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第56讲 排列与组合(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 11 页 第第 56 讲讲 排列与组合排列与组合 一、课程标准 1、通过实例,理解排列、组合的概念 2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 分类加法计数原理 完成一件事, 有n类方式, 在第1类方式中有m1种不同的方法, 在第2类方式中有m2种不同的方法, , 在第 n 类方式中有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N_m1m2mn_种不同的方法 2. 分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1种不同的方法,做第 2 步有 m2种不同的方法, 做第 n 步有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有

2、N_m1m2mn_种不同的方法 3. 排列与排列数 (1)排列:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的_一个排列_ (2)排列数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的_排列数_,用符号_Am n_表示 (3)排列数公式: Am nn(n1)(n2)(nm1)_ n! (nm)!_(n,mN *,并且 mn) Ann_n (n1) (n2) 3 2 1_n! ,规定 0!_1_ 4. 组合与组合数 (1)组合:一般地,从 n 个不同元素中取

3、出 m(mn)个元素合并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的_一个组合_ (2)组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的_组合数_,用符号_Cm n_表示 (3)组合数公式: Cm nA m n Am m n(n1)(n2)(nm1) m! _ n! m!(nm)!_(n,mN *,并且 mn) (4)组合数的性质: 性质 1:Cm n_C nm n _ 性质 2:Cm n1_C m1 n Cm n_ 第 2 页 / 共 11 页 性质 3:mCm n_n C m1 n1_ 三、自主热身、归纳总结

4、1、某校“数学俱乐部”有高一学生 7 人,高二学生 10 人,高三学生 8 人,若从每一个年级各选 1 名担任 负责人,则有_种不同的选法( ) A. 25 B. 280 C. 560 D. 580 【答案】C 【解析】 根据分步计数原理, 高一有7种不同选择, 高二有10种不同选择, 高三有8种不同选择, 共7108 560 种故选 C. 2、从 5 名男生和 4 名女生种选出 4 人参加辩论赛,如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,那么 有_种不同选法( ) A. 20 B. 60 C. 78 D. 91 【答案】 D 【解析】 在 9 人选 4 人的所有选法中,去掉甲和乙都不在

5、内的选法,就得到符合条件的选法数:C49C47 91.故选 D. 3、 已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从M,N这两个集合中各选一个元素分别记作a,b则下 列说法正确的有( ) A. b a 表示不同的正数的个数是6 B. b a 表示不同的比1小的数的个数是6 C.(a,b)表示x轴上方不同的点的个数是6 D.(a,b)表示y轴右侧不同的点的个数是6 【答案】BC 【解析】对于选项A,若a,b均为正,共有22=4个,若a,b均为负,共有12=2个,但6 3= -4 -2,所以共有5 个,所以选项A错误;对于选项B,若b a为正,显然均比1大,所以只需 b a为负即可,共有2

6、2+12=6个,所 以选项B正确;对于选项C,要使(a,b)表示x轴上方的点,只需b为正即可,共有23=6个,所以选项C 正确;对于选项D,要使(a,b)表示y轴右侧的点,只需a为正即可,共有24=8个,所以选项D错误 4、(1)7C364C47_; (2)A36_ _ 【答案】 (1) 0 (2)120 【解析】 (1)7C364C477654 3214 7654 43210;(2)A 3 6654120. 第 3 页 / 共 11 页 5、某地区计划实施新高考考试方案,现模拟选科,其中语文、数英语为必选科目.从物理、化生物、历史、地 理、政治、信息技术七科中任选三科,组合成“3+3”模式.

