1、 第 1 页 / 共 13 页 考点考点 31 二项式定理二项式定理 1、掌握二项式定理的展开式 2、能解决二项式展开式中的项与系数的问题 3、运用赋值法解决所有项的系数问题 二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，近三年三考.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要 从以下几个方面命题： （1）考查二项展开式的通项公式 1 rn rr rn TC ab ； （可以考查某一项，也可考查某一 项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用 紧紧围绕二项展开式的通项公式 1 rn rr rn TC ab ，通过通项公式考查某一项或考查某一项的系数.以及 有理项等问题；
2、能够掌握赋值法解决所有项的系数或者奇数项或者偶数项问题；运用二项式定理的展开式 解决整除或者求余等问题。 1、 【2019 年高考全国卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中 x3的系数为 A12 B16 C20 D24 【答案】A 【解析】由题意得 x3的系数为 31 44 C2C4812，故选 A 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 13 页 2、 【2020 年高考北京】在 5 (2)x 的展开式中， 2 x的系数为 A5 B5 C10 D10 【答案】C 【解析】 5 2x 展开式的通项公式为：
3、5 5 2 155 C22C r r rr rr r Txx ， 令 5 2 2 r 可得：1r ，则 2 x的系数为： 1 1 5 2C2510 . 故选：C. 3、 【2020 年高考全国卷理数】 2 5 ()()xx y x y的展开式中 x3y3的系数为 A5 B10 C15 D20 【答案】C 【解析】 5 ()xy展开式的通项公式为 5 15 Cr rr r Txy （rN且5r ） 所以 2 y x x 的各项与 5 ()xy展开式的通项的乘积可表示为： 56 155 CC rrrrrr r xTxxyxy 和 542 5 2 15 2 CC rrrrrr r Txyy yy x
4、 x x 在 6 15 Cr rr r xTxy 中，令3r ，可得： 333 45 CxTx y，该项中 33 x y的系数为10， 在 42 15 2 Cr rr r Tx x y y 中，令1r ，可得： 5 2 133 2 C y x Tx y，该项中 33 x y的系数为5 所以 33 x y的系数为10 515 故选：C. 4、 【2018 年高考全国卷理数】 5 2 2 x x 的展开式中 4 x的系数为 A10 B20 C40 D80 【答案】C 【解析】由题可得 5 2 2 x x 的展开式的通式为 5 210 3 155 2 CC2 r r rrrr r Txx x ，令1
5、0 34r，得 第 3 页 / 共 13 页 2r ，所以展开式中 4 x的系数为 22 5 C240故选 C 5、 【2020年高考全国III卷理数】 26 2 ()x x 的展开式中常数项是_（用数字作答） 【答案】240 【解析】 6 2 2 x x 其二项式展开通项： 6 2 61 2 C r r r r x x T 12 2 6 C(2) rrrr xx 12 3 6 C (2) rrr x 当12 30r，解得4r 6 2 2 x x 的展开式中常数项是： 66 442 C2C1615 16240. 故答案为：240. 6、 【2020 年高考天津】在 5 2 2 ()x x 的展
6、开式中， 2 x的系数是_ 【答案】10 【解析】因为 5 2 2 x x 的展开式的通项公式为 55 3 155 2 2 CC20,1,2,3,4,5 r rrrrr r Txxr x ， 令5 32r，解得1r 所以 2 x的系数为 1 5 C210 故答案为：10 7 、 【 2020 年 高 考 浙 江 】 二 项 展 开 式 2345 0123 5 45 (2 )1xaa xa xa xa xa x， 则 4 a _ ， 135 aaa_ 【答案】80；122 【解析】 5 (1 2 ) x的通项为 155 C (2 )2 C rrrrr r Txx ，令4r ，则 4444 55
7、2 C80Txx，故 5 80a ； 113355 135555 2 C2 C2 C122aaa. 第 4 页 / 共 13 页 故答案为：80；122. 8、 【2019 年高考浙江卷理数】在二项式 9 ( 2)x的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的 个数是_ 【答案】16 2 5 【解析】由题意， 9 ( 2)x的通项为 9 19 C ( 2)(0,1,29) rrr r Tx r ，当0r 时，可得常数项为 09 19 C ( 2)16 2T ；若展开式的系数为有理数，则 1,3,5,7,9r=，有 246810 T , T , T , T , T共 5 个项故 答案为：16 2，
