1、 1 2018-2020 年中考数学压轴题真题系列年中考数学压轴题真题系列-面积问题三面积问题三 1 （2019张家界）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）过点 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，OC3 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）过点 A 作 AMBC，垂足为 M，求证：四边形 ADBM 为正方形； （3）点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点，当PBC 面积最大时，求点 P 的坐标； （4）若点 Q 为线段 OC 上的一动点，问：AQ 2 1 QC 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在， 请说明理由 2 （2019益阳）在
2、平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 A 的抛物线与 x 轴交于 B、C 两点，与 y 轴交于点 D，已知 A （1，4） ，B（3，0） （1）求抛物线对应的二次函数表达式； （2）探究：如图 1，连接 OA，作 DEOA 交 BA 的延长线于点 E，连接 OE 交 AD 于点 F，M 是 BE 的中点，则 OM 是否将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由； （3）应用：如图 2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且 m+n1，连接 PA、PC，在线段 PC 上确定一点 N，使 AN 平分四边形 ADCP 的面积，求点 N 的坐标 提示：若点 A、B 的坐标分别为（x1
3、，y1） 、 （x2，y2） ，则线段 AB 的中点坐标为（ 2 21 xx ， 2 21 yy ） 3 （2019常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 A（1，4） ，与坐标轴交于 B、C、D 三点，且 B 点的坐标 2 为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于 x 轴上方部分有两个动点 M、N，且点 N 在点 M 的左侧，过 M、N 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 G、H 两点，当四边形 MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3） 当矩形 MNHG 的周长最大时， 能否在二次函数图象上找到一点 P， 使PNC 的面积是矩形 MNHG 面积的 16 9
4、？ 若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由 4 （2019衡阳）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 N， 以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E （1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点 P 在线段 OB（点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点 M，连接 MN、MB请问：MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求 出此时点 M 的
5、坐标；若不存在，请说明理由 5 （2019黄冈）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知( 2,2)A ，( 2,0)B ，(0,2)C，(2,0)D四点，动点M以 3 每秒2个单位长度的速度沿BCD运动(M不与点B、点D重合） ，设运动时间为t（秒) （1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式； （2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若PAMPBM ，求点P的坐标； （3） 当M在CD上运动时， 如图 过点M作MFx轴， 垂足为F，MEAB， 垂足为E 设矩形MEBF与BCD 重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值； （4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交
6、于点H，与y轴交于点K是否存在点Q，使得HOK为等腰三 角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由 6 （2019桂林）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0）和 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）作射线 AC，将射线 AC 绕点 A 顺时针旋转 90交抛物线于另一点 D，在射线 AD 上是否存在一点 H，使 CHB 的周长最小若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，点 Q 为抛物线的顶点，点 P 为射线 AD 上的一个动点，且点 P 的横坐标为 t，过点 P 作 x 轴的垂
