1、 第 1 页 / 共 17 页 考点考点 25 直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题 1、 体会用代数方法处理几何问题的思想,感受“形”与“数”的对立和统一,初步掌握数形结 合的思想方法在研究数学问题中的应用 . 2、 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离);能根据圆的方程判断圆与圆的 位置关系(外离、外切、相交、内切、内含); 3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 直线与圆每年都考查一道填空题或解答题,主要以直线与圆、圆与圆的位置关系为载体,考 查学生的探究与计算能力 . 考查中,大多以动圆、动直线作为模型,考查定点、定值、范围等 问题,解决此类问题,要充分利用数形结合、
2、等价转化、函数与方程的思想来解题,体现了能力 和知识的综合 在 2020 年全国各地试卷中往往与圆锥曲线相结合，综合考查范围问题、最值问题以及隐 圆问题的考查。 1、 直线与圆相交的问题，要能充分利用好圆的几何性质，垂径定理是最常见的性质；圆 心距是核心问题，通过圆心距可以求出弦长，而给出弦长，要能第一时间求出圆心距 2、 解析几何中的向量问题，往往需要先通过线性运算后转化，再通过向量坐标运算来处 理 3、圆的切线长的问题，主要考查了转化与化归的思想切线长通常用勾股定理来求解， 这样问题就转化为求圆外一点与圆上一点距离的最小值，而这种距离的最值问题，是圆的考查 中常见的知识点 考纲要求考纲要求
3、 近三年高考近三年高考情况分析情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 17 页 1、 【2020 年江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，已知 3 (0) 2 P，A，B 是圆 C： 22 1 ()36 2 xy上的两个 动点，满足PAPB，则PAB面积的最大值是_ 【答案】10 5 【解析】PAPBPCABQ 设圆心C到直线AB距离为d，则 2 31 |=2 36,|1 44 ABdPC 所以 222 1 2 36(1)(36)(1) 2 PAB Sdddd V 令 222 (36)(1) (06)2(1)( 236)04ydddydddd （负值舍去） 当
4、04d时，0y ；当46d时，0y，因此当4d 时，y取最大值，即 PAB S取最大值为10 5， 故答案为：10 5 2、 【2020 年全国 1 卷】已知M： 22 2220 xyxy，直线l：2 20 xy ，P为l上的动点， 过点P作M的切线,PA PB，切点为,A B，当| |PMAB最小时，直线AB的方程为（ ） A. 210 xy B. 210 xy C. 210 xy D. 210 xy 【答案】D 【解析】 】圆的方程可化为 22 114xy，点M到直线l的距离为 22 2 1 1 2 52 21 d ，所 以直线l与圆相离 依圆的知识可知，四点, , ,A P B M四点共
5、圆，且ABMP，所以 1 444 2 PAM PMABSPAAMPA，而 2 4PAMP ， 当直线MPl时， min 5MP， min 1PA，此时PMAB最小 1 :11 2 MP yx 即 11 22 yx，由 11 22 220 yx xy 解得， 1 0 x y 第 3 页 / 共 17 页 所以以MP为直径的圆的方程为1110 xxy y，即 22 10 xyy ， 两圆的方程相减可得：210 xy ，即为直线AB的方程 故选：D. 3、【2017 年高考全国 III 卷理数】已知抛物线 C：y2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 于 A,B 两点，圆 M 是以 线段 AB
6、为直径的圆. （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点4, 2P，求直线 l 与圆 M 的方程. 【答案】（1）见解析；（2）直线l的方程为20 xy，圆M的方程为 22 3110 xy， 或直线l的方程为240 xy，圆M的方程为 22 9185 4216 xy 【解析】（1）设 1122 ,A x yB x y，:2l xmy. 由 2 2, 2 xmy yx 可得 2 240ymy，则 12 4y y . 又 22 12 12 , 22 yy xx，故 2 12 12 4 4 y y x x . 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 12 12 4 1 4 yy xx
7、，所以OAOB. 故坐标原点O在圆M上. （2）由（1）可得 2 121212 2 ,424yym xxm yym. 故圆心M的坐标为 2 2,mm ，圆M的半径 2 22 2rmm . 由于圆M过点4, 2P，因此 0AP BP ，故 1212 44220 xxyy， 即 1 2121212 42200 x xxxy yyy， 由（1）可得 1212 4,4y yx x . 所以 2 210mm ，解得1m或 1 2 m . 当1m时，直线l的方程为20 xy，圆心M的坐标为3,1，圆M的半径为10，圆M的方程 第 4 页 / 共 17 页 为 22 3110 xy. 当 1 2 m 时，
