1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 52 讲讲 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 一、课程标准 1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质 2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围 3、掌握直线与椭圆的位置关系 二、基础知识回顾 1、 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) x2 b2 y2 a21(ab0) 图形 性质 范围 axa， byb bxb， aya 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0， a)，A2(0，a)， B1(b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A
2、2的长为 2a，短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F22c 离心率 ec a， e(0,1) a，b，c 的关系 c2a2b2 2、焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分 别记作 r1|PF1|，r2|PF2|. (1)x 2 a2 y2 b21(ab0)，r1aex0，r2aex0； (2)y 2 a2 x2 b21(ab0)，r1aey0，r2aey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) 3、焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2
3、，PF1F2的面积 第 2 页 / 共 18 页 为 S，则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中 (1)当 P 为短轴端点时， 最大 (2)S1 2|PF1|PF2| sin b 2tan 2c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(ac) 4、 AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则 (1)弦长 l 1k2|x1x2| 1 1 k2|y1y2|； (2)直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0. 5、直线与椭圆的关系 将直线
4、方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2bxc0(或 ay2byc 0) 再求一元二次方程的判别式，当： 0直线与椭圆相交； 0直线与椭圆相切； 0直线与椭圆相离 6、设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，k 为直线 l 斜率，则 AB （1k2）|x1x2| 三、自主热身、归纳总结 1、直线 ykxk1(k 为实数)与椭圆x 2 9 y 2 41 的位置关系为( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能 【答案】A 【解析】 直线 ykxk1k(x1)1 恒过定点(1，1)点(1，1)在椭圆内部，
5、直线与椭圆相交故 选 A. 第 2 题图 第 3 页 / 共 18 页 2、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1，B2分别为椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右、下、上顶点， F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1，则椭圆 C 的离心率是_ 【答案】 51 2 【解析】 kB2FkAB11，b c b a1，b 2ac，即 a2c2ac，ec a 51 2 . 3、中心为原点，一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆，截直线 y3x2 所得弦中点的横坐标为1 2，则该椭圆的方程 是_ 【答案】 ：x 2 25 y2 751 【解析】 ：由题设知 c5 2，设椭圆方程为
6、x2 a250 y2 a21，联立方程 x2 a250 y2 a21， y3x2， 消去 y，整理得 (10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0， 由根与系数的关系得 x1x212a 250 10a24501，解得 a 275，所以椭圆方程为x 2 25 y2 751. 4、已知直线 yx1 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为 2 2 ，焦距为 2，则 线段 AB 的长是( ) A.2 2 3 B.4 2 3 C. 2 D2 【答案】B 【解析】由条件知 c1，ec a 2 2 ，所以 a 2，b1，椭圆方程为x 2
