1、 第 1 页 / 共 15 页 第第 54 讲讲 抛抛 物物 线线 一、课程标准 1、了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 二、基础知识回顾 1、 、抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫做抛物线的 焦点，直线 l 叫做抛物线的准线 2 、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0
2、) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，p 2 离心率 e1 准线 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0，y0) | PF x0p 2 | PF x0p 2 | PF y0p 2 | PF y0p 2 3 、 与焦点弦有关的常用结论 第 2 页 / 共 15 页 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 . (2)|AB|x1x2p 2p sin2( 为 AB 的倾斜角) (3) 1 |AF|
3、1 |BF|为定值 2 p. (4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切 三、自主热身、归纳总结 1、抛物线 y24x 的准线方程为( ) A. x1 B. x1 C. y1 D. y1 【答案】 B 【解析】 由题意得抛物线的焦点在 x 轴上，且 2p4，即 p2，所以抛物线的准线方程为直线 xp 2 1. 2、 设抛物线 y28x 上的一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】 B 【解析】 如图所示， 抛物线的准线 l 的方程为 x2， F 是抛物线的焦点， 过
4、点 P 作 PAy 轴， 垂足为 A， 延长 PA 交直线 l 于点 B，则 AB2.因为点 P 到 y 轴的距离为 4，所以点 P 到准线 l 的距离 PB426， 所以点 P 到焦点的距离 PFPB6.故选 B. 3、过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1x26，则|PQ|( ) A9 B8 C7 D6 【答案】B 【解析】抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x2 第 3 页 / 共 15 页 1x1x228. 4、拋物线 y2ax2(a0)的焦点是( ) A. a
5、 2，0 B. a 2，0 或 a 2，0 C. 0， 1 8a D. 0， 1 8a 或 0， 1 8a 【答案】C 【解析】抛物线的方程化成标准形式为 x2 1 2ay(a0)，其焦点在 y 轴上，所以焦点坐标为 0， 1 8a .故选 C. 5、已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程为_ 【答案】y2 4 2x 【解析】 ：由已知可知双曲线的焦点为( 2，0)，( 2，0)设抛物线方程为 y2 2px(p0)，则p 2 2，所 以 p2 2，所以抛物线方程为 y2 4 2x. 6、设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q
6、的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值 范围是_ 【答案】1,1 【解析】 ：Q(2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线 方程，消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20，当 k0 时，l 与抛物线有公共点；当 k0 时，64(1k2)0 得1k0 或 00)的左、右焦点，点 P 是抛物线 y28ax 与双曲线的一 个交点，若|PF1|PF212，则抛物线的准线方程为_ 【答案】x2 【解析】 将双曲线方程化为标准方程得x 2 a2 y2 3a21， 抛物线的准线为 x2a， 联立 x2 a2 y2 3a21，
7、y28ax x 3a，即点 P 的横坐标为 3a.而由 |PF1|PF2|12， |PF1|PF2|2a |PF2|6a，又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦 点相同，所以|PF2|3a2a6a，解得 a1，所以抛物线的准线方程为 x2. 变式 2、（黑龙江省鹤岗一中 2019 届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的 标准方程是( ) Ay2x B.x28y Cy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y 【答案】D 【解析】设抛物线为 y2mx，代入点 P(4，2)，解得 m1，则抛物线方程为 y2x；设抛物线 为 x2ny，代入点 P(4，2)，解得 n8，则抛物线
8、方程为 x28y.故抛物线方程为 y2x 或 x2 8y. 变式 3、（山西省临汾一中 2019 届模拟）直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( ) Ay212x B.y28x Cy26x Dy24x 【答案】B 【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又 AB 的中点到 y 轴的 距离为 2，x1x2 2 2，x1x24，p4，所求抛物线的方程为 y28x.故选 B. 方法总结：1求抛物线标准方程的方法 (1)定义法：
9、若题目已给出抛物线的方程(含有未知数 p)，那么只需求出 p 即可 (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为 y2 ax(a0)，a 的正负由题设来定；焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可设为 x2ay(a0)，这样就减少了不必 第 7 页 / 共 15 页 要的讨论 2抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程 (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算 考点三 综合考查直线与抛物线的问题 例 3、如图，已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(2，1)，A(x
10、1，y1)，B(x2，y2)均 在抛物线上 (1)求抛物线的方程； (2)若APB 的平分线垂直于 y 轴，求证：直线 AB 的斜率为定值 【解析】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为 x22py(p0)点 P(2，1)在抛物线上，222p 1， 解得 p2.故所求抛物线的方程为 x24y. (2)由题意知 kAPkBP0，y11 x12 y21 x220， x21 4 1 x12 x22 4 1 x220， x12 4 x22 4 0， x1x24，kABy1y2 x1x2 x21 4 x 2 2 4 x1x2 x1x2 4 1，直线 AB 的斜率为定值1. 变式 1、如图，在平面直角坐标