8、直线l的方程为240 xy， 圆心M的坐标为 91 , 42 ， 圆M的半径为 85 4 ， 圆M 的方程为 22 9185 4216 xy . 4、【2018 年高考全国卷理数】设抛物线 2 4C yx：的焦点为F，过F且斜率为 (0)k k 的直线l与C交 于A，B两点，| |8AB （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 【答案】 （1）1yx； （2） 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 【解析】 （1）由题意得(1,0)F，l 的方程为(1)(0)yk xk 设 1221 ( ,), (,)AyxyxB， 由 2 (1), 4 yk
9、 x yx 得 2222 (24)0k xkxk 2 16160k ，故 12 2 2 24 k x k x 所以 12 2 2 44 | | (1)(1)x k ABAFBF k x 由题设知 2 2 44 8 k k ，解得1k （舍去） ，1k 因此 l 的方程为1yx （2）由（1）得 AB 的中点坐标为(3,2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx ，即5yx 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy，则 00 2 2 00 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x 解得 0 0 3, 2 x y 或 0 0 11, 6. x y 第 5 页 / 共 17 页 因此
10、所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 题型一、圆中的范围问题 1、 （2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟）已知实数 , x y满足 22 46120 xyxy则 22xy的最小值是（ ） A55 B45 C 51 D5 5 【答案】A 【解析】 22 46120 xyxy， 22 231xy，即圆心C2, 3，半径1r ， 22 225 5 xy xy ， 22 5 xy 可看到圆上的点,P x y到直线220 xy距离， 圆上的点,P x y到直线220 xy 距离的最小值为 圆心C到直线220 xy距离d减去半径即dr， 二年模拟试题二
11、年模拟试题 第 6 页 / 共 17 页 432 5 5 d ， 圆上的点,P x y到直线220 xy距离的最小值为 51dr， 22xy的最小值为5 5 故选：A 2、 （2020 浙江温州中学高三 3 月月考）过点2,1P斜率为正的直线交椭圆 22 1 245 xy 于A，B两点.C， D是椭圆上相异的两点， 满足CP，DP分别平分ACB，ADB.则PCD外接圆半径的最小值为 （ ） A 2 15 5 B 65 5 C 24 13 D19 13 【答案】D 【解析】如图， 先固定直线 AB，设 BM f M AM ，则 f Cf Df P，其中 BP f P AP 为定值， 故点 P，C
12、，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为 r，阿波罗尼 斯圆会把点 A，B 其一包含进去，这取决于 BP 与 AP 谁更大，不妨先考虑BPAP的阿波罗尼斯圆的情况， BA 的延长线与圆交于点 Q，PQ 即为该圆的直径，如图： 接下来寻求半径的表达式， 由 2 ,2 APBPrBPBQ rAPAQAP APAQBP ，解得 111 rAPBP ， 第 7 页 / 共 17 页 同理，当BPAP时有， 111 rBPAP ， 综上， 111 rAPBP ； 当直线 AB 无斜率时，与椭圆交点纵坐标为 555 ,1,1 666 APBP ，则 19 12 r ； 当
13、直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为12yk x ，即21ykxk， 与椭圆方程联立可得 222 24548129610kxkk xkk， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则由根与系数的关系有， 12 2 2 12 2 4821 245 961 245 kk xx k kk x x k ， 222 12 12 11111111 22 12121 rAPBPxx kxkxk ， 注意到 1 2x 与 2 2x 异号，故 12 12 222 121212 22125 41111 222419 111 xxk xx rxxx xxx kkk ， 设125tk，则 2 2 12
14、1112112 2613 191919 241911 10169 169( )101 t r tt tt ， ，当1 5 169t ，即 169 5 t ，此时 12 5 k ，故 19 13 r ， 又 1919 1213 ，综上外接圆半径的最小值为19 13 . 故选：D 3、 （2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）在平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆 22 4Oxy的直径.若与圆O外离的圆 222 1:( 6)(8)(0)Oxyrr上存在点M，连接AM与圆 O交于点N，满足 / /BMON，则半径r的取值范围是_. 【答案】4,8). 【解析】AM 与圆 O 交于点
