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第28讲 正弦定理余弦定理得应用(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 20 页 第第 28 讲:正弦定理、余弦定理得应用讲:正弦定理、余弦定理得应用 一、课程标准 1.解三角形的实际应用 2.正、余弦定理在平面几何中的应用 3.解三角形与三角函数的综合问题 二、基础知识回顾 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图) 2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 (如图) 3方向角:相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东 ,即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图) (2)北偏西 ,即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 区分两种

2、角 (1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 4坡角与坡度 (1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角 为坡角) (2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i 为坡度)坡度又称为坡比 第 2 页 / 共 20 页 三、自主热身、归纳总结 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调)在ABC 中,已知 C120,sinB2sinA,且ABC 的面积为 2 3, 则 AB 的长为_ 【答案】 、 2 7 【解析】 、设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.因为 sinB 2 sinA,由正弦定理得 b2a,

3、因为ABC 的 面积为 2 3,所以 S1 2absin120 3 2 a22 3,解得 a2,所以 b4,则 ABc a2b22abcosC 416224cos1202 7. 2、 (2019 南京学情调研) 已知ABC 的面积为 3 15, 且 ACAB2, cosA1 4, 则 BC 的长为_ 【答案】 、. 8 【解析】 、 在ABC 中, cosA1 4, 所以 sinA 1cos 2A 15 4 , 由 SABC1 2bcsinA 1 2bc 15 4 3 15得 bc24,由余弦定理得 a2b2c22bccosA(bc)22bc2bccosA22481264,即 a8. 3、(2

4、019 苏锡常镇调研(一) )在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 5a8b,A2B, 则 sin A 4 _ 【答案】 、 17 2 50 【解析】 、 因为 5a8b, 所以由正弦定理可得 5sinA8sinB, 即 sinA8 5sinB, 因为 A2B, 所以 sinAsin2B 2sinBcosB,则8 5sinB2sinBcosB,因为 sinB0,所以 cosB 4 5,则 sinB 1cos 2B3 5,故 sinA 24 25, 因为 A2B,所以 cosAcos2B2cos2B1 7 25,所以 sin A 4 sinAcos 4 cosAsin

5、4 17 2 50 . 解后反思 本题综合考查了正弦定理,同角三角函数关系,三角恒等变换等多个知识点的应用 4、(2018 苏北四市期末)在ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 bsinAsinBacos2B 2c,则a c的值为_ 【答案】 、2 第 3 页 / 共 20 页 【解析】 、 由正弦定理得, sinBsinAsinBsinAcos2B2sinC, 即 sinA(sin2Bcos2B)2sinC, 即 sinA2sinC, 再由正弦定理得,a c sinA sinC2. 5、(一题两空)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 si

6、n Asin B5 4sin C,且ABC 的 周长为 9,ABC 的面积为 3sin C,则 c_,cos C_. 【答案】 、4 1 4 【解析】 、ABC 中,角 A,B,C,所对边分别是 a,b,c,已知 sin Asin B5 4sin C,则 ab 5c 4 , 且ABC 的周长为 9,则:c5c 4 9, 解得 c4. 若ABC 的面积等于 3sin C,则1 2absin C3sin C, 整理得 ab6,由于 ab5c 4 5, 故 ab5, ab6, 解得 a2, b3 或 a3, b2, 所以 cos Ca 2b2c2 2ab 1 4. 6、(多选)下列命题中,正确的是(

7、 ) A在ABC 中,若 AB,则 sin Asin B B在锐角三角形 ABC 中,不等式 sin Acos B 恒成立 C在ABC 中,若 acos Abcos B,则ABC 必是等腰直角三角形 D在ABC 中,若 B60 ,b2ac,则ABC 必是等边三角形 【答案】 、ABD 第 4 页 / 共 20 页 【解析】 、对于 A,在ABC 中,由正弦定理可得 a sin A b sin B,所以 sin Asin BabAB,故 A 正确; 对于 B, 在锐角三角形 ABC 中, A, B 0, 2 , 且 AB 2, 则 2A 2B0, 所以 sin Asin 2B cos B,故 B