8、5 9、 【2018 年高考浙江卷】二项式 83 1 () 2 x x 的展开式的常数项是_ 【答案】7 【解析】二项式 8 3 1 2 x x 的展开式的通项公式为 8 4 8 3 3 188 11 CC 22 r r r rr r r Txx x ， 令 84 0 3 r 得2r ，故所求的常数项为 2 8 2 1 C=7 2 故答案为：7 10、【2018 年高考天津卷理数】在 5 1 () 2 x x 的展开式中， 2 x的系数为_ 【答案】 5 2 【解析】二项式 5 1 () 2 x x 的展开式的通项公式为 3 5 5 2 155 11 CC 22 r r r rrr r Txx
9、 x ，令 3 52 2 r可得：2r ，则 2 x的系数为： 2 2 5 115 C10 242 故答案为： 5 2 11、【2019年高考江苏卷理数】设 2* 012 (1),4, nn n xaa xa xa xnnN已知 2 324 2aa a （1）求n的值； （2）设(13)3 n ab，其中 * , a bN，求 22 3ab的值 【答案】（1）5n；（2）32 【解析】（1）因为 0122 (1)CCCC4 nnn nnnn xxxxn， 所以 23 23 (1)(1)(2) C,C 26 nn n nn nn aa ， 第 5 页 / 共 13 页 4 4 (1)(2)(3)
10、 C 24 n n nnn a 因为 2 324 2aa a， 所以 2 (1)(2)(1)(1)(2)(3) 2 6224 n nnn nn nnn ， 解得5n （2）由（1）知，5n 5 (13)(13) n 0122334455 555555 CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3) 3ab 解法一：解法一： 因为 * , a bN，所以 024135 555555 C3C9C76,C3C9C44ab， 从而 2222 3763 4432ab 解法二：解法二： 50122334455 555555 (13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3) 012233
11、4455 555555 CCC ( 3)C ( 3)C ( 3)(3C3) 因为 * , a bN，所以 5 (13)3ab 因此 22555 3(3)(3)(13)(13)( 2)32ababab 题型一 二项式展开式中的项的问题 1、 （2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟）二项式 34 1 ()x x 的展开式中，常数项为_，所有项的系数之 和为_ 【答案】4 16 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 13 页 【解析】 34 1 ()x x 的展开式的通项 4 312 4 144 1 r r rrr r TCxC x x ， 令12 40r，解得3r ， 则常数项为 3
12、4 4C； 二项式 34 1 ()x x 中，令1x ，得到 4 1 116， 则所有项的系数之和为 16. 故答案为：4；16. 2、（2020 届浙江省台州市温岭中月模拟） 在二项式 7 23 1 3x x 的展开式中， 所有项系数和为_， 展开式中含 2 x的项是_. 【答案】128； 2 2835x . 【解析】二项式 7 23 1 3x x 的展开式中，令1x ，可得所有项系数和为 7 (3 1)128. 二项式 7 23 1 3x x 的展开式中，通项公式为 5 7 7 3 17 ( 1)3 r rrr r CxT ， 令 5 72 3 r ，求得3r ，可得展开式中含 2 x的项
13、是 3422 7 32835Cxx ， 故答案为：128； 2 2835x . 3、 （2020 届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）若二项式 3 3 1 (21) n xx x 的展开式中各项系数之和为 108，则n_，有理项的个数为_ 【答案】2 4 【解析】 3 3 1 (21) n xx x 中令1x 可得 3 23108 n ，可得2n 2 2222 3232 3 3333 1 (21)2(21) ,2xxxxxxxxx x 中只有一项为有理项， 因此展开式中有 理项是 4 个 故答案为：2；4. 第 7 页 / 共 13 页 4、 （2020 浙江省温州市新力量联盟高三上期末） 6
14、 (2)(1)xx展开式中， 3 x项的系数为_；所有 项系数的和为_ 【答案】55 192 【解析】由于 6 1x的展开式的通项公式为 6 16 rr r TC x ，令6 r3 ，3r ， 6 1x的展开式中 3 x的 系数为 20， 令62r ， 解得4r ， 可得 6 1x的展开式中 2 x的系数为 2 6 15C ， 可得 6 21xx的 展开式中 3 x的系数为2 20 1 1555 ； 令1x 可得所有项系数的和为 6 3 2192， 故答案为55，192. 5、 （2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）二项式 6 1 x x 的展开式中常数项等于_，有理项 共有_项. 【
