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第32讲 平面向量的应用(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 13 页 第第 32 讲:平面向量的应用讲:平面向量的应用 一、课程标准 1、掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 2、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 3、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 4、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1. 向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定 义 (2)证明线段平行, 三角形相似, 判断两直线(或线段)是否平行, 常运用向量平行(共线)的条件, ab x1 x2 y1 y2

2、x1y2x2y10(x20,y20) (3)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件,aba b0 x1x2y1y20 (4)求夹角问题:利用夹角公式 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21x22y22. (5)用向量方法解决几何问题的步骤: 建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题; 通过向量运算,研究几何元素之间的关系; 把运算结果“翻译”成几何关系 2. 向量在解析几何中的应用 (1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系 设直线 l 的倾斜角为 ,斜率为 k,向量 a(a1,a2)平行于 l,则 ktan a2

3、 a1;如果已知直线的斜率为 k a2 a1,则向量(a1,a2)与向量(1,k)一定都与 l 平行 (2)与 a(a1,a2)平行且过 P(x0,y0)的直线方程为 yy0 a2 a1(xx0),过点 P(x0,y0)且与向量 a(a1,a2) 垂直的直线方程为 yy0 a1 a2(xx0) 第 2 页 / 共 13 页 三、自主热身、归纳总结 1、 已知O是平面上的一定点, A, B, C是平面上不共线的三个动点, 若动点P满足 OP OA( AB AC), (0,),则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 【答案】C 【解析】由原等式,得 OP OA(

4、AB AC),即 AP( AB AC),根据平行四边形法则,知 AB AC 2 AD(D 为 BC 的中点),所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心故选 C. 2、在ABC 中,(BC BA ) AC |AC |2,则ABC 的形状一定是_三角形( ) A. 等边 B. 等腰 C. 直角 D. 等腰直角 【答案】C. 【解析】 由(BC BA ) AC |AC|2,得AC (BC BA AC )0,即AC (BC BA CA )0,2AC BA 0, AC BA ,A90 .又根据已知条件不能得到|AB |AC |,故ABC 一定是直角三角形 3. 在ABCD 中,|AB |8,|AD |6,N

5、 为 DC 的中点,BM 2MC ,则AM NM 等于( ) A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】24 【解析】 AM NM (AB BM ) (NC CM ) AB 2 3AD 1 2AB 1 3AD 1 2AB 22 9AD 21 2 8 22 9 6 224. 4. 设 a,b,c 都是单位向量,且 a b0,则(ca) (cb)的最小值为 _ 【答案】1 2 【解析】 不妨设 a(1,0),b(0,1),c(cos,sin),则易得(ca) (cb)1 2sin( 4)故得其 最小值为 1 2. 5、平面上有三个点 A(2,y),B(0, y 2),C(x,y),若

6、AB BC ,则动点 C 的轨迹方程为 _ 【答案】y28x(x0) 【解析】 由题意得AB (2, y 2),BC (x, y 2),又AB BC ,AB BC 0,即(2, y 2) (x, y 2)0,化简 第 3 页 / 共 13 页 得 y28x(x0) 6、在ABC 所在平面上有一点 P,满足PA PBPCAB ,则PAB 与ABC 的面积的比值是_. 【答案】 1 3 【解析】 由题意可得PC AB PA PBAPPA2AP, P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A), 易知 S PAB 1 3SABC,即 SPABSABC13. 7、在ABC 中,AB3,AC2,BAC120

7、 ,BM BC .若AM BC 17 3,则实数 的 值为_ 【答案】 、 1 3 【解析】 、解法 1(基底法) 因为AM AB BM AB BC AB (AC AB )AC (1)AB ,所以 AM BC AC (1)AB (AC AB )|AC |2(1)|AB |2(12)AB AC 49(1)(1 2)23cos120 1912 17 3,解得 1 3. 解法 2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意有,A(0,0),B(3,0),C(1, 3),设点 M 的坐标为(x,y),则(x3,y)(13, 3), 即 x34, y 3, 故AM BC (34, 3)(4,

