1、 第 1 页 / 共 17 页 第第 18 讲：利用导数研究函数的单调性讲：利用导数研究函数的单调性 一、课程标准 1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系； 2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 二、基础知识回顾 1. 利用导数研究函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0 且在(a，b)的任意子区间上不恒为 0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调 递增；如果 f(x)0 且在(a，b)的任意子区间上不恒为 0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递减 2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数 yf(x)的定义域； (2
2、)求导数 f(x)； (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 或 f(x)0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数 yf(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为 f(x)0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不 恒为_0；也可转化为(a，b)增区间 函数 yf(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为 f(x)0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒 为_0；也可转化为(a，b)减区间 (2)函数 yf(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)增区间，也可转化为 f(x)0 的解
3、集是(a，b)； 函数 yf(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)减区间，也可转化为 a，b 是 f(x)0 的两根 三、自主热身、归纳总结 1、若函数 yf(x)的图像如下图所示，则函数 yf(x)的图像有可能是( ) 第 1 题图 A B 第 2 页 / 共 17 页 C D 【答案】A. 【解析】 由 f(x) 的图像可知：在(，0) ，f(x)单调递减，当 x(，0)时，f(x)0；故选 A. 2、函数 f(x)2lnxx3 x的单调递增区间是( ) A. () 0， B. ()3，1 C. () 1， D. ()0，1 【答案】D 【解析】 函数 f(x)2lnxx3 x的定
4、义域为( ) 0，且 f(x)2 x1 3 x2 x22x3 x2 ，解不等式 f(x)0，即 x22x30，解得 0x0)，若对任意两个不相等的正实数 x1，x2，都有f（x1）f（x2） x1x2 2 恒成立，则 a 的取值范围为( ) A.(0，1 B.(1，) C.(0，1) D.1，) 【答案】D 第 3 页 / 共 17 页 【解析】对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有f（x 1）f（x2） x1x2 2恒成立，则当 x0 时，f(x)2 恒 成立，f(x)a xx2 在(0，)上恒成立，则 a(2xx 2) max1. 5、定义在R上的可导函数( )yf x的导函数的图象如图
5、所示，以下结论正确的是( ) A3是( )f x的一个极小值点 B2和1都是( )f x的极大值点 C( )f x的单调递增区间是( 3,) D( )f x的单调递减区间是(, 3) 【答案】ACD 【解析】 当(, 3)x 时，( )0fx，( )f x单调递减；当( 3, 1)x 时，( )0fx，( )f x单调递增，3 是( )f x的极小值，故选项A正确； 由图可知，当( 3,)x 时，( )0fx，( )f x的递增区间为( 3,) ，故选项C正确； 由图可知，当(, 3)x 时，( )0fx，( )f x的递减区间为(, 3) ，故选项D正确； 又( )fx在2x 和1x 两侧同
6、号，2，1不是( )f x的极值点，故选项B错误； 6、函数 f(x)x36x2的单调递减区间为_ 【答案】(0,4) 【解析】 ：f(x)3x212x3x(x4)， 由 f(x)0，得 0x4， 函数 f(x)的单调递减区间为(0,4) 7、(多填题)已知函数 f(x)x3mx2nx2 的图象过点(1，6)，函数 g(x)f(x)6x 的图象关于 y 轴对 称.则 m_，f(x)的单调递减区间为_. 【答案】3 (0，2) 【解析】由 f(x)的图象过点(1，6)，得 mn3， 又 g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn 为偶函数， 2m60，即 m3， 第 4 页 / 共 17 页 代入
7、式，得 n0. 所以 f(x)3x26x3x(x2). 令 f(x)0，得 0x0 时，x ，2 3 (1，)；当 f(x)0 时，x 2 3，1 . 函数的单调增区间为 ，2 3 和(1，)，单调减区间为 2 3，1 . (2)g(x)2x2 x 2（x1）（x1） x ，定义域为(0，)，令 g(x)0，解得：x1 或 x1(舍去)，列表： x (0，1) 1 (1，) g(x) 0 g(x) 减 极小值 增 函数的单调增区间是(1，)，单调减区间是(0，1) 方法总结： 1. 利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导函数 f(x)；
