1、 第 1 页 / 共 20 页 第第 28 讲：正弦定理、余弦定理得应用讲：正弦定理、余弦定理得应用 一、课程标准 1.解三角形的实际应用 2.正、余弦定理在平面几何中的应用 3.解三角形与三角函数的综合问题 二、基础知识回顾 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图) 2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图) 3方向角：相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东 ，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图) (2)北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 区分两种
2、角 (1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 4坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角) (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i 为坡度)坡度又称为坡比 第 2 页 / 共 20 页 三、自主热身、归纳总结 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调）在ABC 中，已知 C120，sinB2sinA，且ABC 的面积为 2 3， 则 AB 的长为_ 【答案】 、 2 7 【解析】 、设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.因为 sinB 2 sinA，由正弦定理得 b2a，
3、因为ABC 的 面积为 2 3，所以 S1 2absin120 3 2 a22 3，解得 a2，所以 b4，则 ABc a2b22abcosC 416224cos1202 7. 2、 (2019 南京学情调研） 已知ABC 的面积为 3 15， 且 ACAB2， cosA1 4， 则 BC 的长为_ 【答案】 、. 8 【解析】 、 在ABC 中， cosA1 4， 所以 sinA 1cos 2A 15 4 ， 由 SABC1 2bcsinA 1 2bc 15 4 3 15得 bc24，由余弦定理得 a2b2c22bccosA(bc)22bc2bccosA22481264，即 a8. 3、(2
4、019 苏锡常镇调研（一） ）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 5a8b，A2B， 则 sin A 4 _ 【答案】 、 17 2 50 【解析】 、 因为 5a8b， 所以由正弦定理可得 5sinA8sinB， 即 sinA8 5sinB， 因为 A2B， 所以 sinAsin2B 2sinBcosB，则8 5sinB2sinBcosB，因为 sinB0，所以 cosB 4 5，则 sinB 1cos 2B3 5，故 sinA 24 25， 因为 A2B，所以 cosAcos2B2cos2B1 7 25，所以 sin A 4 sinAcos 4 cosAsin
5、4 17 2 50 . 解后反思 本题综合考查了正弦定理，同角三角函数关系，三角恒等变换等多个知识点的应用 4、(2018 苏北四市期末）在ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 bsinAsinBacos2B 2c，则a c的值为_ 【答案】 、2 第 3 页 / 共 20 页 【解析】 、 由正弦定理得， sinBsinAsinBsinAcos2B2sinC， 即 sinA(sin2Bcos2B)2sinC， 即 sinA2sinC， 再由正弦定理得，a c sinA sinC2. 5、(一题两空)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 si
6、n Asin B5 4sin C，且ABC 的 周长为 9，ABC 的面积为 3sin C，则 c_，cos C_. 【答案】 、4 1 4 【解析】 、ABC 中，角 A，B，C，所对边分别是 a，b，c，已知 sin Asin B5 4sin C，则 ab 5c 4 ， 且ABC 的周长为 9，则：c5c 4 9， 解得 c4. 若ABC 的面积等于 3sin C，则1 2absin C3sin C， 整理得 ab6，由于 ab5c 4 5， 故 ab5， ab6， 解得 a2， b3 或 a3， b2， 所以 cos Ca 2b2c2 2ab 1 4. 6、(多选)下列命题中，正确的是(
