1、 第 1 页 / 共 15 页 第第 61 讲：离散型随机变量的均值与方差讲：离散型随机变量的均值与方差 一、课程标准 1、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题. 3、利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 二、基础知识回顾 1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的概率分布为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn (1)均值 称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量 取值的平均水平 (2)方差 称
2、 D(X)xiE(x)2pi为随机变量 X 的方差， 它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度， D(X) 越小，稳定性越高，波动性越小，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差 2. 均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b (2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数) 3. 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)p(1p) (2)若 X 服从二项分布，即 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) (3)若 X 服从超几何分布，即 XH(n，M，N)时，E(X)nM N 4. 正态曲线及性
3、质 (1)正态曲线的定义 函数，(x) 1 2e （x）2 22 ， x(， )(其中实数 和 (0)为参数)的图像为正态分布密 度曲线，简称正态曲线( 是正态分布的期望，是正态分布的标准差) (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x 对称； 第 2 页 / 共 15 页 曲线在 x 处达到峰值 1 2；曲线与 x 轴之间的面积为_； 当 一定时，曲线随着_的变化而沿 x 轴平移； 当 一定时，曲线的形状由 确定 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中； ，越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散 5. 正态分布 (1)正态分布的定义及表
4、示 如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb)，(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布， 记作 XN(，2) (2)正态分布的三个常用数据 P(X)0.682_6； P(2X2)0.954_4； P(3X3)0.997_4 三、自主热身、归纳总结 1、已知随机变量 XB 6，1 2 ，D(2X1)( ) A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 随机变量 XB 6，1 2 ，所以 D(X)61 2(1 1 2) 3 2，所以 D(2X1)4D(X)4 3 26.故选 B. 2、 已知随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P p 1p 若 D(X)
5、p 3( )0pm）0.3，则 P（X6m） 【答案】 0.7 【解析】 因为 P（Xm）0.3，所以 P（X6m）1P（X0，试卷满 分 150 分）.统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的3 5，则此次月考中数学考 试成绩不低于 110 分的学生约有 人. 【答案】 120 【解析】 因为成绩服从正态分布 XN（90，a2） ，所以其正态分布曲线关于直线 x90 对称.又因为成绩在 70分到110分之间的人数约为总人数的3 5， 由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的 1 2 13 5 1 5， 所以此次数学考试成绩不低于 110 分的学生约有1
6、5600120（人）. 四、例题选讲 考点一 离散型随机变量的均值与方差 例 1、 （2020 届山东省德州市高三上期末）随机变量X的取值为0、1、2，00.2P X ，0.4DX ， 则EX _. 【答案】1 【解析】设2P Xx，其中00.8x，可得出10.8P Xx， 0 0.2 10.820.8EXxxx ， 222 0.80.20.20.81.20.4DXxxxxx，解得0.2x， 因此，0.2 0.8 1EX . 故答案为：1. 变式 1、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017 年 11 月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城 市”，吸引了大批投资商的目光，一些投
7、资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在 2018 年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民 居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设 20 个天坑院，每个天坑院投资 0.2 百万元， 第 4 页 / 共 15 页 假设每个天坑院是否盈利是相互独立的， 据市场调研， 到 2020 年底每个天坑院盈利的概率为， 若盈利则盈利投资额的 40%，否则盈利额为 0. 项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到 该项目上，到 2020 年底可能盈利投资额的 50%
8、，也可能亏损投资额的 30%，且这两种情况发生的概率分别 为 p 和. （1）若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求（用 p 表示） ； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求（用 p 表示） ； （3）在（1） （2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由. 【解析】 （1）解：由题意 则盈利的天坑院数的均值. （2）若投资项目二，则的分布列为 2 -1.2 盈利的均值. （3）若盈利，则每个天坑院盈利（百万元） ， 所以投资建设 20 个天坑院，盈利的均值为 （百万元）. 当时， 解得. .故选择项目一. 当时， p(0 1)p 1p 1 X
9、 1 E X 2 X 2 E X 1 (20, )XBp 1 20E Xp 2 X 2 X PP1p 2 21.2(1)3.21.2E Xppp 0.2 40%0.08 1 0.08EX 1 0.08E X0.08 20p1.6p 2 11 0.080.08DXD X 2 0.0820 (1)pp 0.128 (1)pp 22 2 (2 3.21.2)( 1.2 3.21.2) (1)D Xpppp 10.24 (1)pp 12 0.08EXE X1.63.21.2pp 3 4 p 12 0.08DXD X 12 0.08EXE X1.63.21.2pp 第 5 页 / 共 15 页 解得.
