1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 49 讲讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 一、课程标准 1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 1、 直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：相交、相切、相离 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 0 0 0 几何观点 dr dr dr (2)圆的切线方程的常用结论 过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2； 过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2；
2、过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0 xy0yr2. 三、自主热身、归纳总结 1、若直线 axby1 与圆 x2y21 相交，则点 P(a，b)与圆的位置关系为( ) A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 位置不确定 【答案】C 【解析】圆心(0，0)到直线 axby1 的距离 d 1 a2b21，即点 P(a，b)在圆外故选 C. 2、直线 kxy4k30 与圆 x2y26x8y210 的交点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 或 2 【答案】C 【解析】直线 kxy4k30 过定点(4，3)，且点(4，3)在圆
3、x2y26x8y210 内，交点个数 第 2 页 / 共 12 页 为 2 个故选 C. 3、若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是( ) A. 3，1 B. 1，3 C. 3，1 D. (，31，) 【答案】C 【解析】由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为 2， |a01| 12（1）2 2，即|a1|2，解得3a1.故 选 C. 4、过点(2，3)与圆(x1)2y21 相切的直线的方程为_ 【答案】 x2 或 4x3y10 【解析】 若切线的斜率存在时， 设圆的切线方程为 yk(x2)3， 由圆心(1， 0)到切线的距离为半径 1， 得 k4 3，所
4、以切线方程为 4x3y10；若切线的斜率不存在，则切线方程为 x2，符合题意，所以直 线方程为 4x3y10 或 x2. 5、直线 l：3xy60 与圆 x2y22x4y0 相交于 A，B 两点，则 AB_ 【答案】 10 【解析】 由 x2y22x4y0，得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径 r 5，又圆 心(1， 2)到直线 3xy60 的距离为 d |326| 32（1）2 10 2 ， 由 AB 2 2 r2d2， 得 AB24 55 2 10， 即 AB 10. 6、(多选)已知直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)，
5、且AOB 为等腰直角 三角形，则实数 a 的值为( ) A. 6 B. 5 C 6 D 5 【答案】BD 【解析】因为直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)，且AOB 为等腰直角 三角形，所以 O 到直线 AB 的距离为 1，由点到直线的距离公式可得 |a| 122 21，所以 a 5，故 选 B、D. 7、(多选)已知圆 C：(x3)2(y3)272，若直线 xym0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的 一个三等分点，则 m( ) 第 3 页 / 共 12 页 A2 B4 C6 D10 【答案】AD 【解析】圆 C：(x3)2(y3)272 的
6、圆心 C 的坐标为(3,3)，半径 r6 2， 因为直线 xym0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为 2 2， 则有 d|6m| 112 2， 解得 m2 或 10，故选 A、D. 8、 (2019 湖南长沙月考)设直线 l： (m1)x(2m1)y3m0(mR)与圆(x1)2y28 相交于 A， B 两点， C 为圆心，且ABC 的面积等于 4，则实数 m_. 【答案】1 2或 7 2 【解析】设 CA，CB 的夹角为 ，圆的半径为 r.所以 S ABC 1 2r 2sin 4sin 4，得 2.易知圆心 C 到直线 l 的距离为 2，所以 |
7、4m1| m1 2 2m1 22，解得 m 1 2或 7 2. 四、例题选讲 考点一、直线与圆的位置关系 例 1、(1)直线 l：mxy1m0 与圆 C：x2(y1)25 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 (2)已知点 P(a，b)(ab0)是圆 x2y2r2内的一点，直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线，直线 l 的方 程为 axbyr2，那么( ) Aml，且 l 与圆相交 Bml，且 l 与圆相切 Cml，且 l 与圆相离 Dml，且 l 与圆相离 【答案】(1)A (2)C 【解析】 (1)由题意知圆心(0,1)到直线 l 的距离 d |m| m2110，得 k
8、23，(*)k 的取值范围是(， 3)( 3，) (方法 2)求圆心到直线的距离 d 4 1k22 解得 k 3或 k 3. (2)假设直线 l 将圆 C 分割成弧长的比为 13 的两段弧，则劣弧 MN 所对的圆心角MCN90 ，由圆 C：x2(y4)24 知圆心 C(0，4)，半径 r2.在 RtMCN 中，可求弦心距 dr sin45 2，故圆心 C(0， 第 5 页 / 共 12 页 4)到直线 kxy0 的距离 |04 1k2 2，1k 28，k 7，经验证 k 7满足不等式(*)，故 l 的方程 为 y 7x. 方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与
