1、 第 1 页 / 共 11 页 考点考点 19 数列通项与求和与通项数列通项与求和与通项 1. 掌握数列通项的几种常用方法:归纳法、累加法、累积法、转化法等方法来求数列的通项公 式 . 2. 掌握数列求和的几种常用方法:公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加 法,能熟练地应用这些方法来求数列的和 数列的求和是高考重点考查的内容之一，考查的形式往往是体现在综合题型中，作为考查的 内容之一。近几年主要考察了运用错位相减法求数列的和。 数列的通项公式是数列的本质属性之一,它是研究数列的相关性质的一个重要支撑点,因此,学 习数列首要的就是要能根据不同的条件求数列的通项公式;数列的前 n
2、项和既是数列的基本 问题之一,同时,也与数列的通项存在着必然的联系,也是学习数列时,必须要掌握的重要知识 点 .关于数列的通项公式,学习中要紧紧围绕着求通项的方法进行,求数列的通项,大致可有以 下四类: 1. 应用不完全归纳法,即根据数列的前几项来寻找规律,归纳通项或其中某项; 2. 应用 S n 与 a n 的关系,求解通项; 3. 应用“累加法” “累积法”等课本上常见方法求解通项; 4. 构造新数列,即把其他数列转化为等差、等比数列来加以解决,此种方法在很多考题中都有 所体现 关于数列的前 n 项和的求解,要紧紧抓住通项,分析其特征,由此来选择适当的求和方 法,把问题转化成最基本的数列求
3、和 . 常考的求和方法有:等差数列和等比数列的公式法、倒 序相加法、错位相减法、裂项相消法等 1、 【2020 年北京卷】在等差数列 n a中， 1 9a ， 3 1a 记 12 (1,2,) nn Taaa n，则数列 n T 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 11 页 （ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 2、【2020 年全国 2 卷】 数列 n a中， 1 2a ， m nmn aa a ， 若 1 55 121 0 22 kk
4、k aaa ， 则k （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3、 【2020 年山东卷】将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为 _ 4、 【2019 年高考全国 I 卷理数】记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 2 146 1 3 aaa，则 S5=_ 5、【2019 年高考全国 III 卷理数】 记 Sn为等差数列an的前 n 项和， 121 03aaa ， 则 10 5 S S _ 6、 【2018 年高考全国 I 卷理数】记 n S为数列 n a的前n项和，若21 nn Sa，则 6 S _ 7、 【2018 年高考江苏卷】已知集合 *
5、|21,Ax xnnN， * |2 , n Bx xnN将AB的所有 元素从小到大依次排列构成一个数列 n a记 n S为数列 n a的前 n 项和，则使得 1 12 nn Sa 成立的 n 的最小值为_ 8、 【2020 年全国 1 卷】.设 n a是公比不为 1的等比数列， 1 a为 2 a， 3 a的等差中项 （1）求 n a的公比； （2）若 1 1a ，求数列 n na的前n项和 9、 【2020 年全国 3 卷】设数列an满足 a1=3， 1 34 nn aan 第 3 页 / 共 11 页 （1）计算 a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明； （2）求数列2nan的前 n项和
6、Sn 10、 【2020 年天津卷】 已知 n a为等差数列， n b为等比数列， 11543543 1,5,4abaaabbb （）求 n a和 n b的通项公式； （）记 n a的前n项和为 n S，求证： 2* 21nnn S SSn N； （）对任意的正整数n，设 2 1 1 32 , ,. nn nn n n n ab n a a c a n b 为奇数 为偶数 求数列 n c的前2n项和 11、 【2020 年山东卷】已知公比大于1的等比数列 n a满足 243 20,8aaa （1）求 n a的通项公式； （2）记 m b为 n a在区间 * (0,()m mN 中的项的个数，求
7、数列 m b的前100项和 100 S 12、 【2019 年高考全国 II 卷理数】已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0， 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba . 第 4 页 / 共 11 页 （1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式. 13、 【2019 年高考天津卷理数】设 n a是等差数列， n b是等比数列已知 112233 4,622,24abbaba， （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 1 1 1,22 ,2 , 1, , kk n k k c n c b n 其中 * kN （
8、i）求数列 22 1 nn ac的通项公式； （ii）求 2 * 1 n ii i acn N 14、【2019 年高考浙江卷】设等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 3 4a ， 43 aS，数列 n b满足：对每个 12 , nnnnnn nSb Sb Sb N成等比数列 第 5 页 / 共 11 页 （1）求数列, nn ab的通项公式； （2）记, 2 n n n a cn b N 证明： 12+ 2,. n cccn n N 15、 【2018 年高考全国 III 卷理数】等比数列 n a中， 153 14aaa， （1）求 n a的通项公式； （2）记 n S为 n a的前n
9、项和若63 m S，求m 16、【2018 年高考浙江卷】已知等比数列an的公比 q1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5的等差中项数 列bn满足 b1=1，数列（bn+1bn）an的前 n 项和为 2n2+n （1）求 q 的值； （2）求数列bn的通项公式 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 11 页 题型一、数列的通项 1、 （2020 届山东省德州市高三上期末）对于数列 n a，规定 n a为数列 n a的一阶差分数列，其中 * 1nnn aaan N，对自然数2k k ，规定 k n a为数列 n a的k阶差分数列，其中 11 1 kkk nnn aaa
