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第52讲 椭圆的几何性质(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 52 讲讲 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 一、课程标准 1、掌握椭圆的性质,能够正确求出椭圆的性质 2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围 3、掌握直线与椭圆的位置关系 二、基础知识回顾 1、 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) x2 b2 y2 a21(ab0) 图形 性质 范围 axa, byb bxb, aya 对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0) 顶点 A1(a,0),A2(a,0), B1(0,b),B2(0,b) A1(0, a),A2(0,a), B1(b,0),B2(b,0) 轴 长轴 A1A

2、2的长为 2a,短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F22c 离心率 ec a, e(0,1) a,b,c 的关系 c2a2b2 2、焦半径:椭圆上的点 P(x0,y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分 别记作 r1|PF1|,r2|PF2|. (1)x 2 a2 y2 b21(ab0),r1aex0,r2aex0; (2)y 2 a2 x2 b21(ab0),r1aey0,r2aey0; (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) 3、焦点三角形:椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形,F1PF2

3、,PF1F2的面积 第 2 页 / 共 18 页 为 S,则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中 (1)当 P 为短轴端点时, 最大 (2)S1 2|PF1|PF2| sin b 2tan 2c|y0|,当|y0|b 时,即点 P 为短轴端点时,S 取最大值,最大值为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(ac) 4、 AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0),则 (1)弦长 l 1k2|x1x2| 1 1 k2|y1y2|; (2)直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0. 5、直线与椭圆的关系 将直线

4、方程与椭圆方程联立,消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2bxc0(或 ay2byc 0) 再求一元二次方程的判别式,当: 0直线与椭圆相交; 0直线与椭圆相切; 0直线与椭圆相离 6、设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),k 为直线 l 斜率,则 AB (1k2)|x1x2| 三、自主热身、归纳总结 1、直线 ykxk1(k 为实数)与椭圆x 2 9 y 2 41 的位置关系为( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能 【答案】A 【解析】 直线 ykxk1k(x1)1 恒过定点(1,1)点(1,1)在椭圆内部,

5、直线与椭圆相交故 选 A. 第 2 题图 第 3 页 / 共 18 页 2、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B1,B2分别为椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右、下、上顶点, F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1,则椭圆 C 的离心率是_ 【答案】 51 2 【解析】 kB2FkAB11,b c b a1,b 2ac,即 a2c2ac,ec a 51 2 . 3、中心为原点,一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆,截直线 y3x2 所得弦中点的横坐标为1 2,则该椭圆的方程 是_ 【答案】 :x 2 25 y2 751 【解析】 :由题设知 c5 2,设椭圆方程为

6、x2 a250 y2 a21,联立方程 x2 a250 y2 a21, y3x2, 消去 y,整理得 (10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0, 由根与系数的关系得 x1x212a 250 10a24501,解得 a 275,所以椭圆方程为x 2 25 y2 751. 4、已知直线 yx1 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A,B 两点,若椭圆的离心率为 2 2 ,焦距为 2,则 线段 AB 的长是( ) A.2 2 3 B.4 2 3 C. 2 D2 【答案】B 【解析】由条件知 c1,ec a 2 2 ,所以 a 2,b1,椭圆方程为x 2

7、2y 21,联立直线方程与椭圆方程 可得交点坐标为(0,1), 4 3, 1 3 ,所以|AB|4 2 3 . 5、 (一题两空)已知点 F1, F2分别是椭圆x 2 25 y2 91 的左、 右焦点, 点 P 在此椭圆上, 则椭圆离心率为_, PF1F2的周长为_ 【答案】4 5 18 【解析】由椭圆方程知 a5,b3,c4,所以其离心率 ec a 4 5.PF1F2的周长为 2a2c10818. 四、例题选讲 考点一 椭圆的离心率的值 第 4 页 / 共 18 页 例 1 (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 A,左焦点为 F,

8、第(1)题图 上顶点为 B,若BAOBFO90,则椭圆的离心率是_ (2)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点,A,B 分别为椭圆 C 的左、右顶点P 为椭圆 C 上一点,且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为_ 【答案】 (1) 51 2 (2)1 3 【解析】 (1)由BAOBFO90,BAOABO90,得BFOABO.又AOBAOB, ABOBFO,OB OF AO BO,即 b c a b, 得 acb2a2c2,变形得 e2e10,解得 e