7、 ) A在ABC 中，若 AB，则 sin Asin B B在锐角三角形 ABC 中，不等式 sin Acos B 恒成立 C在ABC 中，若 acos Abcos B，则ABC 必是等腰直角三角形 D在ABC 中，若 B60 ，b2ac，则ABC 必是等边三角形 【答案】 、ABD 第 4 页 / 共 20 页 【解析】 、对于 A，在ABC 中，由正弦定理可得 a sin A b sin B，所以 sin Asin BabAB，故 A 正确； 对于 B， 在锐角三角形 ABC 中， A， B 0， 2 ， 且 AB 2， 则 2A 2B0， 所以 sin Asin 2B cos B，故 B
8、 正确；对于 C，在ABC 中，由 acos Abcos B，利用正弦定理可得 sin 2Asin 2B，得到 2A 2B 或 2A2B，故 AB 或 A 2B，即ABC 是等腰三角形或直角三角形，故 C 错误；对于 D，在 ABC 中，若 B60 ，b2ac，由余弦定理可得，b2a2c22accos B，所以 aca2c2ac，即(ac)2 0，解得 ac.又 B60 ，所以ABC 必是等边三角形，故 D 正确故选 A、B、D. 四、例题选讲 考点 1 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题 例1、如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一 段长度为 300 3 m 且和
9、P， Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点， 现测 得PAB90 ，PAQPBAPBQ60 ，则 P，Q 两点间的距离为_ m. 【答案】 900 【解析】 由已知，得QABPABPAQ30 . 又PBAPBQ60 ，所以AQB30 ，所以 ABBQ. 又 PB 为公共边，所以PABPQB，所以 PQPA. 在 RtPAB 中，APAB tan 60 900，故 PQ900， 所以 P，Q 两点间的距离为 900 m. 变式 1、(2017(2017 南京、盐城二模）南京、盐城二模）如图，测量河对岸的塔高 AB 时，选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BC
10、D30 ，BDC120 ，CD10 m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ，则塔高 AB _m. 第 5 页 / 共 20 页 【答案答案】 30 【解析】在BCD 中，由正弦定理得 BCsin120 sin30 1010 3(m)在 RtABC 中，ABBCtan6030(m) 变式 2、 如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向距 A 为( 31)海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北 偏西 75方向，距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船 此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上
11、走 私船？并求出所需要的时间(注： 62.449) 【解析】 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则有 CD10 3t(海 里)，BD10t(海里) 在ABC 中，AB( 31)海里，AC2 海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得 BC（ 31）22222（ 31）cos1206(海里)根据正弦定理，可得 sinABC ACsin120 BC 2 3 2 6 2 2 . ABC45，易知 CB 方向与正北方向垂直，从而CBD9030120. 在BCD 中，根据正弦定理，可得 sinBCDBDsinCBD CD 10t sin120 10 3t 1
12、2，BCD30， BDC30， BDBC 6(海里)， 则有 10t 6， t 6 100.245 小时14.7 分钟 故缉私船沿北偏东 60 方向，需 14.7 分钟才能追上走私船 变式 3、如图，在某港口 A 处获悉，其正东方向距离 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船 在港口的南偏西 30距港口 10 海里的 C 处，救援船接到救援命令立即从 C 处沿直线前往 B 处营救渔船 第 6 页 / 共 20 页 (1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离； (2)试问救援船在 C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援？(已知 cos49 21 7 ) 【解析】 (1)