7、线 l，垂足为 E，点 P 从点 A 出发沿 AD 方向运动，直线 l 随之运动，当2t1 时，直线 l 将四边形 ABCQ 分割成左右两部分，设在直线 l 左侧部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数表达式 7 （2018玉林）如图，直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 yx2+bx+c 与直线 yc 分别 4 交 y 轴的正半轴于点 C 和第一象限的点 P，连接 PB，得PCBBOA（O 为坐标原点） 若抛物线与 x 轴正半 轴交点为点 F，设 M 是点 C，F 间抛物线上的一点（包括端点） ，其横坐标为 m （1）直接写出点 P 的坐标和抛物线的解析式；
8、（2）当 m 为何值时，MAB 面积 S 取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足MPOPOA 的点 M 的坐标 8 （2020宿迁）二次函数 2 3yaxbx的图象与x轴交于(2,0)A，(6,0)B两点，与y轴交于点C，顶点为E （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； （2）如图，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； （3）如图，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当CEQ的面 积为 12 时，求点P的坐标 9 （2020淮安）如图，二次函数 2 4yxbx的图象与直线l交于( 1,
9、2)A 、(3, )Bn两点点P是x轴上的一 5 个动点，过点P作x轴的垂线交直线 1 于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m （1）b 1 ，n ； （2）若点N在点M的上方，且3MN ，求m的值； （3）将直线AB向上平移 4 个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图) 记NBC的面积为 1 S，NAC的面积为 2 S，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足 12 6SS？若存 在，求出m及相应的 1 S， 2 S的值；若不存在，请说明理由 当1m 时 ， 将 线 段MA绕 点M顺 时 针 旋 转90得 到 线 段MF， 连 接FB、FC、OA 若 45FBAAO
10、DBFC，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标 6 答案： 1 （2019张家界）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）过点 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，OC3 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）过点 A 作 AMBC，垂足为 M，求证：四边形 ADBM 为正方形； （3）点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点，当PBC 面积最大时，求点 P 的坐标； （4）若点 Q 为线段 OC 上的一动点，问：AQ 2 1 QC 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在， 请说明理由 解： （1）函数的表达式为：ya（x1） （x3）a
11、（x24x+3） ， 即：3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx24x+3， 则顶点 D（2，1） ； （2）OBOC3，OBCOCB45， AMMBABsin45= 2 =ADBD， 则四边形 ADBM 为菱形，而AMB90， 四边形 ADBM 为正方形； （3）将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：ymx+n 并解得： 直线 BC 的表达式为：yx+3， 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 设点 P（x，x24x+3） ，则点 H（x，x+3） ， 则 SPBC= 1 2PHOB= 3 2（x+3x 2+4x3）=3 2（x 2+3x） ， 3 20，故 SPBC
12、有最大值，此时 x= 3 2， 故点 P（3 2， 3 4） ； （4）存在，理由： 如上图，过点 C 作与 y 轴夹角为 30的直线 CH，作 QHCH，垂足为 H， 则 HQ= 1 2CQ， AQ+ 1 2QC 最小值AQ+HQAH， 直线 HC 所在表达式中的 k 值为3，直线 HC 的表达式为：y= 3x+3 则直线 AH 所在表达式中的 k 值为 3 3 ， 则直线 AH 的表达式为：y= 3 3 x+s，将点 A 的坐标代入上式并解得： 7 则直线 AH 的表达式为：y= 3 3 x+ 3 3 ， 联立并解得：x= 133 4 ， 故点 H（133 4 ，3+3 4 ） ，而点 A
13、（1，0） ， 则 AH= 3+3 2 ， 即：AQ+ 1 2QC 的最小值为 3+3 2 2 （2019益阳）在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 A 的抛物线与 x 轴交于 B、C 两点，与 y 轴交于点 D，已知 A （1，4） ，B（3，0） （1）求抛物线对应的二次函数表达式； （2）探究：如图 1，连接 OA，作 DEOA 交 BA 的延长线于点 E，连接 OE 交 AD 于点 F，M 是 BE 的中点，则 OM 是否将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由； （3）应用：如图 2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且 m+n1，连接 PA、PC，在线段 PC