9、51 2 或 51 2 (舍),椭圆的离心率为 51 2 . (2)设 M(c, m), 则 E(0,am ac), OE 的中点为 D, 则 D(0, am 2(ac)), 又 B, D, M 三点共线, m 2(ac) m ac,解得 a3c,e 1 3. 变式 1、(1)已知 F1,F2是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120 ,则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 【答案】 D 变式 2、(四川省乐山一中 2019 届质检

10、)设 F 是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点,P 是椭圆 C 上的 点,圆 x2y2a 2 9与线段 PF 交于 A,B 两点,若 A,B 三等分线段 PF,则椭圆 C 的离心率为( ) A. 3 3 B. 5 3 第 5 页 / 共 18 页 C. 10 4 D. 17 5 【答案】D 【解析】如图,取线段 PF 的中点 H,连接 OH,OA.设椭圆另一个焦点为 E,连接 PE. A,B 三等分线段 PF,H 也是线段 AB 的中点,即 OHAB. 设|OH|d,则|PE|2d,|PF|2a2d,|AH|ad 3 . 在 RtOHA 中,|OA|2|OH|2|AH|2

11、,解得 a5d. 在 RtOHF 中,|FH|4 5a,|OH| a 5,|OF|c. 由|OF|2|OH|2|FH|2, 化简得 17a225c2,c a 17 5 . 即椭圆 C 的离心率为 17 5 .故选 D. 变式 3、 焦点在 x 轴上的椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0), 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形, 该三角形内切圆的半径为b 3,则椭圆的离心率为( ) A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】C 【解析】 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形, 又由三角形面积公式得1 22cb 1 2(2a2c) b 3, 得 a2c,

12、即 ec a 1 2,故选 C. 变式 4、(2017 苏北四市一模) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B1,B2分别为椭圆 C:x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的右、下、上顶点,F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1,则椭圆 C 的离心率是_ 【答案】 51 2 第 6 页 / 共 18 页 【解析】因为 F(c,0),B2(0,b),B1(0,b),A(a,0),所以B2F (c,b),B1A (a,b)因为 FB2AB1, 所以 acb20,即 c2aca20,故 e2e10,解得 e1 5 2 (负值舍去) 方法总结:求离心率的值关键是找到等式关系,解出 a 与

13、c 的关系,进而求出离心率。常见的等式关系主要 有:1、题目中给出等式关系;2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系;3、挖掘题目中的等 式关系。 考点二 椭圆离心率的范围 例 2、(2020 福州模拟)过椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线,交 C 于 A,B 两点,直线 l 过 C 的左焦点和上顶点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点,则 C 的离心率的取值范围是_ 【答案】 0, 5 5 【解析】 (1)如图, 作 PBx 轴于点 B.由题意可设|F1F2|PF2|2c.由F1F2P120 , 可得|PB| 3c, |BF2| c,故|AB|

14、acca2c,tanPAB|PB| |AB| 3c a2c 3 6 ,解得 a4c,所以 ec a 1 4. (2)由题设知,直线 l: x c y b1,即 bxcybc0,以 AB 为直径的圆的圆心为(c,0),根据题意,将 xc 代入椭圆 C 的方程,得 y b2 a ,即圆的半径 rb 2 a .又圆与直线 l 有公共点,所以 2bc b2c2 b2 a ,化简得 2cb,平方整理得 a25c2,所以 ec a 5 5 .又 0e1,所以 0e 5 5 . 变式 1、设 F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P,使F1PF2120,则椭圆离心率 e 的取值范围 是_ 【答案】 3

15、 2 ,1) 【解析】 (方法 1)易知 P 点在短轴端点时F1PF2取最大值,只要在此情况下椭圆变得扁就行了,点 P 第 7 页 / 共 18 页 在短轴端点时,若F1PF2120,则 ec asin60 3 2 .e 3 2 ,1) (方法 2)若F1PF2120, 则有 PF21PF222PF1 PF2cos120F1F22, 且 PF1PF22a, 4a2PF1 PF2 4c2,PF1PF24b2,又 PF1PF2 PF1PF2 2 2a2, a24b2.3a24c2即 e23 4,e 3 2 ,1) (方法 3)也可利用焦半径公式结合余弦定理将 P 点横坐标表示出来,再解不等式ax0