15、答案】15 4 【解析】(1)根据二项式定理的通项公式 6 3 6 2 166 1 r r r rr r TCxCx x . 故取常数项时 63 02 2 r r .此时常数项为 2 6 15C . (2)当取有理项时, 6 3 2 r 整数.此时0,2,4,6r .故共有 4 项. 故答案为：(1). 15 (2). 4 6、 （2020 浙江学军中学高三 3 月月考）在二项式 26 2 ()x x 的展开式中，常数项是_，所有二项式系数之 和是_. 【答案】240 64 【解析】由题， 26 2 ()x x 展开式的通项公式为 26 16 2 ()() kkk k TCx x 12 3 6
16、 ( 1) 2 kkkk C x ， 令12 30k，得4k ，所以常数项为 44 46 2240TC；所有二项式系数之和为 01666 666 (1 1)264CCC. 故答案为： （1）240 ； （2） 64 7、 （北京市海淀区 2019-2020 学年高三上学期期末数学试题）在 5 1 x x 的展开式中， 3 x 的系数为（ ） A5 B5 C10 D10 【答案】A 第 8 页 / 共 13 页 【解析】 5 1 x x 的展开式通项为 55 2 55 1 1 k k kkkk CxCx x ，令5 23k，得1k . 因此， 3 x的系数为 1 5 15C . 故选：A. 8、
17、 （北京市昌平区新学道临川学校 2019-2020 学年高三上学期期末）在 6 2 2 x x 的二项展开式中， 2 x 的系数为（ ） A 15 4 B 15 4 C 3 8 D 3 8 【答案】C 【解析】因为 1r T 6 6 2 ()() 2 rrr x C x ,可得1r 时， 2 x的系数为 3 8 ，C 正确. 9、 （2020 届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考） 5 2xyxy 的展开式中 33 x y 的系 数为（ ） A10 B20 C 、30 D40 【答案】C 【解析】 5 051455 555 22+xyxyxyC xC x yC y， 故它的展开式中
18、含 33 x y的项有的 333 5 C x y和 233 5 2C x y 故 33 x y的系数为 32 55 230CC， 故选：C 10、 （2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟）已知 322 ( )(3)nf xxx 展开式中各项的系数和比各 项的二项式系数和大 992，则展开式中最大的二项式系数为_；展开式中系数最大的项为_. 【答案】10 26 3 405x 【解析】 322 ( )(3)nf xxx ， 令 1x 可得展开式中各项系数和为4n，且二项式系数和2n， 第 9 页 / 共 13 页 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992， 4 2992 nn
19、 解得5n， 则展开式中最大的二项式系数为 23 55 10CC； 设展开式中第1k项的系数最大， 由二项式定理可得展开式为 210 4 5 2 33 155 33 k kk kkk k TC xxCx ， 则 11 55 11 55 33 33 kkkk kkkk CC CC ， 所以 31 6 13 51 kk kk ， 解得： 79 22 k， 因为kZ， 所以4k ， 因此当4k 时展开式中第 5 项系数最大的项为 26 3 405x 故答案为：10； 26 3 405x 题型二、二项式展开式的各项系数和的问题 1、 （2020 届浙江省温州市高三 4 月二模）若 2020 0120
20、0 9 2 1 1xaa xa xa x，则 01910 aaaa的值为（ ） A 19 2 B 1910 20 1 2 2 C C 1910 20 1 2 2 C D 1910 20 2C 【答案】B 【解析】 20 1x展开式的通项为： 120 rr r TC x ，故 20 n n aC， 2020 0120 0 9 2 1 1xaa xa xa x， 根据对称性知： 1020 01101910 20 0191020202020 21 .2 222 C aaaaCCCC. 故选：B. 第 10 页 / 共 13 页 2、 （2020 届浙江省绍兴市高三 4 月一模）已知 66256 01
21、256 (1)(2)xxaa xa xa xa x， 则 6 a _， 01256 aaaaa_. 【答案】0 665 【解析】因为 66256 01256 (1)(2)xxaa xa xa xa x， 令1x 可得： 66 01256 23665aaaaa . 所以： 66 666 0aCC； 060 066 263aCC ； 151 166 2186aCC ； 2242 266 2225a xCC ； 55 566 26aCC ； 606 666 20aCC； 故 0125601256 665aaaaaaaaaa . 故答案为：0，665. 3、 （2020 浙江温州中月高考模拟）已知多项