14、 上确定一点 N，使 AN 平分四边形 ADCP 的面积，求点 N 的坐标 提示：若点 A、B 的坐标分别为（x1，y1） 、 （x2，y2） ，则线段 AB 的中点坐标为（ 2 21 xx ， 2 21 yy ） 解： （1）函数表达式为：ya（x1）2+4， 将点 B 坐标的坐标代入上式得：0a（31）2+4， 解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2+2x+3； （2）OM 将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分，理由： 如图 1，DEAO，SODASOEA， SODA+SAOMSOEA+SAOM，即：S四边形OMADSOEM， SOMESOBM， S四边形OMADSOBM； （3）设
15、点 P（m，n） ，nm2+2m+3，而 m+n1， 解得：m1 或 4，故点 P（4，5） ； 如图 2，故点 D 作 QDAC 交 PC 的延长线于点 Q， 8 由（2）知：点 N 是 PQ 的中点， 将点 C（1，0） 、P（4，5）的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 PC 的表达式为：yx1， 同理直线 AC 的表达式为：y2x+2， 直线 DQCA，且直线 DQ 经过点 D（0，3） ， 同理可得直线 DQ 的表达式为：y2x+3， 联立并解得：x= 4 3，即点 Q（ 4 3， 1 3） ， 点 N 是 PQ 的中点， 由中点公式得：点 N（4 3， 7 3） 3 （2019常
16、德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 A（1，4） ，与坐标轴交于 B、C、D 三点，且 B 点的坐标 为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于 x 轴上方部分有两个动点 M、N，且点 N 在点 M 的左侧，过 M、N 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 G、H 两点，当四边形 MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3） 当矩形 MNHG 的周长最大时， 能否在二次函数图象上找到一点 P， 使PNC 的面积是矩形 MNHG 面积的 16 9 ？ 若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由 解： （1）二次函数表达式为：ya（x1）2+4， 将点 B 的坐标代
17、入上式得：04a+4，解得：a1， 故函数表达式为：yx2+2x+3； （2）设点 M 的坐标为（x，x2+2x+3） ，则点 N（2x，x2+2x+3） ， 则 MNx2+x2x2，GMx2+2x+3， 矩形 MNHG 的周长 C2MN+2GM2（2x2）+2（x2+2x+3）2x2+8x+2， 20，故当 x= 2 =2，C 有最大值，最大值为 10， 此时 x2，点 N（0，3）与点 D 重合； （3）PNC 的面积是矩形 MNHG 面积的 9 16， 则 SPNC= 9 16 MNGM= 9 16 23= 27 8 ， 连接 DC，在 CD 的上下方等距离处作 CD 的平行线 m、n，
18、 过点 P 作 y 轴的平行线交 CD、直线 n 于点 H、G，即 PHGH， 9 过点 P 作 PKCD 于点 K， 将 C（3，0） 、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 CD 的表达式为：yx+3， OCOD， OCDODC45PHK，CD32， 设点 P（x，x2+2x+3） ，则点 H（x，x+3） ， SPNC= 27 8 = 1 2 PKCD= 1 2 PHsin4532， 解得：PH= 9 4 =HG， 则 PHx2+2x+3+x3= 9 4， 解得：x= 3 2， 故点 P（3 2， 15 4 ） ， 直线 n 的表达式为：yx+3 9 4 = x+ 3 4，
19、联立并解得：x= 332 2 ， 即点 P、P的横坐标分别为3+32 2 或332 2 ； 故点 P 横坐标为：3 2或 3+32 2 或332 2 4 （2019衡阳）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 N， 以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E （1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点 P 在线段 OB（点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物
20、线上任取一点 M，连接 MN、MB请问：MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求 出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 解： （1） ）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（3，0） ， 把 A、B 两点坐标代入上式，1 + = 0 9 + 3 + = 0， 解得： = 2 = 3， 故抛物线函数关系表达式为 yx22x3； （2）A（1，0） ，点 B（3，0） ， ABOA+OB1+34， 10 正方形 ABCD 中，ABC90，PCBE， OPE+CPB90， CPB+PCB90， OPEPCB， 又EOPPBC90， POECBP， = ， 设 OPx，则 PB3x
