1、温州重点中学 2020 届高三适应性模拟考试 数 学 20207 本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔 将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式： 柱体的体积公式：VSh其中S表示柱体的底面积， 锥体的体积公式： 1 3 VSh其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 台体的体积公式： 1122 1 3 Vh SS SS其中 12 ,S S分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高 球的表面积公式： 2 4SR 球的体积公式： 3 4 3 VR，其中R表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4
2、 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1已知集合|ln(1)Ax yx，|1Bx yx，则（） AABBABCAB DABR 2点(2,0)P到双曲线 22 1 916 yx 的一条渐近线距离为（） A 8 5 B 6 5 C4D3 3已知z是复数z的共轭复数，满足 2zi (其中i为虚数单位)，则复数z的虚部是（） AiBiC1D1 4.点( , )P x y满足不等式组 5, 26, 0,0, xy xy xy 68xy取得最大值时，点P的坐标是（） AA0,5BB1,4CC2,4DD1,5 5.已知函数 32 f xaxbxcx，其导函数 yfx的图
3、象经过点1,0、2,0，如图 所示，则下列命题正确的是（） A当 3 2 x 时函数取得极小值B fx有两个极大值点 C 10fD0abc 6已知, a bR，则“2ab”是“ 22 1ab ”的（）条件 A充分非必要B必要非充分C充分必要D既非充分又非必要 7.袋中有 3 个白球和i个黑球，有放回的摸取 3 次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为 i ， 其中i=1,2，则（） A 1 E( ) 2 E()， 1 D( ) 2 D()B 1 E( ) 2 D() C 1 E( ) 2 E()， 1 D( ) 2 E()， 1 D( ) 2 D() 8.已知函数) 1( xfy的图像关于直线1x
4、对称，则方程|)|(log)2020( 2020 xff x 的解 的个数为 （） 2 .A3 .B4 .C5 .D 9.设O为ABC的内心，6AB ，7AC ，8BC ， 动点P满足：OPxOAyOBzOC ， 0,1,y0,1,z0,1,x则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为（） 2 21 .A21.B 2 1521 .C1521.D 10已知数列 n a由首项 1 aa及递推关系 1 31 1 n n n a a a 确定若 n a为有穷数列，则称a 为“坏数” 将所有“坏数”从小到大排成数列 n b，若 201912020 bab，则（） A 2020 10a B 2020 1 0 3
5、 aC 2021 3aD 2021 13a 非选择题部分（共非选择题部分（共 110110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分。分。 11.已知 5 2345 012345 1+3,xaa xa xa xa xa x则 3 a ； 12345 .aaaaa 12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ， 则它的体积是cm 3,表面积是 cm 2. 13.已知函数( )cosf xax，,x （其中a，为常数，且0）有且仅有 3 个零点，则a的值为_，的取值范围是
6、_. 14.现有 12 个不同的小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各3个，从中任取3个.所取三 球中含有红色球的概率为_；若所取三球中红色小球和黄色小球都至少各一个，则不同 取法种数为_.（用数字作答） 15.已知0a，1b，且1ba，则 1 3 22 b b a a 最小值为_ 16.过抛物线 2 :4C xy的准线上任意一点P作抛物线的切线,PA PB，切点分别为, ,A B则 A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值为 17如图，在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，点M为线段 1 BD上的动点，下列四个 结论： 存在点M，使得 1 /C M平面 1 ABC； 存在
7、点M，使得直线AM与直线 1 BC所成的角为60； 存在点M，使得三棱锥 11 DC DM的体积为 1 8 ； 存在点M，使得，其中为二面角 1 MAAB 的大小，为直线 1 MA与直线AB所成的角 则上述结论正确的有 （填上正确结论的序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本小题满分 14 分） 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, , ,a b ccos= sin 2 AC abA ，BD平分ABC交 AC于点D，且2,23.BDADCD （
