1、1已知二次函数 ymx2+x1 的图象与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm且 m0 Dm且 m0 2已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交点为 A（2，0） ，B（6，0） ，则该二次函数的对称轴为（ ） Ax1 Bx1 Cx2 Dy 轴 3已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： 因为 a0，所以函数 y 有最大值； 该函数的图象关于直线 x1 对称； 当 x2 时，函数 y 的值等于 0； 当 x3 或 x1 时，函数 y 的值都
2、等于 0 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 4若二次函数 yx26x+c 的图象过 A（1，y1） ，B（3，y2） ，C（3+，y3） ，则 y1，y2，y3的大小关系 是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y1y2 5下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax25x+c0 一定有实数根的是（ ） Aa0 Bc0 Ca0 Dc0 6二次函数 y（x1）2+3 的图象的顶点坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3）
3、 7已知函数 y2x2的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移 2 个单位，那么 所得到的新抛物线的解析式是（ ） Ay2（x+2）2+2 By2（x+2）22 Cy2（x2）22 Dy2（x2）2+2 8抛物线 C1：yx2+1 与抛物线 C2关于 x 轴对称，则抛物线 C2的解析式为（ ） Ayx2 Byx2+1 Cyx21 Dyx21 二填空题（每小题二填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9若把函数 yx22x3 化为 y（xm）2+k 的形式，其中 m，k 为常数，则
4、 m+k 10 已知二次函数 yx2+4x+m 的部分图象如图， 则关于 x 的一元二次方程x2+4x+m0 的解是 11抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表： x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从表可知，下列说法中正确的是 （填写序号） 抛物线与 x 轴的一个交点为（3，0） ； 函数 yax2+bx+c 的最大值为 6； 抛物线的对称轴是直线 x；
5、 在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大 12函数 y2x23x+1 与 y 轴的交点坐标为 ，与 x 轴的交点的坐标为 ， 13请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ，过点（3，1） ；当 x0 时，y 随 x 的增大 而减小；当自变量的值为 2 时，函数值小于 2 14如图，是二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c0；b2a； ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1；a2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确命
6、题的序号） 三、简答题（每小题三、简答题（每小题 6 分，共分，共 24 分）分） 15 （6 分）解方程： 4x28x711； 5x2x20 16 （6 分）已知抛物线 （1）确定此抛物线的顶点在第几象限； （2）假设抛物线经过原点，求抛物线的顶点坐标 17 （6 分）已知二次函数 y2x24x6 （1）用配方法将 y2x24x6 化成 ya（xh）2+k 的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当 x 取何值时，y 随
7、 x 的增大而减少？ （4）当 x 取何值是，y0，y0，y0， （5）当 0 x4 时，求 y 的取值范围； （6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积 18 （6 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 B、C 两点，与 y 轴交于 A 点 （1）根据图象确定 a、b、c 的符号，并说明理由； （2）如果点 A 的坐标为（0，3） ，ABC45，ACB60，求这个二次函数的解析式 四、简答题（每小题四、简答题（每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 19 （8 分
8、）已知抛物线 C1：yx22（m+2）x+m210 的顶点 A 到 y 轴的距离为 3 （1）求顶点 A 的坐标及 m 的值； （2）若抛物线与 x 轴交于 C、D 两点点 B 在抛物线 C1上，且 SBCD6，求点 B 的坐标 20 （8 分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是 40 元超市规定每盒售价不得少于 45 元根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖 出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒 （1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之