21、， 4 3 = ， OE= 1 4( 2 + 3) = 1 4( 3 2) 2 + 9 16 ， 0 x3， = 3 2时，线段 OE 长有最大值，最大值为 9 16 即 OP= 3 2时，点 P 在线段 OB 上运动至 P（ 3 2，0）时，线段 OE 有最大值最大值是 9 16 （3）存在 如图，过点 M 作 MHy 轴交 BN 于点 H， 抛物线的解析式为 yx22x3， x0，y3， N 点坐标为（0，3） ， 设直线 BN 的解析式为 ykx+b， 3 + = 0 = 3 ， = 1 = 3， 直线 BN 的解析式为 yx3， 设 M（a，a22a3） ，则 H（a，a3） ， MH
22、a3（a22a3）a2+3a， SMNBSBMH+SMNH= 1 2 = 1 2 (2+ 3) 3 = 3 2 ( 3 2) 2 + 27 8 ， 3 20， a= 3 2时，MBN 的面积有最大值，最大值是 27 8 ，此时 M 点的坐标为（3 2 ， 15 4 ） 5 （2019黄冈）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知( 2,2)A ，( 2,0)B ，(0,2)C，(2,0)D四点，动点M以 每秒2个单位长度的速度沿BCD运动(M不与点B、点D重合） ，设运动时间为t（秒) （1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式； （2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若PAMPBM
23、 ，求点P的坐标； （3） 当M在CD上运动时， 如图 过点M作MFx轴， 垂足为F，MEAB， 垂足为E 设矩形MEBF与BCD 重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值； （4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K是否存在点Q，使得HOK为等腰三 角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由 11 解： （1）设函数解析式为 2 yaxbxc， 将点( 2,2)A ，(0,2)C，(2,0)D代入解析式可得 242 2 042 abc c abc ， 1 4 1 2 2 a b c ， 2 11 2 42 yxx ； （2）
24、PAMPBM ， PAPB，MAMB， 点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点， 2AB ， 点P的纵坐标是 1， 2 11 12 42 xx ， 15x 或15x ， ( 15P ，1)或( 15P ，1)； （3）22 2CMt，224MGCMt， 4 2()4 2(2 222 2)4 22MDBCCMtt， 2 4 2 MFMDt， 44BFtt ， 22 113388 ()(24)(4)88() 222233 SGMBFMFtttttt ； 当 8 3 t 时，S最大值为 8 3 ； （4）设点( ,0)Q m，直线BC的解析式2yx， 直线AQ的解析式 2 (2)2 2 yx m ，
25、2 (0,) 2 m K m ， 4 ( 4 H m ， 24) 4 m m ， 22 2 () 2 m OK m ， 222 424 ()() 44 m OH mm ， 222 4242 ()() 442 mm HK mmm ， 当OKOH时， 222 2424 ()()() 244 mm mmm ， 2 31280mm， 2 23 3 m 或 2 23 3 m ； 12 当OHHK时， 2222 4244242 ()()()() 44442 mmm mmmmm ， 2 480mm， m无解； 当OKHK时， 222 24242 ()()() 2442 mmm mmmm ， 2 480mm，
26、 22 3m 或22 3m ； 综上所述：( 22 3Q ，0)或( 22 3Q ，0)或 2 ( 23 3 Q ，0)或 2 ( 23 3 Q ，0) 6 （2019桂林）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0）和 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）作射线 AC，将射线 AC 绕点 A 顺时针旋转 90交抛物线于另一点 D，在射线 AD 上是否存在一点 H，使 CHB 的周长最小若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，点 Q 为抛物线的顶点，点 P 为射线 AD 上的一个动点，且点 P 的横坐标为
27、t，过点 P 作 x 轴的垂线 l，垂足为 E，点 P 从点 A 出发沿 AD 方向运动，直线 l 随之运动，当2t1 时，直线 l 将四边形 ABCQ 分割成左右两部分，设在直线 l 左侧部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数表达式 解： （1）抛物线与 x 轴交于点 A（2，0）和 B（1，0） 交点式为 y（x+2） （x1）（x2+x2） 抛物线的表示式为 yx2x+2 （2）在射线 AD 上存在一点 H，使CHB 的周长最小 如图 1，延长 CA 到 C，使 ACAC，连接 BC，BC与 AD 交点即为满足条件的点 H x0 时，yx2x+22 C（0，2） OAOC2 CAO4