7、若小王同学在物理和化学这两科中至多选一科,则他 选择的组合方式有 种(用数字作答). 【答案】.30 【解析】 “物理和化学两科中至多选一科”的选法可分两类.第一类,不选物理和化选法有C5 3=10(种);第二类, 选物理和化学中的一门,选法有C2 1C52=20(种).所以他选择的组合方式共有 10+20=30(种). 四、例题选讲 考点一 两个计数原理的应用 例 1、(1)已知一个三位数从 0,1,2,3,4 中任意选取如果三位数的中数字不允许重复使用,那么能得到 多少个三位数?如果三位数中的数字允许重复使用,那么能得到多少个三位数? (2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2,9

8、的 9 个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共 边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为 1,5,9 的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共 有多少种? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】(1)若不重复,三位数先考虑百位情况,共 4 种选择,十位除去百位已选一个数,也是 4 种不同选 择,个位共 3 种不同选择,故总共能得到 44348 个不同的三位数 若重复,三位数先考虑百位,共 4 种不同选择,十位共 5 种不同选择,个位共 5 种不同选择,故共有 4 55100 个不同的三位数 (2)把区域分为三部分,第一部分 1,5,9,有 3 种涂法; 第二部分 4,7,8,当

9、5,7 同色时,4,8 各有 2 种涂法,共 4 种涂法,当 5,7 异色时,7 有 2 种涂法, 4,8 均只有 1 种涂法,故第二部分共 426 种涂法;第三部分与第二部分一样,共 6 种涂法由分步乘 法计数原理,可得涂法共有 366108(种) 变式 1、甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是 9,0,2,1,5,为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行 规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符 合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为( ) A.64 B.80 C.96 D.120 【答案】B 第

10、 4 页 / 共 11 页 【解析】 5 日至 9 日,日期尾数分别为 5,6,7,8,9,有 3 天是奇数日,2 天是偶数日.第一步,安排偶数日出行,每天都 有 2 种选择,共有 22=4(种);第二步,安排奇数日出行,分两类,第一类,选 1 天安排甲的车,另外 2 天安排其他车, 有 322=12(种),第二类,不安排甲的车,每天都有 2 种选择,共有 23=8(种),共有 12+8=20(种).根据分步乘法计 数原理,不同的用车方案种数为 420=80. 变式 2、满足 a,b1,0,1,2,且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为 _. 【答案】13 【

11、解析】 当 a0 时,关于 x 的方程为 2xb0,此时有序数对(0,1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足 要求;当 a0 时,44ab0,ab1,此时满足要求的有序数对为(1,1),(1,0),(1,1),( 1,2),(1,1),(1,0),(1,1),(2,1),(2,0)综上,满足要求的有序数对共有 13 个 方法总结:利用两个计数原理解决应用问题的一般思路: (1)弄清完成一件事是做什么 (2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类 (3)弄清分步、分类的标准是什么 (4)利用两个计数原理求解 考点二 排列的应用 例 2 有 4 个男生,3 个女生按下列要求排队拍照,各有多少

12、种不同的排列方法? (1)7 个人排成一列,4 个男生必须连排在一起; (2)7 个人排成一列,3 个女生中任何两个均不能排在一起; (3)7 个人排成一列,甲、乙、丙三人顺序一定; (4)7 个人排成一列,但男生必须连排在一起,女生也必须连排在一起,且男甲与女乙不能相邻 【解析】 (1)不妨先将 4 个男生看作一个整体,连同三个女生共 4 个元素进行排列,有 A44种排法,然后将 4 个男生全排列,有 A44种排法,根据分步乘法计数原理有 A44A44576(种)不同的排法 (2)先排男生,有 A44种排法,再在他们之间和左右两端共 5 个空档中插入 3 个女生,有 A35种排法,故共 有

13、A44A351 440(种) (3)先不考虑三人的顺序,任意排列有 A77种,其中每 A33种有且只有 1 种符合甲、乙、丙三人顺序一定, 共有A 7 7 A33840(种)另解:七个位置中,先将除甲乙丙外的 4 人排好,然后按一定顺序排入三个空位中,排 法唯一,故有 A47840 种排法 第 5 页 / 共 11 页 (4)先将男生和女生看作两个整体, 男生、 女生分别全排列, 有 A22A44A33种排法, 再考虑男甲与女乙相邻, 有 A22A33A22种,故有 A22A44A33A22A33A22264(种) 变式 1、有 3 名男生、4 名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数