9、r 的关系 (2)代数法：联立方程之后利用 判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 考点二 圆的弦长问题 例 2、已知直线 axy2a0 与圆 C：(x3)2(y1)29 相交于 A，B 两点，若弦 AB 的长为 3 2，求 实数 a 的值 【解析】 因为圆心到直线 axy2a0 的距离为| |2a1 a21，所以 | 2a1 a21 2 3 2 2 2 9， 解得 a1 或 a7. 变式 1、 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3xy1 30 被圆 x2y26x2y10 截得的弦长
10、为 _ （2） 当直线l： axy2a0被圆C： (x3)2(y1)29截得的弦长最短时， 实数a的值为_ （3）若直线 l：axy2a0 与圆 C：(x3)2(y1)29 相交于 A，B 两点，且ACB90 ，则 实数 a 的值为_ 【答案】 （1） 2 6 （2）2 （3）1 或 7 【解析】 （1） 圆 x2y26x2y10 的圆心为 C(3，1)，半径 r3，点 C 到直线 3xy1 30 的 距离 d 3，所求弦长为 l2 r2d22 6. 【解析】 （2） 由 axy2a0 得直线 l 恒过点 M(1，2)又因为点 M(1，2)在圆 C 的内部，当 MC 与 l 垂直时，弦长最短，
11、所以 kMC kl1，所以21 13 a1，解得 a2 . （3）由题意，得圆心 C(3，1)，半径 r3 且ACB90 ，则圆心 C 到直线 l：axy2a0 的距离为 2 2 r，即| |2a1 a21 3 2 2 ，解得 a1 或 a7. 第 6 页 / 共 12 页 变式 2、 （1） 过点 M(1， 2)的直线 l 与圆 C： (x3)2(y1)29 相交于 A， B 两点， 若弦 AB 的长为 2 5， 则直线 l 的方程为 _ （2） 已知圆C： (x1)2(y2)22截y轴所得线段与截直线y2xb所得线段的长度相等， 则b_. 【答案】 （1） x1 或 3x4y50（2） 5
12、 【解析】 （1）当直线 l 的斜率不存在时，x1，符合条件；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y 2k(x1)，所以圆心到直线 kxy2k0 的距离为| |2k1 k21，由 | 2k1 k21 2 2 5 2 2 9，解得 k3 4， 即直线 l 的方程为 3x4y50.综上所述，所求直线 l 的方程为 x1 或 3x4y50. （2）记圆 C 与 y 轴的两个交点分别是 A，B，由圆心 C 到 y 轴的距离为 1，|CA|CB| 2可知，圆心 C(1,2)到直线 2xyb0 的距离也等于 1 才符合题意，于是|2 12b| 5 1，解得 b 5. 方法总结：弦长的两种求法
13、(1)代数方法： 将直线和圆的方程联立方程组， 消元后得到一个一元二次方程 在判别式 0 的前提下， 利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长 (2)几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r2d2. 考点三 圆的切线问题 例 3、（徐州一中 2019 届模拟）已知点 P( 21,2 2)，点 M(3,1)，圆 C：(x1)2(y2)24. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程 【解析】 由题意得圆心 C(1,2)，半径 r2. (1)因为( 211)2(2 22)24，所以点 P 在圆 C 上 又 kPC2 22 2111，所以切线
14、的斜率 k 1 kPC1. 所以过点 P 的圆 C 的切线方程是 y(2 2)1 x( 21)，即 xy12 20. (2)因为(31)2(12)254，所以点 M 在圆 C 外部 当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x3， 即 x30. 又点 C(1,2)到直线 x30 的距离 d312r，即此时满足题意，所以直线 x3 是圆的切线 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y1k(x3)，即 kxy13k0，则圆心 C 到切线的距离 d 第 7 页 / 共 12 页 |k213k| k21 r2，解得 k3 4.所以切线方程为 y1 3 4(x3)，即 3x4y50.综上可得，过点 M 的
15、 圆 C 的切线方程为 x30 或 3x4y50. 变式 1、已知点 P( 21，2 2)，点 M(3，1)，圆 C：(x1)2(y2)24. (1) 求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2) 求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长 【解析】 (1) 由题意得圆心 C(1，2)，半径 r2. 因为( 211)2(2 22)24， 所以点 P 在圆 C 上 又 kPC2 22 2111， 所以切线的斜率 k 1 kPC1， 所以过点 P 的圆 C 的切线方程是 y(2 2)x( 21)，即 xy12 20. (2) 因为(31)2(12)254， 所以点 M 在圆 C 外部 当过点 M
16、 的直线斜率不存在时，直线方程为 x3，即 x30，满足题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y1k(x3)，即 kxy13k0， 则圆心 C 到切线的距离 d|k213k| k21 2，解得 k3 4， 所以切线方程为 y13 4(x3)， 即 3x4y50. 综上所述，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x30 或 3x4y50. 因为 MC （31）2（12）2 5， 所以过点 M 的圆 C 的切线长为 MC2r2 541. 变式 2、已知圆 C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程 (1)与直线 l1：xy40 平行； (2)与直线 l2：x2y40 垂直； (3)