16、a 即可 变式 2、 (2020 上饶模拟)已知两定点 A(1,0)和 B(1,0), 动点 P(x, y)在直线 l: yx2 上移动, 椭圆 C 以 A, B 为焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为_ 【答案】 : 10 5 【解析】由题意知 c1,离心率 ec a, 因为 P 在直线 l:yx2 上移动, 所以 2a|PA|PB|. 点 A 关于直线 yx2 的对称点 C, 设 C(m,n),则 n m11, 1 2n 1 2m12 解得 m2, n1 即有 C(2,1), 则 2a|PA|PB|PC|PB|BC| 10, 当 C,P,B 共线时,a 有最小值 10 2 ,

17、对应的离心率 e 有最大值 10 5 . 变式 3、已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F2(3,0),离心率为 e. (1)若 e 3 2 ,求椭圆的方程; (2)设直线 ykx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2,BF2的中点,若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且 2 2 e 3 2 ,求 k 的取值范围 【解析】(1)由题意得 c3,c a 3 2 ,所以 a2 3,又因为 a2b2c2,所以 b23.所以椭圆的方程为x 2 12 y2 3 第 8 页 / 共 18 页 1. (2)由 x2 a2 y2 b21, ykx 得(b2a2k2)

18、x2a2b20. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 x1x20,x1x2 a2b2 b2a2k2,依题意易知,OMON,四边形 OMF2N 为平行四边形,所以 AF2BF2. 因为 F2A (x 13,y1), F2B (x 23,y2), 所以 F2A F 2B (x 13)(x23)y1y2(1k 2)x 1x290. 即a 2 a2k2 a2k2a2 90, 将其整理为 k2a 418a281 a418a2 1 81 a418a2. 因为 2 2 e 3 2 ,所以 2 3a3 2,即 12a218. 所以 k21 8,即 k , 2 4 2 4 , . 变式 4、 (20

19、18 苏中三市、 苏北四市三调) 如图, 在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F,P为右准线上一点点Q在椭圆上,且FQFP (1)若椭圆的离心率为 1 2 ,短轴长为2 3 求椭圆的方程; (2)若在x轴上方存在PQ,两点,使OFPQ, , ,四点共圆,求椭圆离心率的取值范围 第 9 页 / 共 18 页 【思路分析】 (1)列出关于, ,a b c 的方程组,解出 , a b 值,从而求得椭圆的方程; (2)设出 00 ()Q xy,求出 P 坐标,,P Q F 三点确定以PQ为直径的圆,要使四点共圆,则第四点 O 在圆 上,有两种思路:思

20、路 1,求出圆方程,将点O坐标代入圆方程,思路 2,OF的中垂线经过圆心,求出 2 0 a xc c =- ,根据 点 P,Q 均在 x 轴上方,得到 2 a acc c ,转化为e的不等式,求出范围. 规规范解答范解答 (1)设椭圆的焦距为 2c, 由题意,得 222 1 2 22 3 c a b abc , , , 所以 2 3 a b , 所以椭圆的方程为 2 2 1 43 y x 由得,焦点(1 0)F,准线为4x , (2)解法解法 1 设 2 () a Pt c , 00 ()Q xy, 因为 FPFQ, 则FPQ 的外接圆即为以 PQ 为直径的圆 2 00 ()()()()0 a

21、 xxxytyy c 由题意,焦点 F,原点 O 均在该圆上,所以 2 00 2 00 ()()0 0 a ccxty c a xty c , , 消去 0 ty得 22 00 ()()0 aa ccxx cc , 所以 2 0 a xc c , 因为点 P,Q 均在 x 轴上方,所以 2 a acc c ,即 22 0caca, 所以 2 10ee ,又因为01e, 所以 51 1 2 e 解法解法 2 因为 O,F,P,Q 四点共圆且 FPFQ,所以 PQ 为圆的直径, 所以圆心必为 PQ 中点 M, 又圆心在弦 OF 的中垂线 2 c x 上, 第 10 页 / 共 18 页 所以圆心

