1、 第 1 页 / 共 19 页 第第 27 讲：正弦定理、余弦定理讲：正弦定理、余弦定理 一、课程标准 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 2、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 二、基础知识回顾 1正弦定理 a sin A b sin B c sin C2R(R 为ABC 外接圆的半径) 正弦定 理的常 见变形 (1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； (2)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； (3)abcsin Asin Bsin C； (4) abc sin Asin Bsin C a sin A. 2余
2、弦定理 a2b2c22bccos A； b2c2a22cacos B； c2a2b22abcos C. 余弦定理的常见变形 (1)cos Ab 2c2a2 2bc ； 第 2 页 / 共 19 页 (2)cos Bc 2a2b2 2ca ； (3)cos Ca 2b2c2 2ab . 3三角形的面积公式 (1)SABC1 2aha(ha 为边 a 上的高)； (2)SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B； (3)S1 2r(abc)(r 为三角形的内切圆半径) 三、自主热身、归纳总结 1、在ABC 中，AB5，AC3，BC7，则BAC( ) A. 6 B 3
3、C.2 3 D.5 6 【答案】C 【解析】 因为在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得 cosBACb 2c2a2 2bc 92549 30 1 2，因为BAC 为ABC的内角，所以BAC2 3 .故选 C. 2、在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b 3. 则SABC( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D2 【答案】C 第 3 页 / 共 19 页 【解析】因为A，B，C依次成等差数列，所以B60，所以由余弦定理得b 2a2c22accos B，得c2， 所以由正弦定理得SABC1 2acsin B 3 2
4、，故选 C. 3、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是( ) A 222 2cosabcbcA BsinsinaBbA CcoscosabCcB DcoscossinaBbAC 【答案】ABC 【解析】解：由在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知： 在A中，由余弦定理得： 222 2cosabcbcA，故A正确； 在B中，由正弦定理得： sinsin ab AB ， sinsinaBbA，故B正确； 在C中，coscosabCcB， 由余弦定理得： 222222 22 abcacb abc abac ， 整理，得 22 22aa，故C正确； 在D中，
5、由余弦定理得 222222 coscossin 22 acbbca aBbAabcC acbc ， 故D错误 4、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 sinsinsin ( 34 ABC k k 为非零实数） ，则下列结 论正确的是( ) A当5k 时，ABC是直角三角形 B当3k 时，ABC是锐角三角形 C当2k 时，ABC是钝角三角形 D当1k 时，ABC是钝角三角形 【答案】ABC 【解析】对于A，当5k 时， sinsinsin 534 ABC ，根据正弦定理不妨设5am，3bm，4cm，显然 ABC是直角三角形； 对于B，当3k 时， sinsinsin 334 AB
6、C ，根据正弦定理不妨设3am，3bm，4cm， 显然ABC是等腰三角形， 2222222 991620abcmmmm， 说明C为锐角，故ABC是锐角三角形； 对于C，当2k 时， sinsinsin 234 ABC ，根据正弦定理不妨设2am，3bm，4cm， 第 4 页 / 共 19 页 可得 2222222 491630abcmmmm ，说明C为钝角，故ABC是钝角三角形； 对于D，当1k 时， sinsinsin 134 ABC ，根据正弦定理不妨设am，3bm，4cm， 此时abc，不等构成三角形，故命题错误 5、在ABC 中，若 A60 ，a4 3，b4 2，则 B 等于_ 【答案
7、】45 【解析】由正弦定理知 a sin A b sin B，则 sin Bbsin A a 4 2 3 2 4 3 2 2 .又ab，则AB，所以B为锐角， 故B45. 6在ABC中，角A，B，C满足 sin Acos Csin Bcos C0，则三角形的形状为_ 【答案】直角三角形或等腰三角形 【解析】由已知有 cos C(sin Asin B)0，所以有 cos C0 或 sin Asin B，解得C90，或AB. 7、在ABC 中，AB 3，AC1，B30，ABC 的面积为 3 2 ，则 C_ 【答案】60 【解析】 (方法 1)SABC1 2 AB AC sinA 3 2 ， 即1
8、2 31sinA 3 2 ， sinA1.又 A(0， 180)， A90，C60. (方法 2)由正弦定理，得sinB AC sinC AB ，即1 2 sinC 3 ，即 sinC 3 2 .又 C(0，180)，C60或 C120.当 C120时，A30，SABC 3 4 3 2 (舍 去)当 C60时，A90，SABC 3 2 ，符合条件C60. 第 5 页 / 共 19 页 四、例题选讲 考点一、运用正余弦定理解三角形 例 1、 （2020 届山东实验中学高三上期中）在ABC中，若 13,3,120ABBCC，则AC= （ ） A1 B2 C3 D4 【答案】A 【解析】 余弦定理
9、222 2?cosABBCACBC ACC将各值代入 得 2 340ACAC 解得 1AC 或 4AC (舍去)选 A. 变式 1、 【2020 江苏淮阴中学期中考试】在ABC中，如果sin:sin:sin2:3:4ABC ，那么tanC _ 【答案】15 【解析】sinA：sinB：sinC2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c2：3：4，不妨设 a2t，b3t， c4t，则 cosC 222222 49161 22 234 abcttt abtt ，C(0，)，tanC 2 1 115 cos C 故 答案为15 变式 2、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）在ABC 中，内角 A，B