28、5，直线 AC 解析式为 yx+2 射线 AC 绕点 A 顺时针旋转 90得射线 AD CAD90 OADCADCAO45 直线 AD 解析式为 yx2 ACAC，ADCC C（4，2） ，AD 垂直平分 CC CHCH 当 C、H、B 在同一直线上时，CCHBCH+BH+BCCH+BH+BCBC+BC 最小 设直线 BC解析式为 ykx+a 4 + = 2 + = 0 解得： = 2 5 = 2 5 直线 BC：y= 2 5x 2 5 13 = 2 5 2 5 = 2 解得： = 8 7 = 6 7 点 H 坐标为（ 8 7， 6 7） （3）yx2x+2（x+ 1 2） 2+9 4 抛物线
29、顶点 Q（ 1 2， 9 4） 当2t 1 2时，如图 2，直线 l 与线段 AQ 相交于点 F 设直线 AQ 解析式为 ymx+n 2+ = 0 1 2 + = 9 4 解得： = 3 2 = 3 直线 AQ：y= 3 2x+3 点 P 横坐标为 t，PFx 轴于点 E F（t，3 2t+3） AEt（2）t+2，FE= 3 2t+3 SSAEF= 1 2AEEF= 1 2（t+2） （ 3 2t+3）= 3 4t 2+3t+3 当 1 2t0 时，如图 3，直线 l 与线段 QC 相交于点 G，过点 Q 作 QMx 轴于 M AM= 1 2 （2）= 3 2，QM= 9 4 SAQM= 1
30、 2AMQM= 1 2 3 2 9 4 = 27 16 设直线 CQ 解析式为 yqx+2 把点 Q 代入： 1 2q+2= 9 4，解得：q= 1 2 直线 CQ：y= 1 2x+2 G（t， 1 2t+2） EMt（ 1 2）t+ 1 2，GE= 1 2t+2 S梯形MEGQ= 1 2（QM+GE） ME= 1 2（ 9 4 1 2t+2） （t+ 1 2）= 1 4t 2+2t+17 16 SSAQM+S梯形MEGQ= 27 16 +（ 1 4t 2+2t+17 16）= 1 4t 2+2t+11 4 当 0t1 时，如图 4，直线 l 与线段 BC 相交于点 N 设直线 BC 解析式为
31、 yrx+2 把点 B 代入：r+20，解得：r2 直线 BC：y2x+2 N（t，2t+2） BE1t，NE2t+2 SBEN= 1 2BENE= 1 2（1t） （2t+2）t 22t+1 S梯形MOCQ= 1 2（QM+CO） OM= 1 2 （9 4 +2） 1 2 = 17 16，SBOC= 1 2BOCO= 1 2 121 SSAQM+S梯形MOCQ+SBOCSBEN= 27 16 + 17 16 +1（t22t+1）t2+2t+ 11 4 综上所述，S= 3 4 2 + 3 + 3(2 1 2) 1 4 2 + 2 + 11 4 ( 1 2 0) 2+ 2 + 11 4 (01)
32、 14 7 （2018玉林）如图，直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 yx2+bx+c 与直线 yc 分别 交 y 轴的正半轴于点 C 和第一象限的点 P，连接 PB，得PCBBOA（O 为坐标原点） 若抛物线与 x 轴正半 轴交点为点 F，设 M 是点 C，F 间抛物线上的一点（包括端点） ，其横坐标为 m （1）直接写出点 P 的坐标和抛物线的解析式； （2）当 m 为何值时，MAB 面积 S 取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足MPOPOA 的点 M 的坐标 15 解： （1）当 yc 时，有 cx2+bx+c， 解得：x10，x2b， 点 C
33、的坐标为（0，c） ，点 P 的坐标为（b，c） 直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（0，3） ， OB3，OA1，BCc3，CPb PCBBOA， BCOA，CPOB， b3，c4， 点 P 的坐标为（3，4） ，抛物线的解析式为 yx2+3x+4 （2）当 y0 时，有x2+3x+40， 解得：x11，x24， 点 F 的坐标为（4，0） 过点 M 作 MEy 轴，交直线 AB 于点 E，如图 1 所示 点 M 的横坐标为 m（0m4） ， 点 M 的坐标为（m，m2+3m+4） ，点 E 的坐标为（m，3m+3）
34、， MEm2+3m+4（3m+3）m2+6m+1， SS梯形OEMBSOEBSAEM= 1 2OAME= 1 2m 2+3m+1 2 = 1 2（m3） 2+5 1 20，0m4， 当 m0 时，S 取最小值，最小值为1 2；当 m3 时，S 取最大值，最大值为 5 （3）当点 M 在线段 OP 上方时，CPx 轴， 当点 C、M 重合时，MPOPOA， 点 M 的坐标为（0，4） ； 当点 M 在线段 OP 下方时，在 x 正半轴取点 D，连接 DP，使得 DODP，此时DPOPOA 设点 D 的坐标为（n，0） ，则 DOn，DP= ( 3)2+ (0 4)2， n2（n3）2+16， 解
35、得：n= 25 6 ， 点 D 的坐标为（25 6 ，0） 设直线 PD 的解析式为 ykx+a（k0） ， 将 P（3，4） 、D（25 6 ，0）代入 ykx+a， 3 + = 4 25 6 + = 0，解得： = 24 7 = 100 7 ， 直线 PD 的解析式为 y= 24 7 x+ 100 7 联立直线 PD 及抛物线的解析式成方程组，得： = 24 7 + 100 7 = 2+ 3 + 4 ， 16 解得：1 = 3 1= 4， 2= 24 7 2= 124 49 点 M 的坐标为（24 7 ，124 49 ） 综上所述：满足MPOPOA 的点 M 的坐标为（0，4）或（24 7