8、3)1912 17 3,解得 1 3. 四、例题选讲 考点一、向量的平行与垂直 例 1、(1)已知向量 m(1,1),n(2,2),若(mn)(mn),则 ( ) A4 B3 C2 D1 (2)已知向量 AB 与 AC的夹角为 120 ,且| AB|3,| AC|2.若 AP AB AC,且 AP BC,则实数 第 4 页 / 共 13 页 的值为_ 【答案】(1)B (2) 7 12 【解析】(1)(mn)(mn),(mn) (mn)m2n2(1)21(2)240,解得 3.故选 B. (2)由 AP BC,知 APBC0,即 APBC( AB AC) ( AC AB)(1) ABAC AB

9、2 AC 2(1) 3 2 1 2 940,解得 7 12. 变式 1、(1)平面四边形 ABCD 中,AB CD 0,(AB AD ) AC 0,则四边形 ABCD 的形状是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 (2)已知 O 是平面上的一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个动点, 若动点 P 满足OP OA (AB AC ), (0,),则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】C. 【解析】 (1)AB CD 0AB CD DC 平面四边形 ABCD 是平行四边形, (AB AD ) AC DB AC 0

10、DB AC ,平行四边形 ABCD 是菱形故选 B. (2) 由原等式, 得OP OA (AB AC ), 即AP (AB AC ), 根据平行四边形法则, 知AB AC 是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍,点 P 的轨迹必过ABC 的重心 【答案】C. 变式 2、(2018 苏北四市期末) 如图,在ABC 中,已知 AB3,AC2,BAC120 ,D 为边 BC 的中 点若 CEAD,垂足为 E,连结 BE,则EB EC的值为_ 【答案】 27 7 【解析】思路分析 建立平面直角坐标系 xOy,写出 A,B,C,D 各点的坐标,利用坐标法求解 解法1(坐

11、标法) 以点A为坐标原点, AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示), 则A(0, 第 5 页 / 共 13 页 0), B(3, 0), C(1, 3), D 1, 3 2 , 所以直线 AD: y 3 2x, 直线 CE: y 2 3 3 x 3 3.联立 y 3 2x, y 2 3 3 x 3 3 得 E 2 7, 3 7 ,所以EB 19 7, 3 7 ,EC 9 7, 6 3 7 ,从而EB EC189 49 27 7. 解法 2(向量的数量积) EB ECED2DC2CE2. 由(2AD )2(AB AC )2,得 4AD29467,即 AD 7 2.因为 SADC

12、 1 2SABC 3 3 4 ,且 SADC 1 2 AD CE 7 4CE,所以 CE 227 7.故EB EC27 7. 解法 3(基底法) 因为 E 在中线 AD 上,所以可设AE (AB AC ),则EB (1)AB AC ,同理EC (1)AC AB , 所以EB EC3(1)2213(1)37(1) 由AD EC 0, 得(AB AC ) (1 )AC AB 0,可解得 1 7.从而EB EC36 7 27 7. 方法总结:利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 1、若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标 运算公式,计算出这两个向量的数量

13、积为 0 即可 2已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数 考点二、 平面向量与三角综合 例 2、 (2016 无锡期末) 已知平面向量 , 满足|1,且 与 的夹角为 120 ,则 的模的取值范围 为_ 【答案】 、. (0, 2 3 3 【解析】 、思路分析 本题题设虽然简单,但不易入手实际上,本题隐含条件:|,|,|必能构成三 角形,故引入 与 的夹角 ,根据正弦定理,用 表示|,利用函数思想求解 设 与 的夹角为 , 则 0 120 , 由正弦定理可得 | sin120 | sin60, 所以| 2 3 3 sin(120 )

14、 因 为 0 120 ,所以 0 120 120 ,所以 0sin(120 )1,所以 0| 2 3 3 . 第 6 页 / 共 13 页 变式 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调)在平面直角坐标系中,设向量 a(cos,sin),b(sin( 6), cos( 6),其中 0 2. (1) 若 ab,求 的值; (2) 若 tan2 1 7,求 a b 的值 【解析】(1)因为 ab,所以 coscos 6sinsin 60,(2 分) 所以 cos 2 60.(4 分) 因为 0 2,所以 62 6 7 6.于是 2 6 2,解得 6.(6 分) (2)因为 0 2,所以 02,又 t

15、an2 1 70,故 22. 因为 tan2 sin2 cos2 1 7,所以 cos27sin20, 又 sin22cos221, 解得 sin2 2 10,cos2 7 2 10.(10 分) 因此,a bcossin 6sincos 6 sin 2 6(12 分) sin2cos 6cos2sin 6 2 10 3 2、 7 2 10 1 2 20 276 .(14 分) 变式 2(2019 苏锡常镇调研(一) )已知向量 a(2cos,2sin),b(cossin,cossin) (1) 求向量 a 与 b 的夹角; (2) 若(ba)a,求实数 的值 【解析】 (1)设向量 a 与

