1、 第 1 页 / 共 13 页 第第 32 讲：平面向量的应用讲：平面向量的应用 一、课程标准 1、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 2、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 3、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 4、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1. 向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定 义 (2)证明线段平行， 三角形相似， 判断两直线(或线段)是否平行， 常运用向量平行(共线)的条件， ab x1 x2 y1 y2
2、x1y2x2y10(x20，y20) (3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，aba b0 x1x2y1y20 (4)求夹角问题：利用夹角公式 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21x22y22. (5)用向量方法解决几何问题的步骤： 建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 把运算结果“翻译”成几何关系 2. 向量在解析几何中的应用 (1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系 设直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k，向量 a(a1，a2)平行于 l，则 ktan a2
3、 a1；如果已知直线的斜率为 k a2 a1，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与 l 平行 (2)与 a(a1，a2)平行且过 P(x0，y0)的直线方程为 yy0 a2 a1(xx0)，过点 P(x0，y0)且与向量 a(a1，a2) 垂直的直线方程为 yy0 a1 a2(xx0) 第 2 页 / 共 13 页 三、自主热身、归纳总结 1、 已知O是平面上的一定点， A， B， C是平面上不共线的三个动点， 若动点P满足 OP OA( AB AC)， (0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 【答案】C 【解析】由原等式，得 OP OA(
4、AB AC)，即 AP( AB AC)，根据平行四边形法则，知 AB AC 2 AD(D 为 BC 的中点)，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心故选 C. 2、在ABC 中，(BC BA ) AC |AC |2，则ABC 的形状一定是_三角形( ) A. 等边 B. 等腰 C. 直角 D. 等腰直角 【答案】C. 【解析】 由(BC BA ) AC |AC|2，得AC (BC BA AC )0，即AC (BC BA CA )0，2AC BA 0， AC BA ，A90 .又根据已知条件不能得到|AB |AC |，故ABC 一定是直角三角形 3. 在ABCD 中，|AB |8，|AD |6，N
5、 为 DC 的中点，BM 2MC ，则AM NM 等于( ) A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】24 【解析】 AM NM (AB BM ) (NC CM ) AB 2 3AD 1 2AB 1 3AD 1 2AB 22 9AD 21 2 8 22 9 6 224. 4. 设 a，b，c 都是单位向量，且 a b0，则(ca) (cb)的最小值为 _ 【答案】1 2 【解析】 不妨设 a(1，0)，b(0，1)，c(cos，sin)，则易得(ca) (cb)1 2sin( 4)故得其 最小值为 1 2. 5、平面上有三个点 A(2，y)，B(0， y 2)，C(x，y)，若
6、AB BC ，则动点 C 的轨迹方程为 _ 【答案】y28x(x0) 【解析】 由题意得AB (2， y 2)，BC (x， y 2)，又AB BC ，AB BC 0，即(2， y 2) (x， y 2)0，化简 第 3 页 / 共 13 页 得 y28x(x0) 6、在ABC 所在平面上有一点 P，满足PA PBPCAB ，则PAB 与ABC 的面积的比值是_. 【答案】 1 3 【解析】 由题意可得PC AB PA PBAPPA2AP， P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A)， 易知 S PAB 1 3SABC，即 SPABSABC13. 7、在ABC 中，AB3，AC2，BAC120
7、 ，BM BC .若AM BC 17 3，则实数 的 值为_ 【答案】 、 1 3 【解析】 、解法 1(基底法) 因为AM AB BM AB BC AB (AC AB )AC (1)AB ，所以 AM BC AC (1)AB (AC AB )|AC |2(1)|AB |2(12)AB AC 49(1)(1 2)23cos120 1912 17 3，解得 1 3. 解法 2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(1， 3)，设点 M 的坐标为(x，y)，则(x3，y)(13， 3)， 即 x34， y 3， 故AM BC (34， 3)(4，
