 动点,满足PAPB,则PAB面积的最大值是_ 【答案】10 5 【解析】PAPBPCABQ 设圆心C到直线AB距离为d,则 2 31 |=2 36,|1 44 ABdPC 所以 222 1 2 36(1)(36)(1) 2 PAB Sdddd V 令 222 (36)(1) (06)2(1)( 236)04ydddydddd (负值舍去) 当

4、04d时,0y ;当46d时,0y,因此当4d 时,y取最大值,即 PAB S取最大值为10 5, 故答案为:10 5 2、 【2020 年全国 1 卷】已知M: 22 2220 xyxy,直线l:2 20 xy ,P为l上的动点, 过点P作M的切线,PA PB,切点为,A B,当| |PMAB最小时,直线AB的方程为( ) A. 210 xy B. 210 xy C. 210 xy D. 210 xy 【答案】D 【解析】 】圆的方程可化为 22 114xy,点M到直线l的距离为 22 2 1 1 2 52 21 d ,所 以直线l与圆相离 依圆的知识可知,四点, , ,A P B M四点共

5、圆,且ABMP,所以 1 444 2 PAM PMABSPAAMPA,而 2 4PAMP , 当直线MPl时, min 5MP, min 1PA,此时PMAB最小 1 :11 2 MP yx 即 11 22 yx,由 11 22 220 yx xy 解得, 1 0 x y 第 3 页 / 共 17 页 所以以MP为直径的圆的方程为1110 xxy y,即 22 10 xyy , 两圆的方程相减可得:210 xy ,即为直线AB的方程 故选:D. 3、【2017 年高考全国 III 卷理数】已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以 线段 AB

6、为直径的圆. (1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上; (2)设圆 M 过点4, 2P,求直线 l 与圆 M 的方程. 【答案】(1)见解析;(2)直线l的方程为20 xy,圆M的方程为 22 3110 xy, 或直线l的方程为240 xy,圆M的方程为 22 9185 4216 xy 【解析】(1)设 1122 ,A x yB x y,:2l xmy. 由 2 2, 2 xmy yx 可得 2 240ymy,则 12 4y y . 又 22 12 12 , 22 yy xx,故 2 12 12 4 4 y y x x . 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 12 12 4 1 4 yy xx

7、,所以OAOB. 故坐标原点O在圆M上. (2)由(1)可得 2 121212 2 ,424yym xxm yym. 故圆心M的坐标为 2 2,mm ,圆M的半径 2 22 2rmm . 由于圆M过点4, 2P,因此 0AP BP ,故 1212 44220 xxyy, 即 1 2121212 42200 x xxxy yyy, 由(1)可得 1212 4,4y yx x . 所以 2 210mm ,解得1m或 1 2 m . 当1m时,直线l的方程为20 xy,圆心M的坐标为3,1,圆M的半径为10,圆M的方程 第 4 页 / 共 17 页 为 22 3110 xy. 当 1 2 m 时,

8、直线l的方程为240 xy, 圆心M的坐标为 91 , 42 , 圆M的半径为 85 4 , 圆M 的方程为 22 9185 4216 xy . 4、【2018 年高考全国卷理数】设抛物线 2 4C yx:的焦点为F,过F且斜率为 (0)k k 的直线l与C交 于A,B两点,| |8AB (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程 【答案】 (1)1yx; (2) 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 【解析】 (1)由题意得(1,0)F,l 的方程为(1)(0)yk xk 设 1221 ( ,), (,)AyxyxB, 由 2 (1), 4 yk

9、 x yx 得 2222 (24)0k xkxk 2 16160k ,故 12 2 2 24 k x k x 所以 12 2 2 44 | | (1)(1)x k ABAFBF k x 由题设知 2 2 44 8 k k ,解得1k (舍去) ,1k 因此 l 的方程为1yx (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2), 所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx ,即5yx 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy,则 00 2 2 00 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x 解得 0 0 3, 2 x y 或 0 0 11, 6. x y 第 5 页 / 共 17 页 因此

10、所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 题型一、圆中的范围问题 1、 (2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟)已知实数 , x y满足 22 46120 xyxy则 22xy的最小值是( ) A55 B45 C 51 D5 5 【答案】A 【解析】 22 46120 xyxy, 22 231xy,即圆心C2, 3,半径1r , 22 225 5 xy xy , 22 5 xy 可看到圆上的点,P x y到直线220 xy距离, 圆上的点,P x y到直线220 xy 距离的最小值为 圆心C到直线220 xy距离d减去半径即dr, 二年模拟试题二