8、）求B； （）求ABC的面积. 19 （本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为梯形，/ADBC， 1 2 ABBCCDAD， SA 平面SCD. （）求证：CDSC； （） 若=CD SC，P是SD的中点， 求直线PB与 平面SAB所成的角的正弦值. 20 （本小题满分 15 分） 已知数列 n a中,0 1 a,且 2 3 1 n n a a （）若数列 n a为单调递增数列，试求 1 a的取值范围; （）若4 1 a,设 nnn aab 1 (n=1,2,3),数列 n b的前n项的和为 n S， 求证： 2 5 21 n bbb 21 （本小题满分 15 分）
9、 如图，已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 经过不同的三点 5513 ,( 2424 ABC C 在第三象限） ，线段BC的中点在直线OA上 （）求椭圆的方程及点C的坐标； （）设点P是椭圆上的动点（异于点, ,)A B C且直线,PB PC分别交直线OA于,M N两 点，问OMON是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 22 （本小题满分 15 分） 已知函数 2 ln(3)1()f xaxxxa xaR （）当1a 时,求曲线 f x在(1,(1)f处的切线方程； （）若 f x存在两个极值点 1212 ,()x x xx. 求a的取值范围；当 2 1 x x 取得
10、最小时，求a的值. 参考答案 一、选择题：BADADAADCC 二、填空题：二、填空题： 11.270,102312. 2 2+2 5+ 10 3， ，13.-1，2，4)14. 34 55 ,72 15. 23 16.417 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本小题满分 14 分） 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, , ,a b ccos= sin 2 AC abA ，BD平分ABC交 AC于点D，且2,23.BDADCD （）求B；
11、（）求ABC的面积. 2 3 (1) 25 3 (2) 6 19 （本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为梯形，/ADBC， 1 2 ABBCCDAD， SA 平面SCD. （）求证：CDSC； （） 若=CD SC，P是SD的中点， 求直线PB 与平面SAB所成的角的正弦值. （1）证CD 平面SAC即可 （2）等积法或坐标法答案 3 3 20 （本小题满分 15 分） 已知数列 n a中,0 1 a,且 2 3 1 n n a a （）若数列 n a为单调递增数列，试求 1 a的取值范围; （）若4 1 a,设 nnn aab 1 (n=1,2,3),数列 n
12、b的前n项的和为 n S， 求证： 2 5 21 n bbb 解： （1）an+1-an= 3+an 2 - 3+an-1 2 = an-an-1 2( 3+an 2 + 3+an-1 2 ) (n2) 注意到：2( 3+an 2 + 3+an-1 2 )0 因此,an+1-an,an-an-1,a2-a1有相同的符号.要使an+1an 对任意自然数都成立,只须a2-a10 即可.由 3+a1 2 -a10,解得：0a13 2时,a n+1an对任何自然数n都成立.因此当a1=4 时,an+1-an0 Sn=b1+b2+bn.=|a2-a1|+|a3-a2|+|an+1-an|=a1-a2+a
13、2-a3+an-an+1=a1-an+1=4-an+1 又：an+2an+1即 3+an+1 2 3 2,故 S n4-3 2= 5 2. 21 （本小题满分 15 分） 如图，已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 经过不同的三点 5513 ,( 2424 ABC C 在第三象限） ，线段BC的中点在直线OA上 （）求椭圆的方程及点C的坐标； （）设点P是椭圆上的动点（异于点, ,)A B C且直线,PB PC分别交直线OA于,M N两 点，问OMON是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 （1） 31 ,. 24 ； （2） 25 16 （）由点,A B在椭圆上，得 2
14、2 22 55 1, 416 19 1 416 ab ab 解得 2 2 5 , 2 5 . 8 a b 所以椭圆的方程为 22 1. 55 28 xy 3 分 由已知，求得直线OA的方程为20,xy从而21.mn（1） 又点C在椭圆上，故 22 285.mn（2） 由（1） （2）解得 3 4 n （舍去）或 1 . 4 n 从而 3 , 2 m 所以点C的坐标为 31 ,. 24 6 分 （）设 001122 ,2,2,.P xyMy yNyy 因, ,P B M三点共线，故 10 10 33 44 , 11 2 22 yy yx 整理得 00 1 00 32 . 4 21 xy y yx
15、 因,P C N三点共线，故 20 20 11 44 , 33 2 22 yy yx 整理得 00 2 00 6 . 4 21 xy y yx 10 分 因点P在椭圆上，故 22 00 285xy，即 22 00 5 4. 2 xy 从而 22 0000 0000 12 222 0000 00 32632012 16 441 1621 xyxyxx yy y y yxx y yx 22 000000 0000 53 34201254 522 . 5316 1641164 22 yx yyx y x yx y 所以 1212 25 555 16 OMONyyy y为定值15 分 22 （本小题满分 15 分） 已知函数 2 ln(3)1(0)f xaxxxa xa （）当1a 时,求曲线 f x在(1,(1)f处的切线方程； （）若 f x存在两个极值点 1212 ,()x x xx. 1求a的取值范围；当 2 1 x x 取得最小时，求a的值. (1)2yx (2)0a