1、 第 1 页 / 共 11 页 考点考点 33 离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率 1、会求离散型随机变量的概率； 2、了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单运用； 3、理解 N 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际应用； 理解离散型随机变量的均值与方差，会根据离散型随机变量的概率分布求出期望与方差 离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点题型，去年竟有解答题作为压轴题，常与排列、 组合、概率等知识综合命题以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用， 注重与数列、不等式、函数、导数等知识的综合考查，是高考的主要命题方向 1、随机变量及时描述
2、随机事件的数学模型，也是随机现象的思想方法，它的引入使我们能够 运用分析的方法研究概率问题。 2、超几何分布、二项分布，n 次独立重复试验是概率分布中十分重要的概率模型，学会概率 首先应正确理解和把握这几个重要的模型。 3、在考查随机变量的概率分布、数学期望与方差时往往与排列、组合相结合，因此要掌握排 列组合灯相关知识。 1、 【2019 年高考浙江卷】设 0a1，则随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 则当 a 在（0，1）内增大时， 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 11
3、页 A ()D X增大 B()D X减小 C ()D X先增大后减小 D()D X先减小后增大 2、 【2018 年高考全国卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互 独立，设X为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，2.4DX ，(4)(6)P XP X，则p A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 3、 【2018 年高考浙江卷】设01p，随机变量 的分布列是 0 1 2 P 1 2 p 1 2 2 p 则当 p 在（0，1）内增大时， AD（）减小 BD（）增大 CD（）先减小后增大 DD（）先增大后减小 4、 【2020 年高考山东】信息熵是信息论中
4、的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为1,2,n，且 1 ()0(1,2, ),1 n ii i P Xipinp ，定义 X 的信息熵 2 1 ()log n ii i H Xpp . A若 n=1，则 H(X)=0 B若 n=2，则 H(X)随着 1 p的增大而增大 C若 1 (1,2, ) i pin n ，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,m，且 21 ()(1,2,) jmj P Yjppjm ，则 H(X)H(Y) 5、 【2020 年高考浙江】盒中有 4 个球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球从盒中随机取球
5、，每次取 1 个， 不放回，直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个数为，则 (0)P_，( )E_ 6、 【2019 年高考全国卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该 队获胜，决赛结束） 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场 取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是 _ 7、 【2020 年高考全国卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 第 3 页 / 共 11 页 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进
6、行 下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其 中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 8、 【2019 年高考全国卷理数】11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换 发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分 的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方 10:
7、10 平后，甲先发球， 两人又打了 X 个球该局比赛结束 （1）求 P（X=2） ； （2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率 9、 【2019 年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 假定甲、 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 第 4 页 / 共 11 页 （1）用X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； （2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的 天数恰好多 2” ，求事件M发生的概率 10、 【2018 年高考
8、全国卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要 对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根 据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为) 10( pp，且各 件产品是否为不合格品相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为)(pf，求)(pf的最大值点 0 p （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 0 p作为p的值已知每件 产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费
9、用 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 11、 【2019 年高考全国卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为 此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一 只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠 第 5 页 / 共 11 页 比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约 定：对于每轮试验，若
10、施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施 以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药 均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8) i p i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为 甲药比乙药更有效”的概率，则 0 0p ， 8 1p ， 11iiii papbpcp (1,2,7)i ，其中 (1)aP X ，(0)bP X ，(1)cP X假设0.5，0.8 (i)证明： 1 ii pp (
11、0,1,2,7)i 为等比数列； (ii)求 4 p，并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 12、 【2018 年高考北京卷理数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 （1）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，
12、估计恰有 1 部获得好评的概率； （3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1 k ”表示第 k 类电影 得到人们喜欢， “0 k ” 表示第 k 类电影没有得到人们喜欢 （k=1， 2， 3， 4， 5， 6） 写出方差 1 D， 2 D， 3 D， 4 D， 5 D， 6 D的大小关系 第 6 页 / 共 11 页 13、 【2018 年高考天津卷理数】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16现采用分 层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的 7 人中有 4 人睡