15、 N， / /BMON，且圆心 O 是 AB 中点， 第 8 页 / 共 17 页 ON 是ABM 的中位线，BM2ON4， 点 M 在以 B 为圆心，4 为半径的圆周上， 4r ； 又B 是圆 O 上任意一点， 点 M 可以认为是以 O 为圆心 6 为半径的圆上一点，这个圆记为 O， 又点 M 是在与圆 O 外离的圆 222 1:( 6)(8)(0)Oxyrr上的点， 22 26810r ， 8r . 存在符合题意的点 M 时，r的取值范围是4,8)， 故答案为：4,8). 4、 （江苏省南通市西亭高级中学 2019-2020 学年高三下学期学情调研） 已知圆 22 : 4O xy， 直线l
16、与圆O 交于PQ，两点，2,2A，若 22 40APAQ，则弦PQ的长度的最大值为_. 【答案】2 2 【解析】设M为PQ的中点， 2222 2(2)APAQAMPQ ，即 2222 22APAQAMMQ， 即 222 4022AMOQOM ， 22 204AMOM ， 22 16AMOM . 设,M x y，则 2222 (2)(2)16xyxy ，得20 xy. 所以 min 2 2 2 OM， max 2 2PQ. 第 9 页 / 共 17 页 故答案为：2 2 5、 （2020 届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）在平面直角坐标系xOy中，已知MN在圆C： 2 2 24xy上运动， 且
17、2 3MN .若直线l：30kxy上的任意一点P都满足 22 14PMPN ， 则实数k的取值范围是_. 【答案】 12 0, 5 【解析】由题得圆C的圆心(2,0),2R .且| |2CMCNR,120MCN o, 2222 | =|+|4|cos4PMPMPC CMPCPC（其中是,PC CM的夹角） ， 22 |4|cos(120)4PNPCPC， 因为 22 14PMPN ， 所以 222 =2(|4)2|(coscos(1 01)42PMPNPCPC, 所以 2 |2|(coscos(1 032)PCPC， 所以 2 |3|2|cos(60 )PCPC， 所以 2 3,(|3)(|
18、1|2|)0, | 3PPCPCCPCPC. 所以 2 |23|12 3,0 5 1+ k k k . 故答案为： 12 0, 5 6、6、 （2020 届江苏省南通市高三下学期 3 月开学考试）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：， 圆 C：，动点 P 在直线上的两点 E，F 之间，过点 P 分別作圆 O，C 的切线， 切点为 A，B，若满足 PB2PA，则线段 EF 的长度为_ 第 10 页 / 共 17 页 【答案】 【解析】动点 P 在直线上，设点，圆 O：，过点 P 分別作圆 O 的切 线，切点为 A，所以，同理可得，因为 PB2PA，得，即 ，解得，所以 ,线段 7、（202
19、0届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)） 已知圆 22 :410()C xyxayaR ， 过定点 (0,1)P 作斜率为1的直线交圆C于AB、两点，P为AB的中点 （1）求实数a的值； （2）从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有 2MNMP ，求MN的最小值 【答案】 （1）6a （2）42 2 【解析】 （1）由 22 410()xyxayaR 得 2, 2 a C 因为P为AB的中点，所以P在圆内且CPAB 所以 2 11 10 1 2 1 2 a a ，解得6a （2）由（1）得圆 22 :4610C xyxy ， 即 22 (2)(3)12xy，所以圆心 (2,3
20、)C ，半径2 3r 设M点坐标为( , ) x y，因为MN为圆C的切线，所以MN CN， 所以 2222 12MNMCrMC 又 2MNMP ，所以 22 212MPMC， 则 2222 22(1)(2)(3)12xyxy， 整理，得 22 (2)(1)4xy 由于 2MNMP 故MN取最小值即MP取最小值， 点 (0,1)P 到圆 22 (2)(1)4xy的圆心距离 22 (02)(1 1)2 2d ， 第 11 页 / 共 17 页 所以，MP的最小值为2 2 2 ， 所以，MN的最小值为42 2 题型二、圆与圆锥曲线的结合 1、（2020 届山东省临沂市高三上期末） 已知 P 是椭圆
21、 C： 2 2 1 6 x y上的动点， Q 是圆 D： 2 2 1 1 5 xy 上的动点，则（ ） AC 的焦距为5 BC 的离心率为 30 6 C圆 D 在 C 的内部 DPQ的最小值为 2 5 5 【答案】BC 【解析】 2 2 1 6 x y 6a，1b 22 6 15cab ，则 C 的焦距为2 5， 530 66 c e a . 设, P x y（66x） ， 则 2 2 22 2 256441 111 665555 x xyxxPD ， 所以圆 D 在 C 的内部，且PQ的最小值为 415 555 . 故选：BC. 2、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线C： 2
