1、2020-2021 学年河南省郑州十九中九年级第一学期第一次月考数学试卷学年河南省郑州十九中九年级第一学期第一次月考数学试卷 一、选择题 1（3 分）下列判断错误的是（ ） A两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B四个内角都相等的四边形是矩形 C四条边都相等的四边形是菱形 D两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 2（3 分）下列线段中，能成比例的是（ ） A3cm、6cm、8cm、9cm B3cm、5cm、6cm、9cm C3cm、6cm、7cm、9cm D3cm、6cm、9cm、18cm 3（3 分）根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0
2、.06 0.02 0.03 0.09 判断方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的范围是（ ） A3.22x3.23 B3.23x3.24 C3.24x3.25 D3.25x3.26 4（3 分）如图，菱形 ABCD 中，D150，则1（ ） A30 B25 C20 D15 5（3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，O（0，0），A（4，0），AOC60， 则对角线交点 E 的坐标为（ ） A（2，） B（，2） C（，3） D（3，） 6（3 分）对于方程（x1）（x2）x2，下面给出的说法不正确的是（ ） A与方程 x2+44x 的解相同
3、B两边都除以 x2，得 x11，可以解得 x2 C方程有两个相等的实数根 D移项分解因式（x2）20，可以解得 x1x22 7 （3 分）如图，直线 l1l2l3两条直线分别与 l1、l2、l3，相交于点 A、B、C 和 D、E、F，已知， 则下列等式不成立（ ） A B C D 8（3 分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 2m，另一边减少了 3m， 剩余一块面积为 20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ） A7m B8m C9m D10m 9（3 分）如图，在ABC 中，ABC90，AB8cm，BC6cm动点 P，Q 分别从点 A，B 同时开始 移动，
4、点 P 的速度为 1cm/秒， 点 Q 的速度为 2cm/秒， 点 Q 移动到点 C 后停止， 点 P 也随之停止运动 下 列时间瞬间中，能使PBQ 的面积为 15cm2的是（ ） A2 秒钟 B3 秒钟 C4 秒钟 D5 秒钟 10（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC12，点 P 在正方形的边上， 则满足 PE+PF9 的点 P 的个数是（ ） A0 B4 C6 D8 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11（3 分）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若 OE3，则菱形的周 长为 12（3
5、 分）若 x：y1：2，则 13（3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+10 有实数根，则 k 的取值范围是 14（3 分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 x2+5x140 即 x（x+5）14 为例加以说明数学家赵爽（公元 34 世纪）在其所著的勾股圆方图注中记载的 方法是：构造图（如图左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间 小正方形的面积，即 414+52，据此易得 x2那么在如图右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 x24x210 的正确构图是 （只填序号
6、） 15（3 分）如图，点 A、B、C 在同一直线上，且 ABAC，点 D、E 分别是 AB、BC 的中点，分别以 AB，DE，BC 为边，在 AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作 S1、 S2、S3，若 S1，则 S2+S3 三、解答题（共 75 分） 16（8 分）解下列方程： （1）4x2（3x+1）20； （2）2x2x10 17（8 分）如图，菱形 ABCD 中，作 BEAD、CFAB，分别交 AD、AB 的延长线于点 E、F （1）求证：AEBF； （2）若点 E 恰好是 AD 的中点，AB2，求 BD 的值 18（8 分）如图，在ABC 中，直线
7、DN 平行于中线 AF 交 AB 于点 D，交 AC 的延长线于点 E，交边 BC 于点 N，求证： 19（9 分）已知：矩形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+0 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是正方形？求出这时正方形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么矩形 ABCD 的周长是多少？ 20 （9 分）如图，点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG， 且菱形 AEFG菱形 ABCD，相似比是：2，连接 EB，GD （1）求证：EBGD； （2）若DAB60，AB2，求 GD