14、(1)选 5 人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻 【解析】 (1)从 7 人中选 5 人排列,有 A 5 7765432 520(种) (2)分两步完成, 先选 3 人站前排, 有 A 3 7种方法, 余下 4 人站后排, 有 A 4 4种方法, 共有 A 3 7A 4 45 040(种) (3)法一: (特殊元素优先法)先排甲, 有 5 种方法, 其余 6 人有 A 6 6种排列方法, 共有 5A 6 63 600(种) 法二:(特殊位置优先法)首

15、尾位置可安排另 6 人中的两人,有 A 2 6种排法,其他有 A 5 5种排法,共有 A 2 6A 5 5 3 600(种) (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列, 有 A 4 4种方法, 再将女生全排列, 有 A 4 4种方法, 共有 A 4 4A 4 4576(种) (5)(插空法)先排女生, 有 A 4 4种方法, 再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安排男生, 有 A 3 5种方法, 共有 A 4 4A 3 51 440(种) 变式 2、 (1)高三要安排毕业晚会的 4 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求 2 个舞蹈节目不连排

16、,则不同排法的种数是( ) A1 800 B3 600 C4 320 D5 040 (2)将 7 个人(其中包括甲、乙、丙、丁 4 人)排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两 人必须相邻,则不同的排法共有( ) A1 108 种 B1 008 种 C960 种 D504 种 【答案】 (1)B (2)B 【解析】 (1)先排除舞蹈节目以外的 5 个节目,共 A 5 5种,再把 2 个舞蹈节目插在 6 个空位中,有 A 2 6种,所 以共有 A 5 5A 2 63 600(种) (2)将丙、丁两人进行捆绑,看成一人将 6 人全排列有 A 2 2A 6 6种排法;将甲排在排头,有 A 2

17、 2A 5 5种排法;乙 排在排尾,有 A 2 2A 5 5种排法;甲排在排头,乙排在排尾,有 A 2 2A 4 4种排法则甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、 丁两人必须相邻的不同排法共有 A 2 2A 6 6A 2 2A 5 5A 2 2A 5 5A 2 2A 4 41 008(种) 第 6 页 / 共 11 页 方法总结:(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一 般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采 用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条

18、件的排列问 题的常用方法 考点三 组合的应用 例 3、某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? 【解析】(1)从余下的 34 种商品中,选取 2 种有 C234561 种,某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有 C334种或者 C33

19、5C234C3345 984 种某一种假货不能在内的不同 取法有 5 984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 件,从 15 种假货中选取 2 件有 C120C2152 100 种 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 (4)选取 2 件假货有 C120C215种, 选取 3 件假货有 C315种, 共有选取方式 C120C215C3152 1004552 555 种 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 (5)选取 3 件的总数有 C335,因此共有选取方式 C335C3156 5454556 090 种至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种

20、变式 1、按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本 【解析】 (1)无序不均匀分组问题先选 1 本有 C16种选法;再从余下的 5 本中选 2 本有 C25种选法;最后余 下 3 本全选有

21、 C33种选法故共有 C16C25C3360(种)不同的分配方式 (2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同三人,在第(1)题的基础上,还应考虑再分配,故共有 第 7 页 / 共 11 页 C16C25C33A33360(种)不同的分配方式 (3)无序均匀分组问题先分三步,则应是 C26C24C22种方法,但是这里出现了重复不妨记六本书为 A, B,C,D,E,F,若第一步取了 A,B,第二步取了 C,D,第三步取了 E,F,记该种分法为(AB,CD, EF),则 C26C24C22种分法中还有(AB、EF、CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,A