11、年模拟试题 第 6 页 / 共 17 页 432 5 5 d , 圆上的点,P x y到直线220 xy距离的最小值为 51dr, 22xy的最小值为5 5 故选:A 2、 (2020 浙江温州中学高三 3 月月考)过点2,1P斜率为正的直线交椭圆 22 1 245 xy 于A,B两点.C, D是椭圆上相异的两点, 满足CP,DP分别平分ACB,ADB.则PCD外接圆半径的最小值为 ( ) A 2 15 5 B 65 5 C 24 13 D19 13 【答案】D 【解析】如图, 先固定直线 AB,设 BM f M AM ,则 f Cf Df P,其中 BP f P AP 为定值, 故点 P,C

12、,D 在一个阿波罗尼斯圆上,且PCD外接圆就是这个阿波罗尼斯圆,设其半径为 r,阿波罗尼 斯圆会把点 A,B 其一包含进去,这取决于 BP 与 AP 谁更大,不妨先考虑BPAP的阿波罗尼斯圆的情况, BA 的延长线与圆交于点 Q,PQ 即为该圆的直径,如图: 接下来寻求半径的表达式, 由 2 ,2 APBPrBPBQ rAPAQAP APAQBP ,解得 111 rAPBP , 第 7 页 / 共 17 页 同理,当BPAP时有, 111 rBPAP , 综上, 111 rAPBP ; 当直线 AB 无斜率时,与椭圆交点纵坐标为 555 ,1,1 666 APBP ,则 19 12 r ; 当

13、直线 AB 斜率存在时,设直线 AB 的方程为12yk x ,即21ykxk, 与椭圆方程联立可得 222 24548129610kxkk xkk, 设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则由根与系数的关系有, 12 2 2 12 2 4821 245 961 245 kk xx k kk x x k , 222 12 12 11111111 22 12121 rAPBPxx kxkxk , 注意到 1 2x 与 2 2x 异号,故 12 12 222 121212 22125 41111 222419 111 xxk xx rxxx xxx kkk , 设125tk,则 2 2 12

14、1112112 2613 191919 241911 10169 169( )101 t r tt tt , ,当1 5 169t ,即 169 5 t ,此时 12 5 k ,故 19 13 r , 又 1919 1213 ,综上外接圆半径的最小值为19 13 . 故选:D 3、 (2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题)在平面直角坐标系xOy中,已知AB是圆 22 4Oxy的直径.若与圆O外离的圆 222 1:( 6)(8)(0)Oxyrr上存在点M,连接AM与圆 O交于点N,满足 / /BMON,则半径r的取值范围是_. 【答案】4,8). 【解析】AM 与圆 O 交于点

15、 N, / /BMON,且圆心 O 是 AB 中点, 第 8 页 / 共 17 页 ON 是ABM 的中位线,BM2ON4, 点 M 在以 B 为圆心,4 为半径的圆周上, 4r ; 又B 是圆 O 上任意一点, 点 M 可以认为是以 O 为圆心 6 为半径的圆上一点,这个圆记为 O, 又点 M 是在与圆 O 外离的圆 222 1:( 6)(8)(0)Oxyrr上的点, 22 26810r , 8r . 存在符合题意的点 M 时,r的取值范围是4,8), 故答案为:4,8). 4、 (江苏省南通市西亭高级中学 2019-2020 学年高三下学期学情调研) 已知圆 22 : 4O xy, 直线l

16、与圆O 交于PQ,两点,2,2A,若 22 40APAQ,则弦PQ的长度的最大值为_. 【答案】2 2 【解析】设M为PQ的中点, 2222 2(2)APAQAMPQ ,即 2222 22APAQAMMQ, 即 222 4022AMOQOM , 22 204AMOM , 22 16AMOM . 设,M x y,则 2222 (2)(2)16xyxy ,得20 xy. 所以 min 2 2 2 OM, max 2 2PQ. 第 9 页 / 共 17 页 故答案为:2 2 5、 (2020 届江苏省南通市如皋市高三下学期二模)在平面直角坐标系xOy中,已知MN在圆C: 2 2 24xy上运动, 且

