1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 30 讲：平面向量的基本定理与坐标运算讲：平面向量的基本定理与坐标运算 一、课程标准 1.了解平面向量的基本定理及其意义 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二、.基础知识回顾 1.平面向量的基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有一对实数 1， 2， 使 a1e12e2. 其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做
2、把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| x21y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)，|AB | （x 2x1） 2（y 2y1） 2. 4.平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10. 常用结论与微点提醒 1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然. 2.若
3、a 与 b 不共线，ab0，则 0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位 置，它们的坐标都是相同的. 第 2 页 / 共 12 页 三、自主热身、归纳总结 1、 设 e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A. e1e2和 e1e2 B. 3e14e2和 6e18e2 C. e12e2和 2e1e2 D. e1和 e1e2 【答案】B 【解析】 选项 B 中，6e18e22(3e14e2)，6e18e2与 3e14e2共线，不能作为基底，选项 A，C， D 中两向量均不共线，可以作为基底故选
4、B. 2、已知平面向量 a(2，1)，b(1，1)，c(5，1)，若(akb)c，则实数 k 的值为( ) A. 11 4 B. 1 2 C. 2 D. 11 4 【答案】B 【解析】 a(2，1)，b(1，1)，akb(2k，1k)，又 c(5，1)， 由(akb)c，得(2k) 15 (k1)，解得 k1 2.故选 B. 3、已知 A(1，3)和 B(8，1)，如果点 C(2a1，a2)在直线 AB 上，则 a_. 【答案】13. 【解析】 AB (7，2)，BC (2a9，a3)，且AB BC ，有 7 (a3)2 (2a9)，解得 a13. 4、设 a，b 是两个不共线的非零向量，若
5、8akb 与 ka2b 共线，则实数 k( ) A. 4 B. 4 C. 4 D. 0 【答案】C 【解析】 由题意知 8akb 与 ka2b 为非零向量且共线，故存在实数 ，使得(8akb)(ka2b)，则 8 k，k2，得 2，k 4. 故选 C. 5、 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，P 为 CO 的中点，AB AD AP ，则 _. 【答案】4 3 【解析】 ABCD 为平行四边形， AB AD AC 2AO ， 又AP 3 2AO ， 得AB AD 4 3AP 已知AB AD AP ，故 4 3. 6、已知 a(1,0)，b(2,1) 第 3 页 /
6、共 12 页 (1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线？ (2)若 AB 2a3b， BCamb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的值 【解析】(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)， a2b(1,0)2(2,1)(5,2) 因为 kab 与 a2b 共线，所以 2(k2)(1) 50， 即 2k450，得 k1 2. (2) AB 2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)， BC amb(1,0)m(2,1)(2m1，m) 因为 A，B，C 三点共线，所以 AB BC. 所以 8m3(2m1)0，即 2m30，所以 m3 2. 四、例题选讲 考点一 平面向量基本定理的应用
7、 例 1、(2019 河北衡水中学调研)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB，AD 分别交于点 E，F，且交其 对角线 AC 于点 M，若AB 2AE，AD 3AF ，AM AB AC(，R)，则5 2( ) A.1 2 B.1 C.3 2 D.3 【答案】A 【解析】 (1)AM AB ACAB(ABAD ) ()AB AD 2()AE 3AF. 因为 E，M，F 三点共线，所以 2()(3)1， 即 251，5 2 1 2. 变式 1、 (1)如图(1)， 在平行四边形 ABCD 中， AC， BD 相交于点 O， E 为线段 AO 的中点. 若BE BA BD (，R)，则
8、 _. 第 4 页 / 共 12 页 图(1) 图(2) (2) 如图(2)，在ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，BG 2GO ，设CD AG ，若AD 1 5AB AC(R)， 则 的值为_. 【答案】 （1）3 4（2） 6 5 【解析】 (1)由题意可得BE 1 2BA 1 2BO 1 2BA 1 4BD ，由平面向量基本定理可得 1 2， 1 4， 3 4. (2)BG 2GO ， BO 为 AC 边上的中点， G 为ABC 的重心， AG 2 3 1 2(AB AC)1 3AB 1 3AC . CD AG ，设CD mAG ，从而AD AC CD AC m 3AB m 3AC