13、眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检 查 （i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概 率 二年模拟试题二年模拟试题 第 7 页 / 共 11 页 考点 离散型均值与方差 1、 （2020 浙江学军中学高三 3 月月考）已知 a，b 为实数，随机变量 X，Y 的分布列如下： X -1 0 1 Y -1 0 1 P 1 3 1 2 1 6 P a b c 若 1E YP Y ，随机变量满足XY，其中随机变量X
14、Y相互独立，则 E取值范围的是 （ ） A 3 ,1 4 B 1 ,0 18 C 1 ,1 18 D 3 ,1 4 2、 （2020 届浙江省杭州市第二中学高三 3 月月考）随机变量的分布列如下： -1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则D的最大值为（ ） A 2 3 B 5 9 C 2 9 D 3 4 3、 （2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）设 1 1 2 p，相互独立的两个随机变量，的分布列如下 表： -1 1 -1 1 P 2 3 1 3 P 1p p 则当p在 1 ,1 2 内增大时（ ） AE 减小，D增大 BE减小，D减小 CE 增大，D增大 DE增大，
15、D减小 4、 （2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、 白球若干个，A 盒中有m个红球与10 m个白球，B盒中有10 m个红球与m个白球（010m） ，若 从A，B盒中各取一个球，表示所取的 2 个球中红球的个数， 则当( )D取到最大值时，m的值为 （ ） 第 8 页 / 共 11 页 A3 B5 C7 D9 5、 （2020 浙江温州中学高三 3 月月考）随机变量的可能值有 1，2，3，且131Pp， 31Pp ，则 D的最大值为（ ） A 8 9 B17 16 C 26 25 D1 6、 （2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）
16、某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知 该游客游览A的概率为 2 3 ，游览B，C和D的概率都是 1 2 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随 机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A游客至多游览一个景点的概率 1 4 B 3 2 8 P X C 1 4 24 P X D 13 6 E X 7、 （2020 届山东省德州市高三上期末）随机变量X的取值为0、1、2，00.2P X ，0.4DX ， 则EX _. 8、 （2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟）已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 P 1 2 2 a 2 a 则a_，方差( )=D_ 9、
17、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障. 各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为 1 3 . （1）求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率； （2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每 月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为 1 万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下， 每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障 不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值
18、为决策依据，在1n 与2n之 中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资） 第 9 页 / 共 11 页 10、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现 为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失 等，记此类解答为“B类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的 数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分 12 分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表： 教师评分（满分 12
19、分） 11 10 9 各分数所占比例 1 4 1 2 1 4 某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者 所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于 1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分； 当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分. （假设本次考试阅卷老师对满分为 12 分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概 率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）.
20、（1）本次数学考试中甲同学某题（满分 12 分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题得分X的分布列及 数学期望()E X； （2）本次数学考试有 6 个解答题，每题满分均为 12 分，同学乙 6 个题的解答均为“B类解答”，记该同个 题中得分为 12345i x xxxxx的题目个数为 i a，1,2,3,4,5 i aN i， 5 1 6 i i a ，计算事件 “ 145 4aaa”的概率. 第 10 页 / 共 11 页 11、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017 年 11 月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”， 吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到
21、“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在 2018 年年 初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中. 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建 设 20 个天坑院， 每个天坑院投资 0.2 百万元， 假设每个天坑院是否盈利是相互独立的， 据市场调研， 到 2020 年底每个天坑院盈利的概率为p(01)p，若盈利则盈利投资额的 40%，否则盈利额为 0. 项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到 该项目上，到 2020 年底可能盈利投资额的 50%，也可能亏损投资额的 30%，且
22、这两种情况发生的概率分别 为 p 和1p. （1）若投资项目一，记 1 X为盈利的天坑院的个数，求 1 E X（用 p 表示） ； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为 2 X百万元，求 2 E X（用 p 表示） ； （3）在（1） （2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由. 12、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）如图，直角坐标系中，圆的方程为 22 1xy，()1,0A， 13 , 22 B ， 13 , 22 C 为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子规定： 每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；
23、棋子移动的方向由掷骰子决定， 若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向 移动设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为 n P A， n P B， n P C例如：掷骰子 第 11 页 / 共 11 页 一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为 1 P AO， 1 1 2 P B ， 1 1 2 P C （1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率； （2）掷骰子N次时，若以X轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变 量 n X，求 4 X的分布列和数学期望； （3）记 nn P Aa， nn P Bb， nn P Cc，其中1 nnn abc证明：数列 1 3 n b 是等比数列， 并求 2020 a.