8、的长 21（10 分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万册增加 到 7.2 万册 （1）求这两年藏书的年均增长率； （2） 经统计知： 中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%， 在这两年新增加的图书中， 中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率， 那么到 2018 年底中外古典名著的册数占 藏书总量的百分之几？ 22（11 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，过点 C 的直线 MNAB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DEBC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD、BE （1）
9、求证：CEAD； （2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若 D 为 AB 中点，则当A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由 23（12 分）（1）如图 1，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一个动点，若线段 MN 垂直 AP 于点 E， 交线段 AB 于点 M，交线段 CD 于点 N，证明：APMN； （2）如图 2，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一动点，若线段 MN 垂直平分线段 AP，分别交 AB， AP，BD，DC 于点 M，E，F，N求证：EFME+FN； （3）若正方形 AB
10、CD 的边长为 2，求线段 EF 的最大值与最小值 参考答案参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1（3 分）下列判断错误的是（ ） A两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B四个内角都相等的四边形是矩形 C四条边都相等的四边形是菱形 D两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误； B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误； C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误； D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确 故选：D 2（3 分）下列线段中，能成比例的是（ ） A
11、3cm、6cm、8cm、9cm B3cm、5cm、6cm、9cm C3cm、6cm、7cm、9cm D3cm、6cm、9cm、18cm 解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段 所给选项中，只有 D 符合，31869，故选 D 3（3 分）根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.06 0.02 0.03 0.09 判断方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的范围是（ ） A3.22x3.23 B3.23x3.24 C3.24x3.25 D3.25x3.26 解：x3.24 时，a
12、x2+bx+c0.02；x3.25 时，ax2+bx+c0.03， 关于 x 的方程 ax2+bx+c0（a0）的一个解 x 的范围是 3.24x3.25 故选：C 4（3 分）如图，菱形 ABCD 中，D150，则1（ ） A30 B25 C20 D15 解：四边形 ABCD 是菱形，D150， ABCD，BAD21， BAD+D180， BAD18015030， 115； 故选：D 5（3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，O（0，0），A（4，0），AOC60， 则对角线交点 E 的坐标为（ ） A（2，） B（，2） C（，3） D（3，） 解：过点 E 作 EF
13、x 轴于点 F， 四边形 OABC 为菱形，AOC60， 30，FAE60， A（4，0）， OA4， 2， ，EF， OFAOAF413， 故选：D 6（3 分）对于方程（x1）（x2）x2，下面给出的说法不正确的是（ ） A与方程 x2+44x 的解相同 B两边都除以 x2，得 x11，可以解得 x2 C方程有两个相等的实数根 D移项分解因式（x2）20，可以解得 x1x22 解：方程（x1）（x2）x2， 移项得：（x1）（x2）（x2）0， 分解因式得：（x2）（x2）0， 解得：x1x22； A、与方程 x2+44x 的解相同，正确； B、当 x20 时，两边除以 x2，得 x11，
14、即 x2； 当 x20 时，方程成立，错误； C、方程有两个相等的实数根，正确； D、移项分解因式（x2）20，可以解得 x1x22，正确； 故选：B 7 （3 分）如图，直线 l1l2l3两条直线分别与 l1、l2、l3，相交于点 A、B、C 和 D、E、F，已知， 则下列等式不成立（ ） A B C D 解：l1l2l3， ，故 A 正确 ，故 B 正确 ，故 D 正确； 故选：C 8（3 分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 2m，另一边减少了 3m， 剩余一块面积为 20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ） A7m B8m C9m D10m 解：设原