22、式(2) (1) mn xx 2 012 m n m n aa xa xax 满足 01 416aa，则mn_， 012m n aaaa _ 【答案】5 72 【解析】多项式 21 mn xx 2 012 m n m n aa xa xax 满足 01 416aa， 令0 x，得 0 214 mn a，则2m 2 (2) (1)(44)(1) mnn xxxxx 该多项式的一次项系数为 11 414116 nnnn nn CC 1 3 n n C 3n 5mn 第 11 页 / 共 13 页 令1x ，得 23 012 (12)(1 1)72 m n aaaa 故答案为 5，72 4、 （20
23、20 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）若 6 0 (21)xa 26 126 (1)(1)(1)a xa xa x，则 0 a _， 012 2aaa 34 34aa 56 56aa_. 【答案】1 13 【解析】设 6 (=(21)f xx）， 26 0126 ( )(1)(1)(1)g xaa xa xa x， 所以 5 ( )12(21)fxx， 5 126 ( )2(1)6(1)g xaa xa x， 又(= ( )f xg x），所以( )( )fxg x， 即 55 126 12(21)2(1)6(1)xaa xa x， 取0 x得： 123456 2345612aaaaaa， 又
24、 0 ( 1)( 1)1agf， 故 0123456 234561 1213aaaaaaa ， 故答案为：1，13. 5、 （2020 届浙江省杭州市高三 3 月模拟） 已知 56 016 (2) (25)xxaa xa x， 则 a0=_， a5=_. 【答案】160 1 5 【解析】由 56 016 (2) (25)xxaa xa x，令0 x得 5 0 25a ，即 0 160a ， 5 a即 5 x的系数， 根据乘法分配律以及二项式展开式可知， 5 x的系数为 110 55 2 2515CC ， 即 5 15a . 故答案为： （1）160； （2）15 6、 （2020 届浙江省之江
25、教育评价联盟高三第二次联考）已知多项式 2543 3 12 1111xxxaxax 45 1axa，则 5 a _， 4 a _. 【答案】4 16. 【解析】令1x，得 5 4a， 设1tx，则1xt， 则多项式等价为 32 543 1245 12tttata ta ta， 第 12 页 / 共 13 页 则 4 a为一次项t的系数，则 112 423 1224 12 16aCC ， 故答案为：4，16. 题型三 二项式展开式中的参数问题 1、 （2020 浙江高三）在二项式 5 2 1 ()0 xa ax 的展开式中 x5的系数与常数项相等，则 a 的值是_ 【答案】 2 【解析】二项式
26、5 2 1 ()0 xa ax 的展开式的通项公式为 Tr+1 5 r C 1 r a 5 5 2 r x ， 令 55 2 r 5，求得 r3，故展开式中 x5的系数为 3 5 C 3 1 a ； 令 55 2 r 0，求得 r1，故展开式中的常数项为 1 5 C 15 aa ， 由为 3 5 C 3 1 a 5 1 a ，可得 a 2 ， 故答案为： 2 2、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟）早在 11 世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作释锁算数中就给 出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表已知 6 1ax的展开式中 3 x的系数为160，则实数 a_；展开式中各项系数之和为_
27、 （用数字作答） 【答案】2 1 【解析】由题可知， 33 33 46 1160TCaxx ，则 3 20160a ，故2a 令1x ，展开式中各项系数之和为 6 2 11 故答案为：(1).2；(2).1 3、 （2020 届浙江省杭州市第二中学高三 3 月月考）若 1 (3)nx x 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 64，则n_；该展开式中的常数项是_ 【答案】3 -27 【解析】 （1）因为系数的绝对值之和为 64，则当1x 时，有3 164 n ，所以3n ； （2） 3 3 3 3 2 133 1 331 k k k k kkk k TCxCx x ， 第 13 页 / 共 13 页 所以1k ，常数项为 1 12 3 3127C . 4、（2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学） 若二项式 * 2 n xnN x 的展开式中存在常数项， 则n的 最小值为_； 【答案】3 【解析】 * 2 () () n xnN x 的展开式中通项公式为： 3 2 1 2 ()( 2) nr rn rrrr rnn Txx x 痧， 令 3 0 2 nr ， 解得 3 2 nr ， 其中0r ，1，2，n， 当2r =时，3n， 所以n的最小值为 3