7、2y 21，联立直线方程与椭圆方程 可得交点坐标为(0,1)， 4 3， 1 3 ，所以|AB|4 2 3 . 5、 (一题两空)已知点 F1， F2分别是椭圆x 2 25 y2 91 的左、 右焦点， 点 P 在此椭圆上， 则椭圆离心率为_， PF1F2的周长为_ 【答案】4 5 18 【解析】由椭圆方程知 a5，b3，c4，所以其离心率 ec a 4 5.PF1F2的周长为 2a2c10818. 四、例题选讲 考点一 椭圆的离心率的值 第 4 页 / 共 18 页 例 1 (1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 A，左焦点为 F，
8、第(1)题图 上顶点为 B，若BAOBFO90，则椭圆的离心率是_ (2)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点P 为椭圆 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为_ 【答案】 （1） 51 2 （2）1 3 【解析】 (1)由BAOBFO90，BAOABO90，得BFOABO.又AOBAOB， ABOBFO，OB OF AO BO，即 b c a b， 得 acb2a2c2，变形得 e2e10，解得 e
9、51 2 或 51 2 (舍)，椭圆的离心率为 51 2 . (2)设 M(c， m)， 则 E(0，am ac)， OE 的中点为 D， 则 D(0， am 2（ac）)， 又 B， D， M 三点共线， m 2（ac） m ac，解得 a3c，e 1 3. 变式 1、(1)已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120 ，则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 【答案】 D 变式 2、（四川省乐山一中 2019 届质检
10、）设 F 是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点，P 是椭圆 C 上的 点，圆 x2y2a 2 9与线段 PF 交于 A，B 两点，若 A，B 三等分线段 PF，则椭圆 C 的离心率为( ) A. 3 3 B. 5 3 第 5 页 / 共 18 页 C. 10 4 D. 17 5 【答案】D 【解析】如图，取线段 PF 的中点 H，连接 OH，OA.设椭圆另一个焦点为 E，连接 PE. A，B 三等分线段 PF，H 也是线段 AB 的中点，即 OHAB. 设|OH|d，则|PE|2d，|PF|2a2d，|AH|ad 3 . 在 RtOHA 中，|OA|2|OH|2|AH|2
11、，解得 a5d. 在 RtOHF 中，|FH|4 5a，|OH| a 5，|OF|c. 由|OF|2|OH|2|FH|2， 化简得 17a225c2，c a 17 5 . 即椭圆 C 的离心率为 17 5 .故选 D. 变式 3、 焦点在 x 轴上的椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形， 该三角形内切圆的半径为b 3，则椭圆的离心率为( ) A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】C 【解析】 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形， 又由三角形面积公式得1 22cb 1 2(2a2c) b 3， 得 a2c，
12、即 ec a 1 2，故选 C. 变式 4、(2017 苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1，B2分别为椭圆 C：x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的右、下、上顶点，F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1，则椭圆 C 的离心率是_ 【答案】 51 2 第 6 页 / 共 18 页 【解析】因为 F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，b)，A(a,0)，所以B2F (c，b)，B1A (a，b)因为 FB2AB1， 所以 acb20，即 c2aca20，故 e2e10，解得 e1 5 2 (负值舍去) 方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出 a 与
13、c 的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要 有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等 式关系。 考点二 椭圆离心率的范围 例 2、(2020 福州模拟)过椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C 的左焦点和上顶点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是_ 【答案】 0， 5 5 【解析】 (1)如图， 作 PBx 轴于点 B.由题意可设|F1F2|PF2|2c.由F1F2P120 ， 可得|PB| 3c， |BF2| c，故|AB|