17、2 3MN .若直线l:30kxy上的任意一点P都满足 22 14PMPN , 则实数k的取值范围是_. 【答案】 12 0, 5 【解析】由题得圆C的圆心(2,0),2R .且| |2CMCNR,120MCN o, 2222 | =|+|4|cos4PMPMPC CMPCPC(其中是,PC CM的夹角) , 22 |4|cos(120)4PNPCPC, 因为 22 14PMPN , 所以 222 =2(|4)2|(coscos(1 01)42PMPNPCPC, 所以 2 |2|(coscos(1 032)PCPC, 所以 2 |3|2|cos(60 )PCPC, 所以 2 3,(|3)(|

18、1|2|)0, | 3PPCPCCPCPC. 所以 2 |23|12 3,0 5 1+ k k k . 故答案为: 12 0, 5 6、6、 (2020 届江苏省南通市高三下学期 3 月开学考试)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:, 圆 C:,动点 P 在直线上的两点 E,F 之间,过点 P 分別作圆 O,C 的切线, 切点为 A,B,若满足 PB2PA,则线段 EF 的长度为_ 第 10 页 / 共 17 页 【答案】 【解析】动点 P 在直线上,设点,圆 O:,过点 P 分別作圆 O 的切 线,切点为 A,所以,同理可得,因为 PB2PA,得,即 ,解得,所以 ,线段 7、(202

19、0届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)) 已知圆 22 :410()C xyxayaR , 过定点 (0,1)P 作斜率为1的直线交圆C于AB、两点,P为AB的中点 (1)求实数a的值; (2)从圆外一点M向圆C引一条切线,切点为N,且有 2MNMP ,求MN的最小值 【答案】 (1)6a (2)42 2 【解析】 (1)由 22 410()xyxayaR 得 2, 2 a C 因为P为AB的中点,所以P在圆内且CPAB 所以 2 11 10 1 2 1 2 a a ,解得6a (2)由(1)得圆 22 :4610C xyxy , 即 22 (2)(3)12xy,所以圆心 (2,3

20、)C ,半径2 3r 设M点坐标为( , ) x y,因为MN为圆C的切线,所以MN CN, 所以 2222 12MNMCrMC 又 2MNMP ,所以 22 212MPMC, 则 2222 22(1)(2)(3)12xyxy, 整理,得 22 (2)(1)4xy 由于 2MNMP 故MN取最小值即MP取最小值, 点 (0,1)P 到圆 22 (2)(1)4xy的圆心距离 22 (02)(1 1)2 2d , 第 11 页 / 共 17 页 所以,MP的最小值为2 2 2 , 所以,MN的最小值为42 2 题型二、圆与圆锥曲线的结合 1、(2020 届山东省临沂市高三上期末) 已知 P 是椭圆

21、 C: 2 2 1 6 x y上的动点, Q 是圆 D: 2 2 1 1 5 xy 上的动点,则( ) AC 的焦距为5 BC 的离心率为 30 6 C圆 D 在 C 的内部 DPQ的最小值为 2 5 5 【答案】BC 【解析】 2 2 1 6 x y 6a,1b 22 6 15cab ,则 C 的焦距为2 5, 530 66 c e a . 设, P x y(66x) , 则 2 2 22 2 256441 111 665555 x xyxxPD , 所以圆 D 在 C 的内部,且PQ的最小值为 415 555 . 故选:BC. 2、 (2020 山东省淄博实验中学高三上期末)双曲线C: 2

22、2 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 2,0F 、 2 2,0F,M是C右支上的一点, 1 MF与y轴交于点P, 2 MPF的内切圆在边 2 PF上的切 点为Q,若2PQ,则C的离心率为_. 【答案】 2 【解析】 设MPF2的内切圆与 MF1,MF2的切点分别为 A,B, 由切线长定理可知 MAMB,PAPQ,BF2QF2, 第 12 页 / 共 17 页 又 PF1PF2, MF1MF2(MA+AP+PF1)(MB+BF2)PQ+PF2QF22PQ, 由双曲线的定义可知 MF1MF22a, 故而 aPQ 2 ,又 c2, 双曲线的离心率为 e2 c a 故答案为:

23、2 3、 (2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初)已知抛物线E: 2 4yx和直线l: 40 xy ,P是直 线上l一点,过点P做抛物线的两条切线,切点分别为A,B,C是抛物线上异于A,B的任一点,抛物 线在C处的切线与PA,PB分别交于M,N,则PMN外接圆面积的最小值为_. 【答案】 25 8 【解析】 设三个切点分别为 222 (, ), (, ),(, ) 444 abc Aa Bb Cc, 若在点A处的切线斜率存在, 设方程为 2 () 4 a yak x与 2 4yx联立, 得, 222 440,164 (4 )0kyya kaka ka , 即 22 2 440,a kak