11、系 xOy 中，点 A(8，4)，P(2，t)(t0)上 (1)求 p，t 的值； (2)过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，M 为垂足，直线 AM 与抛物线的另一交点为 B，点 C 在直线 AM 上，若 PA，PB，PC 的斜率分别为 k1，k2，k3，且 k1k22k3，求点 C的坐标 第 8 页 / 共 15 页 【解析】 (1)将点 A(8，4)代入 y22px，得 p1.将点 P(2，t)代入 y22x，得 t 2.t0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴 的距离为9，则p=（ ） A2 B3 C6 D9 【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|12 2
12、A p AFx，即129 2 p ，解得6p =. 故选：C 2、 （2020 年高考全国卷理数）设O为坐标原点，直线2x与抛物线 C： 2 2(0)ypx p交于D，E 两点，若ODOE，则C的焦点坐标为（ ） A 1 ,0 4 B 1 ,0 2 C (1,0) D (2,0) 【答案】B 第 10 页 / 共 15 页 【解析】因为直线2x与抛物线 2 2(0)ypx p交于 ,E D两点，且OD OE， 根据抛物线的对称性可以确定 4 DOxEOx ，所以2,2D， 代入抛物线方程44p，求得1p ，所以其焦点坐标为 1 ( ,0) 2 ， 故选：B 3、 （2020 年高考北京）设抛物
13、线的顶点为O，焦点为F，准线为lP是抛物线上异于O的一点，过P作 PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ） A 经过点O B 经过点P C 平行于直线OP D 垂直于直线OP 【答案】B 【解析】如图所示： 因为线段FQ的垂直平分线上的点到,F Q的距离相等， 又点P在抛物线上， 根据定义可知，PQPF， 所以线段FQ的垂直平分线经过点P. 故选：B 4、 （2019 全国高考）若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则 p=（ ） A2 B3 C4 D8 【答案】D 【解析】因为抛物线 2 2(0)ypx p的焦点(,0) 2 p 是椭圆 22 3
14、1 xy pp 的一个焦点，所以 2 3() 2 p pp，解得8p ，故选 D 第 11 页 / 共 15 页 5、(2018 全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为2 3的直线与 C 交于 M，N 两点， 则FM FN ( ) A5 B6 C7 D8 【答案】D 【解析】由题意知直线 MN 的方程为 y2 3(x2)联立 y2 3 x2， y24x， 消去 y 并整理，得 x25x4 0.解得 xN1，xM4.所以 yN2，yM4.又抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，所以FM (3,4)，FN (0,2)所 以FM FN 3 02 48.故选 D. 6
15、、（2017 全国高考） 过抛物线 2 :4C yx的焦点F， 且斜率为3的直线交C于点M（在x轴上方） ， l为C的准线，点N在l上且MNl，则点M到直线NF的距离为（ ） A.2 3 B.3 3 C. 5 D.2 2 【答案】A 【解析】设直线l与x轴相交于点P，与直线MN相交于点Q，(1,0)F， 设| |MNMFm，因为| 2,30PFNQM，所以| 4,| 2QFQMm， 所以42mm，解得：4m，设 00 (,)M xy，由焦半径公式得： 0 14x ， 所以 0 3x ， 0 2 3y ， 所以 2 33 sinsin 42 NP MNFNFP NF ， 第 12 页 / 共 1
16、5 页 所以点M到直线NF的距离为 3 | sin42 3 2 NMMNF . 7、(2018 全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两 点若AMB90 ，则 k_. 【答案】2 【解析】 解法一： 由题意可知 C 的焦点坐标为(1,0)， 所以过焦点(1,0)， 斜率为 k 的直线方程为 xy k1， 设 A y1 k 1，y1，B y2 k 1，y2， 将直线方程与抛物线方程联立得 xy k1， y24x， 整理得 y24 ky40， 从而得 y1y24 k，y1 y24. M(1,1)，AMB90 ， MA MB 0，
17、 即 y1 k 2 y2 k 2 (y11)(y21)0， 即 k24k40，解得 k2. 解法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y214x1， y224x2， 第 13 页 / 共 15 页 得 y22y214(x2x1)， 从而 ky2y1 x2x1 4 y1y2. 设 AB 的中点为 M，如图，连接 MM. 直线 AB 过抛物线 y24x 的焦点， 以线段 AB 为直径的M与准线 l：x1 相切 M(1,1)，AMB90 ， 点 M 在准线 l：x1 上，同时在M上， 准线 l 是M的切线，切点为 M，且 MMl， 即 MM与 x 轴平行， 点 M的纵坐标为 1， 即y1
18、y2 2 1y1y22， 故 k 4 y1y2 4 22. 8、 （2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知P是抛物线 2 4yx上的动点，点P在y轴上的射影是M，点 A的坐标为 2,3，则PAPM的最小值是_ 【答案】101 【解析】设抛物线的焦点是1,0F， 根据抛物线的定义可知1PMPF 1PAPMPAPF，PAPFAF， 当, ,A P F三点共线时，等号成立， PAPM的最小值是1AF -， 22 2 13 010AF ， PAPM的最小值是 101 . 第 14 页 / 共 15 页 故答案为：101 9、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线 2 20ypx p的焦点
19、为 F(4，0)，过 F 作直线 l 交抛 物线于 M，N 两点，则 p=_， 4 9 NF MF 的最小值为_ 【答案】8p 1 3 【解析】 抛物线 2 20ypx p的焦点为 F(4，0)， 8p ， 抛物线的方程为 2 16yx， 设直线l的方程为4xmy，设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 由 2 16 4 yx xmy 得 2 16640ymy， 12 16yym， 12 64y y ， 由抛物线的定义得 11 MFNF 12 11 44xx 21 12 44 44 xx xx 21 12 448 88 mymy mymy 12 2 1212 16 864 m yy m y ym yy 第 15 页 / 共 15 页 2 22 1616 6412864 m mm 2 2 161 641 m m 1 4 ， 4 9 NF MF 11 4 94 NF NF 4 1 9 NF NF 4 2?1 9 NF NF 1 3 ， 当且仅当 4 9 NF NF 即6NF 时，等号成立， 故答案为： 1 3