10、，C 的对边分别为, ,a b c，若 coscossinABC abc ， 222 6 5 bcabc，则tanB _ 【答案】4 第 6 页 / 共 19 页 【解析】 coscossinABC abc ， 由正弦定理得 coscossin sinsinsin ABC ABC ， 11 1 tantanAB ， 又 222 6 5 bcabc， 由余弦定理得 6 2cos 5 A ， 3 cos 5 A， A为ABC的内角， 4 sin 5 A ， 4 tan 3 A ， tan4B， 故答案为：4 变式 3、(2020贵阳模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为 2 的等
11、差数列，C120. (1)求边长a； (2)求AB边上的高CD的长 【解析】(1)由题意得，ba2，ca4， 由余弦定理 cos Ca 2b2c2 2ab 得 cos 120a 2 a2 2 a4 2 2aa2 ，即a 2a60，所以 a3 或a2(舍去)所以a3. (2)法一：由(1)知a3，b5，c7， 第 7 页 / 共 19 页 由三角形的面积公式得 1 2absinACB 1 2cCD， 所以CDabsinACB c 35 3 2 7 15 3 14 ， 即AB边上的高CD15 3 14 . 法二：由(1)知a3，b5，c7， 由正弦定理得 3 sin A 7 sin ACB 7 s
12、in 120. 即 sin A3 3 14 ， 在 RtACD中，CDACsin A53 3 14 15 3 14 . 即AB边上的高CD15 3 14 变式 4、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已 知10ab，5c ，sin2sin0BB （1）求a，b的值： （2）求sinC的值 【答案】 （1）3a ，7b； （2） 5 3 14 . 【解析】 （1）由sin2sin0BB，得2sincossin0BBB， 因为在ABC中，sin0B，得 1 cos 2 B ， 第 8 页 / 共 19 页 由余弦定理 222 2cosbacac
13、B，得 222 1 525 2 baa ， 因为10ba，所以 222 1 (10)525 2 aaa ， 解得3a ，所以7b. （2）由 1 cos 2 B ，得 3 sin 2 B 由正弦定理得 535 3 sinsin 7214 c CB b . 方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时， 则要考虑两个定理都有可能用到考查基本运算能力和转化与化归思想 考点二、利用正、余弦定理判定三角形形状 例 2 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为
14、 a，b，c，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC. (1)求 A 的大小； (2)若 sinBsinC1，试判断ABC 的形状 【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc，由余弦定理得：a2 b2c22bccosA，故 cosA1 2，A120. (2)由(1)得：sin2Asin2Bsin2CsinBsinC， A120，3 4sin 2Bsin2CsinBsinC，与 sinBsinC 1 联立方程组解得：sinBsinC1 2，0B60，0C60，故 BC30，ABC 是等 腰钝角三角形 变式 1、(1)设ABC 的内角
15、 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形 第 9 页 / 共 19 页 状为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin A sin B a c，(bca)(bca)3bc，则ABC 的形状为( ) A直角三角形 B等腰非等边三角形 C等边三角形 D钝角三角形 【答案】 (1)B (2)C 【解析】 (1)法一：因为 bcos Cccos Basin A， 由正弦定理知 sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A， 得 sin(BC)
16、sin Asin A. 又 sin(BC)sin A，得 sin A1， 即 A 2，因此ABC 是直角三角形 法二：因为 bcos Cccos Bb a2b2c2 2ab c a2c2b2 2ac 2a 2 2a a，所以 asin Aa，即 sin A1，故 A 2，因此ABC 是直角三角形 (2)因为sin A sin B a c，所以 a b a c，所以 bc. 又(bca)(bca)3bc， 所以 b2c2a2bc， 所以 cos Ab 2c2a2 2bc bc 2bc 1 2. 因为 A(0，)，所以 A 3， 第 10 页 / 共 19 页 所以ABC 是等边三角形 变式 2、
17、ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2b2c2ab，且 2cosAsinBsinC，试 确定ABC 的形状 【解析】(方法 1)利用边的关系来判断： 由正弦定理得sinC sinB c b，由 2cosAsinBsinC，得 cosA sinC 2sinB c 2b.又由余弦定理得 cosA b2c2a2 2bc ， c 2b b2c2a2 2bc ，即 c2b2c2a2，a2b2，ab.又a2b2c2ab.2b2c2b2，b2c2，b c，abc. ABC 为等边三角形 (方法 2)利用角的关系来判断： ABC180，sinCsin(AB)， 又2cosAsinB
18、sinC，2cosAsinBsinAcosBcosAsinB，sin(AB)0，又A 与 B 均为ABC 的内角，A B. 又由 a2b2c2ab，由余弦定理，得 cosCa 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2，又 0C180， C60，ABC 为等边三角形 方法总结： 判定三角形形状的途径：化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；化角为边，通过 代数变形找出边之间的关系正(余)弦定理是转化的桥梁考查转化与化归思想 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积 例 3、 （2020 届山东省临沂市高三上期末）在 3 cos 5 A， 2 5 cos 5 C ，sinsinsincCA bB，
19、60B ，2c ， 1 cos 8 A 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若3a ，_，求ABC的面积 S. 【答案】答案不唯一，具体见解析 第 11 页 / 共 19 页 【解析】 选 3 cos 5 A， 2 5 cos 5 C ， 4 sin 5 A ， 5 sin 5 C ， sinsinsincoscossinBA CACAC 42 53511 5 555525 ， 由正弦定理得 11 5 3 sin33 5 25 4 sin20 5 aB b A ， 1133 5599 sin3 2220540 SabC .
