1、 第 1 页 / 共 20 页 第第 25 讲：三角函数的图像与性质讲：三角函数的图像与性质 一、课程标准 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在 2， 2 上的性质 二、基础知识回顾 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理： 在正弦函数 ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)， 2，1 ，(，0)， 3 2 ，1 ，(2，0) 在余弦函数 ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)， 2，0 ，(，1)， 3 2 ，0 ，(2，1). (
2、2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定 义 域 R R R R x xR R，且xk 2 ，kZ Z 值域 1,1 1,1 R R 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 第 2 页 / 共 20 页 单 调 性 在 22k， 22k (kZ Z)上是递增函数， 在 22k， 3 2 2k (k Z Z)上是递减函数 在2k， 2k(kZ Z)上是 递增函数，在 2k，2k(k Z Z)上是递减函 数 在 2k， 2k (kZ Z)上是 递增函数 周 期 性 周 期 是 2k(k Z Z 且
3、k0)，最小正周期是 2 周期是2k(kZ Z 且 k0)，最小 正周期是 2 周期是 k(kZ Z 且 k0)， 最小正 周期是 对 称 性 对称轴是 x 2k(k Z Z)，对称中心是(k，0)(k Z Z) 对称轴是 x k(kZ Z)，对称 中心是 k 2，0 (k Z Z) 对称中心是 k 2 ，0 (kZ Z) 三、自主热身、归纳总结 1、函数 2tan 2 3 yx 的定义域为（ ） A | 12 x x B| 12 x x C |, 12 x xkkZ D|, 212 k x xkZ 【答案】D 第 3 页 / 共 20 页 【解析】因为2, 32 xkkZ ，所以, 212
4、k xkZ 故函数的定义域为 |, 212 k x xkZ ，选 D。 2、在函数ycos|2x|，y|cosx|，ycos 2x 6 ，ytan 2x 4 中，最小正周期为的所有函数 为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ycos|2x|cos2x，最小正周期为； 由图像知 y|cosx|的最小正周期为； ycos 2x 6 的最小正周期 T2 2 ； ytan 2x 4 的最小正周期 T 2 .故选 A. 3、函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0， 2 上的最小值为( ) A. 1 B. 2 2 C. 2 2 D. 0 【答案】B 【解析】 由已知 x 0， 2 ，
5、得 2x 4 4 ，3 4 ，sin 2x 4 2 2 ，1 ， 故函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0， 2 上的最小值为 2 2 .故选 B. 4、下列关于函数 y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是( ) 第 4 页 / 共 20 页 A在，0上是增函数，在0，上是减函数 B在 2， 2 上是增函数，在 ， 2 和 2， 上是减函数 C在0，上是增函数，在，0上是减函数 D在 2， 和 ， 2 上是增函数，在 2， 2 上是减函数 【答案】B 【解析】函数 y4sin x 在 ， 2 和 2， 上单调递减，在 2， 2 上单调递增故选 B. 5、 （安徽省淮南市 2019 届
6、高三模拟） 若函数 f(x)sin x(0)在区间 0， 3 上单调递增，在区间 3， 2 上 单调递减，则 等于( ) A.2 3 B. 3 2 C2 D3 【答案】B 【解析】因为 f(x)sin x(0)过原点， 所以当 0 x 2，即 0 x 2时，ysin x 是增函数； 当 2x 3 2 ，即 2x 3 2时， ysin x 是减函数由 f(x)sin x(0)在 0， 3 上单调递增， 在 3， 2 上单调递减知， 2 3，所以 3 2。 6、下列关于函数tan() 3 yx 的说法正确的是( ) A在区间 5 (,) 66 上单调递增 B最小正周期是 C图象关于(,0) 4 成
7、中心对称 D图象关于直线 6 x 成轴对称 【答案】AB 第 5 页 / 共 20 页 【解析】令 232 kxk ，解得 5 66 kxk ，kZ，显然 5 (,) 66 满足上述关系式， 故A正确；易知该函数的最小正周期为，故B正确； 令 32 k x ，解得 23 k x ，kZ，任取k值不能得到 4 x ，故C错误； 正切函数曲线没有对称轴，因此函数tan() 3 yx 的图象也没有对称轴，故D错误 7、函数 ycos 2x 4 的单调递减区间为_ 【答案】 k 8 ，k5 8 (kZ)_ 【解析】 令 2k2x 4 2k(kZ)，解得 k 8 xk5 8 (kZ)，函数的单调递减区间
8、 为 k 8 ，k5 8 (kZ) 8、函数 y32cos x 4 的最大值为_，此时 x_. 【答案】5 3 4 2k(kZ Z) 【解析】函数 y32cos x 4 的最大值为 325，此时 x 42k，kZ Z，即 x 3 4 2k(kZ Z) 四、例题选讲 考点一、三角函数的定义域 例 1 (1)函数 y sinxcosx的定义域为 (2)函数 y 12cosxlg(2sinx1)的定义域为 第 6 页 / 共 20 页 【答案】 （1） x 2k 4 x2k5 4 ，kZ （2） 3 2k，5 6 2k (kZ) 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使 sinxcosx0.利用图像，