10、.若 1 1a ， 且 2* 1 2n nnn aaan N， 则数列 n a的通项公式为 （ ） A 21 2n n an B 1 2n n an C 2 12n n an D 1 212n n an 2、 （2020 浙江学军中学高三 3 月月考）已知函数( )1 x f xex，数列 n a的前 n 项和为, n S，且满足 1 1 2 a ， 1 () nn af a ，则下列有关数列 n a的叙述正确的是（ ） A 521| |43aaa B 78 aa C 10 1a D 100 26S 3、 （2020 届江苏省南通市如皋中学高三下学期 3 月线上模拟）已知数列 * () n a
11、nN是等差数列， n S是其 前 n 项和.若 1569 13,18a aaS，则 n a的通项公式= n a_ 4、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）设等差数列 n a前n项和为 n S，满足 42 4SS， 9 17a . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 12 12 1 1 2 n n n bbb aaa ，求数列 n b的通项公式 5、（2020 届山东省枣庄、 滕州市高三上期末） 已知等比数列 n a满足 1, a 2, a 31 aa 成等差数列， 且 134 a aa； 等差数列 n b的前 n 项和 2 (1)log 2 n n na S .求
12、： （1）, n a n b； 第 7 页 / 共 11 页 （2）数列 n n a b的前项和 n T. 6、 （2020 届浙江省温州市高三 4 月二模）已知等差数列, n a和等比数列 n b满足： 3 1124935 1,*,3 ,330. nb abbNaaabab (I)求数列 n a和 n b的通项公式； (II)求数列 2 1nn n aa 的前n项和 n S. 7、 （2020 届江苏省海安中金陵中新海高级中学高三 12 月联考）已知数列 n a满足： 123 aaak（常 数0k ） ， 1 1 2 nn n n ka a a a （3n，n N）.数列 n b满足： 2
13、1 nn n n aa b a （n N）. （1）求 1 b， 2 b的值； （2）求数列 n b的通项公式； （3）是否存在 k，使得数列 n a的每一项均为整数？若存在，求出 k 的所有可能值；若不存在，请说明理 由. 题型二、数列的求和 1、（北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末数学试题） 等差数列 n a 中， 若 147 6aaa ， n S 为 n a 的前n项和，则 7 S （ ） A28 B21 C14 D7 第 8 页 / 共 11 页 2、 （北京市北京师范大学附属实验中学 2019-2020 学年上学期期中）已知 n S 是等差数列 n a (n )的前 n
14、项和，且564 SSS ,以下有四个命题： 数列 n a中的最大项为 10 S 数列 n a的公差0d 10 0S 11 0S 其中正确的序号是（ ） A B C D 3、 （北京市西城区第八中学 2019-2020 学年上学期期中）设等差数列 n a 的前 n 项和为 n S ，若 11 2,0,3 mmm SSS ，则m( ) A3 B4 C5 D6 4、 （2020 届山东省济宁市高三上期末）设等比数列 n a的公比为 q,其前 n 项和为 n S,前 n 项积为 n T,并满足 条件 120192020 1,1aaa, 2019 2020 1 0 1 a a ,下列结论正确的是( )
15、AS2019S2020 B 20192021 10aa CT2020是数列 n T中的最大值 D数列 n T无最大值 5、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）已知数列 n a中， 1 1 2 a ，其前n项和 n S满足 2 02 nnnn Sa San，则 2 a _； 2019 S_. 6、 （2020 届江苏省海安中金陵中新海高级中学高三 12 月联考）设 n S为数列 n a的前 n 项和，若 31 nn Snan n（n N） ，且 2 11a ，则 20 S的值为_. 7、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟）等比数列 n a的相邻两项 n a， 1n a 是方程 2 0
16、*2n n xxcNn 的两个实根，记 n T是数列 n c的前n项和，则 n T _ 8、 （2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列 n a的前4项和为10，且 124 ,a a a是 等比数列 n b的前3项. (1)求, nn a b; 第 9 页 / 共 11 页 (2)设 1 1 nn nn cb aa ，求 n c的前n项和 n S. 9、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列 n a的前 n 项和为 254 ,12,16 n S aaS (1)求 n a的通项公式； (2)数列 n b满足 1 41 nn n bT S ， 为数列 n b的前
17、 n 项和，是否存在正整数 m，1kmk，使得 2 3 km TT?若存在，求出 m，k 的值；若不存在，请说明理由 10、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）已知数列 n a的前n项和 n S满足21 nn SnanN ，且 1 2a . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设1 2 n a nn ba，求数列 n b的前n项和 n T. 第 10 页 / 共 11 页 11、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）已知数列1 n a 是等比数列， 1 1a 且 2 a， 3 2a ， 4 a成等差 数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 nn n nn aa
18、b a a ，求数列 n b的前n项和 n S. 12、 （2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）设等差数列 n a的前n项和为 n S，且 42 4SS， * 42 21aanN. （）求数列 n a的通项公式； （）设 1 2 n n n a a b ，求数列 n b的前n项和 n T. 13、（2020 浙江高三） 已知等比数列an （其中 nN *） ， 前 n 项和记为 S n， 满足：3 7 16 S ， log2an+11+log2an （1）求数列an的通项公式； （2）求数列anlog2an（nN*）的前 n 项和 Tn 第 11 页 / 共 11 页 14、 （江苏省如皋市 2019-2020 学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)）在公差不为零的等差数列 n a 中， 1 1a ， 2 a， 4 a， 8 a成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设2 n a nn ba， 12nn Sbbb，求 n S.