8、3)1912 17 3，解得 1 3. 四、例题选讲 考点一、向量的平行与垂直 例 1、(1)已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则 ( ) A4 B3 C2 D1 (2)已知向量 AB 与 AC的夹角为 120 ，且| AB|3，| AC|2.若 AP AB AC，且 AP BC，则实数 第 4 页 / 共 13 页 的值为_ 【答案】(1)B (2) 7 12 【解析】(1)(mn)(mn)，(mn) (mn)m2n2(1)21(2)240，解得 3.故选 B. (2)由 AP BC，知 APBC0，即 APBC( AB AC) ( AC AB)(1) ABAC AB
9、2 AC 2(1) 3 2 1 2 940，解得 7 12. 变式 1、(1)平面四边形 ABCD 中，AB CD 0，(AB AD ) AC 0，则四边形 ABCD 的形状是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 (2)已知 O 是平面上的一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个动点， 若动点 P 满足OP OA (AB AC )， (0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】C. 【解析】 (1)AB CD 0AB CD DC 平面四边形 ABCD 是平行四边形， (AB AD ) AC DB AC 0
10、DB AC ，平行四边形 ABCD 是菱形故选 B. (2) 由原等式， 得OP OA (AB AC )， 即AP (AB AC )， 根据平行四边形法则， 知AB AC 是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍，点 P 的轨迹必过ABC 的重心 【答案】C. 变式 2、(2018 苏北四市期末） 如图，在ABC 中，已知 AB3，AC2，BAC120 ，D 为边 BC 的中 点若 CEAD，垂足为 E，连结 BE，则EB EC的值为_ 【答案】 27 7 【解析】思路分析 建立平面直角坐标系 xOy，写出 A，B，C，D 各点的坐标，利用坐标法求解 解法1(坐
11、标法) 以点A为坐标原点， AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)， 则A(0， 第 5 页 / 共 13 页 0)， B(3， 0)， C(1， 3)， D 1， 3 2 ， 所以直线 AD： y 3 2x， 直线 CE： y 2 3 3 x 3 3.联立 y 3 2x， y 2 3 3 x 3 3 得 E 2 7， 3 7 ，所以EB 19 7， 3 7 ，EC 9 7， 6 3 7 ，从而EB EC189 49 27 7. 解法 2(向量的数量积) EB ECED2DC2CE2. 由(2AD )2(AB AC )2，得 4AD29467，即 AD 7 2.因为 SADC
12、 1 2SABC 3 3 4 ，且 SADC 1 2 AD CE 7 4CE，所以 CE 227 7.故EB EC27 7. 解法 3(基底法) 因为 E 在中线 AD 上，所以可设AE (AB AC )，则EB (1)AB AC ，同理EC (1)AC AB ， 所以EB EC3(1)2213(1)37(1) 由AD EC 0， 得(AB AC ) (1 )AC AB 0，可解得 1 7.从而EB EC36 7 27 7. 方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标 运算公式，计算出这两个向量的数量
13、积为 0 即可 2已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数 考点二、 平面向量与三角综合 例 2、 （2016 无锡期末） 已知平面向量 ， 满足|1，且 与 的夹角为 120 ，则 的模的取值范围 为_ 【答案】 、. (0， 2 3 3 【解析】 、思路分析 本题题设虽然简单，但不易入手实际上，本题隐含条件：|，|，|必能构成三 角形，故引入 与 的夹角 ，根据正弦定理，用 表示|，利用函数思想求解 设 与 的夹角为 ， 则 0 120 ， 由正弦定理可得 | sin120 | sin60， 所以| 2 3 3 sin(120 )
14、 因 为 0 120 ，所以 0 120 120 ，所以 0sin(120 )1，所以 0| 2 3 3 . 第 6 页 / 共 13 页 变式 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调）在平面直角坐标系中，设向量 a(cos，sin)，b(sin( 6)， cos( 6)，其中 0 2. (1) 若 ab，求 的值； (2) 若 tan2 1 7，求 a b 的值 【解析】(1)因为 ab，所以 coscos 6sinsin 60，(2 分) 所以 cos 2 60.(4 分) 因为 0 2，所以 62 6 7 6.于是 2 6 2，解得 6.(6 分) (2)因为 0 2，所以 02，又 t
15、an2 1 70，故 22. 因为 tan2 sin2 cos2 1 7，所以 cos27sin20， 又 sin22cos221， 解得 sin2 2 10，cos2 7 2 10.(10 分) 因此，a bcossin 6sincos 6 sin 2 6(12 分) sin2cos 6cos2sin 6 2 10 3 2、 7 2 10 1 2 20 276 .(14 分) 变式 2(2019 苏锡常镇调研（一） ）已知向量 a(2cos，2sin)，b(cossin，cossin) (1) 求向量 a 与 b 的夹角； (2) 若(ba)a，求实数 的值 【解析】 (1)设向量 a 与