13、由题意可知在三角形 ABC 中，AB20，AC10，CAB120，CB2AB2AC2 2AB AC cosCAB20210222010cos120700.BC10 7， 接到救援命令时救援船距离渔 船的距离为 10 7海里 (2)三角形 ABC 中，AB20，BC10 7，CAB120，由正弦定理得 AB sinACB BC sinCAB，即 20 sinACB 10 7 sin120，sinACB 21 7 .cos49sin41 21 7 ，ACB41，故救援船应沿北偏 东 71的方向救援 方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若 有
14、未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 题型二 正余弦定理在三角形中的运用 例 1、(2015 南京、盐城、徐州二模）如图，在ABC 中，D 是 BC 上的一点已知B60 ，AD2，AC 10，DC 2，则 AB_. 【答案答案】2 6 3 第 7 页 / 共 20 页 【解析解析】 、在ACD 中，因为 AD2，AC 10，DC 2，所以 cosADC2410 22 2 2 2 ，从而ADC 135 ，所以ADB45 .在ADB 中， AB sin45 2 sin60 ，所以 AB 2 2 2 3 2 2 6 3 变式
15、 1、(2015 南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在ABC 中，AB3，AC2，BC4，点 D 在边 BC 上，BAD45 ，则 tanCAD 的值为_ 【答案答案】8 15 7 【解析解析】 、 从构造角的角度观察分析， 可以从差的角度(CADA45 )， 也可以从和的角度(ACAD 45 )，所以只需从余弦定理入手求出A 的正切值，问题就迎刃而解了 解法 1 在ABC 中，AB3，AC2，BC4，由余弦定理可得 cosA3 22242 232 1 4，所以 tanA 15，于是 tanCADtan(A45 ) tanAtan45 1tanAtan45 8 15 7 . 解法 2 由解法
16、 1 得 tanA 15.由 tan(45 CAD) 15得 tan45 tanCAD 1tan45 tanCAD 15，即 1tanCAD 1tanCAD 15，解得 tanCAD 8 15 7 . 变式 2、 (2017 徐州、 连云港、 宿迁三检） 如图， 在ABC中， 已知点D在边AB上，3ADDB， 4 cos 5 A， 5 cos 13 ACB，13BC （1）求cosB的值； （2）求CD的长 第 8 页 / 共 20 页 解析： （1）在ABC中， 4 cos 5 A，(0,)A， 所以 22 43 sin1 cos1 ( ) 55 AA 同理可得， 12 sin 13 ACB
17、 所以coscos()cos()BAACBAACB sinsincoscosAACBAACB 3 124516 51351365 （2）在ABC中，由正弦定理得， 1312 sin20 3 sin13 5 BC ABACB A 又3ADDB，所以 1 5 4 BDAB 在BCD中，由余弦定理得， 22 2cosCDBDBCBD BCB 22 16 5132 5 13 65 9 2 变式 3、(2016 徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形 ABCD 中，已知 ADBC，AD1，BD2 10， CAD 4，tanADC2. (1) 求 CD 的长； (2) 求BCD 的面积 第 9 页 / 共
18、20 页 解析： (1)因为 tanADC2，且ADC(0，)，所以 sinADC2 5 5 ，cosADC 5 5 . 所以 sinACDsin ADC 4 sin ADC 4 sinADC cos 4cosADC sin 4 10 10 ，(6 分) 在ADC 中，由正弦定理得 CDAD sinDAC sinACD 5 (2) 因为 ADBC, 所以 cosBCDcosADC 5 5 ，sinBCDsinADC2 5 5 在BDC 中，由余弦定理得 BD2BC2CD22BC CD cosBCD， 得 BC22BC350，解得 BC7, (12 分) 所以 SBCD1 2BC CD sinB
19、CD 1 27 5 2 5 5 7. 变式 4、 （2017 年苏北四市模拟）如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB13，AC10，AD5，CD 65，AB AC 50. (1) 求 cosBAC 的值； (2) 求 sinCAD 的值； (3) 求BAD 的面积 解析： (1) 因为AB AC| |AB |AC cosBAC， 第 10 页 / 共 20 页 所以 cosBAC AB AC |AB |AC 50 1310 5 13. (2) 在ADC 中，AC10，AD5，CD 65. 由余弦定理，得 cosCADAC 2AD2CD2 2AC AD 10 252 652 2105 3 5.