22、B, CD),共有 A33种情况,而这 A33种情况仅是 AB,CD,EF 的顺序不同,只能作为一种分法,故分配方式有 C26C24C22 A33 15(种) (4)有序均匀分组问题 在第(3)题的基础上再分配给 3 个人, 共有分配方式C 2 6C 2 4C 2 2 A33 A33C26C24C2290(种) (5)无序部分均匀分组问题共有分配方式C 4 6C 1 2C 1 1 A22 15(种) (6)有序部分均匀分组问题在第(5)题的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式C 4 6C 1 2C 1 1 A22 A3390(种) (7)直接分配问题甲选 1 本有 C16种方法,乙从余下 5

23、 本中选 1 本有 C15种方法,余下 4 本留给丙有 C44种 方法共有分配方式 C16C15C4430(种) 变式 2、 (1)从1,2,3,10中选取三个不同的数,使得其中至少有两个相邻,则不同的选法种数是( ) A72 B70 C66 D64 (2) 从 2 位女生, 4 位男生中选 3 人参加科技比赛, 且至少有 1 位女生入选, 则不同的选法共有_ 种(用数字作答) (3)(2019 辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜 寻空投食物的任务已知:食物投掷地点有远、近两处;由于 Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任 务,但此时另需一位小

24、孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;所有参与搜寻任务的小孩须 被均分成两组,一组去远处,一组去近处那么不同的搜寻方案有_种 【答案】 (1)D(2)16(3)40 【解析】 (1)从1,2,3,10中选取三个不同的数,恰好有两个数相邻,共有 C 1 2C 1 7C 1 7C 1 656 种选 法,三个数相邻共有 C 1 88 种选法,故至少有两个数相邻共有 56864 种选法 (2)从 2 位女生,4 位男生中选 3 人,共有 C 3 6种情况,没有女生参加的情况有 C 3 4种,故共有 C 3 6C 3 4204 16(种) (3)若 Grace 不参与任务,则需要从剩下的 5 位

25、小孩中任意挑出 1 位陪同,有 C 1 5种挑法,再从剩下的 4 位 小孩中挑出 2 位搜寻远处, 有 C 2 4种挑法, 最后剩下的 2 位小孩搜寻近处,因此一共有 C 1 5C 2 430 种搜寻方案; 若 Grace 参与任务,则其只能去近处,需要从剩下的 5 位小孩中挑出 2 位搜寻近处,有 C 2 5种挑法,剩下 3 位小孩去搜寻远处,因此共有 C 2 510 种搜寻方案综上,一共有 301040 种搜寻方案 方法总结:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不 第 8 页 / 共 11 页 含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元

26、素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义, 谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处 理 考点四 排列与组合问题的综合应用 例 4、(1)在高三某班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生,如果 2 位男生不能 连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场的顺序的排法种数为_ (2)大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市 关系要好的 A,B,C,D 四个家庭各有两个孩子共 8 人,他们准备使用滴滴打车

27、软件,分乘甲、乙两辆汽 车出去游玩,每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个孩子不考虑位置),其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则 乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自于同一个家庭的乘坐方式共有_种 【答案】 (1)60 (2)24 【解析】(1)2 位男生不能连续出场的排法共有N1A 3 3A 2 472(种),女生甲排第一个且 2 位男生不连续出场 的排法共有N2A 2 2A 2 312(种),所以出场顺序的排法种数为NN1N260. (2)根据题意,分两种情况讨论: A家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭,可以在剩下的三个家庭中任 选 2 个,再从每个家庭的

28、2 个孩子中任选一个来乘坐甲车有 C 2 3C 1 2C 1 212(种)乘坐方式; A家庭的孪生姐妹不在甲车上,需要在剩下的三个家庭中任选 1 个,让其 2 个孩子都在甲车上,对于 剩余的两个家庭,从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车,有 C 1 3C 1 2C 1 212(种)乘坐方式, 故共有 121224(种)乘坐方式 变式: (1)某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额,其中甲大学 2 个,乙大学 2 个,丙大个,并且甲大学 和乙大学都要求必须有男生参加, 学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象, 则不同的推荐方法共有( ) A.36 种 B.24 种 C.22