22、2 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 2,0F 、 2 2,0F，M是C右支上的一点， 1 MF与y轴交于点P， 2 MPF的内切圆在边 2 PF上的切 点为Q，若2PQ，则C的离心率为_. 【答案】 2 【解析】 设MPF2的内切圆与 MF1，MF2的切点分别为 A，B， 由切线长定理可知 MAMB，PAPQ，BF2QF2， 第 12 页 / 共 17 页 又 PF1PF2， MF1MF2（MA+AP+PF1）（MB+BF2）PQ+PF2QF22PQ， 由双曲线的定义可知 MF1MF22a， 故而 aPQ 2 ，又 c2， 双曲线的离心率为 e2 c a 故答案为：
23、2 3、 （2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E： 2 4yx和直线l： 40 xy ，P是直 线上l一点，过点P做抛物线的两条切线，切点分别为A，B，C是抛物线上异于A，B的任一点，抛物 线在C处的切线与PA，PB分别交于M，N，则PMN外接圆面积的最小值为_. 【答案】 25 8 【解析】 设三个切点分别为 222 (, ), (, ),(, ) 444 abc Aa Bb Cc， 若在点A处的切线斜率存在， 设方程为 2 () 4 a yak x与 2 4yx联立， 得， 222 440,164 (4 )0kyya kaka ka ， 即 22 2 440,a kak
24、k a ， 所以切线PA方程为 2 20 2 a xay 若在点A的切线斜率不存在，则 (0,0)A ， 第 13 页 / 共 17 页 切线方程为0 x满足方程， 同理切线,PB MN的方程分别为 2 20 2 b xby， 2 20 2 c xcy，联立 ,PA PB方程， 2 2 20 2 20 2 a xay b xby ，解得 4 2 ab x ab y ，即, 42 ab ab P 同理, 4242 ac acbc bc MN ， () , 42 a cbcb PM ， ()() , 4242 b cacac baba PNMN ， 设PMN外接圆半径为R， 222 444 | |
25、,| |,| | 161616 abc PMbcPNacMNab ， 2 11 |sin| 1 cos 22 PMN SPMPNMPNPMPNMPN 222 11 | 1 ()(|)() 22| PM PN PMPNPMPNPM PN PMPN 22222 2 1() () (4)(4)(4) 216 bcacabab |1| | 1622 ab bc acMN PMPN R ， 222 | | |444 416 PMPNMNabc R S 22 44 ,0 8 ab c 时取等号， 点P在直线40,4,8 422 ababab xyab ， 22 44 8 ab R 2222 416 8 a
26、 bab 第 14 页 / 共 17 页 22222 2(6)20024256 16 88 aba ba bab 2005 2 84 ， 当且仅当1,6,0abc 或6,1,0abc 时等号成立， 此时PMN外接圆面积最小为 25 8 . 故答案为: 25 8 . 题型三 隐圆问题 1、 （江苏省南通巿 2019-2020 学年第一次教学质量调研）在平面直角坐标系xOy中，AB是圆 22 :224Cxy的弦， 且2 3AB ， 若存在线段AB的中点P， 使得点P关于x轴对称的点Q 在直线30kxy上，则实数k的取值范围是_. 【答案】 4 ,0 3 【解析】因为点P为弦AB的中点,所以CPAB
27、, 在Rt CPB中,| 2CB ,|3PB ,所以 2222 |2( 3)1CPCBPB , 所以点P的轨迹为以 (2,2)C 为圆心,1为半径的圆, 因为点Q与点P关于x轴对称,所以点Q的轨迹为以(2, 2)为圆心,1为半径的圆, 因为点Q在直线30kxy上, 所以直线30kxy与圆: 22 (2)(2)1xy有交点, 所以 2 |223| 1 1 k k ,即 2 340kk ,解得 4 0 3 k, 故答案为: 4 ,0 3 2、 （2020 届河北省衡水中学高三上学期七调）已知直线 1: 310lmxym 与直线 2: 310lxmym 相交于点P，线段AB是圆 22 :(1)(1)
28、4Cxy的一条动弦，且| 2 3AB ， 则|PAPB的最大值为（ ） 第 15 页 / 共 17 页 A3 2 B8 2 C5 2 D8 2 2 【答案】D 【解析】由题意得圆C的圆心为1, 1 ，半径2r =， 易知直线 1: 310lmxym 恒过点3,1，直线 2: 310lxmym 恒过1,3，且 12 ll， 点P的轨迹为 22 (2)(2)2xy，圆心为2,2，半径为 2， 若点D为弦AB的中点,位置关系如图： 2PAPBPD . 连接CD，由| 2 3AB 易知 ( ) 2 431CD =-= . 22 max max 33214 21PDPCCD ， max max |28