9、(1m 3)AC m 3AB . AD 1 5AB AC，m 3 1 5，1 m 3 6 5. 变式 2、 (一题多解) (2020 泉州四校联考)如图，OC 2OP ，AB 2AC，OM mOB ，ON nOA ，若 m3 8， 那么 n( ) A. 3 4 B.2 3 C.4 5 D.5 8 【答案】 A 【解析】 法一 由OC 2OP ，AB 2AC，知 C 是 AB 的中点，P 是 OC 的中点，所以OC 1 2(OA OB )， 则OP 1 4(OA OB )， 又OM 3 8OB ， ON nOA ， 从而MN ON OM nOA 3 8OB ， MP OP OM 1 4(OA O
10、B ) 3 8OB 1 4OA 1 8OB ， 又点 M， P， N 共线， 所以存在实数 ， 使MN MP 成立， 即 nOA 3 8OB 1 4OA 1 8OB ， 又因为OA ，OB 不共线， 第 5 页 / 共 12 页 所以有 n 1 4， 3 8 1 8， 解得 n3 4，故选 A. 法二 设MP MN ，OM 3 8OB ，ON nOA ， OP OM MP 3 8OB (ON OM ) 3 8OB nOA 3 8OB 3 8(1)OB nOA ， 又知OC 2OP ，OP 1 2OC 1 4OA 1 4OB ， 3 8（1） 1 4， n1 4， 解得 1 3，n 3 4，故选
11、 A. 变式 3、 如图， 在ABC 中， 点 O 是 BC 的中点， 过点 O 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M， N， 若AB mAM ，AC nAN (m，n0)，则 1 m 4 n的最小值为_. 【答案】9 2. 【解析】 MO AO AM AB AC 2 1 mAB (1 2 1 m)AB 1 2AC . 同理NO (1 2 1 n)AC 1 2AB ，又M，O， N 三点共线，故存在实数 ，使得(1 2 1 m)AB 1 2AC 1 2 1 n AC 1 2AB ，即(1 2 1 m 2)AB (1 2 2 n)AC 0，因AB ，AC 不共线，据基本定理得1 2
12、1 m 20 且 1 2 2 n0，消掉 得 mn2，故1 m 4 n 1 2(mn)( 1 m 4 n) 1 2(5 n m 4m n )1 2(54) 9 2. 变式 4、 （2019 安徽安庆一中质检）如图，已知平行四边形 ABCD 的边 BC，CD 的中点分别是 K，L， 且 AK e 1， AL e 2，试用 e1，e2表示 BC ， CD。 第 6 页 / 共 12 页 【解析】设 BC x， CDy，则 BK1 2x， DL 1 2y. 由 AB BK AK， AD DL AL， 得 y1 2xe1， x1 2ye2， (2)，得1 2x2xe12e2， 即 x2 3(e12e2
13、) 2 3e1 4 3e2， 所以 BC 2 3e1 4 3e2. 同理可得 y4 3e1 2 3e2，即 CD 4 3e1 2 3e2. 方法总结：平面向量基本定理的实质及应用思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数 乘运算 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成 向量的形式，再通过向量的运算来解决 考点二 、 二平面向量的坐标运算 例 1、设 A(0，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(0，1)，则AB AC等于( ) A.2AD B.2AD C.3AD D.3AD 【答案】C
14、 【解析】由题意得AB (1，2)，AC(1，4)，AD (0，2)，所以AB AC(0，6)3(0，2)3AD . 变式 2、(1)已知 M(3，2)，N(5，1)，且 MP 1 2 MN ，则 P 点的坐标为( ) A(8,1) B 1，3 2 C. 1，3 2 D(8，1) 第 7 页 / 共 12 页 (2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则 _. 【答案】(1)B (2)4 【解析】 (1)设 P(x，y)，则 MP (x3，y2)，而1 2 MN 1 2(8,1) 4，1 2 ，所以 x34， y21 2， 解得 x1， y3 2， 所以 P 1
15、，3 2 . (2)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为 1)， 则 A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)， 所以 a AO (1,1)，b OB(6,2)，c BC(1，3)因为 cab，所以(1，3)( 1,1)(6,2)， 即 61， 23， 解得 2，1 2，所以 4. 变式 3、 （2019 吉林实验中学模拟）已知 M(3，2)，N(5，1)，且MP 1 2 MN ，则 P 点的坐标为( ) A(8,1) B. 1，3 2 C. 1，3 2 D(8，1) 【答案】B 【解析】设 P(x，y)，则 MP (x3，y2)，而1 2MN
16、1 2(8,1) 4，1 2 ，所以 x34， y21 2， 解 得 x1， y3 2， 所以 P 1，3 2 . 方法总结：求解向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化 向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧 第 8 页 / 共 12 页 密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算 (2)巧借方程思想求坐标 向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先 求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用 (3)妙用待定系数法求系数 利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向