10、此时选择项一. 当时，解得. 此时选择项二. 变式 2、一个口袋中装有大小相同的 3 个白球和 1 个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有 3 次摸 到红球即停止 (1)求恰好摸 4 次停止的概率； (2)记 4 次之内(含 4 次)摸到红球的次数为 X，求随机变量 X 的概率分布与数学期望 【解析】 (1)设事件“恰好摸 4 次停止”的概率为 P，则 PC23(1 4) 23 4 1 4 9 256. 恰好摸 4 次停止的概率为 9 256. (2)由题意，随机变量 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3. P(X0)C04(3 4) 481 256，P(X1)C 1 4(1 4)(
11、3 4) 327 64，P(X2)C 2 4(1 4) 2(3 4) 227 128， P(X3)1 81 256 27 64 27 128 13 256， X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 81 256 27 64 27 128 13 256 E(X)0 81 2561 27 642 27 1283 13 256 255 256. 变式 3、某学校组建了由 2 名男选手和 n 名女选手组成的“汉字听写大会”集训队，每次参赛均从集训队中 任意选派 2 名选手参加省队选拔赛 (1)若 n2，记某次选派中被选中的男生人数为随机变量 X，求随机变量 X 的概率分布和数学期望； (2)若 n2，
12、该校要参加三次“汉字听写大会”，每次从集训队中选 2 名选手参赛，求 n 为何值时，三 次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值 【解析】 (1)当 n2 时，X 可能的取值为 0，1，2. 3 0 4 p 12 0.08EXE X1.63.21.2pp 3 4 p 第 6 页 / 共 15 页 P(X0)C 0 2C 2 2 C24 1 6，P(X1) C12C12 C24 2 3， P(X2)C 0 2C 2 2 C24 1 6，则随机变量 X 的概率分布如下表： X 0 1 2 P 1 6 2 3 1 6 E(X)01 61 2 32 1 61. (2)一次参加比赛全是男生或全是女
13、生的概率为 PC 2 2C 2 n C2n2 n2n2 n23n2. 三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率为 f(P)C13P(1P)23P36P23P， 则 f(P)9P212P33(P1)(3P1)， 易知当 P1 3时，f(P)取得最大值，所以 n2n2 n23n2 1 3，解得 n2. 方法总结： 求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤： 判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值； 探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的 概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率； 写分
14、布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为 1)检验所求的分布列是否正 确； 求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值对于有些实际问题中的随机 变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用 这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快解题速 度 考点二 均值与方差的性质的应用 例2、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟） 已知随机变量满足P (=0) =x， P(=1) =1-x， 若 1 ( 0 , ) , 2 x则 （ ） AE()随着 x 的增大而增
15、大，D ()随着 x 的增大而增大 BE()随着 x 的增大而减小，D()随着 x 的增大而增大 CE()随着 x 的增大而减小，D()随着 x 的增大而减小 DE()随着 x 的增大而增大，D()随着 x 的增大而减小 【答案】B 第 7 页 / 共 15 页 【解析】依题意0111Exxx ，在区间 1 (0, ) 2 上是减函数. 22 01111Dxxxx 2 xx ，注意到函数 2 yxx 的开口向下，对称轴为 1 2 x ，所以 2 yxx 在区间 1 (0, ) 2 上是增函数，也即D在区间 1 (0, ) 2 上是增函数. 故选：B 变式 1、 （2020 浙江镇海中学高三 3
16、 月模拟）某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 已知的数学期望，则的值为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】由题意可知：， 解得. 故选：B. 变式 2、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟）已知随机变量 X 的分布列如下： 若随机变量 Y 满足31YX，则 Y 的方差 D Y （ ） A1 B2 C3 D9 【答案】D 【解析】由题意可知， 111 1 326 a 则 111 0131 326 E x ， 则 222111 0 11 13 11 326 D x ， 所以 2 39D yD x P x 0.10.3 y 8.9Ey 0.20.40.60.8 0.1 0
17、.31 70.82.7 108.9 xy xy 0.2 0.4 x y 第 8 页 / 共 15 页 故选：D 变式 3、袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1，2，3，4)现从袋 中任取一个球，X 表示所取球的标号 (1)求 X 的概率分布、均值和方差； (2)若 YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求 a，b 的值 【解析】 (1)由题意知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4， 则 P(X0)C 1 10 C120 1 2，P(X1) C11 C120 1 20， P(X2) C12 C120 1 10，P(X3) C13 C1