20、 因为CAD(0，)，所以 sinCAD 1cos2CAD1 3 5 24 5. (3) 由(1)知，cosBAC 5 13. 因为BAC(0，)， 所以 sinBAC 1cos2BAC1 5 13 212 13. 从而 sinBADsin(BACCAD) sinBACcosCADcosBACsinCAD 12 13 3 5 5 13 4 5 56 65. 所以 SBAD1 2AB AD sinBAD 1 2135 56 65 方法总结：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就 要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多
21、的条件的三角形，然 后运用正余弦定理解决。 考点三、正余弦定理的综合问题 例 1、 （1） （2020 届山东省济宁市高三上期末）在ABC中,1,3,1ABACAB AC ,则ABC的面积 为( ) A 1 2 B1 C 2 D 2 2 （2） （2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 第 11 页 / 共 20 页 2 coscoscosbBaCcA，2b，则ABC面积的最大值是 A1 B3 C2 D4 【答案】 （1）C（2）B 【解析】 （1） 1 1,3,cos3cos1cos 3 ABACAB ACABACAAA 故
22、2 2 sin 3 A， 1 sin2 2 SAB ACA （2）由题意知60B ，由余弦定理，2 62 x ，故 22 424acacac，有4ac，故 1 sin3 2 ABC SacB . 故选：B 变式 1、【2020 江苏南京 9 月调研】 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b， c， 且 asin2B 2bsinA (1)求 B 的大小； (2)若 cosC 5 5 ，求sin()AC的值 【答案】(1) 4 B ；(2) 2 sin() 10 AC 【解析】(1)由正弦定理得：sin sin22sinsinABBA ，即2sinsincos2sinsin( )
23、ABBBA A，B(0，)，(*)可化简为 2 cos 2 B ， 4 B (2)由(1)知 2 cos 2 B ，可得 2 sin 2 B ， 5 cos0 5 C ，C(0，)， 2 5 sin0 5 C 第 12 页 / 共 20 页 coscos()cos()coscossinsinABCBCBCCB 252 5210 255210 ， A(0，)， 3 10 sin 10 A ， 3 1052 5102 sin()sincossincos 10551010 ACACCA 变式 2、(2019 常州期末）已知ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，且 b22 3 3
24、 bcsinA c2a2. (1) 求角 A 的大小； (2) 若 tanBtanC3，且 a2，求ABC 的周长 . 规范解答 (1) 由余弦定理得 a2b22bccosAc2. 又 b22 3 3 bcsinAc2a2，所以 b22bccosAc2b22 3 3 bcsinAc2，即 2bccosA2 3 3 bcsinA.(3 分) 从而 sinA 3cosA，若 cosA0，则 sinA0，与 sin2Acos2A1 矛盾，所以 cosA0，所以 tanA 3.又 A(0，)，所以 A 3 .(7 分) (2) tanBtanC 1tanBtanCtan(BC)tan(A)tan 2
25、3 3.(9 分) 又 tanBtanC3，所以 tanBtanC 3(2)2 3，解得 tanBtanC 3.(11 分) 又 B，C(0，)，所以 BC 3 ，又因为 A 3 ，所以ABC 是正三角形 由 a2 得ABC 的周长为 6.(14 分) 方法总结：在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用 面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问 题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度 和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题
26、的通法思路是：全部转化为角的关系， 建立函数关系式，如sin()yAxb，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具 第 13 页 / 共 20 页 体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年江苏卷】在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB （1）求sinC的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC ，求tan DAC的值 【答案】 （1） 5 sin 5 C ； （2） 2 tan 11 DAC. 【解析】 （1）由余弦定理得 222 2 2cos922 325 2 bacac
27、B ，所以5b . 由正弦定理得 sin5 sin sinsin5 cbcB C CBb . （2）由于 4 cos 5 ADC ，, 2 ADC ，所以 2 3 sin1 cos 5 ADCADC. 由于, 2 ADC ，所以0, 2 C ，所以 2 2 5 cos1 sin 5 CC 所以sinsinDACDACsinADCC 第 14 页 / 共 20 页 sincoscossinADCCADCC 32 5452 5 555525 . 由于0, 2 DAC ，所以 2 11 5 cos1 sin 25 DACDAC . 所以 sin2 tan cos11 DAC DAC DAC . 2、
28、 【2020 年山东卷】.在3ac ，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB=， 6 C ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解析】解法一：解法一： 由sin3sinAB=可得：3 a b ， 不妨设3 ,0am bm m， 则： 222222 3 2cos323 2 cababCmmm mm ，即c m. 选择条件选择条件的解析：的解析： 据此可得： 2 333acm mm ，1m，此时