29、22PAPBPD . 故选：D. 3、(2019 镇江期末） 已知圆 O：x2y21，圆 M：(xa)2(y2)22.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得 PAPB，则实数 a 的取值范围为_ 【答案】2a2. 【解析】思路分析 考察点 P 的轨迹 C，轨迹 C 与圆 M 有公共点利用圆与圆的位置关系求解 由 PAPB，PAAO，PBOB，PAPB，得四边形 PAOB 是正方形，所以 P 的轨迹是以原点 O 为圆 心， 2为半径的圆 又点 P 也在圆 M 上，所以 OM 2 2，得 a2228，解得2a2. 4、 （2018 年苏州一模） 在平面直角坐标
30、系 xOy 中，已知点 A(4，0)，B(0，4)，从直线 AB 上一点 P 向圆 x2y24 引两条切线 PC， PD， 切点分别为 C， D.设线段 CD 的中点为 M， 则线段 AM 长的最大值为_ 【答案】 3 2 【解析】思路分析 P 在直线 AB：yx4 上，设 P(a，a4)，可以求出切点弦 CD 的方程为 ax(a4)y 4，易知 CD 过定点，所以 M 的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值 解法 1(几何法) 因为直线 AB 的方程为 yx4，所以可设 P(a，a4)，设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，所 第 16 页 / 共 17 页 以 P
31、C 方程为 x1xy1y4，PD：x2xy2y4，将 P(a，a4)分别代入 PC，PD 方程， ax1（a4）y14， ax2（a4）y24， 则直线 CD 的方程为 ax(a4)y4，即 a(xy)44y，所以直线 CD 过定点 N(1，1)， 又因为 OMCD，所以点 M 在以 ON 为直径的圆上(除去原点)，又因为以 ON 为直径的圆的方程为 x1 2 2 y1 2 2 1 2， 所以 AM 的最大值为 41 2 2 1 2 2 2 2 3 2. 解法 2(参数法) 因为直线 AB 的方程为 yx4，所以可设 P(a，a4)，同解法 1 可知直线 CD 的方程 为 ax(a4)y4，即
32、 a(xy)44y，得 a44y xy .又因为 O，P，M 三点共线，所以 ay(a4)x0， 得 a 4x yx.因为 a 44y xy 4x yx，所以点 M 的轨迹方程为 x1 2 2 y1 2 2 1 2(除去原点)，所以 AM 的最 大值为 41 2 2 1 2 2 2 2 3 2. 解后反思 此类问题往往是求出一点的轨迹方程，转化为定点到曲线上动点的距离的最值问题，而求轨 迹方程，解法 1 运用了几何法，解法 2 运用了参数法，消去参数 a 得到轨迹方程另外要熟练记住过圆上 一点的切线方程和圆的切点弦方程的有关结论 5、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :(1)2Cxy，点
33、(2 0)A ，若圆C上存在点M，满足 22 10MAMO，则点M的纵坐标的取值范围是 【答案】 77 , 22 思路分析：根据条件可得动点M的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理. 解 题 过 程 ： 设),(yxM， 因 为 22 10,MAMO所 以10)2( 2222 yxyx， 化 简 得 032 22 xyx，则圆012: 22 xyxC与圆032: 22 xyxC有公共点，将两圆方程相 减可得两圆公共弦所在直线方程为 2 1 x，代入032 22 xyx可得 2 7 2 7 y，所以点M的 纵坐标的取值范围是 77 , 22 解后反思：在解决与圆相关的综合问题时
34、，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转 化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题. 6、在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x2y24 上两点，点 A(1,1)，且 ABAC，则线段 BC 的长 的取值范围为_ 【答案】 6 2， 6 2 第 17 页 / 共 17 页 【解析】思路分析 本题考查圆的方程和性质，考查等价转化和运算求解能力，借助直角三角形的性质，把 求BC的长转化为求 2AM的长，而A为定点，思路 1，求出M的轨迹方程，根据圆的性质及直角三角形的性 质不难求得，其轨迹为一个圆，问题就转化为一定点到圆上一点的距离，这是一个基本题型，求解即得； 思路 2，
35、设出AMx，OMy，寻找到x，y之间的关系式，通过线性规划的知识去处理 解法 1 设BC的中点为M(x，y) 因为OB 2OM2BM2OM2AM2， 所以 4x 2y2(x1)2(y1)2， 化简得 x1 2 2 y1 2 23 2， 所以点M的轨迹是以 1 2， 1 2 为圆心， 6 2 为半径的圆， 所以AM的取值范围是 6 2 2 ， 6 2 2 ， 所以BC的取值范围是 6 2， 6 2 解法 2 设BC的中点为M，设AMx，OMy. 因为OC 2OM2CM2OM2AM2，所以 x 2y24. 因为OA 2，所以xy 2，x 2y，y 2x. 如图所示， 可得x 6 2 2 ， 6 2 2 ， 所以BC的取值范围是 6 2， 6 2