29、种 D.20 种 (2)从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求 甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安 排种数为_.(用数字作答) 【答案】 (1) 24(2)5040 【解析】 (1)根据题意,分两种情况讨论:第一种,3 名男生每个大学各推荐 1 人,2 名女生分别推荐给甲 大学和乙大共有 A33A2212 种推荐方法; 第二种, 将 3 名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大共有 C23A22A22 12 种推荐方法.故共有 24 种推荐方法. (2)根据题意,分 2 种情况讨论

30、,若甲、乙之中只有一人参加,有 C12 C46 A553 600(种);若甲、乙两人都 参加,有 C22 A36 A241 440(种).则不同的安排种数为 3 6001 4405 040. 方法总结:(1)解排列与组合综合题一般是先选后排,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个 第 9 页 / 共 11 页 原理做最后处理 (2)解受条件限制的组合题,通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决,分类标准应统一,避免出现 重复或遗漏 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年新高考全国卷】6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去 1 个场馆,甲场馆 安排 1 名,乙

31、场馆安排 2 名,丙场馆安排 3 名,则不同的安排方法共有( ) A120 种 B90 种 C60 种 D30 种 【答案】C 【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆,方法数有 1 6 C; 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆,方法数有 2 5 C; 最后剩下的3名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有 12 65 CC6 1060种. 故选:C 2、 【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小 区至少安排1名同则不同的安排方法共有_种 【答案】36 【解析】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去 1 个小区,每个小区

32、至少安排 1 名同 先取 2 名同学看作一组,选法有: 2 4 C6 . 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区,分法有: 3 3 A6, 根据分步乘法原理,可得不同的安排方法6 636 种, 故答案为:36. 3、 【2018 年高考全国卷理数】从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选, 则不同的选法共有_种 (用数字填写答案) 【答案】16 第 10 页 / 共 11 页 【解析】根据题意,没有女生入选有 3 4 C4种选法,从 6 名学生中任意选 3 人有 3 6 C20种选法, 故至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有20 4 16 种,故答案

33、为:16 4、 【2018 年高考浙江卷】从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6 中任取 2 个数字,一共可以组 成_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 【答案】1260 【解析】 若不取 0, 则排列数为 224 534 C C A; 若取 0, 则排列数为 2113 5333 C C A A, 因此一共可以组成 224 534 C C A 2113 5333 C C A A1260个没有重复数字的四位数故答案为:1260 5、 【湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试】3 名男生 4 名女生站成一排,求满足下列条件 的排法共有多少种? (1)

34、任何 2 名女生都不相邻,有多少种排法? (2)男生甲、乙相邻,有多少种排法?(结果用数字表示) 【答案】 (1)144; (2)1440. 【解析】试题分析: (1)利用插空法,先排男生,产生 4 个空,再安排女生,最后根据乘法原理得排法, (2)利用捆绑法,先将甲、乙两人看成一个整体,与其余 5 人进行全排列,再乘以两人之间全排列得结果. 6、平面上有 9 个点,其中 4 个点在同一条直线上(4 个点之间的距离各不相等) ,此外任何三点不共线 (1)过每两点连线,可得几条直线? (2)以每三点为顶点作三角形可作几个?; (3)以一点为端点,作过另一点的射线,这样的射线可作出几条? (4)分别以其中两点为起点和终点,最多可作出几个向量? 【答案】 (1)31; (2)80; (3)66; (4)72. 第 11 页 / 共 11 页 不共线的五点可连得条射线, 共线的四点中, 外侧两点可发生 条射线, 内部两点各可发生条射线, 而在不共线的五点中取一点,共线的四点中取一点而形成的射线有条,故共有 条射线 任意两点之间,可有方向相反的个向量各不相等,则可有个向量 2 5 A12 112 452 C C A 2112 5452 2 12 266AC C A 2 2 9 72A