9、在同一坐标系中画出上 ysinx 和 ycosx 的图像， 如图所示在 0，2内，满足 sinxcosx 的 x 为 4 ，5 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2， 原函数的定义域为 x 2k 4 x2k5 4 ，kZ. (2)由题意得 12cosx0， 2sinx10， 根据图像解得 3 2kx5 6 2k， 即定义域为 3 2k，5 6 2k (kZ) 变式 1、 (1)函数 y 1 tan x1的定义域为_. (2)函数 ylg(sin x)cos x1 2的定义域为_. 【答案】 （(1) x|x 4k，且x 2k，kZ (2) x|2k0， cos x1 20， 即 sin x0
10、， cos x1 2， 解得 2kx2k（kZ）， 32kx 32k（kZ）， 所以 2kx 32k(kZ)， 所以函数的定义域为 x|2k0，函数f(x)sin x 4 在 2 ， 上单调递减，则的取值范围是_. 【答案】 1 2， 5 4 第 12 页 / 共 20 页 【解析】由 2x0 得 2 4x 40，kZ Z， 得k0，所以 1 2， 5 4 . 方法总结： 本题考查三角函数的单调性 首先化成 yAsin(x)的形式， 再把 x 看作整体代入 ysinx 的相应单调区间内求 x 的范围即可 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题， 首先， 明确已知的单调区间应为函
11、数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间 的关系可求解考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想 考点四、三角函数的奇偶性、周期性及对称性 例 4、 (1)函数 f(x)|tan x|的最小正周期是_. (2)函数 f(x)cos23 2xsin 23 2x 的最小正周期是_. 【答案】(1) (2)2 3 【解析】(1)y|tan x|的图象是ytan x的图象保留x轴上方部分，并将下方的部分翻折到x轴上方得 到的，所以其最小正周期为. (2)函数f(x)cos 23 2xsin 23 2xcos 3x，最小正周期 T2 3 . 变式 1、(1)若函数 f(x)
12、3sin 2x 3 ，(0，)为偶函数，则 的值为_ 第 13 页 / 共 20 页 (2)若函数 ycos x 6 (N*)图像的一个对称中心是 6 ，0 ，则 的最小值为_ 【答案】（1）5 6 .（2）2 【解析】 (1)由题意知 f(x)为偶函数，关于 y 轴对称，f(0)3sin 3 3， 3 k 2 ，kZ，又 0，5 6 . (2)由题意知 6 6 k 2 (kZ)，6k2(kZ)，又 N*，min2. 变式 2、下列函数，最小正周期为的偶函数有( ) Atanyx B|sin|yx C2cosyx Dsin(2 ) 2 yx 【答案】BD 【解析】 ：函数tanyx的最小正周期
13、为，且该函数为奇函数，故排除A； 函数|sin|yx的最小正周期为，且该函数为偶函数，故B满足条件； 函数2cosyx的最小正周期为2，且该函数为偶函数，故C不满足条件，故排除C； 函数sin(2 )cos2 2 yxx 的最小正周期为 2 2 ，且该函数为偶函数，故D满足条件， 变式 3、 （1） 已知函数f(x)sin(x) 0，| 2 的最小正周期为 4， 且xR R， 有f(x)f 3 成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( ) A. 2 3 ，0 B. 3 ，0 C. 2 3 ，0 D. 5 3 ，0 (2)(2020武汉调研)设函数f(x)sin 1 2x 3cos 1 2x
14、| 2 的图象关于y轴对称，则 ( ) A. 6 B. 6 C. 3 D. 3 【答案】(1)A (2)A 第 14 页 / 共 20 页 【解析】(1)由f(x)sin(x)的最小正周期为 4， 得1 2. 因为f(x)f 3 恒成立，所以f(x)maxf 3 ， 即1 2 3 2 2k(kZ Z)， 又| 2 ，所以 3 ，故f(x)sin 1 2x 3 . 令1 2x 3 k(kZ Z)，得x2k2 3 (kZ Z)， 故f(x)图象的对称中心为 2k2 3 ，0 (kZ Z)， 当k0 时，f(x)图象的对称中心坐标为 2 3 ，0 . (2)f(x)sin 1 2x 3cos 1 2
15、x 2sin 1 2x 3 ， 由题意可得f(0)2sin 3 2， 即 sin 3 1， 3 2 k(kZ Z)， 5 6 k(kZ Z). | 2 ，k1 时， 6 . 方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性求 f(x)的对称轴，只需令x 2 k(kZ)，求 x 即 可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)，求 x 即可奇偶性可以用定义判断，也可 以通过诱导公式将 yAsin(x)转化为 yAsinx 或 yAcosx.考查运算求解能力，整体代换及转化与 化归的思想 第 15 页 / 共 20 页 五、优化提升与真题演练 1、【2019 年高考全国卷理数】函数 f(