22、M 的横坐标为 2 M c x, 所以点 Q 的横坐标为 22 2 QM aa xxc cc (以下同方法 1) 求离心率的值关键是找到不等关系,解出 a 与 c 的关系,进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有: 1、若椭圆上的点,则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围;2、若是椭圆上的点,则研究此点到焦 点的范围;要特别注意离心率的范围。 考点三 直线与椭圆的综合问题 例 3、2018 江苏高考如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 过点( 3,1 2),焦点 F1( 3,0),F2( 3,0),圆 O 的直径为 F1F2. (1)求椭圆 C 及圆 O 的方程; (2)设直线 l

23、 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; 直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,若AOB 的面积为2 6 7 ,求直线 l 的方程 【解析】 (1)椭圆 C 的焦点为 F1( 3,0),F2( 3,0),可设椭圆 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)又 点( 3,1 2)在椭圆 C 上, 3 a2 1 4b21, a2b23, 第 11 页 / 共 18 页 解得 a24, b21. 椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. 圆 O 的直径为 F1F2,其方程为 x2y23. (2)设直线 l 与圆 O 相切于 P(x

24、0,y0)(x00,y00),则 x20y203,直线 l 的方程为 yx0 y0(xx0) y0,即 yx0 y0 x 3 y0. 由 x2 4 y21, yx0 y0 x 3 y0 ,消去 y,得(4x20y20)x224x0 x364y200(*), 直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, (24x0)24(4x20y20)(364y20)0. x0,y00,x0 2,y01. 点 P 的坐标为( 2,1) 三角形 OAB 的面积为2 6 7 ,1 2AB OP 2 6 7 ,从而 AB4 2 7 . 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得 x1,224x0 48y 2

25、0(x 2 02) 2(4x20y20) , AB2(x1x2)2(y1y2)2 1x 2 0 y20 48y 2 0(x 2 02) (4x20y20)2 . x20y203,AB216(x 2 02) (x201)2 32 49,即 2x 4 045x 2 01000,解得 x 2 05 2,x 2 020,由椭圆的范围 得2x02,x205 2,y 2 01 2,P 的坐标为 10 2 , 2 2 .直线 l 的方程为 y 5x3 2. 变式 1、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2y2b2经过椭圆 E:x 2 4 y 2 b21(0b2)的焦点(1)求椭 圆 E 的标准方程;

26、 (2)设直线 l:ykxm 交椭圆 E 于 P,Q 两点,T 为弦 PQ 的中点,M(1,0),N(1,0),记直线 TM, TN 的斜率分别为 k1,k2,当 2m22k21 时,求 k1k2的值 【解析】 (1)0bb0)的一个顶点为 B(0,4), 离心率 e 5 5 , 直线 l 交椭圆于 M,N 两点 (1)若直线 l 的方程为 yx4,求弦|MN|的长; (2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 方程的一般式 【解析】(1)由已知得 b4,且c a 5 5 ,即c 2 a2 1 5, 所以a 2b2 a2 1 5,解得 a 220,所以椭圆方程为x 2 20 y

27、2 161. 将 4x25y280 与 yx4 联立,消去 y 得 9x240 x0, 所以 x10,x240 9 ,所以|MN| 112|x2x1|40 2 9 . 第 13 页 / 共 18 页 (2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0),设线段 MN 的中点为 Q(x0,y0),由三角形重心的性质知 B F 2FQ,又 B(0,4),所以(2,4)2(x02,y0),故得 x03,y02,即 Q 的坐标为(3,2)设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1x26,y1y24,且x 2 1 20 y21 161, x22 20 y22 161, 以上两式相减得 x1x2x1x2 20

28、 y1y2y1y2 16 0, 所以 kMNy 1y2 x1x2 4 5 x1x2 y1y2 4 5 6 4 6 5, 故直线 MN 的方程为 y26 5(x3),即 6x5y280. 方法总结:直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)求直线方程:可依题设条件,寻找确定该直线的两个条件,进而得到直线方程 (2)求面积:先确定图形的形状,再利用条件寻找确定面积的条件,进而得出面积的值 (3)弦长问题:利用根与系数的关系、弦长公式求解 (4)中点弦或弦的中点问题:一般利用点差法求解,注意判断直线与椭圆是否相交 五、优化提升与真题演练 1、(江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一