14、acca2c，tanPAB|PB| |AB| 3c a2c 3 6 ，解得 a4c，所以 ec a 1 4. (2)由题设知，直线 l： x c y b1，即 bxcybc0，以 AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将 xc 代入椭圆 C 的方程，得 y b2 a ，即圆的半径 rb 2 a .又圆与直线 l 有公共点，所以 2bc b2c2 b2 a ，化简得 2cb，平方整理得 a25c2，所以 ec a 5 5 .又 0e1，所以 0e 5 5 . 变式 1、设 F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P，使F1PF2120，则椭圆离心率 e 的取值范围 是_ 【答案】 3
15、 2 ，1) 【解析】 (方法 1)易知 P 点在短轴端点时F1PF2取最大值，只要在此情况下椭圆变得扁就行了，点 P 第 7 页 / 共 18 页 在短轴端点时，若F1PF2120，则 ec asin60 3 2 .e 3 2 ，1) (方法 2)若F1PF2120， 则有 PF21PF222PF1 PF2cos120F1F22， 且 PF1PF22a， 4a2PF1 PF2 4c2，PF1PF24b2，又 PF1PF2 PF1PF2 2 2a2， a24b2.3a24c2即 e23 4，e 3 2 ，1) (方法 3)也可利用焦半径公式结合余弦定理将 P 点横坐标表示出来，再解不等式ax0
16、a 即可 变式 2、 (2020 上饶模拟)已知两定点 A(1,0)和 B(1,0)， 动点 P(x， y)在直线 l： yx2 上移动， 椭圆 C 以 A， B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为_ 【答案】 ： 10 5 【解析】由题意知 c1，离心率 ec a， 因为 P 在直线 l：yx2 上移动， 所以 2a|PA|PB|. 点 A 关于直线 yx2 的对称点 C， 设 C(m，n)，则 n m11， 1 2n 1 2m12 解得 m2， n1 即有 C(2,1)， 则 2a|PA|PB|PC|PB|BC| 10， 当 C，P，B 共线时，a 有最小值 10 2 ，
17、对应的离心率 e 有最大值 10 5 . 变式 3、已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F2(3,0)，离心率为 e. (1)若 e 3 2 ，求椭圆的方程； (2)设直线 ykx 与椭圆相交于 A，B 两点，M，N 分别为线段 AF2，BF2的中点，若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上，且 2 2 e 3 2 ，求 k 的取值范围 【解析】(1)由题意得 c3，c a 3 2 ，所以 a2 3，又因为 a2b2c2，所以 b23.所以椭圆的方程为x 2 12 y2 3 第 8 页 / 共 18 页 1. (2)由 x2 a2 y2 b21， ykx 得(b2a2k2)
18、x2a2b20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 x1x20，x1x2 a2b2 b2a2k2，依题意易知，OMON，四边形 OMF2N 为平行四边形，所以 AF2BF2. 因为 F2A (x 13，y1)， F2B (x 23，y2)， 所以 F2A F 2B (x 13)(x23)y1y2(1k 2)x 1x290. 即a 2 a2k2 a2k2a2 90， 将其整理为 k2a 418a281 a418a2 1 81 a418a2. 因为 2 2 e 3 2 ，所以 2 3a3 2，即 12a218. 所以 k21 8，即 k ， 2 4 2 4 ， . 变式 4、 (20
19、18 苏中三市、 苏北四市三调） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F，P为右准线上一点点Q在椭圆上，且FQFP （1）若椭圆的离心率为 1 2 ，短轴长为2 3 求椭圆的方程； （2）若在x轴上方存在PQ，两点，使OFPQ， ， ，四点共圆，求椭圆离心率的取值范围 第 9 页 / 共 18 页 【思路分析】 （1）列出关于, ,a b c 的方程组，解出 , a b 值，从而求得椭圆的方程； （2）设出 00 ()Q xy，求出 P 坐标，,P Q F 三点确定以PQ为直径的圆，要使四点共圆，则第四点 O 在圆 上，有两种思路：思
20、路 1，求出圆方程，将点O坐标代入圆方程，思路 2，OF的中垂线经过圆心，求出 2 0 a xc c =- ，根据 点 P，Q 均在 x 轴上方，得到 2 a acc c ，转化为e的不等式，求出范围. 规规范解答范解答 （1）设椭圆的焦距为 2c， 由题意，得 222 1 2 22 3 c a b abc ， ， ， 所以 2 3 a b ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 43 y x 由得，焦点(1 0)F，准线为4x ， （2）解法解法 1 设 2 () a Pt c ， 00 ()Q xy， 因为 FPFQ， 则FPQ 的外接圆即为以 PQ 为直径的圆 2 00 ()()()()0 a
21、 xxxytyy c 由题意，焦点 F，原点 O 均在该圆上，所以 2 00 2 00 ()()0 0 a ccxty c a xty c ， ， 消去 0 ty得 22 00 ()()0 aa ccxx cc ， 所以 2 0 a xc c ， 因为点 P，Q 均在 x 轴上方，所以 2 a acc c ，即 22 0caca， 所以 2 10ee ，又因为01e， 所以 51 1 2 e 解法解法 2 因为 O，F，P，Q 四点共圆且 FPFQ，所以 PQ 为圆的直径， 所以圆心必为 PQ 中点 M， 又圆心在弦 OF 的中垂线 2 c x 上， 第 10 页 / 共 18 页 所以圆心