8、 正确;对于 C,在ABC 中,由 acos Abcos B,利用正弦定理可得 sin 2Asin 2B,得到 2A 2B 或 2A2B,故 AB 或 A 2B,即ABC 是等腰三角形或直角三角形,故 C 错误;对于 D,在 ABC 中,若 B60 ,b2ac,由余弦定理可得,b2a2c22accos B,所以 aca2c2ac,即(ac)2 0,解得 ac.又 B60 ,所以ABC 必是等边三角形,故 D 正确故选 A、B、D. 四、例题选讲 考点 1 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题 例1、如图,为了测量两座山峰上 P,Q 两点之间的距离,选择山坡上一 段长度为 300 3 m 且和

9、P, Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点, 现测 得PAB90 ,PAQPBAPBQ60 ,则 P,Q 两点间的距离为_ m. 【答案】 900 【解析】 由已知,得QABPABPAQ30 . 又PBAPBQ60 ,所以AQB30 ,所以 ABBQ. 又 PB 为公共边,所以PABPQB,所以 PQPA. 在 RtPAB 中,APAB tan 60 900,故 PQ900, 所以 P,Q 两点间的距离为 900 m. 变式 1、(2017(2017 南京、盐城二模)南京、盐城二模)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,测得BC

10、D30 ,BDC120 ,CD10 m,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ,则塔高 AB _m. 第 5 页 / 共 20 页 【答案答案】 30 【解析】在BCD 中,由正弦定理得 BCsin120 sin30 1010 3(m)在 RtABC 中,ABBCtan6030(m) 变式 2、 如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45方向距 A 为( 31)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北 偏西 75方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船 此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上

11、走 私船?并求出所需要的时间(注: 62.449) 【解析】 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,则有 CD10 3t(海 里),BD10t(海里) 在ABC 中,AB( 31)海里,AC2 海里,BAC4575120,根据余弦定理,可得 BC( 31)22222( 31)cos1206(海里)根据正弦定理,可得 sinABC ACsin120 BC 2 3 2 6 2 2 . ABC45,易知 CB 方向与正北方向垂直,从而CBD9030120. 在BCD 中,根据正弦定理,可得 sinBCDBDsinCBD CD 10t sin120 10 3t 1

12、2,BCD30, BDC30, BDBC 6(海里), 则有 10t 6, t 6 100.245 小时14.7 分钟 故缉私船沿北偏东 60 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船 变式 3、如图,在某港口 A 处获悉,其正东方向距离 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,此时救援船 在港口的南偏西 30距港口 10 海里的 C 处,救援船接到救援命令立即从 C 处沿直线前往 B 处营救渔船 第 6 页 / 共 20 页 (1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离; (2)试问救援船在 C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援?(已知 cos49 21 7 ) 【解析】 (1)

13、由题意可知在三角形 ABC 中,AB20,AC10,CAB120,CB2AB2AC2 2AB AC cosCAB20210222010cos120700.BC10 7, 接到救援命令时救援船距离渔 船的距离为 10 7海里 (2)三角形 ABC 中,AB20,BC10 7,CAB120,由正弦定理得 AB sinACB BC sinCAB,即 20 sinACB 10 7 sin120,sinACB 21 7 .cos49sin41 21 7 ,ACB41,故救援船应沿北偏 东 71的方向救援 方法总结:(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若 有

14、未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理 题型二 正余弦定理在三角形中的运用 例 1、(2015 南京、盐城、徐州二模)如图,在ABC 中,D 是 BC 上的一点已知B60 ,AD2,AC 10,DC 2,则 AB_. 【答案答案】2 6 3 第 7 页 / 共 20 页 【解析解析】 、在ACD 中,因为 AD2,AC 10,DC 2,所以 cosADC2410 22 2 2 2 ,从而ADC 135 ,所以ADB45 .在ADB 中, AB sin45 2 sin60 ,所以 AB 2 2 2 3 2 2 6 3 变式

15、 1、(2015 南通、扬州、淮安、连云港二调)如图,在ABC 中,AB3,AC2,BC4,点 D 在边 BC 上,BAD45 ,则 tanCAD 的值为_ 【答案答案】8 15 7 【解析解析】 、 从构造角的角度观察分析, 可以从差的角度(CADA45 ), 也可以从和的角度(ACAD 45 ),所以只需从余弦定理入手求出A 的正切值,问题就迎刃而解了 解法 1 在ABC 中,AB3,AC2,BC4,由余弦定理可得 cosA3 22242 232 1 4,所以 tanA 15,于是 tanCADtan(A45 ) tanAtan45 1tanAtan45 8 15 7 . 解法 2 由解法