16、b 的夹角为 ， 因为|a|2，|b|（cossin）2（cossin）2 2，(4 分) 所以 cos a b |a| |b| （2cos，2sin） （cossin，cossin） 2 2 2cos22sin2 2 2 2 2.(7 分) 第 7 页 / 共 13 页 考虑到 0，得向量 a 与 b 的夹角为 4.(9 分) (2)若(ba)a，则(ba) a0，即 b aa20，(12 分) 因为 b a2，a24，所以 240，解得 2.(14 分) 变式 3、在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 m cosB，2cos2 C 21 ，n (c，b2a)，且 m
17、 n0. (1)求C 的大小； (2)若点 D 为边 AB 上一点，且满足AD DB ， |CD | 7，c2 3，求ABC 的面积 【解析】 (1)m(cos B，cos C)，n(c，b2a)， m n0， ccos B(b2a)cos C0， 在ABC 中， 由正弦定理得， sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0， sinA2sin Acos C，又 sin A0，cos C 1 2，而 C(0，)， C 3. (2)由AD DB 知，CD CA CBCD ， 2CD CA CB， 两边平方得 4|CD |2b2a22bacosACBb2a2ba28. 又 c2a2b
18、22abcosACB， a2b2ab12. 由得 ab8，SABC 1 2absinACB2 3. 方法总结：(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然 后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的 思想方法 (2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中 的相关方法与技巧求解 (3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误 考点三、平面向量与解析几何 第 8 页 / 共 13 页 例 3 (1)已知向量 OA (k,12)， O
19、B(4,5)， OC(10，k)，且 A，B，C 三点共线，当 k0 时，若 k 为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_ (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 x2 4 y2 31 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP的最 大值为_ 【答案】 （1）2xy30.（2）6. 【解析】(1) AB OB OA(4k，7)， BC OC OB(6，k5)，且 AB BC， (4k)(k5)6 70， 解得 k2 或 k11. 由 kb0)，A(2，0)是长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中心 O，且AC BC 0，|OC OB |2|BC BA |. (1)求椭圆的方程；
20、 (2)若 AB 上的一点 F 满足BO 2OA 3OF 0，求证：CF 平分BCA. 【解析】(1)AC BC 0，AC BC ，ACB90 . 第 9 页 / 共 13 页 又|OC OB |2|BC BA |，即|BC |2|AC |， AOC 是等腰直角三角形 A(2，0)，C(1，1)，而点 C 在椭圆上， 1 a2 1 b21，a2，b 24 3. 所求椭圆方程为 x2 4 3y2 41.(2)由(1)，得 C(1，1)，B(1，1) 又BO 2OA 3OF 0， 即BO OF 2OA 2OF BF2FA. 设 F(x0 ，y0) 则 x0 1 3，F(1， 1 3)CFx 轴，
21、ACFFCB45 ，即 CF 平分BCA. 变式 2、(2018 苏中三市、苏北四市三调）如图，已知2AC ，B为AC的中点，分别以 AB, AC为直径 在AC的同侧作半圆， M, N分别为两半圆上的动点 （不含端点A BC， ， ） ， 且BMBN， 则A M C N 的最大值为 【思路分析】处理向量数量问题，主要是坐标法和基底法，解法 1，建立坐标系，设NBCMABa?， (0) 2 ，得到 M,N 坐标，建立以角a的函数关系式；解法 2，两个向量不共起点，可以转化为以B为起 点的向量，运用向量数量积的定义得到关于AM uuuu r 的函数，换元转化二次函数，求最值；解法 3， 建立坐标系
22、后，设出直线BN和BM方程，,M N为直线与圆的交点，联立直线与圆方程，求出,M N的 坐标，得到一个关于斜率k的函数关系式，换元后求最值. 【答案】 1 4 【解析】 【解法 1】 （坐标法）以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，建立平面坐标系。设 NBCMAB ，(0) 2 ，则 2 ( sinsincos )M，, (cossin)N， ， ( 10)(10)AC ， 2 sinsincoscossinAM CN=（1，） （1，） uuur uuu r 22 sincossincos=（1）(1)+ 2 cossin=1+ 第 10 页 / 共 13 页 2 coscos=+=