22、M 的横坐标为 2 M c x， 所以点 Q 的横坐标为 22 2 QM aa xxc cc （以下同方法 1） 求离心率的值关键是找到不等关系，解出 a 与 c 的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有： 1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦 点的范围；要特别注意离心率的范围。 考点三 直线与椭圆的综合问题 例 3、2018 江苏高考如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点( 3，1 2)，焦点 F1( 3，0)，F2( 3，0)，圆 O 的直径为 F1F2. (1)求椭圆 C 及圆 O 的方程； (2)设直线 l
23、 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若AOB 的面积为2 6 7 ，求直线 l 的方程 【解析】 (1)椭圆 C 的焦点为 F1( 3，0)，F2( 3，0)，可设椭圆 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)又 点( 3，1 2)在椭圆 C 上， 3 a2 1 4b21， a2b23， 第 11 页 / 共 18 页 解得 a24， b21. 椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. 圆 O 的直径为 F1F2，其方程为 x2y23. (2)设直线 l 与圆 O 相切于 P(x
24、0，y0)(x00，y00)，则 x20y203，直线 l 的方程为 yx0 y0(xx0) y0，即 yx0 y0 x 3 y0. 由 x2 4 y21， yx0 y0 x 3 y0 ，消去 y，得(4x20y20)x224x0 x364y200(*)， 直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， (24x0)24(4x20y20)(364y20)0. x0，y00，x0 2，y01. 点 P 的坐标为( 2，1) 三角形 OAB 的面积为2 6 7 ，1 2AB OP 2 6 7 ，从而 AB4 2 7 . 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得 x1，224x0 48y 2
25、0（x 2 02） 2（4x20y20） ， AB2(x1x2)2(y1y2)2 1x 2 0 y20 48y 2 0（x 2 02） （4x20y20）2 . x20y203，AB216（x 2 02） （x201）2 32 49，即 2x 4 045x 2 01000，解得 x 2 05 2，x 2 020，由椭圆的范围 得2x02，x205 2，y 2 01 2，P 的坐标为 10 2 ， 2 2 .直线 l 的方程为 y 5x3 2. 变式 1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2y2b2经过椭圆 E：x 2 4 y 2 b21(0b2)的焦点(1)求椭 圆 E 的标准方程；
26、 (2)设直线 l：ykxm 交椭圆 E 于 P，Q 两点，T 为弦 PQ 的中点，M(1，0)，N(1，0)，记直线 TM， TN 的斜率分别为 k1，k2，当 2m22k21 时，求 k1k2的值 【解析】 (1)0bb0)的一个顶点为 B(0,4)， 离心率 e 5 5 ， 直线 l 交椭圆于 M，N 两点 (1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦|MN|的长； (2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式 【解析】(1)由已知得 b4，且c a 5 5 ，即c 2 a2 1 5， 所以a 2b2 a2 1 5，解得 a 220，所以椭圆方程为x 2 20 y
27、2 161. 将 4x25y280 与 yx4 联立，消去 y 得 9x240 x0， 所以 x10，x240 9 ，所以|MN| 112|x2x1|40 2 9 . 第 13 页 / 共 18 页 (2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)，设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知 B F 2FQ，又 B(0,4)，所以(2，4)2(x02，y0)，故得 x03，y02，即 Q 的坐标为(3，2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x26，y1y24，且x 2 1 20 y21 161， x22 20 y22 161， 以上两式相减得 x1x2x1x2 20