8、 (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 和 f(x)0)， 则 f(x)x 24x5 4x2 ，令 f(x)0， 解得 x1 或 x5， 因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，所以舍去 当 x(0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内单调递增 故 f(x)的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，). 变式 2、已知函数 f(x)ln xk ex (k 为常数)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行. (1)求实数 k 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间. 【解析】 (1)f(x) 1 xln xk ex (x0). 又由题意知
9、f(1)1k e 0，所以 k1. (2)由(1)知，f(x) 1 xln x1 ex (x0). 设 h(x)1 xln x1(x0)， 则 h(x)1 x2 1 x0， 所以 h(x)在(0，)上单调递减. 由 h(1)0 知，当 0x0，所以 f(x)0； 当 x1 时，h(x)0，所以 f(x)h(2)3， 实数 a 的取值范围为 a3； 由题意得 g(x)x2ax20 在(2，1)上有解，ax2 x在(2，1)上有解， 又x2 x(x 2 x)2 2，当且仅当x 2 x，即 x 2时取等号 实数 a 的取值范围为(，2 2) 变式 2、设函数 f(x)1 3x 3a 2x 2bxc，
10、曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1. (1)求 b，c 的值； (2)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围 【解析】 (1)f(x)x2axb， 由题意得 f01， f00， 即 c1， b0. (2)由(1)知 f(x)1 3x 3a 2x 21， 则 g(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)， 使不等式 g(x)x2ax20 成立， 即 x(2，1)时，a0，令 f(x)0，得 x1 a，列表如下： x (0，1 a) 1 a 1 a f(x) 0 f(x) 增 极大值 减 综上： 当 a0 时， f
11、(x)在(0， )上单调递增； 当 a0 时， f(x)在 0，1 a 上单调递增， 在 1 a， 上单调递减 方法总结 1. 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因 2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根 的大小等都是引起分类讨论的原因 变式 1、已知函数 f(x)a 2(x1) 2xln x(a0)讨论 f(x)的单调性 【解析】 函数 f(x)的定义域为(0，)， f(x)a(x1)11 x (1)(1)xax x ， 令 f(x)0，则 x11，x21 a， ()若 a1，则 f(x)0 恒成立，所以 f(x)在(0
12、，)上是增函数 ()若 0a1， 当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)是增函数， 第 9 页 / 共 17 页 当 x 1，1 a 时，f(x)0，f(x)是增函数 ()若 a1，则 01 a0，f(x)是增函数， 当 x 1 a，1 时，f(x)0，f(x)是增函数 综上所述，当 a1 时，f(x)在(0，)上是增函数； 当 0a1 时，f(x)在 0，1 a 上是增函数，在 1 a，1 上是减函数，在(1，)上是增函数 考点四 构造函数研究单调性 例 4、(1)设 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是( )
13、 A(，1)(0,1) B(1,0)(1，) C(，1)(1,0) D(0,1)(1，) (2)设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0，且 g(3)0，则不 等式 f(x)g(x)0 时，g(x)0，从而 f(x)0； 当 x(1，)时，g(x)0，从而 f(x)0； 当 x(1,0)时，f(x)0f(x)g(x)0，所以函数 yf(x)g(x)在(，0)上单调递增 又 由分析知函数 yf(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(3,0)，(0,0)，(3,0)数形结合可求 得不等式 f(x)g(x)0(或0(或k(或0(或0(或0(或0(或x2，则
14、下列不等式在 R 上恒成立的是( ) Af(x)0 Bf(x)x Df(x)2f(x)， 若 g(x)x2f(x)， 则不等式 g(x)0 时，g(x)0，g(x)g(0)， 即 x2f(x)1 4x 40，从而 f(x)1 4x 20； 当 x0 时，g(x)g(0)， 即 x2f(x)1 4x 40，从而 f(x)1 4x 20； 当 x0 时，由题意可得 2f(0)0，f(0)0. 综上可知，f(x)0. 第 11 页 / 共 17 页 法二：2f(x)xf(x)x2， 令 x0，则 f(0)0，故可排除 B、D， 不妨令 f(x)x20.1，则已知条件 2f(x)xf(x)x2成立，但
15、 f(x)x 不一定成立，故 C 也是错误的，故选 A. (2)f(x)是定义域为x|x0的偶函数， f(x)f(x) 对任意正实数 x 满足 xf(x)2f(x)， xf(x)2f(x)0. g(x)x2f(x)， g(x)也是偶函数，当 x(0，)时，g(x)2xf(x)x2f(x)0. g(x)在(0，)上单调递增， g(x)在(，0)递减 若 g(x)g(1)，则|x|1(x0)， 解得 0x1 或1x0. 故 g(x)1. 则函数( )( )lnh xf xxa的单调区间 ； 【答案】单调递减区间为(,0)，单调递增区间为(0,). 【解析】 （I）由已知，( )ln x h xax