16、 1 得 tanA 15.由 tan(45 CAD) 15得 tan45 tanCAD 1tan45 tanCAD 15,即 1tanCAD 1tanCAD 15,解得 tanCAD 8 15 7 . 变式 2、 (2017 徐州、 连云港、 宿迁三检) 如图, 在ABC中, 已知点D在边AB上,3ADDB, 4 cos 5 A, 5 cos 13 ACB,13BC (1)求cosB的值; (2)求CD的长 第 8 页 / 共 20 页 解析: (1)在ABC中, 4 cos 5 A,(0,)A, 所以 22 43 sin1 cos1 ( ) 55 AA 同理可得, 12 sin 13 ACB

17、 所以coscos()cos()BAACBAACB sinsincoscosAACBAACB 3 124516 51351365 (2)在ABC中,由正弦定理得, 1312 sin20 3 sin13 5 BC ABACB A 又3ADDB,所以 1 5 4 BDAB 在BCD中,由余弦定理得, 22 2cosCDBDBCBD BCB 22 16 5132 5 13 65 9 2 变式 3、(2016 徐州、连云港、宿迁三检)如图,在梯形 ABCD 中,已知 ADBC,AD1,BD2 10, CAD 4,tanADC2. (1) 求 CD 的长; (2) 求BCD 的面积 第 9 页 / 共

18、20 页 解析: (1)因为 tanADC2,且ADC(0,),所以 sinADC2 5 5 ,cosADC 5 5 . 所以 sinACDsin ADC 4 sin ADC 4 sinADC cos 4cosADC sin 4 10 10 ,(6 分) 在ADC 中,由正弦定理得 CDAD sinDAC sinACD 5 (2) 因为 ADBC, 所以 cosBCDcosADC 5 5 ,sinBCDsinADC2 5 5 在BDC 中,由余弦定理得 BD2BC2CD22BC CD cosBCD, 得 BC22BC350,解得 BC7, (12 分) 所以 SBCD1 2BC CD sinB

19、CD 1 27 5 2 5 5 7. 变式 4、 (2017 年苏北四市模拟)如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB13,AC10,AD5,CD 65,AB AC 50. (1) 求 cosBAC 的值; (2) 求 sinCAD 的值; (3) 求BAD 的面积 解析: (1) 因为AB AC| |AB |AC cosBAC, 第 10 页 / 共 20 页 所以 cosBAC AB AC |AB |AC 50 1310 5 13. (2) 在ADC 中,AC10,AD5,CD 65. 由余弦定理,得 cosCADAC 2AD2CD2 2AC AD 10 252 652 2105 3 5.

20、 因为CAD(0,),所以 sinCAD 1cos2CAD1 3 5 24 5. (3) 由(1)知,cosBAC 5 13. 因为BAC(0,), 所以 sinBAC 1cos2BAC1 5 13 212 13. 从而 sinBADsin(BACCAD) sinBACcosCADcosBACsinCAD 12 13 3 5 5 13 4 5 56 65. 所以 SBAD1 2AB AD sinBAD 1 2135 56 65 方法总结:正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题,许多题目中往往给出多边形,因此,就 要根据题目所给的条件,标出边和角,合理的选择三角形,尽量选择边和角都比较多

21、的条件的三角形,然 后运用正余弦定理解决。 考点三、正余弦定理的综合问题 例 1、 (1) (2020 届山东省济宁市高三上期末)在ABC中,1,3,1ABACAB AC ,则ABC的面积 为( ) A 1 2 B1 C 2 D 2 2 (2) (2020 届山东省潍坊市高三上学期统考)已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,若 第 11 页 / 共 20 页 2 coscoscosbBaCcA,2b,则ABC面积的最大值是 A1 B3 C2 D4 【答案】 (1)C(2)B 【解析】 (1) 1 1,3,cos3cos1cos 3 ABACAB ACABACAAA 故