17、量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系 数 考点 3 用坐标表示解决共线问题 例 3 (1)已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_. (2)若三点 A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数 a 的值为_. 【答案】 （1）(3，3)（2）5 4 【解析】 (1)(方法 1)由 O，P，B 三点共线，可设OP OB (4，4)，则AP OPOA (44，4). 又 AC OC OA (2，6)，由AP 与AC 共线，得(44) 64(2)0，解得 3 4，OP 3 4OB (3，3)， 点 P 的坐标为(3，3). (方法 2
18、)设点 P(x，y)，则OP (x，y)，OB (4，4)，且OP 与OB 共线，x 4 y 4，即 xy. 又AP (x4，y)，AC (2，6)，且AP 与AC 共线，(x 4) 6y (2)0，解得 xy3，点 P 的坐标为(3，3). (2)AB (a1，3)，AC (3，4)，根据题意AB AC ，4(a1)3 (3)0，即 4a5，a 5 4. 变式 1、 （1)已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则 _. (2)已知向量 OA (k,12)， OB(4,5)， OC(k,10)，且 A，B，C 三点共线，则 k_. 【答案】(1)1 2 (2) 2
19、3 【解析】(1)因为 2ab(4,2)，c(2ab)， 所以 42，解得 1 2. (2) AB OB OA(4k，7)， 第 9 页 / 共 12 页 AC OC OA(2k，2) 因为 A，B，C 三点共线，所以 AB ， AC共线， 所以2 (4k)7 (2k)，解得 k2 3. 变式 2、设向量 OA (1，2)， OB(2m，1)， OC(2n,0)，m，nR，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则 mn 的最大值为( ) A3 B2 C2 D3 【答案】A 【解析】 由题意易知， AB AC，其中 AB OB OA(2m1,1)， AC OC OA(2n1,2)， 所以(2
20、m1) 21 (2n1)，得 2m 12n1,2m12n2 2mn1，所以 2mn122，即 mn3. 方法总结：1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件 是 x1y2x2y10； (2)若 ab(b0)，则 ab. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利 用坐标对应成比例来求解. 五、优化提升与真题演练 1、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量(1,1),a ( 1,3),b (2,1)c ，且() /abc， 则（ ） A3 B-3 C 1 7 D
21、1 7 【答案】C 【解析】 由题意(1,1 3 )ab，() /abc，2(1 3 )1 ，解得 1 7 故选：C. 2、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知向量(3, 4)OA ，(6, 3)OB ，(2 ,1)OCm m若 第 10 页 / 共 12 页 ABOC，则实数m的值为（ ） A 1 5 B 3 5 - C3 D 1 7 【答案】C 【解析】 因为 /ABOC，所以 3,1 / 2 ,1m m,3 ( 1)23.mmm 选 C. 3、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知向量(1,2)a ，(2, )bx，ab与b平行，则实数 x 的值为（ ） A1 B2
22、 C3 D4 【答案】D 【解析】由已知(3,2)abx，又()/ /abb， 32(2)xx ，解得：4a， 故选：D. 4、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）如图，已知1OAOB，3OC ，OC OB ， OA ， 30OC 若OC xOAyOB，x y（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设 (1,0)A ， 13 (,) 22 B ， 33 (,) 22 C， 则 3313 ( ,)(1,0)(,) 2222 OCxy， 所以 13 22 33 22 xy y ，解得2x，1y ， 所以3xy， 第 11 页 / 共 12 页 故选：
23、C 5、【2018年高考全国III卷理数】 已知向量 = 1,2a，= 2, 2b，= 1,c 若2ca + b， 则_ 【答案】 1 2 【解析】由题可得24,2ab，2ca+b，= 1,c，420 ，即 1 2 ，故答案为 1 2 . 6、 【2017 年高考全国 III 卷理数】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的 圆上.若APABAD，则的最大值为 A3 B22 C5 D2 【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系. 设0,1 ,0,0 ,2,0 ,2,1 ,ABCDP x y， 易得圆的半径 2 5 r ，即圆 C 的方程是 2 2 4 2 5 xy， ,1 ,0, 1 ,2,0APx yABAD，若满足APABAD， 第 12 页 / 共 12 页 则 2 1 x y ，,1 2 x y ，所以1 2 x y， 设1 2 x zy，即10 2 x yz ，点,P x y在圆 2 2 4 2 5 xy上， 所以圆心(2 0),到直线10 2 x yz 的距离dr，即 22 15 1 4 z ，解得13z， 所以z的最大值是 3，即的最大值是 3，故选 A