18、20 3 20，P(X4) C14 C120 1 5. 故 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 所以 E(X)01 21 1 202 1 103 3 204 1 51.5. D(X)(01.5)21 2(11.5) 21 20(21.5) 21 10(31.5) 23 20(41.5) 21 52.75. (2)由 D (Y)a2 D (X)，得 a22.7511，即 a 2. 又 E(Y)aE(X)b，所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2. 当 a2 时，由 121.5b，得 b4. 故 a2， b2或 a2， b4. 变式 4
19、、设随机变量 X 的概率分布为 P(Xk)1 5，k1，2，3，4，5.求 E(X2) 2，D(2X1)， D（X1） 的值 【解析】 E(X)11 52 1 53 1 54 1 55 1 5 15 5 3， E(X2)11 52 21 53 21 54 21 55 21 511， D(X)(13)21 5(23) 21 5(33) 21 5(43) 21 5(53) 21 5 1 5(41014)2， 故 E(X2)2E(X24X4)E(X2)4E(X)41112427， D(2X1)4V(X)8， D（X1） D（X） 2. 第 9 页 / 共 15 页 方法总结:掌握下述有关均值与方差的
20、常用性质，会给解题带来方便： (1)E(ab)aE()b；E()E()E()； D (ab)a2 D ()； (2)若 B(n，p)，则 E()np，D()np(1p) 考点三 正态分布及其简单应用 例 3、 （2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知随机变量服从正态分布 2 1,N ，若(4)0.9P，则 1()2P （ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 【答案】C 【解析】由题意可知1，正态分布曲线关于1x 对称， 4140.1PP , 根据对称性可知，240.1PP, 210.520.5 0.10.4PP . 故选：C 变式 1、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）已知随机
21、变量 2 1,XN ，110.4PX ，则 3P X _ 【答案】0.1 【解析】因为随机变量X服从正态分布 2 1,N, 所以曲线关于1x 对称, 因为110.4PX , 所以310.5110.1P XP XPX 故答案为：0.1 变式 2、 为评估设备 M 生产某种零件的性能， 从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本， 测量其直径后，整理得到下表： 直 径 第 10 页 / 共 15 页 mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合 计 件 数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计
22、算，样本的平均值 65，标准差 2.2，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体 (1)将直径小于等于 2 或直径大于 2 的零件认为是次品，从设备 M 的生产流水线上随意抽取 3 个零件，计算其中次品个数 Y 的数学期望 E( ) Y ； (2)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X，并根据以下不等式 进行评判(P 表示相应事件的概率)： P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3.评判 规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一 个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试
23、判断设备 M 的性能等级并说明理由 【解析】(1)由图表知道：直径小于或等于 2 的零件有 2 件，大于 2 的零件有 4 件，共计 6 件，从 设备 M 的生产流水线上任取一件， 取到次品的概率为 6 100 3 50， 依题意 YB 3， 3 50 ， 故 E(Y)3 3 50 9 50； (2)由题意知，62.8，67.2， 260.6，269.4，358.4， 371.6， 所以由图表知道： P(0.682 6， P(2X2) 94 1000.940.954 4， P(3X3) 98 1000.980.997 4， 所以该设备 M 的性能为丙级别 方法总结：对于正态分布题型的数据分析，
24、需要结合 ，的含义来进行理解，根据题设中如 P(X )0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3 来寻找对应条件下的样品 数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须保证数 据的准确性，特别是统计个数和计算 ， 等数据时 五、优化提升与真题演练 1、 （2019 年高考浙江卷）设 0a1，则随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 第 11 页 / 共 15 页 则当 a 在（0，1）内增大时， （ ） A( )D X增大 B()D X减小 C( )D X先增大后减小 D()D X先减小后增大 【
25、答案】D 【解析】方法 1：由分布列得 1 () 3 a E X ， 则 2222 111111211 ()(0)()(1)() 333333926 aaa D Xaa ， 则当a在(0,1)内增大时，()D X先减小后增大故选 D 方法 2：则 222 22 1(1)222213 ()()()0() 3399924 aaaa D XE XE Xa ， 则当a在(0,1)内增大时，()D X先减小后增大故选 D 2、 （2018 年高考全国卷理数）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互 独立，设X为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，2.4DX ，(4)(6)
26、P XP X，则p （ ） A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 【答案】B 【解析】()(1)D Xnpp，0.4p 或0.6p ， 446664 1010 (4)C(1)(6)C(1)P XppP Xpp， 22 (1)pp，可知 0.5p ，故0.6p 故选 B 3、 （2018 年高考浙江卷）设01p，随机变量 的分布列是 0 1 2 P 1 2 p 1 2 2 p 则当 p 在（0，1）内增大时， （ ） AD（）减小 BD（）增大 CD（）先减小后增大 DD（）先增大后减小 【答案】D 第 12 页 / 共 15 页 【解析】 () = 0 1 2 + 1 1 2 + 2 2 =