16、b 的夹角为 , 因为|a|2,|b|(cossin)2(cossin)2 2,(4 分) 所以 cos a b |a| |b| (2cos,2sin) (cossin,cossin) 2 2 2cos22sin2 2 2 2 2.(7 分) 第 7 页 / 共 13 页 考虑到 0,得向量 a 与 b 的夹角为 4.(9 分) (2)若(ba)a,则(ba) a0,即 b aa20,(12 分) 因为 b a2,a24,所以 240,解得 2.(14 分) 变式 3、在ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 m cosB,2cos2 C 21 ,n (c,b2a),且 m

17、 n0. (1)求C 的大小; (2)若点 D 为边 AB 上一点,且满足AD DB , |CD | 7,c2 3,求ABC 的面积 【解析】 (1)m(cos B,cos C),n(c,b2a), m n0, ccos B(b2a)cos C0, 在ABC 中, 由正弦定理得, sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0, sinA2sin Acos C,又 sin A0,cos C 1 2,而 C(0,), C 3. (2)由AD DB 知,CD CA CBCD , 2CD CA CB, 两边平方得 4|CD |2b2a22bacosACBb2a2ba28. 又 c2a2b

18、22abcosACB, a2b2ab12. 由得 ab8,SABC 1 2absinACB2 3. 方法总结:(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然 后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的 思想方法 (2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中 的相关方法与技巧求解 (3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系,避免出现将内角等同于向量夹角的错误 考点三、平面向量与解析几何 第 8 页 / 共 13 页 例 3 (1)已知向量 OA (k,12), O

19、B(4,5), OC(10,k),且 A,B,C 三点共线,当 k0 时,若 k 为直线的斜率,则过点(2,1)的直线方程为_ (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 x2 4 y2 31 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 OP FP的最 大值为_ 【答案】 (1)2xy30.(2)6. 【解析】(1) AB OB OA(4k,7), BC OC OB(6,k5),且 AB BC, (4k)(k5)6 70, 解得 k2 或 k11. 由 kb0),A(2,0)是长轴的一个端点,弦 BC 过椭圆的中心 O,且AC BC 0,|OC OB |2|BC BA |. (1)求椭圆的方程;

20、 (2)若 AB 上的一点 F 满足BO 2OA 3OF 0,求证:CF 平分BCA. 【解析】(1)AC BC 0,AC BC ,ACB90 . 第 9 页 / 共 13 页 又|OC OB |2|BC BA |,即|BC |2|AC |, AOC 是等腰直角三角形 A(2,0),C(1,1),而点 C 在椭圆上, 1 a2 1 b21,a2,b 24 3. 所求椭圆方程为 x2 4 3y2 41.(2)由(1),得 C(1,1),B(1,1) 又BO 2OA 3OF 0, 即BO OF 2OA 2OF BF2FA. 设 F(x0 ,y0) 则 x0 1 3,F(1, 1 3)CFx 轴,

21、ACFFCB45 ,即 CF 平分BCA. 变式 2、(2018 苏中三市、苏北四市三调)如图,已知2AC ,B为AC的中点,分别以 AB, AC为直径 在AC的同侧作半圆, M, N分别为两半圆上的动点 (不含端点A BC, , ) , 且BMBN, 则A M C N 的最大值为 【思路分析】处理向量数量问题,主要是坐标法和基底法,解法 1,建立坐标系,设NBCMABa?, (0) 2 ,得到 M,N 坐标,建立以角a的函数关系式;解法 2,两个向量不共起点,可以转化为以B为起 点的向量,运用向量数量积的定义得到关于AM uuuu r 的函数,换元转化二次函数,求最值;解法 3, 建立坐标系

22、后,设出直线BN和BM方程,,M N为直线与圆的交点,联立直线与圆方程,求出,M N的 坐标,得到一个关于斜率k的函数关系式,换元后求最值. 【答案】 1 4 【解析】 【解法 1】 (坐标法)以点B为坐标原点,线段AC所在的直线为x轴,建立平面坐标系。设 NBCMAB ,(0) 2 ,则 2 ( sinsincos )M,, (cossin)N, , ( 10)(10)AC , 2 sinsincoscossinAM CN=(1,) (1,) uuur uuu r 22 sincossincos=(1)(1)+ 2 cossin=1+ 第 10 页 / 共 13 页 2 coscos=+=