29、次调研抽测)设 A,B 分别为椭圆 C: 22 22 1 xy ab (ab 0)的右顶点和上顶点,已知椭圆 C 过点 P(2,1),当线段 AB 长最小时椭圆 C 的离心率为_. 【答案】 2 2 【解析】因为 A,B 分别为椭圆 C: 22 22 1 xy ab (ab0)的右顶点和上顶点, 所以 ( ,0)A a ,(0, )Bb, 又椭圆 C 过点 (2,1)P , 所以 22 41 1 ab , 所以 22 2222 2222 414 ()4193 ab ABabab abba , 当且仅当 22 22 4ab ba ,即 22 2ab时,取等号, 第 14 页 / 共 18 页 此

30、时 22 2ac,所以离心率为 12 22 c e a . 故答案为 2 2 2、【2019 年全国卷】 设 12 FF,为椭圆 C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点, M 为 C 上一点且在第一象限.若 12 MFF 为等腰三角形,则 M 的坐标为_. 【答案】3, 15 【解析】由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc , 112 28MFFFc, 2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0 xyxy,则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy , 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ,解得 0 15y , 2

31、 2 0 15 1 3620 x ,解得 0 3x ( 0 3x 舍去) ,则 M的坐标为 3, 15 3、(2018 全国卷)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 41 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 2 D.2 2 3 【答案】C 【解析】因为 a2b2c2448,所以 a2 2,所以 ec a 2 2 . 4、(2017 全国卷)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆 与直线 bxay2ab0 相切,则 C 的离心率为( ) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3

32、D.1 3 【答案】A 【解析】以线段 A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点 O(0,0),半径为 a,由题意,圆心到直线 bxay2ab 0 的距离为 2ab a2b2a,即 a 23b2.又 e21b 2 a2 2 3,所以 e 6 3 .故选 A. 5、(2017 全国卷)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的 第 15 页 / 共 18 页 圆与直线 bxay2ab0 相切,则 C 的离心率为( ) A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 【答案】 A 【解析】以线段 A1A2为直径的圆的方程为 x2y2a2,该

33、圆与直线 bxay2ab0 相切, |b 0a 02ab| b2a 2a,即 2b a 2b2, a23b2,a2b2c2,c 2 a2 2 3,e c a 6 3 . 6、(2017 扬州期末)如图,椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0),圆 O:x 2y2b2,过椭圆 C 的上顶点 A 的直线 l:ykxb 分别交圆 O、椭圆 C 于不同的两点 P,Q,设AP PQ. (1) 若点 P(3,0),点 Q(4,1),求椭圆 C 的方程; (2) 若 3,求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围 规范解答 (1) 由 P 在圆 O:x2y2b2上,得 b3. 又点 Q 在椭圆 C 上,得4

34、 2 a2 1 2 32 1,解得 a218, 所以椭圆 C 的方程是x 2 18 y2 91.(5 分) (2) 解法 1 由 ykxb, x2y2b2, 得 x0 或 xP 2kb 1k2.(7 分) 由 ykxb, x2 a2 y2 b21, 得 x0 或 xQ 2kba2 a2k2b2.(9 分) 因为AP PQ ,3,所以AP 3 4AQ , 所以 2kba2 a2k2b2 3 4 2kb 1k2,即 a2 a2k2b2 3 4 1 1k2,所以 k 23a 24b2 a2 4e21. 因为 k20,所以 4e21,即 e1 2,又 0e1,所以 1 2e1.(16 分) 解法 2

35、A(0,b),设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 第 16 页 / 共 18 页 则有 x21y21b2 ,x 2 2 a2 y22 b21 .(7 分) 又因为AP PQ ,3,所以AP 3 4AQ ,即(x1,y1b)3 4(x2,y2b)解得 x2 4 3x1,y2 4 3y1 1 3b,代 入得16x 2 1 9a2 16y 2 18by1b 2 9b2 1.(9 分) 又 x21b2y21,消去 x21整理得 2(a2b2)y21a2by1b2(a22b2)0, 即2(a2b2)y1b(a22b2)(y1b)0,解得,y1b2b 2a2 2a2b2 或 y1b(舍去),因为by