22、2 2 sin 3 A, 1 sin2 2 SAB ACA (2)由题意知60B ,由余弦定理,2 62 x ,故 22 424acacac,有4ac,故 1 sin3 2 ABC SacB . 故选:B 变式 1、【2020 江苏南京 9 月调研】 已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c, 且 asin2B 2bsinA (1)求 B 的大小; (2)若 cosC 5 5 ,求sin()AC的值 【答案】(1) 4 B ;(2) 2 sin() 10 AC 【解析】(1)由正弦定理得:sin sin22sinsinABBA ,即2sinsincos2sinsin( )

23、ABBBA A,B(0,),(*)可化简为 2 cos 2 B , 4 B (2)由(1)知 2 cos 2 B ,可得 2 sin 2 B , 5 cos0 5 C ,C(0,), 2 5 sin0 5 C 第 12 页 / 共 20 页 coscos()cos()coscossinsinABCBCBCCB 252 5210 255210 , A(0,), 3 10 sin 10 A , 3 1052 5102 sin()sincossincos 10551010 ACACCA 变式 2、(2019 常州期末)已知ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 的对边,且 b22 3 3

24、 bcsinA c2a2. (1) 求角 A 的大小; (2) 若 tanBtanC3,且 a2,求ABC 的周长 . 规范解答 (1) 由余弦定理得 a2b22bccosAc2. 又 b22 3 3 bcsinAc2a2,所以 b22bccosAc2b22 3 3 bcsinAc2,即 2bccosA2 3 3 bcsinA.(3 分) 从而 sinA 3cosA,若 cosA0,则 sinA0,与 sin2Acos2A1 矛盾,所以 cosA0,所以 tanA 3.又 A(0,),所以 A 3 .(7 分) (2) tanBtanC 1tanBtanCtan(BC)tan(A)tan 2

25、3 3.(9 分) 又 tanBtanC3,所以 tanBtanC 3(2)2 3,解得 tanBtanC 3.(11 分) 又 B,C(0,),所以 BC 3 ,又因为 A 3 ,所以ABC 是正三角形 由 a2 得ABC 的周长为 6.(14 分) 方法总结:在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用 面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问 题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度 和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题

26、的通法思路是:全部转化为角的关系, 建立函数关系式,如sin()yAxb,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具 第 13 页 / 共 20 页 体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年江苏卷】在ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知3,2,45acB (1)求sinC的值; (2)在边 BC 上取一点 D,使得 4 cos 5 ADC ,求tan DAC的值 【答案】 (1) 5 sin 5 C ; (2) 2 tan 11 DAC. 【解析】 (1)由余弦定理得 222 2 2cos922 325 2 bacac

27、B ,所以5b . 由正弦定理得 sin5 sin sinsin5 cbcB C CBb . (2)由于 4 cos 5 ADC ,, 2 ADC ,所以 2 3 sin1 cos 5 ADCADC. 由于, 2 ADC ,所以0, 2 C ,所以 2 2 5 cos1 sin 5 CC 所以sinsinDACDACsinADCC 第 14 页 / 共 20 页 sincoscossinADCCADCC 32 5452 5 555525 . 由于0, 2 DAC ,所以 2 11 5 cos1 sin 25 DACDAC . 所以 sin2 tan cos11 DAC DAC DAC . 2、

28、 【2020 年山东卷】.在3ac ,sin3cA,3cb这三个条件中任选一个,补充在下面问题中, 若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由 问题:是否存在ABC,它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,且sin3sinAB=, 6 C ,_? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 【解析】解法一:解法一: 由sin3sinAB=可得:3 a b , 不妨设3 ,0am bm m, 则: 222222 3 2cos323 2 cababCmmm mm ,即c m. 选择条件选择条件的解析:的解析: 据此可得: 2 333acm mm ,1m,此时

29、1cm. 选择条件选择条件的解析:的解析: 第 15 页 / 共 20 页 据此可得: 222222 2 31 cos 222 bcammm A bcm , 则: 2 13 sin1 22 A ,此时: 3 sin3 2 cAm ,则:2 3cm. 选择条件选择条件的解析:的解析: 可得1 cm bm ,cb, 与条件3cb矛盾,则问题中的三角形不存在. 解法二:3, 6 sinAsinB CBAC , 3sin3sin 6 sinAACA , 31 3sin3?3? 22 sinAACsinAcosA , 3sinAcosA ,3tanA , 2 3 A , 6 BC , 若选,3ac ,3