24、k a , 所以切线PA方程为 2 20 2 a xay 若在点A的切线斜率不存在,则 (0,0)A , 第 13 页 / 共 17 页 切线方程为0 x满足方程, 同理切线,PB MN的方程分别为 2 20 2 b xby, 2 20 2 c xcy,联立 ,PA PB方程, 2 2 20 2 20 2 a xay b xby ,解得 4 2 ab x ab y ,即, 42 ab ab P 同理, 4242 ac acbc bc MN , () , 42 a cbcb PM , ()() , 4242 b cacac baba PNMN , 设PMN外接圆半径为R, 222 444 | |

25、,| |,| | 161616 abc PMbcPNacMNab , 2 11 |sin| 1 cos 22 PMN SPMPNMPNPMPNMPN 222 11 | 1 ()(|)() 22| PM PN PMPNPMPNPM PN PMPN 22222 2 1() () (4)(4)(4) 216 bcacabab |1| | 1622 ab bc acMN PMPN R , 222 | | |444 416 PMPNMNabc R S 22 44 ,0 8 ab c 时取等号, 点P在直线40,4,8 422 ababab xyab , 22 44 8 ab R 2222 416 8 a

26、 bab 第 14 页 / 共 17 页 22222 2(6)20024256 16 88 aba ba bab 2005 2 84 , 当且仅当1,6,0abc 或6,1,0abc 时等号成立, 此时PMN外接圆面积最小为 25 8 . 故答案为: 25 8 . 题型三 隐圆问题 1、 (江苏省南通巿 2019-2020 学年第一次教学质量调研)在平面直角坐标系xOy中,AB是圆 22 :224Cxy的弦, 且2 3AB , 若存在线段AB的中点P, 使得点P关于x轴对称的点Q 在直线30kxy上,则实数k的取值范围是_. 【答案】 4 ,0 3 【解析】因为点P为弦AB的中点,所以CPAB

27、, 在Rt CPB中,| 2CB ,|3PB ,所以 2222 |2( 3)1CPCBPB , 所以点P的轨迹为以 (2,2)C 为圆心,1为半径的圆, 因为点Q与点P关于x轴对称,所以点Q的轨迹为以(2, 2)为圆心,1为半径的圆, 因为点Q在直线30kxy上, 所以直线30kxy与圆: 22 (2)(2)1xy有交点, 所以 2 |223| 1 1 k k ,即 2 340kk ,解得 4 0 3 k, 故答案为: 4 ,0 3 2、 (2020 届河北省衡水中学高三上学期七调)已知直线 1: 310lmxym 与直线 2: 310lxmym 相交于点P,线段AB是圆 22 :(1)(1)

28、4Cxy的一条动弦,且| 2 3AB , 则|PAPB的最大值为( ) 第 15 页 / 共 17 页 A3 2 B8 2 C5 2 D8 2 2 【答案】D 【解析】由题意得圆C的圆心为1, 1 ,半径2r =, 易知直线 1: 310lmxym 恒过点3,1,直线 2: 310lxmym 恒过1,3,且 12 ll, 点P的轨迹为 22 (2)(2)2xy,圆心为2,2,半径为 2, 若点D为弦AB的中点,位置关系如图: 2PAPBPD . 连接CD,由| 2 3AB 易知 ( ) 2 431CD =-= . 22 max max 33214 21PDPCCD , max max |28

29、22PAPBPD . 故选:D. 3、(2019 镇江期末) 已知圆 O:x2y21,圆 M:(xa)2(y2)22.若圆 M 上存在点 P,过点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A,B,使得 PAPB,则实数 a 的取值范围为_ 【答案】2a2. 【解析】思路分析 考察点 P 的轨迹 C,轨迹 C 与圆 M 有公共点利用圆与圆的位置关系求解 由 PAPB,PAAO,PBOB,PAPB,得四边形 PAOB 是正方形,所以 P 的轨迹是以原点 O 为圆 心, 2为半径的圆 又点 P 也在圆 M 上,所以 OM 2 2,得 a2228,解得2a2. 4、 (2018 年苏州一模) 在平面直角坐标