16、x)=在, 的图像大致为 A B C D 【答案】D 【解析】 由 22 sin()()sin ()( ) cos()()cos xxxx fxf x xxxx ， 得 ( )f x是奇函数， 其图象关于原点对称， 排除 A又 2 2 1 42 2 ( )1, 2 ( ) 2 f 2 ()0 1 f ，排除 B，C，故选 D 2、【2019 年高考全国卷理数】关于函数( )sin|sin |f xxx有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（ 2 ，）单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 【答案】C 【解析】 sin
17、sinsinsin,fxxxxxf xf x为偶函数，故正确 2 sin cos xx xx 第 16 页 / 共 20 页 当 2 x时， 2sinf xx，它在区间, 2 单调递减，故错误 当0 x时， 2sinf xx，它有两个零点：0 ；当0 x 时， sinsinf xxx 2sinx，它有一个零点： ，故 f x在, 有3个零点：0 ，故错误 当2, 2xkkk N时 ， 2 s i nfxx； 当2, 22xkkk N时 ， s i ns i n0fxxx，又 f x为偶函数， f x的最大值为2，故正确 综上所述，正确，故选 C 3、【2019 年高考全国卷理数】下列函数中，以
18、 2 为周期且在区间( 4 ， 2 )单调递增的是 Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为sin |yx的图象如下图 1，知其不是周期函数，排除 D； 因为coscosyxx，周期为2，排除 C； 作出cos2yx图象如图 2，由图象知，其周期为 2 ，在区间( 4 ， 2 )单调递增，A 正确； 作出sin2yx的图象如图 3，由图象知，其周期为 2 ，在区间( 4 ， 2 )单调递减，排除 B， 故选 A 第 17 页 / 共 20 页 图 1 图 2 图 3 4、 【2018 年高考浙江卷】
19、函数 y=2 x sin2x 的图象可能是 A B C D 【答案】D 第 18 页 / 共 20 页 【解析】令 2 sin2 x f xx，因为 ,2sin22 sin2 xx xfxxxf x R，所以 2 sin2 x f xx为奇函数，排除选项 A，B； 因为 , 2 x 时， 0f x ，所以排除选项 C， 故选 D. 5、 (2018 全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则( ) Af(x)的最小正周期为 ，最大值为 3 Bf(x)的最小正周期为 ，最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 【答案】B 【
20、解析】f(x)2cos2xsin2x21cos 2x1cos 2x 2 23 2cos 2x 5 2， f(x)的最小正周期为 ，最大值为 4，故选 B。 6、 【2017 年高考全国理数】设函数 ( 3 cos)f xx，则下列结论错误的是 A( )f x的一个周期为2 B( )yf x的图象关于直线 8 3 x 对称 C()f x的一个零点为 6 x D( )f x在( 2 ，)单调递减 【答案】D 【解析】函数( )f x的最小正周期为 2 2 1 T ，则函数( )f x的周期为2 TkkZ，取1k ，可 得函数 f x的一个周期为2，选项 A 正确； 第 19 页 / 共 20 页
21、函数( )f x图象的对称轴为 3 xkkZ，即 3 xkkZ，取3k ，可得 y=f(x)的图象关 于直线 8 3 x 对称，选项 B 正确； coscos 33 f xxx ，函数( )f x的零点满足 32 xkkZ，即 6 xkkZ，取0k ，可得()f x的一个零点为 6 x ，选项 C 正确； 当 , 2 x 时， 5 4 , 363 x ，函数( )f x在该区间内不单调，选项 D 错误. 故选 D. 7、关于x的函数( )sin()f xx有以下四个选项，错误的有( ): A对任意的，( )f x都是非奇非偶函数 B存在，使( )f x是偶函数 C存在，使( )f x是奇函数
22、D对任意的，( )f x都不是偶函数 【答案】AD 【解析】0时，( )sinf x x，是奇函数，A错误，B正确； 2 时，( )cosf x x是偶函数，C正确，显然D错误； 8最小正周期为的函数有( ) A 2 cos 2 x y B|sin|yx Ccos|2 |yx Dtan(2) 4 yx 【答案】BC 【解析】由于函数 2 1cos cos 22 xx y ，它的最小正周期为2，故排除A； 由于函数 sin ,0, |sin| sin ,( ,2 x x yx x x ，它的最小正周期为，故B满足条件； 由于函数cos|2 | cos2yxx，它的最小正周期为，故C满足条件； 由
23、于函数tan(2) 4 yx 的最小正周期为 2 ，故排除D， 故选：BC 第 20 页 / 共 20 页 9、【2019 年高考北京卷理数】函数 f（x）=sin22x 的最小正周期是_ 【答案】 2 【解析】函数 2 sin 2f xx 1cos4 2 x ，周期为 2 . 10、【2018 年高考全国理数】已知函数 2sinsin2f xxx，则 f x的最小值是_ 【答案】 3 3 2 【解析】 2 1 2cos2cos24cos2cos24 cos1cos 2 fxxxxxxx ， 所以当 1 cos 2 x 时函数单调递减，当 1 cos 2 x 时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为 5 2 ,2 33 kkk Z，函数的递增区间为 2 ,2 33 kkk Z， 所以当 2 , 3 xkkZ时，函数 f x取得最小值，此时 33 sin,sin2 22 xx ， 所以 min 333 3 2 222 f x ，故答案是 3 3 2 . 图 3