27、 + 1 2， () = 1 2 (0 1 2) 2 + 1 2(1 1 2) 2 + 2 (2 1 2) 2 = 2+ + 1 4， 1 2 (0，1)，()先增大后减小，故选 D 4、 （2020 年高考浙江）盒中有 4 个球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球从盒中随机取球，每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止 设此过程中取到黄球的个数为， 则 (0 )P_，( )E_ 【答案】 1 3 ，1 【解析】因为0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以 1111 (0) 4433 P， 随机变量0,1,2， 212111211 (1) 434324323 P，
28、 111 (2)1 333 P ， 所以 111 ( )0121 333 E . 故答案为： 1 ;1 3 . 5、 （2019 年高考全国卷理数）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该 队获胜，决赛结束） 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场 取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是 _ 【答案】0.18 【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是 3 0.60.5 0.5 20.108,前四 场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是 2
29、2 0.4 0.60.520.072,综上所述，甲队以 4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q 6、 （2019 年高考天津卷理数）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 假定甲、 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 （1）用X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； （2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的 天数恰好多 2” ，求事件M发生的概率 第 13 页 / 共 15 页 【解析】 （1）因为甲同学上学期间的三天中
30、到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 ，故 2 (3, ) 3 XB，从而 3 3 21 ()C ( ) ( ),0,1,2,3 33 kkk P Xkk 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量X的数学期望 2 ()32 3 E X （2）设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为Y， 则 2 (3, ) 3 YB，且3,12,0MXYXY 由题意知事件3,1XY与2,0XY互斥， 且事件3X 与1Y ，事件2X 与0Y 均相互独立， 从而由（1）知()(3,12,0)P MPXYXY (3,1)(2
31、,0)P XYP XY (3) (1)(2) (0)P XP YP XP Y 824120 279927243 7、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现 为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失 等，记此类解答为“类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的 数学试卷中随机抽取若干属于“类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分 12 分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表： 教师评分（满分 12 分） 11 10 9
32、 各分数所占比例 某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者 所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于 1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分； 当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分. （假设本次考试阅卷老师对满分为 12 分的题目中的“类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概 B B 1 4 1 2 1 4 B 第 14 页 / 共 15 页 率，且一、二评与仲裁三位
33、老师评分互不影响）. （1）本次数学考试中甲同学某题（满分 12 分）的解答属于“类解答”，求甲同学此题得分的分布列及 数学期望； （2）本次数学考试有 6 个解答题，每题满分均为 12 分，同学乙 6 个题的解答均为“类解答”，记该同个 题中得分为的题目个数为，计算事件 “”的概率. 【解析】 （1）随机变量的可能取值为 9、9.5、10、10.5、11， 设一评、二评、仲裁所打分数分别为， ， ， ， ， . 所以分布列如下表： 可能取值 9 9.5 10 10.5 11 概率 数学期望（分）. （2）， BX ()E X B 12345i x xxxxx i a1,2,3,4,5 i a
34、N i 5 1 6 i i a 145 4aaa X xyz 99,99,11,9P XP xyP xyz11,9,9P xyz 111113 2 4444432 9.59,1010,9P XP xyP xy 111 2 424 111 1010,10 224 P XP xy 10.510,1111,10P XP xyP xy9,11,1011,9,10P xyzP xyz 111115 22 2444216 1111,11P XP xy11,9,119,11,11P xyzP xyz 111113 2 4444432 X X 3 32 1 4 1 4 5 16 3 32 31153 99.51010.511 32441632 E X 321 32 5 1 6 i i a 14523 42PaaaPaa 第 15 页 / 共 15 页 ， ， ， ， ， . 2323 20,2PaaPaa 2323 2,01,1PaaPaa 3 4 62 2 2 11 4 ,2 2 0PaaC 3 4 62 2 2 11 4 ,0 2 2PaaC 4 11 2365 111 42 4 1,1PaCaC 23 2Paa 24244 2211 6665 1111111 4242442 CCCC 15153015 25625625664 145 15 4 64 Paaa