1、 第 1 页 / 共 7 页 考点考点 16 平面向量数量积及应用平面向量数量积及应用 1. 了解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算;能利用数量积表示两个向量夹角的 余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直 . 3. 了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具 平面向量的数量积作为主要的考点,是高考中的必考点,考查题型中填空题、解答题都有涉 及,分值在 20 分左右,难度低、中档题为主 . 向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐 标这三个基本方面,有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算 . 在研究向量时,一般有两 个途径:一是建立直
2、角坐标系用坐标研究向量间的问题;二是用基底向量来研究 . 与向量数量 积有关的最值问题或求参数的取值范围,可以建立与点坐标有关的函数或三角函数来研究,也可 以考虑其几何意义,从几何角度来研究 向量数量积是江苏高考必考题型，在复习是一定要注意向量数量积的两种形式：一是坐标 形式，常用的方法是建立坐标系。二是模的形式，常采取的方式是向量的转化 1、 【2020 年山东卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范用是（ ） A. ()2,6 B. ( 6,2) C. ( 2,4) D. ( 4,6) 2、 【2020 年全国 3 卷】.已知向量 a，b 满足
3、| 5a ，| | 6b ，6a b ，则cos ,=a ab （ ） 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 7 页 A. 31 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 3、 【2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a，b 满足| 2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 4、 【2019 年高考全国 II 卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB BC = A3 B2 C2 D3 5、 【2018 年高考全国
4、II 卷理数】已知向量a，b满足| |1a ，1 a b，则 (2)aab A4 B3 C2 D0 6、 （2018 年高考浙江卷）已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 3 ，向量 b 满足 b24eb+3=0，则|ab|的最小值是 A31 B3+1 C2 D2 3 7、 【2018 年高考天津卷理数】如图，在平面四边形 ABCD 中， ,120 ,ABBC ADCDBAD1,ABAD若点 E为边 CD上的动点，则AE BE的最小值为 A 21 16 B 3 2 C 25 16 D3 8、 【2020 年天津卷】.如图，在四边形ABCD中，60 ,3BA
5、B ，6BC ，且 3 , 2 ADBCAD AB ，则实数的值为_，若,M N是线段BC上的动点，且| 1MN ， 第 3 页 / 共 7 页 则DM DN 的最小值为_ 9、 【2020 年浙江卷】设 1 e， 2 e为单位向量，满足 21 |22|ee， 12 aee， 12 3bee，设a，b的夹 角为，则 2 cos的最小值为_ 10、 【2020 年北京卷】 .已知正方形ABCD的边长为 2， 点 P满足 1 () 2 APABAC， 则|PD _； PB PD_ 11、 【2020 年全国 1 卷】14.设, a b为单位向量，且| 1ab，则|ab_. 12、 【2020 年全
6、国 2 卷】.已知单位向量a ,b 的夹角为 45，k a b 与a 垂直，则 k=_. 13、 【2019 年高考全国 III 卷理数】已知 a，b 为单位向量，且 a b=0，若25cab，则 cos,a c_. 14、【2019 年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点 E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE_ 15、 【2019 年高考江苏卷】如图，在ABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于 点O.若 6AB ACAO EC ，则 AB AC 的值是_ 二年模拟试题二年模拟试题 第 4 页 /
7、 共 7 页 题型一、数量积中的夹角 1、 （2020 届山东省德州市高三上期末）已知向量a，b满足1a ，2b ， 313abab ，则a 与b的夹角为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 2、 （北京市顺义区牛栏山第一中学 2019-2020 学年高三上学期期中数学试题）若1,1a r ，()3,1= r b，则 a与b的夹角为（ ） A15 B30 C45 D60 3、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|1,327,abab且则向量a与向量b夹角 的大小是_. 4、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a、b,满足ab,2abb,则a与b的夹角
8、为_. 5、 （2020 届山东省烟台市高三上期末） 已知向量a,b满足| | 1a ，|2b ，()aab，则a与b夹 角的大小是_ 题型二、数量积中的模 1、 （2020 届北京市陈经纶学校高三上学开学）已知平面向量的夹角为则 （ ） A2 B C D 2、 （2020 浙江高三）已知224 0aba b ，则a的取值范围是（ ） A0，1 B 1 1 2 ， C1，2 D0，2 3、（2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟） 已知a，b ，c是平面内三个单位向量， 若ab， 则 232acab c 的最小值（ ） A29 B293 2 C 192 3 D5 第 5 页 / 共 7 页 4
9、、 （2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知向量a、b满足1ab，2ab，则ab的 取值范围为_. 5、（2020 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟） 设平面向量a ，b满足12a，23b， 则a ba b 的取值范围是_. 6、（2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初） 已知平面向量a ，b满足1a ，42a bab ， 则ab 的取值范围是_. 7、 （2020 届山东实验中学高三上期中）已知向量, a b满足3a ，2b ，4ab，则 ab_. 8、 （2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知向量a，b满足21ab，且1a a b，则ab rr 的取值范围为_. 9、
10、（2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）已知平面向量1,2 ,2,abm （1）若ab，求2ab； （2）若0m，求a b 与ab夹角的余弦值. 题型三、数量积的运用 1、 （北京海淀区一零一中学 2019-2020 学年度上学期高三开学考数学试题）已知菱形 ABCD 的边长为 1， B=60 ，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，则AF DE 的值为_. 2、 （2020 届江苏省七市第二次调研考试）图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它 是由一串直角三角形演化而成的（如图（2） ） ，其中 1122378 1OAA AA AA A，则 6778 A AA A
11、的 值是_. 第 6 页 / 共 7 页 3、 （2020 届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O.已知ACBC，ACBC，ADBD，且O是AC的中点，若2AD ABCD CB，则AC BD uuu r uu u r 的值为_. 4、 （2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）在ABC中，已知,3 3 AAB ，若D为 BC中点，且 7 2 AD ，则AC AD _. 题型四、数量积中的综合运用 1、 （2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知C，D是以AB为直径的圆O上的动点，且 4AB ，则AC BD 的最大
12、值是（ ） A2 B4 5 4 3 C2 2 D4 3 4 2、 （2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知腰长为2的等腰直角ABC中，M为斜边AB的中点， 点P为该平面内一动点，若2PC ，则 4PA PBPC PM的最小值 _ 3、 （江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年 3 月线上考试）如图，已知AC8，B 为 AC 的中点，分 别以 AB， AC 为直径在 AC 的同侧作半圆， M， N 分别为两半圆上的动点(不含端点 A， B，C)， 且B M B N， 则AM CN 的最大值为_ 第 7 页 / 共 7 页 4、 （江苏省南通市西亭高级中学 2019-2020 学年高三下学期学情调研） 在斜三角形ABC中， 6 3 ACAB， D是BC中点，E在边AB上，2AEBE，AD与CE交与点O.若AB AC AO EC ，则_.