30、3abc, 2 33c ,c=1; 若选,3csinA,则 3 3 2 c ,2 3c ; 若选,与条件3cb矛盾. 3、【2018 年高考北京卷理数】在ABC 中,a=7,b=8,cosB= 1 7 (1)求A; (2)求 AC 边上的高 第 16 页 / 共 20 页 【解析】(1)在ABC 中,cosB= 1 7 ,B( 2 ,), sinB= 2 4 3 1 cos 7 B 由正弦定理得 sinsin ab AB 7 sin A = 8 4 3 7 , sinA= 3 2 B( 2 ,),A(0, 2 ), A= 3 (2)在ABC 中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+s

31、inBcosA= 3114 3 () 2727 = 3 3 14 如图所示,在ABC 中,sinC= h BC ,h=sinBCC= 3 33 3 7 142 , AC 边上的高为 3 3 2 4、 【2019 年高考全国卷理数】ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知sinsin 2 AC abA (1)求 B; (2)若ABC 为锐角三角形,且 c=1,求ABC 面积的取值范围 第 17 页 / 共 20 页 【答案】 (1)B=60 ; (2) 33 (,) 82 . 【解析】(1)由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sinA0,所以sin

32、sin 2 AC B 由180ABC ,可得sincos 22 ACB ,故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ,故 1 sin 22 B , 因此B=60 (2)由题设及(1)知ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90, 由(1)知A+C=120,所以30C90,故 1 2 2 a, 从而 33 82 ABC S 因此,ABC面积的取值范围是 33 , 82 5、【2019 年高考天津卷理数】在ABC中,内角 , ,A B C所对的边分别为,

33、 ,a b c已知 2bca , 3 sin4 sincBaC 第 18 页 / 共 20 页 (1)求cosB的值; (2)求sin 2 6 B 的值 【解析】(1)在ABC中,由正弦定理 sinsin bc BC ,得sinsinbCcB, 又由3 sin4 sincBaC,得3 sin4 sinbCaC,即34ba 又因为2bca ,得到 4 3 ba, 2 3 ca 由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B ac aa (2)由(1)可得 2 15 sin1 cos 4 BB, 从而 15 sin22sincos 8 BBB , 2

34、2 7 cos2cossin 8 BBB ,故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公 式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力 6、【2019 年高考江苏卷】在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c (1)若 a=3c,b= 2,cosB= 2 3 ,求 c 的值; (2)若 sincos 2 AB ab ,求sin() 2 B 的值 【答案】 (1) 3 3 c ; (2) 2 5 5 . 【解析】 (1)因为 2 3 ,2

35、,cos 3 ac bB, 第 19 页 / 共 20 页 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac ,得 222 2(3 )( 2) 32 3 cc cc ,即 2 1 3 c . 所以 3 3 c . (2)因为 sincos 2 AB ab , 由正弦定理 sinsin ab AB ,得 cossin 2 BB bb ,所以cos2sinBB. 从而 22 cos(2sin)BB,即 22 cos4 1 cosBB ,故 2 4 cos 5 B . 因为sin0B,所以cos2sin0BB,从而 2 5 cos 5 B . 因此 2 5 sincos 25 BB . 7、【201

36、7 年高考全国理数】ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知sin3cos0AA, a=2 7,b=2. (1)求 c; (2)设 D 为 BC 边上一点,且 ADAC,求ABD 的面积. 【解析】 (1)由已知可得tan3A ,所以 2 3 A . 在ABC中,由余弦定理得 2 2 2844 cos 3 cc,即 2 2240cc . 解得6c (舍去),4c . (2)由题设可得 2 CAD, 所以 6 BADBACCAD . 第 20 页 / 共 20 页 故ABD面积与ACD面积的比值为 1 sin 26 1 1 2 AB AD AC AD . 又ABC的面积为 1 4 2sin2 3 2 BAC , 所以ABD的面积为3.