29、1cm. 选择条件选择条件的解析：的解析： 第 15 页 / 共 20 页 据此可得： 222222 2 31 cos 222 bcammm A bcm ， 则： 2 13 sin1 22 A ，此时： 3 sin3 2 cAm ，则：2 3cm. 选择条件选择条件的解析：的解析： 可得1 cm bm ，cb， 与条件3cb矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：3, 6 sinAsinB CBAC , 3sin3sin 6 sinAACA , 31 3sin3?3? 22 sinAACsinAcosA ， 3sinAcosA ,3tanA , 2 3 A , 6 BC , 若选，3ac ,3
30、3abc, 2 33c ,c=1; 若选，3csinA,则 3 3 2 c ,2 3c ; 若选,与条件3cb矛盾. 3、【2018 年高考北京卷理数】在ABC 中，a=7，b=8，cosB= 1 7 （1）求A； （2）求 AC 边上的高 第 16 页 / 共 20 页 【解析】（1）在ABC 中，cosB= 1 7 ，B（ 2 ，）， sinB= 2 4 3 1 cos 7 B 由正弦定理得 sinsin ab AB 7 sin A = 8 4 3 7 ， sinA= 3 2 B（ 2 ，），A（0， 2 ）， A= 3 （2）在ABC 中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+s
31、inBcosA= 3114 3 () 2727 = 3 3 14 如图所示，在ABC 中，sinC= h BC ，h=sinBCC= 3 33 3 7 142 ， AC 边上的高为 3 3 2 4、 【2019 年高考全国卷理数】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsin 2 AC abA （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 第 17 页 / 共 20 页 【答案】 （1）B=60 ； （2） 33 (,) 82 . 【解析】（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sinA0，所以sin
32、sin 2 AC B 由180ABC ，可得sincos 22 ACB ，故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ，故 1 sin 22 B ， 因此B=60 （2）由题设及（1）知ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90， 由（1）知A+C=120，所以30C90，故 1 2 2 a， 从而 33 82 ABC S 因此，ABC面积的取值范围是 33 , 82 5、【2019 年高考天津卷理数】在ABC中，内角 , ,A B C所对的边分别为,
33、 ,a b c已知 2bca ， 3 sin4 sincBaC 第 18 页 / 共 20 页 （1）求cosB的值； （2）求sin 2 6 B 的值 【解析】（1）在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ，得sinsinbCcB， 又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba 又因为2bca ，得到 4 3 ba， 2 3 ca 由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B ac aa （2）由（1）可得 2 15 sin1 cos 4 BB， 从而 15 sin22sincos 8 BBB ， 2
34、2 7 cos2cossin 8 BBB ，故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公 式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力 6、【2019 年高考江苏卷】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 a=3c，b= 2，cosB= 2 3 ，求 c 的值； （2）若 sincos 2 AB ab ，求sin() 2 B 的值 【答案】 （1） 3 3 c ； （2） 2 5 5 . 【解析】 （1）因为 2 3 ,2
35、,cos 3 ac bB， 第 19 页 / 共 20 页 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac ，得 222 2(3 )( 2) 32 3 cc cc ，即 2 1 3 c . 所以 3 3 c . （2）因为 sincos 2 AB ab ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，得 cossin 2 BB bb ，所以cos2sinBB. 从而 22 cos(2sin)BB，即 22 cos4 1 cosBB ，故 2 4 cos 5 B . 因为sin0B，所以cos2sin0BB，从而 2 5 cos 5 B . 因此 2 5 sincos 25 BB . 7、【201
36、7 年高考全国理数】ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知sin3cos0AA， a=2 7，b=2. （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积. 【解析】 （1）由已知可得tan3A ，所以 2 3 A . 在ABC中，由余弦定理得 2 2 2844 cos 3 cc，即 2 2240cc . 解得6c (舍去)，4c . （2）由题设可得 2 CAD， 所以 6 BADBACCAD . 第 20 页 / 共 20 页 故ABD面积与ACD面积的比值为 1 sin 26 1 1 2 AB AD AC AD . 又ABC的面积为 1 4 2sin2 3 2 BAC ， 所以ABD的面积为3.