20、选 sinsinsincCA bB， 由正弦定理得 22 cab . 3a ， 22 3bc . 又60B ， 222 1 92 33 2 bccc ， 4c ， 第 12 页 / 共 19 页 1 sin3 3 2 SacB. 选 2c ， 1 cos 8 A ， 由余弦定理得 222 123 822 b b ，即 2 50 2 b b ， 解得 5 2 b 或2b （舍去）. 2 3 7 sin1 cos 8 AA， ABC的面积 1153 715 7 sin2 222816 SbcA . 故答案为：选为 99 40 ；选为3 3；选为15 7 16 . 变式 1、 （2020 届山东实验
21、中学高三上期中）在ABC中，, ,a b c分别为内角, ,A B C的对边，若 3 2sinsinsin,cos 5 BACB，且6 ABC S，则b_ 【答案】4 【解析】已知等式2sinsinBA sinC，利用正弦定理化简得：2bac， 3 cos, 5 B 可得 2 4 sin1 cos 5 BB， 114 sin6 225 ABC SacBac ，可解得15ac ，余弦定理可得， 222 2cosbacacB 2 21cosacacB 2 3 42 151 5 b ，可解得4b，故答案为 4. 第 13 页 / 共 19 页 变式 2、 【2020 江苏溧阳上学期期中考试】 在AB
22、C中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若3b， 222 sinsin3sinABC ， 1 cos 3 A ，则ABC的面积是_ 【答案】 2 【解析】3b， 222 sinsin3sinABC ，由正弦定理可得 2222 339acbc，又 1 cos 3 A ， 由余弦定理可得 2222 2cos92abcbcAcc， 22 3992ccc，解得1c，又 2 2 2 sin1 3 Acos A， 112 2 sin3 12 223 ABC SbcA 故答案为 2 变式 3、 2017 南通调研在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，(abc)(abc)ab. (
23、1)求角 C 的大小； (2)若 c2acosB，b2，求ABC 的面积 【解析】 (1)在ABC 中， 由(abc)(abc)ab 得(ab)2c2ab， 进而得a 2b2c2 2ab 1 2， 即 cosC 1 2.0C，C 2 3 . (2)(方法 1)c2acosB，由正弦定理得 sinC2sinAcosB，ABC，sinCsin(AB)， sin(AB)2sinAcosB，即 sinAcosBcosAsinB0，即 sin(AB)0，又 3 AB 3 ，AB 0，即 AB，ab2. ABC 的面积为 SABC1 2absinC 1 222 sin2 3 3. (方法 2)由 c2ac
24、osB 及余弦定理得 c2aa 2c2b2 2ac ，化简得 ab2，ABC 的面积为 SABC1 2 absinC1 222sin 2 3 3. 方法总结：1求三角形面积的方法 第 14 页 / 共 19 页 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、 余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之 积，代入公式求面积 (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图 形恰当选择面积公式是解题的关键 2已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解 (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角
25、，利用面积公式列方程求解 五、优化提升与真题演练 1、【2018 年高考全国理数】在ABC中， 5 cos 25 C ，1BC ，5AC ，则AB A4 2 B 30 C29 D2 5 【答案】A 【解析】因为 2 2 53 cos2cos121, 255 C C 所以 222 3 2cos1252 1 5324 2 5 ABBCACBC ACCAB ，则 ，故选 A. 2、【2018 年高考全国理数】ABC的内角A BC， ， 的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为 222 4 abc ，则C A 2 B 3 第 15 页 / 共 19 页 C 4 D 6 【答案】C 【解析】由题可知 2