9、间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于 58 元如果超市想要每天获得不 低于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 21 （8 分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为 30 米的篱 笆围成已知墙长为 18 米（如图所示） ，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米 （1）若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x； （2）若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的
10、面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和 最小值；如果没有，请说明理由 五 （本大题共五 （本大题共 10 分）分） 22 （10 分）如图 1，抛物线 yax2+bx4a 经过 A（1，0） 、C（0，4）两点，与 x 轴交于另一点 B （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 为第一象限抛物线上一点，满足到线段 CB 距离最大，求点 P 坐标； （3）如图 3，若抛物线的对称轴 EF（E 为抛物线顶点）与线段 BC 相交于点 F，M 为线段 BC 上的任意 一点，过点 M 作 MNEF 交抛物线于点 N，
11、以 E，F，M，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能， 求点 N 的坐标；若不能，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1已知二次函数 ymx2+x1 的图象与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm且 m0 Dm且 m0 【分析】根据二次函数 ymx2+x1 的图象与 x 轴有两个交点，可得124m（1）0 且 m0 【解答】解：原函数是二次函数， m0 二次函数 ymx2+x
12、1 的图象与 x 轴有两个交点，则 b24ac0， 124m（1）0， m 综上所述，m 的取值范围是：m且 m0， 故选：C 2已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交点为 A（2，0） ，B（6，0） ，则该二次函数的对称轴为（ ） Ax1 Bx1 Cx2 Dy 轴 【分析】根据抛物线的对称性得到点 A 和点 B 是抛物线上的对称点，所以点 A 和点 B 的对称轴即为抛物 线的对称轴 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交点为 A（2，0） ，B（6，0） ， &n
13、bsp;该二次函数的对称轴为直线 x2 故选：C 3已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： 因为 a0，所以函数 y 有最大值； 该函数的图象关于直线 x1 对称； 当 x2 时，函数 y 的值等于 0； 当 x3 或 x1 时，函数 y 的值都等于 0 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】观察图象即可判断开口向上，应有最小值；根据抛物线与 x 轴的交点坐标来确定抛物线 的对称轴方程；x2 时，对应的图象上的点在 x
14、轴下方，所以函数值小于 0；图象与 x 轴交于 3 和 1，所以当 x3 或 x1 时，函数 y 的值都等于 0 【解答】解：由图象知： 函数有最小值；错误 该函数的图象关于直线 x1 对称；正确 当 x2 时，函数 y 的值小于 0；错误 当 x3 或 x1 时，函数 y 的值都等于 0正确 故选：C 4若二次函数 yx26x+c 的图象过 A（1，y1） ，B（3，y2） ，C（3+，y3） ，则 y1，y2，y3的大小关系 是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y1y
15、2 【分析】根据二次函数的性质结合二次函数的解析式即可得出 y1y3y2，此题得解 【解答】解：二次函数 yx26x+c 的对称轴为 x3， a10， 当 x3 时，y 值最小，即 y2最小 |13|4，|3+3|，4， 点 y1y3 y1y3y2 故选：B 5下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax25x+c0 一定有实数根的是（ ） Aa0 Bc0 Ca0 Dc0 【分析】根据根的判别式，逐个判断得结论 【解答】解：当 a0 时，方程 ax2
16、5x+c0 不是一元二次方程，故选项 A 错误； 当 a0，ac时，方程 ax25x+c0 没有实数根，故选项 C 错误； 当 c0，ac时，方程 ax25x+c0 没有实数根，故选项 D 错误； 当 c0 时，b24ac （5）2250 一元二次方程 ax25x+c0 一定有实数根 故选：B 6二次函数 y（x1）2+3 的图象的顶点坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标
17、;【解答】解：二次函数 y（x1）2+3 为顶点式，其顶点坐标为（1，3） 故选：B 7已知函数 y2x2的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移 2 个单位，那么 所得到的新抛物线的解析式是（ ） Ay2（x+2）2+2 By2（x+2）22 Cy2（x2）22 Dy2（x2）2+2 【分析】直接利用平移规律（左加右减，上加下减）求新抛物线的解析式 【解答】解：抛物线 y2x2向上、向左平移 2 个单位后的解析式为：y2（x+2）2+2 故选：A 8抛物线 C1：yx2+1