15、正方形的边长为 xm，依题意有 （x3）（x2）20， 解得：x17，x22（不合题意，舍去） 即：原正方形的边长 7m 故选：A 9（3 分）如图，在ABC 中，ABC90，AB8cm，BC6cm动点 P，Q 分别从点 A，B 同时开始 移动， 点 P 的速度为 1cm/秒， 点 Q 的速度为 2cm/秒， 点 Q 移动到点 C 后停止， 点 P 也随之停止运动 下 列时间瞬间中，能使PBQ 的面积为 15cm2的是（ ） A2 秒钟 B3 秒钟 C4 秒钟 D5 秒钟 解：设动点 P，Q 运动 t 秒后，能使PBQ 的面积为 15cm2， 则 BP 为（8t）cm，BQ 为 2tcm，由三
16、角形的面积计算公式列方程得， （8t）2t15， 解得 t13，t25（当 t5 时，BQ10，不合题意，舍去） 动点 P，Q 运动 3 秒时，能使PBQ 的面积为 15cm2 故选：B 10（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC12，点 P 在正方形的边上， 则满足 PE+PF9 的点 P 的个数是（ ） A0 B4 C6 D8 解：如图，作点 F 关于 BC 的对称点 M，连接 FM 交 BC 于点 N，连接 EM，交 BC 于点 H 点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC12， EC8，FC4AE， 点 M 与点 F 关于 BC 对称
17、CFCM4，ACBBCM45 ACM90 EM4 则在线段 BC 存在点 H 到点 E 和点 F 的距离之和最小为 49 在点 H 右侧，当点 P 与点 C 重合时，则 PE+PF12 点 P 在 CH 上时，4PE+PF12 在点 H 左侧，当点 P 与点 B 重合时，BF2 ABBC，CFAE，BAEBCF ABECBF（SAS） BEBF2 PE+PF4 点 P 在 BH 上时，4PE+PF4 在线段 BC 上点 H 的左右两边各有一个点 P 使 PE+PF9， 同理在线段 AB，AD，CD 上都存在两个点使 PE+PF9 即共有 8 个点 P 满足 PE+PF9， 故选：D 二、填空题
18、（每小题 3 分，共 15 分） 11（3 分）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若 OE3，则菱形的周 长为 24 解：四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，BODO， 点 E 是 BC 的中点， OE 是BCD 的中位线， CD2OE236， 菱形 ABCD 的周长4624； 故答案为：24 12（3 分）若 x：y1：2，则 解：设 xk，y2k， 13（3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+10 有实数根，则 k 的取值范围是 k0 且 k1 解：由题意可知：44k0， k1， k0， k0 且 k1， 故答案为：k0
19、 且 k1； 14（3 分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 x2+5x140 即 x（x+5）14 为例加以说明数学家赵爽（公元 34 世纪）在其所著的勾股圆方图注中记载的 方法是：构造图（如图左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间 小正方形的面积，即 414+52，据此易得 x2那么在如图右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 x24x210 的正确构图是 （只填序号） 解：x24x120 即 x（x4）12， 构造如图中大正方形的面积是 （x+x4） 2， 其中它又等于四
20、个矩形的面积加上中间小正方形的面积， 即 412+42， 据此易得 x6 故答案为： 15（3 分）如图，点 A、B、C 在同一直线上，且 ABAC，点 D、E 分别是 AB、BC 的中点，分别以 AB，DE，BC 为边，在 AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作 S1、 S2、S3，若 S1，则 S2+S3 解：设 BEx，则 ECx，ADBD2x， 四边形 ABGF 是正方形， ABF45， BDH 是等腰直角三角形， BDDH2x， S1DH AD ，即 2x 2x， ， BD2x，BEx， S2MH BD（3x2x） 2x2x2， S3EN BEx xx2
21、， S2+S32x2+x23x2 ， 故答案为： 三、解答题（共 75 分） 16（8 分）解下列方程： （1）4x2（3x+1）20； （2）2x2x10 解：（1）4x2（3x+1）20， （2x+3x+1）（2x3x1）0， 5x+10 或x10， x1 ，x21； （2）2x2x10， （2x1）（x+1）0， 2x10 或 x+10， x1，x21 17（8 分）如图，菱形 ABCD 中，作 BEAD、CFAB，分别交 AD、AB 的延长线于点 E、F （1）求证：AEBF； （2）若点 E 恰好是 AD 的中点，AB2，求 BD 的值 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形
22、ABBC，ADBC ACBF BEAD、CFAB AEBBFC90 AEBBFC（AAS） AEBF （2）E 是 AD 中点，且 BEAD 直线 BE 为 AD 的垂直平分线 BDAB2 18（8 分）如图，在ABC 中，直线 DN 平行于中线 AF 交 AB 于点 D，交 AC 的延长线于点 E，交边 BC 于点 N，求证： 【解答】证明：直线 DNAF， ， 在ABC 中，AF 是 BC 边上的中线， FBFC， 19（9 分）已知：矩形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+0 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是正方形？求出这时正方形的