26、22 1 sin 24 ABC abc SabC ，所以 222 2sinCabcab， 由余弦定理 222 2cosabcabC，得sincosCC，因为 0,C，所以 4 C ，故选 C. 3、【2019 年高考全国卷理数】ABC的内角, ,A B C的对边分别为, , a b c.若 6,2 , 3 bac B，则 ABC的面积为_ 【答案】6 3 【解析】由余弦定理得 222 2cosbacacB，所以 222 1 (2 )2 26 2 ccc c ，即 2 12c ， 解得2 3,2 3cc （舍去） ， 所以24 3ac， 113 sin4 32 36 3. 222 ABC Sac
27、B 4、【2019 年高考浙江卷】在ABC中，90ABC，4AB ，3BC ，点D在线段AC上，若 45BDC，则BD _，cosABD_ 【答案】12 2 5 ， 7 2 10 【解析】如图，在 ABD 中，由正弦定理有： sinsin ABBD ADBBAC ，而 3 4, 4 ABADB， 22 5AC=AB +BC = ， 34 sin,cos 55 BCAB BACBAC ACAC ，所以 12 2 5 BD . 7 2 coscos()coscossinsin 4410 ABDBDCBACBACBAC . 第 16 页 / 共 19 页 5、 【2018 年高考浙江卷】在ABC 中
28、，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 7a ，b=2，A=60，则 sin B=_，c=_ 【答案】 21 7 ，3 【解析】由正弦定理得 sin sin aA bB ，所以 221 sinsin, 377 B 由余弦定理得 2222 2cos ,742 ,3abcbcAccc （负值舍去） 6、【2019 年高考北京卷理数】在ABC 中，a=3，bc=2，cosB= 1 2 （1）求 b，c 的值； （2）求 sin（BC）的值 【答案】 （1）7b，5c ； （2） 4 3 7 . 【解析】 （1）由余弦定理 222 2cosbacacB，得 222 1 32 3 2 bcc .
29、 因为2bc ， 第 17 页 / 共 19 页 所以 222 1 (2)32 3 2 ccc . 解得5c . 所以7b. （2）由 1 cos 2 B 得 3 sin 2 B . 由正弦定理得 5 3 sinsin 14 c CB b . 在ABC中，B是钝角， 所以C为锐角. 所以 2 11 cos1 sin 14 CC. 所以 4 3 sin()sincoscossin 7 BCBCBC . 7、【2020 江苏镇江期中考试】 已知 ABC的内角 , ,A B C所对应的边分别为, ,a b c， 且 22 c o sacb cA (1)求角B的大小； (2)若2 3b ，4ac ，求
30、ABC的面积 【答案】(1) 2 3 B ；(2)3 ABC S 【解析】(1)因为22 cosacbA，由正弦定理，得sin +2sin2sin cosACBA 因为CAB，所以sin +2sin2sin cosAABBA 即sin +2sin cos2cos sin2sin cosAABABBA，所以sin1+2cos0AB 第 18 页 / 共 19 页 因为sin0A，所以 1 cos 2 B ，又因为0B，所以 2 3 B (2)由余弦定理 222 2cosacacBb及2 3b 得， 22+ 12acac，即 2 12acac 又因为=4ac，所以4ac ，所以 113 =sin4
31、3 222 ABC SacB 8、 【2020 江苏盐城中学月考】已知ABC中， 1 tan 4 A， 3 tan 5 B ，17AB 求： (1)角C的大小； (2)ABC 中最小边的边长 【答案】(1) 3 4 C (2) 2 【解析】(1)tantantanCABAB = tantan 1tan tan AB AB = 13 45 1 3 1 4 5 1 ，所以 3 4 C (2)因为tantanAB，所以最小角为A，又因为 1 tan 4 A，所以 17 sin 17 A ，17cAB，又 sinsin ac AC ，所以a sin sin cA C 17 17 17 2 2 2 9、
32、 【2020 江苏南京上学期开学考】在ABC 中，A 3 4 ，AB6，AC3 2 (1)求 sinB 的值； (2)若点 D 在 BC 边上，ADBD，求ABD 的面积 【答案】(1) 10 10 ；(2)3 第 19 页 / 共 19 页 【解析】(1)由余弦定理可得： 222 2 2cos36 1836 290 2 BCABACAB ACA， 3 10BC ，由正弦定理可得： 2 3 2 sin10 2 sin 103 10 ACA B BC (2)B为锐角， 2 3 10 cos1 sin 10 BB，由余弦定理得： 222 2cosADABBDAB BDB， 又AD BD ， 6 10 2cos3 10 2 10 AB BD B ， 1110 sin6103 2210 ABD SAB BDB