16、a，有( )lnln x h xaaa. 令( )0h x，解得 x=0. 由 a1，可知当 x 变化时，( )h x，( )h x的变化情况如下表： x (,0) 0 (0,) ( )h x 0 + ( )h x 极小值 所以函数( )h x的单调递减区间为(,0)，单调递增区间为(0,). 2、【2017 年高考浙江】函数 y=f(x)的导函数( )yfx的图象如图所示，则函数 y=f(x)的图象可能是 第 13 页 / 共 17 页 【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且0 x位于增区间内，因此选 D 3、【2018 年高考全国卷理数】函数 2 ee xx f x x 的图像大
17、致为 【答案】B 【解析】 2 ee 0, xx xfxf xf x x 为奇函数，舍去 A； 1 1ee0f ，舍去 D； 2 43 eeee2 2 e2 e , xxxx xx xx xx fx xx 2x 时， 0fx，( )f x单调递增， 舍去 C. 因此选 B. 4、【2018 年高考全国卷理数】函数 42 2yxx 的图像大致为 第 14 页 / 共 17 页 【答案】D 【解析】函数图象过定点(0,2)，排除 A，B； 令 42 ( )2yf xxx ，则 32 ( )422 (21)fxxxxx ， 由( )0fx得 2 2 (21)0 xx ，得 2 2 x 或 2 0 2
18、 x，此时函数单调递增， 由( )0fx得 2 2 (21)0 xx ，得 2 2 x 或 2 0 2 x，此时函数单调递减，排除 C. 故选 D. 5、【2019 年高考北京理数】设函数 ee xx f xa （a 为常数）若 f（x）为奇函数，则 a=_； 若 f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是_ 【答案】1,0 【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用( )0fx 可得 a 的取值范 围. 若函数 ee xx f xa 为奇函数，则 ,fxf x即eeee xxxx aa ， 即1e e0 xx a 对任意的x恒成立， 则10a ，得1a. 第
19、 15 页 / 共 17 页 若函数 ee xx f xa 是R上的增函数，则( ) ee0 xx fxa 在R上恒成立， 即 2 e x a 在R上恒成立， 又 2 e0 x ，则0a， 即实数a的取值范围是,0. 6、【2017 年高考江苏】已知函数 3 1 ( )2e e x x f xxx，其中 e 是自然对数的底数若(1)f a 2 (2)0fa，则实数a的取值范围是 【答案】 1 1, 2 【解析】因为 3 1 ()2e( ) e x x fxxfxx ，所以函数( )f x是奇函数， 因为 22 ( )32ee322 ee0 xxxx f xxx ，所以函数( )f x在R上单调
20、递增， 又 2 1)02()(ffaa，即 2 ()2(1aaff， 所以 2 21aa ，即 2 120aa ， 解得 1 1 2 a ， 故实数a的取值范围为 1 1, 2 7、【2017 年高考山东理数】若函数e( ) x f x（e2.71828是自然对数的底数）在( )f x的定义域上单调 递增，则称函数( )f x具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 . ( )2 x f x ( )3 x f x 3 ( )f xx 2 ( )2f xx 【答案】 【解析】 e e( )e2( ) 2 xxxx f x 在 R 上单调递增，故( )2 x f x 具有性质；
21、e e( )e3( ) 3 xxxx f x 在 R 上单调递减，故( )3 x f x 不具有性质； 3 e( )e xx f xx， 令 3 () e x gxx， 则 322 () e3 ee(3 ) xxx g xxxxx ， 当3x时，( )0g x， 当3x时，( )0g x， 3 e( )e xx f xx在(, 3) 上单调递减， 在( 3,)上单调递增， 故 3 ( )f xx 不具有性质； 2 e( )e (2) xx f xx，令 2 ( )e (2) x g xx，则 22 ( )e (2)2 ee (1)10 xxx g xxxx，则 第 16 页 / 共 17 页
22、2 e( )e (2) xx f xx在 R 上单调递增，故 2 ( )2f xx具有性质 8、【2019 年高考全国卷理数】已知函数 32 ( )2f xxaxb. （1）讨论( )f x的单调性； 【解析】 （1） 2 ( )622 (3)fxxaxxxa 令( )0fx，得 x=0 或 3 a x . 若 a0 ， 则 当(,0), 3 a x 时 ，( )0fx； 当0, 3 a x 时 ，( )0fx 故( )f x在 (,0), 3 a 单调递增，在0, 3 a 单调递减； 若 a=0，( )f x在(,) 单调递增； 若 a0，则当,(0,) 3 a x 时，( )0fx； 当,
23、0 3 a x 时，( )0fx 故( )f x在,(0,) 3 a 单调递增，在,0 3 a 单调递减. 9、【2018 年高考全国卷理数】已知函数 1 ( )lnf xxax x （1）讨论( )f x的单调性； 【解析】（1）( )f x的定义域为(0,)， 2 22 11 ( )1 axax fx xxx . （i）若2a，则( )0fx，当且仅当2a，1x 时( )0fx，所以( )f x在(0,)单调递减. （ii）若2a，令( )0fx得， 2 4 2 aa x 或 2 4 2 aa x . 当 22 44 (0,)(,) 22 aaaa x U时，( )0fx； 当 22 44
24、 (,) 22 aaaa x 时，( )0fx. 第 17 页 / 共 17 页 所以( )f x在 22 44 (0,),(,) 22 aaaa 单调递减，在 22 44 (,) 22 aaaa 单调递增. 10、【2017 年高考全国卷理数】已知函数 2 ( )e(2)e xx f xaax. （1）讨论( )f x的单调性； 【解析】 （1）( )f x的定义域为(,) ， 2 ( )2 e(2)e1( e1)(2e1) xxxx fxaaa ， （）若0a，则( )0fx，所以( )f x在(,) 单调递减. （）若0a，则由( )0fx得lnxa. 当(,ln )xa 时，( )0fx；当( ln ,)xa 时，( )0fx， 所以( )f x在(,ln )a 单调递减，在( ln ,)a单调递增.