23、边长； （2）若 AB 的长为 2，那么矩形 ABCD 的周长是多少？ 解：（1）四边形 ABCD 是正方形， ABAD， 又m24（）m22m+1（m1）2，（m1）20 时， 即 m1 时，四边形 ABCD 是正方形， 把 m1 代入 x2mx+0，得 x2x+ 0， 解得：x， 正方形 ABCD 的边长是； （2）把 AB2 代入 x2mx+0，得 42m+0， 解得：m， 把 m代入 x2mx+0，得 x2x+10， 解得 x2 或 x， AD， 四边形 ABCD 是矩形， 矩形 ABCD 的周长是 2（2+）5 20 （9 分）如图，点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上
24、任意一点，以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG， 且菱形 AEFG菱形 ABCD，相似比是：2，连接 EB，GD （1）求证：EBGD； （2）若DAB60，AB2，求 GD 的长 【解答】（1）证明：菱形 AEFG菱形 ABCD，EAGBAD， EAG+GABBAD+GAB， EABGAD， AEAG，ABAD， AEBAGD， EBGD； （2）连接 BD 交 AC 于点 P，则 BPAC， DAB60， PAB30， 菱形 AEFG菱形 ABCD，相似比是：2，AB2， AE，BPAB1， AP， EP， EB， GD 21（10 分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 201
25、6 年底到 2018 年底两年内由 5 万册增加 到 7.2 万册 （1）求这两年藏书的年均增长率； （2） 经统计知： 中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%， 在这两年新增加的图书中， 中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率， 那么到 2018 年底中外古典名著的册数占 藏书总量的百分之几？ 解：（1）设这两年藏书的年均增长率是 x， 5（1+x）27.2， 解得，x10.2，x22.2（舍去）， 答：这两年藏书的年均增长率是 20%； （2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.25）20%0.44（万册）， 到 2018 年底中外古典名著
26、的册数占藏书总量的百分比是：100%10%， 答：到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10% 22（11 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，过点 C 的直线 MNAB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DEBC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD、BE （1）求证：CEAD； （2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若 D 为 AB 中点，则当A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由 【解答】（1）证明：DEBC， DFB90， ACB90， ACBDFB， ACDE， MNAB，
27、即 CEAD， 四边形 ADEC 是平行四边形， CEAD； （2）解：四边形 BECD 是菱形， 理由是：D 为 AB 中点， ADBD， CEAD， BDCE， BDCE， 四边形 BECD 是平行四边形， ACB90，D 为 AB 中点， CDBD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 四边形 BECD 是菱形； （3）当A45时，四边形 BECD 是正方形，理由是： 解：ACB90，A45， ABCA45， ACBC， D 为 BA 中点， CDAB， CDB90， 四边形 BECD 是菱形， 菱形 BECD 是正方形， 即当A45时，四边形 BECD 是正方形 23（12 分）（
28、1）如图 1，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一个动点，若线段 MN 垂直 AP 于点 E， 交线段 AB 于点 M，交线段 CD 于点 N，证明：APMN； （2）如图 2，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一动点，若线段 MN 垂直平分线段 AP，分别交 AB， AP，BD，DC 于点 M，E，F，N求证：EFME+FN； （3）若正方形 ABCD 的边长为 2，求线段 EF 的最大值与最小值 解：（1）如图 1，过 B 点作 BHMN 交 CD 于 H，则 APBH， BMNH， 四边形 MBHN 为平行四边形， MNBH， 四边形 ABCD 是正方形 ABBC
29、，ABP90C， CBH+ABHBAP+ABH90， BAPCBH， ABPBCH（ASA）， BHAP， MNAP； （2）如图 2，连接 FA，FP，FC 正方形 ABCD 是轴对称图形，F 为对角线 BD 上一点， FAFC， 又FE 垂直平分 AP， FAFP， FPFC， FPCFCP， FABFCP， FABFPC， FAB+FPB180， ABC+AFP180， AFP90， FEAP， 由（1）知，APMN， MNME+EF+FNAP2EF， EFME+FN； （3）由（2）有，EFME+FN， MNEF+ME+NF， EFMN， AC，BD 是正方形的对角线， BD2 ， 当点 P 和点 B 重合时，EF 最小值MNAB1， 当点 P 和 C 重合时，EF 最大值MNBD