36、1b,所以b b2b 2a2 2a2b2 b,解得b 2 a2 3 4.(14 分) 而 e21b 2 a21 3 4 1 4,即 e 1 2,又 0e1,所以 1 2e1.(16 分) 7、(2017 苏北四市摸底)如图,椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的上、下顶点分别为 A,B,右焦点为 F,点 P 在椭圆 C 上,且 OPAF. (1) 若点 P 坐标为( 3,1),求椭圆 C 的方程; (2) 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q,若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍,求椭圆 C 的离心率; 思路分析 第(1)问根据条件求出 a,b,c 的值,从而可得椭圆的方程

37、;第(2)问根据条件转化为 a,b,c 的等量关系,即可求得椭圆的离心率,对运算求解的能力要求较高;第 规范解答 (1) 因为点 P( 3,1),所以 kOP 1 3, 又因为 AFOP,则b c 1 31, 所以 3cb,所以 3a24b2.(2 分) 又点 P( 3,1)在椭圆上,所以 3 a2 1 b21, 解得 a213 3 ,b213 4 .故椭圆方程为x 2 13 3 y 2 13 4 1.(4 分) (2) 解法 1 由题意,直线 AF 的方程为x c y b1,与椭圆 C 方程 x2 a2 y2 b21 联立消去 y,得 a2c2 a2c2 x22x c 0, 解得 x0 或

38、x 2a2c a2c2,所以点 Q 的坐标为 2a2c a2c2, bc2a2 a2c2 .(7 分) 第 17 页 / 共 18 页 所以直线 BQ 的斜率为 kBQ bc2a2 a2c2 b 2a2c a2c2 bc a2, 又 OPAF,所以 kOPc b. 由题意得c b 2bc a2 ,所以 a22b2.(9 分) 所以椭圆的离心率 ec a 1b 2 a2 2 2 .(10 分) 解法 2 设点 Q 坐标为(x0,y0),则有x 2 0 a2 y20 b21,得 y 2 0b 2 1x 2 0 a2 , 又 kAQy0b x0 ,kBQy0b x0 ,所以 kAQ kBQy 2 0

39、b 2 x20 , 将 y20b2 1x 2 0 a2 代入上式,化简得 kAQ kBQb 2 a2.(7 分) 又 kAQb c,所以 kBQ bc a2. 因为 OPAF,所以 kOPc b. 由题意得c b 2bc a2 ,所以 a22b2.(9 分) 所以椭圆的离心率 ec a 1b 2 a2 2 2 .(10 分) 解后反思 从阅卷的情况看,主要的问题是考生运算与化简的能力差,对复杂式子的运算缺乏信心和耐心, 缺乏方法;问题的解决缺乏严谨,综合运用知识的能力差, 8、(2019 南通、泰州、扬州一调)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点

40、为 F, 右顶点为 A,上顶点为 B. (1) 已知椭圆的离心率为1 2,线段 AF 中点的横坐标为 2 2 ,求椭圆的标准方程; (2) 已知ABF 外接圆的圆心在直线 yx 上,求椭圆的离心率 e 的值 【解】(1)因为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2,所以 c a 1 2,则 a2c. 因为线段 AF 中点的横坐标为 2 2 ,所以ac 2 2 2 . 第 18 页 / 共 18 页 所以 c 2,则 a28,b2a2c26. 所以椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 6 1.(4 分) (2)因为 A(a,0),F(c,0), 所以线段 AF 的中垂线方程为:xac 2 . 又因为ABF 外接圆的圆心 C 在直线 yx 上, 所以 C ac 2 ,ac 2 .(6 分) 因为 A(a,0),B(0,b),所以线段 AB 的中垂线方程为:yb 2 a b xa 2 . 由 C 在线段 AB 的中垂线上,得ac 2 b 2 a b ac 2 a 2 , 整理得,b(ac)b2ac,(10 分) 即(bc)(ab)0. 因为 ab0,所以 bc.(12 分) 所以椭圆的离心率 ec a c b2c2 2 2 .(14 分)