18、 与抛物线 C2关于 x 轴对称，则抛物线 C2的解析式为（ ） Ayx2 Byx2+1 Cyx21 Dyx21 【分析】画出图形后可根据开口方向决定二次项系数的符号，开口度是二次项系数的绝对值；与 y 轴的 交点为抛物线的常数项进行解答 【解答】 解： 关于 x 轴对称的两个函数解析式的开口方向改变， 开口度不变， 二次项的系数互为相反数； 对与 y 轴的交点互为相反数，那么常数项互为相反数，故选 D 二填空题（每小题二填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9若把函数 yx22x3 化为 y（xm）2+k 的形式，其中
19、m，k 为常数，则 m+k 3 【分析】利用配方法操作整理，然后根据对应系数相等求出 m、k，再相加即可 【解答】解：yx22x3， （x22x+1）13， （x1）24， 所以，m1，k4， 所以，m+k1+（4）3 故答案为：3 10已知二次函数 yx2+4x+m 的部分图象如图，则关于 x 的一元二次方程x2+4x+m0 的解是 x1 1，x25 【分析】 由二次函数yx2+4x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标， 然后可以求出另一个
20、交点坐标，再利用抛物线与 x 轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即 可得到关于 x 的一元二次方程x2+4x+m0 的解 【解答】解：根据图示知，二次函数 yx2+4x+m 的对称轴为 x2，与 x 轴的一个交点为（5，0） ， 根据抛物线的对称性知，抛物线与 x 轴的另一个交点横坐标与点（5，0）关于对称轴对称，即 x1， 则另一交点坐标为（1，0） 则当 x1 或 x5 时，函数值 y0， 即x2+4x+m0， 故关于 x 的一元二次方程x2+4x+m0 的解为 x11，x25 故答案是：x11，
21、x25 11抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表： x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从表可知，下列说法中正确的是 （填写序号） 抛物线与 x 轴的一个交点为（3，0） ； 函数 yax2+bx+c 的最大值为 6； 抛物线的对称轴是直线 x； 在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大 【分析】根据表中数据和抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向下，当 x3 时，y0，即抛物线与 x 轴
22、的交点为（2，0）和（3，0） ；因此可得抛物线的对称轴是直线 x3，再根据抛物线的性质 即可进行判断 【解答】解：根据图表，当 x2，y0，根据抛物线的对称性，当 x3 时，y0，即抛物线与 x 轴的 交点为（2，0）和（3，0） ； 抛物线的对称轴是直线 x3， 根据表中数据得到抛物线的开口向下， 当 x时，函数有最大值，而不是 x0，或 1 对应的函数值 6， 并且在直线 x的左侧，y 随 x 增大而增大 所以正确，错 故答案为： 12函数 y2x23x+1 与 y 轴的交点坐标为 （0，1）
23、 ，与 x 轴的交点的坐标为 （，0） ， （1， 0） 【分析】函数 y2x23x+1 与 y 轴的交点坐标，即为 x0 时，y 的值当 x0，y1故与 y 轴的交点 坐标为（0，1） ； x 轴的交点的坐标为 y0 时方程 2x23x+10 的两个根为 x1，x21，与 x 轴的交点的坐标为 （，0） ， （1，0） 【解答】解：把 x0 代入函数可得 y1，故 y 轴的交点坐标为（0，1） ， 把 y0 代入函数可得 x或 1，故与 x 轴的交点的坐标为（，0） ， （1，0） 13请写出符合以下三个条件的一个
24、函数的解析式 yx+2 ，过点（3，1） ；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；当自变量的值为 2 时，函数值小于 2 【分析】由题意设出函数的一般解析式，再根据的条件确定函数的解析式 【解答】解：设函数的解析式为：ykx+b， 函数过点（3，1） ， 3k+b1 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， k0， 又当自变量的值为 2 时，函数值小于 2， 当 x2 时，函数 y2k+b2 由知可以令 b2，可得 k，此时 2k+b+22， 函数的解析式为：y
25、x+2 答案为 yx+2 14如图，是二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c0；b2a； ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1；a2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确 命题的序号） 【分析】由图象可知过（1，0） ，代入得到 a+b+c0；根据1，推出 b2a；根据图象关于对称 轴对称，得出与 X 轴的交点是（3，0） ， （1，0） ；由 a2b+ca2bab3b0，根据结论判断 即可 【解答】解：由图象可知：过（1，0） ，代入得：a+b+c0，正确； 1， &n