28、 y1y2y1y2 16 0， 所以 kMNy 1y2 x1x2 4 5 x1x2 y1y2 4 5 6 4 6 5， 故直线 MN 的方程为 y26 5(x3)，即 6x5y280. 方法总结：直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)求直线方程：可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程 (2)求面积：先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值 (3)弦长问题：利用根与系数的关系、弦长公式求解 (4)中点弦或弦的中点问题：一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交 五、优化提升与真题演练 1、（江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一
29、次调研抽测）设 A，B 分别为椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab 0)的右顶点和上顶点，已知椭圆 C 过点 P(2，1)，当线段 AB 长最小时椭圆 C 的离心率为_. 【答案】 2 2 【解析】因为 A，B 分别为椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的右顶点和上顶点， 所以 ( ,0)A a ，(0, )Bb， 又椭圆 C 过点 (2,1)P ， 所以 22 41 1 ab ， 所以 22 2222 2222 414 ()4193 ab ABabab abba ， 当且仅当 22 22 4ab ba ，即 22 2ab时，取等号， 第 14 页 / 共 18 页 此
30、时 22 2ac，所以离心率为 12 22 c e a . 故答案为 2 2 2、【2019 年全国卷】 设 12 FF，为椭圆 C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限.若 12 MFF 为等腰三角形，则 M 的坐标为_. 【答案】3, 15 【解析】由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc ， 112 28MFFFc， 2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0 xyxy，则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy ， 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ，解得 0 15y ， 2
31、 2 0 15 1 3620 x ，解得 0 3x （ 0 3x 舍去） ，则 M的坐标为 3, 15 3、(2018 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 41 的一个焦点为(2,0)，则 C 的离心率为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 2 D.2 2 3 【答案】C 【解析】因为 a2b2c2448，所以 a2 2，所以 ec a 2 2 . 4、(2017 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆 与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( ) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3
32、D.1 3 【答案】A 【解析】以线段 A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点 O(0,0)，半径为 a，由题意，圆心到直线 bxay2ab 0 的距离为 2ab a2b2a，即 a 23b2.又 e21b 2 a2 2 3，所以 e 6 3 .故选 A. 5、(2017 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的 第 15 页 / 共 18 页 圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( ) A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 【答案】 A 【解析】以线段 A1A2为直径的圆的方程为 x2y2a2，该
33、圆与直线 bxay2ab0 相切， |b 0a 02ab| b2a 2a，即 2b a 2b2， a23b2，a2b2c2，c 2 a2 2 3，e c a 6 3 . 6、(2017 扬州期末）如图，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，圆 O：x 2y2b2，过椭圆 C 的上顶点 A 的直线 l：ykxb 分别交圆 O、椭圆 C 于不同的两点 P，Q，设AP PQ. (1) 若点 P(3,0)，点 Q(4，1)，求椭圆 C 的方程； (2) 若 3，求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围 规范解答 (1) 由 P 在圆 O：x2y2b2上，得 b3. 又点 Q 在椭圆 C 上，得4