17、过切点 A(4，1) 【解析】(1)设切线方程为 xyb0，则|12b| 2 10，b1 2 5， 切线方程为 xy1 2 50. 第 8 页 / 共 12 页 (2)设切线方程为 2xym0，则|22m| 5 10，m 5 2， 切线方程为 2xy 5 20. (3)kAC21 14 1 3，过切点 A(4，1)的切线斜率为3， 过切点 A(4，1)的切线方程为 y13(x4)，即 3xy110. 方法总结：求圆的切线方程应注意的问题 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程若点在圆上(即为切点)， 则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注
18、意斜率不存在的切线 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年天津卷】知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于 ,A B两点若| 6AB ，则r 的值为_ 【答案】5 【解析】因为圆心0,0到直线380 xy的距离 8 4 1 3 d ， 由 22 | 2ABrd 可得 22 624r ，解得=5r 故答案为：5 2、 【2020 年浙江卷】 .设直线: (0)l ykxb k ， 圆 22 1: 1Cxy， 22 2:( 4)1Cxy， 若直线l与 1 C， 2 C都相切，则k _；b=_ 【答案】 (1). 3 3 (2). 2 3 3 【解析】由题意， 12 ,C C到直线
19、的距离等于半径，即 22 | 1 1 b k ， 22 |4| 1 1 kb k ， 所以| |4bkb，所以0k （舍）或者2bk， 解得 32 3 , 33 kb . 第 9 页 / 共 12 页 故答案为： 32 3 ; 33 3、 【2020 年全国 2 卷】 .若过点 （2， 1） 的圆与两坐标轴都相切， 则圆心到直线230 xy的距离为 （ ） A. 5 5 B. 2 5 5 C. 3 5 5 D. 4 5 5 【答案】B 【解析】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为, a a，则圆的半径
20、为a， 圆的标准方程为 22 2 xayaa. 由题意可得 22 2 21aaa， 可得 2 650aa，解得 1a 或5a， 所以圆心的坐标为1,1或5,5， 圆心到直线的距离均为 1 2 1 1 32 5 55 d ； 圆心到直线的距离均为 2 2 5532 5 55 d 圆心到直线230 xy的距离均为 22 5 55 d ； 所以，圆心到直线230 xy的距离为 2 5 5 . 故选：B. 4、 【2020 年全国 3 卷】若直线 l与曲线 y= x和 x 2+y2=1 5 都相切，则 l的方程为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+ 1 2 C. y= 1 2 x+1 D. y
21、= 1 2 x+ 1 2 【答案】D 【解析】设直线l在曲线yx上的切点为 00 ,xx，则 0 0 x ， 第 10 页 / 共 12 页 函数yx的导数为 1 2 y x ，则直线l的斜率 0 1 2 k x ， 设直线l的方程为 00 0 1 2 yxxx x ，即 00 20 xx yx， 由于直线l与圆 22 1 5 xy相切，则 0 0 1 145 x x ， 两边平方并整理得 2 00 5410 xx ，解得 0 1x ， 0 1 5 x （舍） ， 则直线l的方程为 210 xy ，即 11 22 yx. 故选：D. 5、（2020 届清华大学附属中学高三第一学期 12 月月考
22、）已知直线0 xym与圆O： 22 1xy相交 于A，B两点，若OAB为正三角形，则实数m的值为（ ） A 3 2 B 6 2 C 3 2 或 3 2 D 6 2 或 6 2 【答案】D 【解析】 由题意得，圆 22 :1O xy的圆心坐标为(0,0)，半径1r . 因为OAB为正三角形，则圆心O到直线0 xym的距离为 33 22 r ， 即 3 22 m d ，解得 6 2 m或 6 2 m ，故选 D. 6、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线 1: 0lkxy()kR 与直线 2: 220lxkyk 相交于点 A，点 B 是圆 22 (2)(3)2xy上的动点，则|A
23、B的最大值为（ ） A3 2 B5 2 C5 2 2 D3 2 2 【答案】C 【解析】 第 11 页 / 共 12 页 由 0 220 kxy xkyk ，消去参数k得 22 (1(1)2xy）， 所以A在以(1,1)C为圆心， 2为半径的圆上， 又点 B 是圆 22 (2)(3)2xy上的动点，此圆圆心为 ( 2, 3)D ，半径为 2， 22 (1 2) )(1 3)5CD ， AB的最大值为2252 2CD 故选：C. 7、【2019 年高考浙江卷】已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230 xy与圆 C 相切于 点( 2, 1)A ，则m=_，r=_ 【答案】2，5 【
24、解析】由题意可知 11 :1(2) 22 AC kAC yx ，把(0,)m代入直线 AC 的方程得2m， 此时|4 15rAC. 8、 (2017 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为 (0,1)，当 m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 【解析】 (1)不能出现 ACBC 的情况，理由如下： 设 A(x1,0)，B(x2,0)，则 x1，x2满足 x2mx20， 所以 x1x22.又 C 的坐标为(0,1)，故 AC 的斜率与
25、BC 的斜率之积为1 x1 1 x2 1 2，所以不能出现 AC BC 的情况 (2)证明：BC 的中点坐标为 x2 2， 1 2 ，可得 BC 的中垂线方程为 y1 2x2 xx2 2 .由(1)可得 x1x2m， 所以 AB 的中垂线方程为 xm 2.联立 xm 2， y1 2x2 xx2 2 ， 又 x22mx220， 第 12 页 / 共 12 页 可得 xm 2， y1 2. 所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为 m 2， 1 2 ，半径 r m29 2 .故过 A，B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 2r2 m 2 23，即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值