23、2 11 (cos) 24 a-+,当 1 cos, 23 p aa=时,AM CN uuur uuu r 的最大值为 1 4 . 【解法 2】 (定义法)设NBCMAB ,(0) 2 , AM CNBMBABNBC=() () uuur uuu ruuuruuruuu ruuu r BM BCBA BNBA BC= uuur uuu ruur uuu ruur uuu r cos1BM BA= uuur uur sincos1BM BA= uuur uur 2 1BMAM+-= uuuu ruuuu r 2 AMAM= uuuruuur , 令AM t= uuur ,01t , 21 0 4

24、 AM CNtt uuur uuu r , ,所以AM CN uuur uuu r 的最大值为 1 4 . 【解法 3】 (解析几何法)以点B为坐标原点,线段AC所在的直线为x轴,建立平面坐标系。 ,设直线BN的 斜率为 (0)k k ,则直线BM的斜率为 1 k ,则直线BN的方程为ykx,直线BM的方程为 1 yx k , 联立 22 , 1 ykx xy 解得 22 1 () 11 k N kk , , 联立 22 1 , 11 + 24 yx k xy () 解得 2 22 () 11 kk M kk , 因为 ( 1,0)A ,(1,0)C , 所以 22 1 () 11 k AM

25、kk =, uuur , 22 1 (1) 11 k CN kk =- , uuu r , AM CN= uuur uuu r 22 22 11 (1) 11 11 kk kk kk +- 2 2 2 11 (1) 1 1 k k k + - 2 2 11 1 1 k k - 令 2 1 1 t k ,则01t , 21 0 4 AM CNtt uuur uuu r , ,所以AM CN uuur uuu r 的最大值为 1 4 . 方法总结:向量在解析几何中的作用:(1)载体作用,向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解 决此类问题关键是利用向量的意义、运算,脱去“向量外衣”;(2)工具

26、作用, 对于解析几何中出现的垂直可 转化为向量数量积等于 0,对于共线的线段长度乘积可转化为向量的数量积等 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年全国 2 卷】.已知单位向量a ,b 的夹角为 45 ,k a b 与a 垂直,则 k=_. 第 11 页 / 共 13 页 【答案】 2 2 【解析】由题意可得: 2 1 1 cos45 2 a b , 由向量垂直的充分必要条件可得:0k aba , 即: 2 2 0 2 kaa bk ,解得: 2 2 k . 故答案为: 2 2 2、 【2020 年全国 3 卷】.已知向量 a,b 满足| 5a ,| | 6b ,6a b ,则cos ,=

27、a ab ( ) A. 31 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 【答案】D 【解析】5a ,6b , 6a b , 2 2 5619aabaa b . 2 22 2252 6367ababaa bb , 因此, 1919 cos, 5 735 aab a ab aab . 故选:D. 3、 【2019 年高考天津卷理数】在四边形ABCD中,,2 3,5,30ADBCABADA,点E 在线段CB的延长线上,且AEBE,则BD AE _ 【答案】1 【解析】 建立如图所示的直角坐标系, DAB=30 ,2 3,5,ABAD则(2 3,0)B, 5 3 5 (, ) 22

28、D . 因为ADBC,30BAD,所以30ABE, 因为AEBE,所以30BAE, 所以直线BE的斜率为 3 3 ,其方程为 3 (2 3) 3 yx, 第 12 页 / 共 13 页 直线AE的斜率为 3 3 ,其方程为 3 3 yx . 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 得3x ,1y , 所以( 3, 1)E. 所以 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE . 4、 【2019 年高考江苏卷】如图,在ABC中,D 是 BC 的中点,E 在边 AB 上,BE=2EA,AD 与 CE 交于 点O.若 6AB ACAO EC ,则 AB AC 的值是_ 【答案】3. 【解析】 如图, 过点 D 作 DF/CE, 交 AB 于点 F, 由 BE=2EA, D 为 BC 的中点, 知 BF=FE=EA,AO=OD 第 13 页 / 共 13 页 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE, 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC 22223 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC , 得 2213 , 22 ABAC即3,ABAC故3 AB AC