34、 2 a2 1 2 32 1，解得 a218， 所以椭圆 C 的方程是x 2 18 y2 91.(5 分) (2) 解法 1 由 ykxb， x2y2b2， 得 x0 或 xP 2kb 1k2.(7 分) 由 ykxb， x2 a2 y2 b21， 得 x0 或 xQ 2kba2 a2k2b2.(9 分) 因为AP PQ ，3，所以AP 3 4AQ ， 所以 2kba2 a2k2b2 3 4 2kb 1k2，即 a2 a2k2b2 3 4 1 1k2，所以 k 23a 24b2 a2 4e21. 因为 k20，所以 4e21，即 e1 2，又 0e1，所以 1 2e1.(16 分) 解法 2
35、A(0，b)，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 第 16 页 / 共 18 页 则有 x21y21b2 ，x 2 2 a2 y22 b21 .(7 分) 又因为AP PQ ，3，所以AP 3 4AQ ，即(x1，y1b)3 4(x2，y2b)解得 x2 4 3x1，y2 4 3y1 1 3b，代 入得16x 2 1 9a2 16y 2 18by1b 2 9b2 1.(9 分) 又 x21b2y21，消去 x21整理得 2(a2b2)y21a2by1b2(a22b2)0， 即2(a2b2)y1b(a22b2)(y1b)0，解得，y1b2b 2a2 2a2b2 或 y1b(舍去)，因为by
36、1b，所以b b2b 2a2 2a2b2 b，解得b 2 a2 3 4.(14 分) 而 e21b 2 a21 3 4 1 4，即 e 1 2，又 0e1，所以 1 2e1.(16 分) 7、(2017 苏北四市摸底）如图，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的上、下顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 OPAF. (1) 若点 P 坐标为( 3，1)，求椭圆 C 的方程； (2) 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q，若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍，求椭圆 C 的离心率； 思路分析 第(1)问根据条件求出 a，b，c 的值，从而可得椭圆的方程
37、；第(2)问根据条件转化为 a，b，c 的等量关系，即可求得椭圆的离心率，对运算求解的能力要求较高；第 规范解答 (1) 因为点 P( 3，1)，所以 kOP 1 3， 又因为 AFOP，则b c 1 31， 所以 3cb，所以 3a24b2.(2 分) 又点 P( 3，1)在椭圆上，所以 3 a2 1 b21， 解得 a213 3 ，b213 4 .故椭圆方程为x 2 13 3 y 2 13 4 1.(4 分) (2) 解法 1 由题意，直线 AF 的方程为x c y b1，与椭圆 C 方程 x2 a2 y2 b21 联立消去 y，得 a2c2 a2c2 x22x c 0, 解得 x0 或
38、x 2a2c a2c2，所以点 Q 的坐标为 2a2c a2c2， bc2a2 a2c2 .(7 分) 第 17 页 / 共 18 页 所以直线 BQ 的斜率为 kBQ bc2a2 a2c2 b 2a2c a2c2 bc a2， 又 OPAF，所以 kOPc b. 由题意得c b 2bc a2 ，所以 a22b2.(9 分) 所以椭圆的离心率 ec a 1b 2 a2 2 2 .(10 分) 解法 2 设点 Q 坐标为(x0，y0)，则有x 2 0 a2 y20 b21，得 y 2 0b 2 1x 2 0 a2 ， 又 kAQy0b x0 ，kBQy0b x0 ，所以 kAQ kBQy 2 0
39、b 2 x20 ， 将 y20b2 1x 2 0 a2 代入上式，化简得 kAQ kBQb 2 a2.(7 分) 又 kAQb c，所以 kBQ bc a2. 因为 OPAF，所以 kOPc b. 由题意得c b 2bc a2 ，所以 a22b2.(9 分) 所以椭圆的离心率 ec a 1b 2 a2 2 2 .(10 分) 解后反思 从阅卷的情况看，主要的问题是考生运算与化简的能力差，对复杂式子的运算缺乏信心和耐心， 缺乏方法；问题的解决缺乏严谨，综合运用知识的能力差， 8、(2019 南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点
40、为 F， 右顶点为 A，上顶点为 B. (1) 已知椭圆的离心率为1 2，线段 AF 中点的横坐标为 2 2 ，求椭圆的标准方程； (2) 已知ABF 外接圆的圆心在直线 yx 上，求椭圆的离心率 e 的值 【解】(1)因为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，所以 c a 1 2，则 a2c. 因为线段 AF 中点的横坐标为 2 2 ，所以ac 2 2 2 . 第 18 页 / 共 18 页 所以 c 2，则 a28，b2a2c26. 所以椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 6 1.(4 分) (2)因为 A(a，0)，F(c，0)， 所以线段 AF 的中垂线方程为：xac 2 . 又因为ABF 外接圆的圆心 C 在直线 yx 上， 所以 C ac 2 ，ac 2 .(6 分) 因为 A(a，0)，B(0，b)，所以线段 AB 的中垂线方程为：yb 2 a b xa 2 . 由 C 在线段 AB 的中垂线上，得ac 2 b 2 a b ac 2 a 2 ， 整理得，b(ac)b2ac，(10 分) 即(bc)(ab)0. 因为 ab0，所以 bc.(12 分) 所以椭圆的离心率 ec a c b2c2 2 2 .(14 分)