30、系 xOy 中,已知点 A(4,0),B(0,4),从直线 AB 上一点 P 向圆 x2y24 引两条切线 PC, PD, 切点分别为 C, D.设线段 CD 的中点为 M, 则线段 AM 长的最大值为_ 【答案】 3 2 【解析】思路分析 P 在直线 AB:yx4 上,设 P(a,a4),可以求出切点弦 CD 的方程为 ax(a4)y 4,易知 CD 过定点,所以 M 的轨迹为一个定圆,问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值 解法 1(几何法) 因为直线 AB 的方程为 yx4,所以可设 P(a,a4),设 C(x1,y1),D(x2,y2),所 第 16 页 / 共 17 页 以 P

31、C 方程为 x1xy1y4,PD:x2xy2y4,将 P(a,a4)分别代入 PC,PD 方程, ax1(a4)y14, ax2(a4)y24, 则直线 CD 的方程为 ax(a4)y4,即 a(xy)44y,所以直线 CD 过定点 N(1,1), 又因为 OMCD,所以点 M 在以 ON 为直径的圆上(除去原点),又因为以 ON 为直径的圆的方程为 x1 2 2 y1 2 2 1 2, 所以 AM 的最大值为 41 2 2 1 2 2 2 2 3 2. 解法 2(参数法) 因为直线 AB 的方程为 yx4,所以可设 P(a,a4),同解法 1 可知直线 CD 的方程 为 ax(a4)y4,即

32、 a(xy)44y,得 a44y xy .又因为 O,P,M 三点共线,所以 ay(a4)x0, 得 a 4x yx.因为 a 44y xy 4x yx,所以点 M 的轨迹方程为 x1 2 2 y1 2 2 1 2(除去原点),所以 AM 的最 大值为 41 2 2 1 2 2 2 2 3 2. 解后反思 此类问题往往是求出一点的轨迹方程,转化为定点到曲线上动点的距离的最值问题,而求轨 迹方程,解法 1 运用了几何法,解法 2 运用了参数法,消去参数 a 得到轨迹方程另外要熟练记住过圆上 一点的切线方程和圆的切点弦方程的有关结论 5、在平面直角坐标系xOy中,已知圆 22 :(1)2Cxy,点

33、(2 0)A ,若圆C上存在点M,满足 22 10MAMO,则点M的纵坐标的取值范围是 【答案】 77 , 22 思路分析:根据条件可得动点M的轨迹是圆,进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理. 解 题 过 程 : 设),(yxM, 因 为 22 10,MAMO所 以10)2( 2222 yxyx, 化 简 得 032 22 xyx,则圆012: 22 xyxC与圆032: 22 xyxC有公共点,将两圆方程相 减可得两圆公共弦所在直线方程为 2 1 x,代入032 22 xyx可得 2 7 2 7 y,所以点M的 纵坐标的取值范围是 77 , 22 解后反思:在解决与圆相关的综合问题时

34、,要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转 化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题. 6、在平面直角坐标系 xOy 中,已知 B,C 为圆 x2y24 上两点,点 A(1,1),且 ABAC,则线段 BC 的长 的取值范围为_ 【答案】 6 2, 6 2 第 17 页 / 共 17 页 【解析】思路分析 本题考查圆的方程和性质,考查等价转化和运算求解能力,借助直角三角形的性质,把 求BC的长转化为求 2AM的长,而A为定点,思路 1,求出M的轨迹方程,根据圆的性质及直角三角形的性 质不难求得,其轨迹为一个圆,问题就转化为一定点到圆上一点的距离,这是一个基本题型,求解即得; 思路 2,

35、设出AMx,OMy,寻找到x,y之间的关系式,通过线性规划的知识去处理 解法 1 设BC的中点为M(x,y) 因为OB 2OM2BM2OM2AM2, 所以 4x 2y2(x1)2(y1)2, 化简得 x1 2 2 y1 2 23 2, 所以点M的轨迹是以 1 2, 1 2 为圆心, 6 2 为半径的圆, 所以AM的取值范围是 6 2 2 , 6 2 2 , 所以BC的取值范围是 6 2, 6 2 解法 2 设BC的中点为M,设AMx,OMy. 因为OC 2OM2CM2OM2AM2,所以 x 2y24. 因为OA 2,所以xy 2,x 2y,y 2x. 如图所示, 可得x 6 2 2 , 6 2 2 , 所以BC的取值范围是 6 2, 6 2