23、2 11 (cos) 24 a-+，当 1 cos, 23 p aa=时，AM CN uuur uuu r 的最大值为 1 4 . 【解法 2】 （定义法）设NBCMAB ，(0) 2 ， AM CNBMBABNBC=（） （） uuur uuu ruuuruuruuu ruuu r BM BCBA BNBA BC= uuur uuu ruur uuu ruur uuu r cos1BM BA= uuur uur sincos1BM BA= uuur uur 2 1BMAM+-= uuuu ruuuu r 2 AMAM= uuuruuur ， 令AM t= uuur ，01t ， 21 0 4
24、 AM CNtt uuur uuu r ， ，所以AM CN uuur uuu r 的最大值为 1 4 . 【解法 3】 （解析几何法）以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，建立平面坐标系。 ，设直线BN的 斜率为 (0)k k ，则直线BM的斜率为 1 k ，则直线BN的方程为ykx，直线BM的方程为 1 yx k ， 联立 22 , 1 ykx xy 解得 22 1 () 11 k N kk ， ， 联立 22 1 , 11 + 24 yx k xy （） 解得 2 22 () 11 kk M kk ， 因为 ( 1,0)A ，(1,0)C ， 所以 22 1 () 11 k AM
25、kk =， uuur ， 22 1 (1) 11 k CN kk =- ， uuu r ， AM CN= uuur uuu r 22 22 11 (1) 11 11 kk kk kk +- 2 2 2 11 (1) 1 1 k k k + - 2 2 11 1 1 k k - 令 2 1 1 t k ，则01t ， 21 0 4 AM CNtt uuur uuu r ， ，所以AM CN uuur uuu r 的最大值为 1 4 . 方法总结：向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解 决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具
26、作用， 对于解析几何中出现的垂直可 转化为向量数量积等于 0，对于共线的线段长度乘积可转化为向量的数量积等 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年全国 2 卷】.已知单位向量a ,b 的夹角为 45 ，k a b 与a 垂直，则 k=_. 第 11 页 / 共 13 页 【答案】 2 2 【解析】由题意可得： 2 1 1 cos45 2 a b ， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k aba ， 即： 2 2 0 2 kaa bk ，解得： 2 2 k . 故答案为： 2 2 2、 【2020 年全国 3 卷】.已知向量 a，b 满足| 5a ，| | 6b ，6a b ，则cos ,=
27、a ab （ ） A. 31 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 【答案】D 【解析】5a ，6b ， 6a b ， 2 2 5619aabaa b . 2 22 2252 6367ababaa bb ， 因此， 1919 cos, 5 735 aab a ab aab . 故选：D. 3、 【2019 年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点E 在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE _ 【答案】1 【解析】 建立如图所示的直角坐标系， DAB=30 ，2 3,5,ABAD则(2 3,0)B， 5 3 5 (, ) 22
28、D . 因为ADBC，30BAD，所以30ABE， 因为AEBE，所以30BAE， 所以直线BE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 (2 3) 3 yx， 第 12 页 / 共 13 页 直线AE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 3 yx . 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 得3x ，1y ， 所以( 3, 1)E. 所以 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE . 4、 【2019 年高考江苏卷】如图，在ABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于 点O.若 6AB ACAO EC ，则 AB AC 的值是_ 【答案】3. 【解析】 如图， 过点 D 作 DF/CE， 交 AB 于点 F， 由 BE=2EA， D 为 BC 的中点， 知 BF=FE=EA,AO=OD 第 13 页 / 共 13 页 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE， 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC 22223 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC ， 得 2213 , 22 ABAC即3,ABAC故3 AB AC