26、bsp;b2a，错误； 根据图象关于对称轴 x1 对称， 与 X 轴的交点是（3，0） ， （1，0） ，正确； b2a0， b0， a+b+c0， cab， a2b+ca2bab3b0， 错误 故答案为： 三、简答题（每小题三、简答题（每小题 6 分，共分，共 24 分）分） 15 （6 分）解方程： 4x28x711； 5x2x20 【分析】整理为一般式，再利用公式法求解可得； 利用因式分解法求解可得答案 &n
27、bsp;【解答】解：原方程整理可得：x22x+10， （x1）20， 解得：x1； 即 x1x21； x（52x）0， x0 或 52x0， x10，x2； 16 （6 分）已知抛物线 （1）确定此抛物线的顶点在第几象限； （2）假设抛物线经过原点，求抛物线的顶点坐标 【分析】 （1）此题可以利用利用配方法求出抛物线的顶点坐标为，然后即可确定在第二 象限； （2）因为抛物线经过原点，所以，解此方程即可求出 a，然后就可以求出抛物线顶点坐标 【解答】解
28、： （1） 抛物线的顶点坐标为，在第二象限； （2）抛物线经过原点，所以，所以， a2+1， 顶点坐标为（1，1） 17 （6 分）已知二次函数 y2x24x6 （1）用配方法将 y2x24x6 化成 ya（xh）2+k 的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减少？ （4）当 x 取何值是，y0，y0，y0， （5）当 0 x4 时，求 y 的取值范围； （6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三
29、角形的面积 【分析】 （1）直接利用配方法得出函数顶点式即可； （2）利用顶点式得出顶点坐标，进而得出函数与坐标轴交点进而画出函数图象； （3）利用函数顶点式得出对称轴进而得出答案； （4）利用函数图象得出答案即可； （5）利用 x1 以及 x4 是求出函数值进而得出答案； （6）利用函数图象得出三角形面积即可 【解答】解： （1）y2x24x6 2（x22x）6 2（x1）28； （2）当 y0，则 02（x1）28， 解得：x11，x23， &
30、nbsp;故图象与 x 轴交点坐标为： （1，0） ， （3，0） ， 当 x0，y6， 故图象与 y 轴交点坐标为： （0，6） ， 如图所示： ； （3）当 x1 时，y 随 x 的增大而减少； （4）当 x1 或 3 时，y0， 当 x1 或 x3 时，y0， 当1x3 时；y0； （5）当 0 x4 时， x1 时，y8，x4 时，y10， 故 y 的取值范围是：8y10； （6）如图所示： 函数图象与两坐标轴交点所围成的三
31、角形的面积为：4612 18 （6 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 B、C 两点，与 y 轴交于 A 点 （1）根据图象确定 a、b、c 的符号，并说明理由； （2）如果点 A 的坐标为（0，3） ，ABC45，ACB60，求这个二次函数的解析式 【分析】 （1）根据开口方向可确定 a 的符号，由对称轴的符号，a 的符号，结合起来可确定 b 的符号， 看抛物线与 y 轴的交点可确定 c 的符号； （2）已知 OA3，解直角OAB、OAC 可得 B、C 的坐标，设抛物线解析式的交点式，把 A、B、C 代入即可
32、求解析式 【解答】解： （1）抛物线开口向上 a0 又对称轴在 y 轴的左侧 0， b0 又抛物线交 y 轴的负半轴 c0 （2）连接 AB，AC 在 RtAOB 中，ABO45 OAB45， OBOA B（3，0） 又在 RtACO 中，ACO60 OCOAcot60 C（，0） 设二次函数的解析式为 yax2+bx+c（a0） 由题意： 所求二次函数的解析式为 yx2+（1
33、）x3 四、简答题（每小题四、简答题（每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 19 （8 分）已知抛物线 C1：yx22（m+2）x+m210 的顶点 A 到 y 轴的距离为 3 （1）求顶点 A 的坐标及 m 的值； （2）若抛物线与 x 轴交于 C、D 两点点 B 在抛物线 C1上，且 SBCD6，求点 B 的坐标 【分析】 （1） 根据顶点 A 到 y 轴的距离为 3， 说明顶点 A 的横坐标为 3 或3， 根据公式代入列式， 求出 m 的值，分别代入解析式中，求出对应的顶点坐标 A；也可以直接配方求得； （2）
34、先计算抛物线与 x 轴的交点坐标，发现当 m5 时不符合题意，因此根据 m1 时，对应的抛物 线计算 CD 的长，求出点 B 的坐标 【解答】解： （1）由题意得：3 或3， m+23 或 m+23， m1 或5， 当 m1 时，抛物线 C1：yx26x9（x3）218， 顶点 A 的坐标为（3，18） ； 当 m5 时，抛物线 C1：yx2+6x+15（x+3）2+6， 顶点 A 的坐标为（3，6） ； （2）设 B（a，b） ， 当抛物线 C1：yx26x9（x3）218 时， &n
35、bsp;当 y0 时， （x3）2180， x13+3，x233， CD3+3+336， SBCD6， CD|b|6， 6|b|6， b2， 当 b2 时，x26x92， 解得：x32， 当 b2 时，x26x92， 解得：x7 或1， B（3+2，2）或（32，2）或（7，2）或（1，2） ， 当抛物线 C1：yx2+6x+15（x+3）2+6 时， 当 y0 时， （x+3）2+60， 此方程无实数解，所以此时抛物线与 x
36、 轴无交点，不符合题意， B（3+2，2）或（32，2）或（7，2）或（1，2） 20 （8 分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是 40 元超市规定每盒售价不得少于 45 元根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖 出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒 （1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这