36、 ，124 49 ） 8 （2020宿迁）二次函数 2 3yaxbx的图象与x轴交于(2,0)A，(6,0)B两点，与y轴交于点C，顶点为E （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； （2）如图，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； （3）如图，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当CEQ的面 积为 12 时，求点P的坐标 解： （1）将(2,0)A，(6,0)B代入 2 3yaxbx， 得 4230 36630 ab ab ， 解得 1 4 2 a b 二次函数的解析式为 2 1 23 4 y
37、xx 17 22 11 23(4)1 44 yxxx， (4, 1)E （2）如图 1，图 2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CBCD 设(4,)Dm， (0,3)C，由勾股定理可得： 2222 4(3)63m 解得329m 满足条件的点D的坐标为(4,329)或(4,329) （3）如图 3，设CQ交抛物线的对称轴于点M， 设 2 1 ( ,23) 4 P nnn，则 2 113 (,) 282 Qnnn， 设直线CQ的解析式为3ykx，则 2 131 3 822 nnnk 解得 13 2 4 kn n ，于是 13 :(2)3 4 CQ ynx n ， 当4x 时，
38、 1312 4(2)35 4 ynn nn ， 12 (4,5)Mn n ， 12 4MEn n 111 112 (4)12 222 2 CQECEMQEM SSSn MEn n n 2 4600nn， 解得10n 或6n ， 当10n 时，(10,8)P，当6n 时，( 6,24)P 综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10,8)或( 6,24) 9 （2020淮安）如图，二次函数 2 4yxbx的图象与直线l交于( 1,2)A 、(3, )Bn两点点P是x轴上的一 个动点，过点P作x轴的垂线交直线 1 于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m （1）b 1 ，n ； （2）若
39、点N在点M的上方，且3MN ，求m的值； 18 （3）将直线AB向上平移 4 个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图) 记NBC的面积为 1 S，NAC的面积为 2 S，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足 12 6SS？若存 在，求出m及相应的 1 S， 2 S的值；若不存在，请说明理由 当1m 时 ， 将 线 段MA绕 点M顺 时 针 旋 转90得 到 线 段MF， 连 接FB、FC、OA 若 45FBAAODBFC，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标 解： （1）将点( 1,2)A 代入二次函数 2 4yxbx中，得142b ， 1b， 二次函数的解析式为 2
40、4yxx， 将点(3, )Bn代入二次函数 2 4yxx中，得9342n ， 故答案为：1，2； （2）设直线AB的解析式为ykxa，由（1）知，点(3, 2)B， ( 1,2)A ， 2 32 ka ka ， 1 1 k a ， 直线AB的解析式为1yx ， 由（1）知，二次函数的解析式为 2 4yxx， 点( ,0)P m， ( ,1)M mm， 2 ( ,4)N mmm， 点N在点M的上方，且3MN ， 2 4(1)3mmm ， 0m或2m ； （3）如图 1，由（2）知，直线AB的解析式为1yx ， 直线CD的解析式为145yxx ， 令0y ，则50 x ， 5x， (5,0)C，
41、( 1,2)A ，(3, 2)B， 直线AC的解析式为 15 33 yx ，直线BC的解析式为5yx， 过点N作y轴的平行线交AC于K，交BC于H，点( ,0)P m， 2 ( ,4)N mmm， 15 ( ,) 33 K mm，( ,5)H m m， 19 22 1547 4 3333 NKmmmmm ， 2 9NHm ， 22 2 1147 ()()6347 2233 NACCA SSNKxxmmmm ， 2 1 1 ()9 2 NBCCB SSNHxxm ， 12 6SS， 22 9( 347)6mmm ， 13m （由于点N在直线AC上方，所以，舍去）或13m ； 22 2 3473(
42、13)4(13)72 31Smm ， 22 1 9(13)92 35Sm ； 如图 2， 记直线AB与x轴，y轴的交点为I，L， 由（2）知，直线AB的解析式为1yx ， (1,0)I，(0,1)L， OLOI， 45ALDOLI ， 45AODOAB， 过点B作/ /BGOA， ABGOAB ， 45AODABG， FBAABGFBG ，45FBAAODBFC， 45ABGFBGAODBFC， FBGBFC ， / /BGCF， / /OACF， ( 1,2)A ， 直线OA的解析式为2yx ， (5,0)C， 直线CF的解析式为210yx ， 过点A，F分别作过点M平行于x轴的直线的垂线，交于点Q，S， 90AQMMSF， 点M在直线AB上，1m ， ( ,1)M mm， ( 1,2)A， 1MQm， 设点( , 210)F nn， 210129FSnmnm ， 由旋转知，AMMF，90AMF， 90MAQAMQAMQFMS， MAQFMS， ()AQMMSF AAS ， FSMQ， 291nmm， 4n， (4,2)F， 直线OF的解析式为 1 2 yx， 二次函数的解析式为 2 4yxx， 20 联立解得， 165 4 165 8 x y 或 165 4 165 8 x y ， 直线OF与该二次函数图象交点的横坐标为1 65 4 或 165 4