37、种粽子的每盒售价不得高于 58 元如果超市想要每天获得不 低于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 【分析】 （1）根据“当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖 出 20 盒”即可得出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润1 盒粽子所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的 P 与 x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于 58 元，且每天销售 粽子的利润不低于 6000 元，求出 x 的取值范围，再根
38、据（1）中所求得的销售量 y（盒）与每盒售价 x （元）之间的函数关系式即可求解 【解答】解： （1）由题意得，y70020（x45）20 x+1600（45x80 ） ； （2）P（x40） （20 x+1600）20 x2+2400 x6400020（x60）2+8000， x45，a200， 当 x60 时，P最大值8000 元， 即当每盒售价定为 60 元时，每天销售的利润 P（元）最大，最大利润是 8000 元； （3）由题意，得20（x60）2+80006000， 解得 x150，x270 &
39、nbsp;抛物线 P20（x60）2+8000 的开口向下， 当 50 x70 时，每天销售粽子的利润不低于 6000 元的利润 又x58， 50 x58 在 y20 x+1600 中，k200， y 随 x 的增大而减小， 当 x58 时，y最小值2058+1600440， 即超市每天至少销售粽子 440 盒 21 （8 分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为 30 米的篱 笆围成已知墙长为 18 米（如图所示） ，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米 &
40、nbsp;（1）若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x； （2）若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和 最小值；如果没有，请说明理由 【分析】 （1）根据题意得方程求解即可； （2）设苗圃园的面积为 y，根据题意得到二次函数解析式 yx（302x）2x2+30 x，根据二次函数的 性质求解即可 【解答】解： （1）根据题意得： （302x）x72， 解得：x3 或 x12， 302x18， x6， x12； （2）设苗圃
41、园的面积为 y， yx（302x）2x2+30 x2（x）2+， a20， 苗圃园的面积 y 有最大值， 当 x时，即平行于墙的一边长 158 米，y最大112.5 平方米； 6x11， 当 x11 时，y最小88 平方米 五 （本大题共五 （本大题共 10 分）分） 22 （10 分）如图 1，抛物线 yax2+bx4a 经过 A（1，0） 、C（0，4）两点，与 x 轴交于另一点 B （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 为第一象限抛物线上一点，满足到线段 C
42、B 距离最大，求点 P 坐标； （3）如图 3，若抛物线的对称轴 EF（E 为抛物线顶点）与线段 BC 相交于点 F，M 为线段 BC 上的任意 一点，过点 M 作 MNEF 交抛物线于点 N，以 E，F，M，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能， 求点 N 的坐标；若不能，请说明理由 【分析】 （1）根据抛物线 yax2+bx4a 经过 A（1，0） 、C（0，4）两点，列出 a 和 b 的二元一次方 程组，求出 a 和 b 的值，进而求出点 B 的坐标，即可求出直线 BC 的解析式； （2）过点 P 作 PQy 轴，交直线 BC 于 Q，设 P（x
43、，x2+3x+4） ，则 Q（x，x+4） ；求出 PQ 的长， 利用 SPCBPQOB 列出 S 关于 x 的二次函数，利用函数的性质求出面积的最大值，进而求出点 P 的 坐标； （3）首先求出 EF 的长，设 N（x，x2+3x+4） ，则 M（x，x+4） ，利用平行四边形对边平行且相等列 出 x 的一元二次方程，解方程求出 x 的值即可 【解答】解： （1）由题意得， 解得 抛物线的解析式：yx2+3x+4 （2）由 B（4，0） 、C（0，4）可知，直线 BC：yx+4； 如图 1，过点 P 作 PQy 轴
44、，交直线 BC 于 Q，设 P（x，x2+3x+4） ，则 Q（x，x+4） ； PQ（x2+3x+4）（x+4）x2+4x； SPCBPQOB（x2+4x）42（x2）2+8； 当 P（2，6）时，PCB 的面积最大； （3）存在 抛物线 yx2+3x+4 的顶点坐标 E（ ，） ， 直线 BC：yx+4；当 x时，F（ ，） ， EF 如图 2，过点 M 作 MNEF，交直线 BC 于 M，设 N（x，x2+3x+4） ，则 M（x，x+4） ； 由题意点 N 在第一象限， MN（x2+3x+4）（x+4）x2+4x； 当 EF 与 NM 平行且相等时，四边形 EFMN 是平行四边形， 由x2+4x时，解得 x1，x2（不合题意，舍去） 当 x时，y（ ）2+3+4， N（ ，） 点 N 坐标为（，）