1、 第 1 页 / 共 20 页 第第 14 讲：二次函数与幂函数讲：二次函数与幂函数 一、课程标准 1.通过实例，了解幂函数的概念 2结合函数 yx，yx2，yx3，y 1 x，yx 1 2的图象，了解它们的变化情况 3理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 二、基础知识回顾 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增； 当 0) yax2bxc(a0， 0；当 a0， 0 时，恒有
2、f(x)0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 三、自主热身、归纳总结 1、幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 yf(x)的大致图象是( ) 【答案】C 【解析】(1)设幂函数的解析式为 yx， 因为幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)， 所以 24，解得 1 2. 所以 y x，其定义域为0，)，且是增函数，当 0x1 时，其图象在直线 yx 的上方，对照选项，C 第 3 页 / 共 20 页 正确. 2、(2020 衡水中学调研)已知点(m，8)在幂函
3、数 f(x)(m1)xn的图象上，设 af 1 3，bf(ln )，cf(2 1 2)， 则 a，b，c 的大小关系是( ) A.acb B.abc C.bca D.ba12 1 2 2 2 1 3， 所以 f(ln )f(2 1 2)f 1 3，则 bca. 3、若二次函数 ykx24x2 在区间1，2上是单调递增函数，则实数 k 的取值范围为( ) A2，) B(2，) C(，0) D(，2) 【答案】A 【解析】二次函数 ykx24x2 的对称轴为 x 2 k，当 k0 时，要使函数 ykx 24x2 在区间1，2上是 增函数，只需 2 k1，解得 k2. 当 k0 时， 2 k0， g
4、（1）（x2）x24x40， 解得 x3. 7、已知函数 f(x)x24xa，x0，1，若 f(x)有最小值2，则 f(x)的最大值为_. 【答案】1 【解析】f(x)x24xa(x2)2a4， 函数 f(x)x24xa 在0，1上单调递增， 当 x0 时，f(x)取得最小值，当 x1 时，f(x)取得最大值， f(0)a2，f(1)3a321. 8、(2017 徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的 (,1)(5,)x ，都有 2 2(2)0 xaxa，则 实数a的取值范围是 【答案】 5 , 1 ( 【解析】 当04)2(4 2 aa，即045 2 aa，41 a时，满足题意； 第 5 页
5、 / 共 20 页 当04)2(4 2 aa，即045 2 aa，1a或4a时， 则 0)2(105 0)2(21 5 2 )2(2 1 2 2 aa aa a ，解之得 5 5 73 a a a ，所以53 a，又因为1a或4a，所以54 a ， 综上所述，实数a的取值范围为5 , 1 (。 9、 (一题两空)已知函数f(x) x 2x，2xc， 1 x，cx3. 若c0， 则f(x)的值域是_； 若f(x)的值域是 1 4，2 ， 则实数 c 的取值范围是_ 【答案】 1 4，2； 1 2c1. 【解析】解析：当 c0 时，当 x2，0时，f(x) 1 4，2 ，当 x(0，3时，f(x)
6、 1 3， ，所以 f(x) 的值域为 1 4， .作出 yx 2x 和 y1 x的图象如图所示，当 f(x) 1 4时，x 1 2；当 x 2x2 时，x1 或 x2；当 1 x2 时，x 1 2，由图象可知当 f(x)的值域为 1 4，2 时，需满足 1 2c1. 四、例题选讲 考点一 幂函数的图像与性质 例 1（1）下图给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ） A，yx 2， ，yx1 Byx3，yx2，yx1 Cyx2，yx3，yx1 第 6 页 / 共 20 页 D，yx 2，yx1 （1） 、幂函数 yf(x)的图象经过点(3，33)，则 f(x)是( ) A偶函数
7、，且在(0，)上是增函数 B偶函数，且在(0，)上是减函数 C奇函数，且在(0，)上是增函数 D非奇非偶函数，且在(0，)上是减函数 【答案】 （1）B（2）C 【解析】 （1）的图象关于 y 轴对称，应为偶函数，故排除选项 C，D 由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于 1，故排除 A 故选：B （2）设 f(x)x，将点(3，33)代入 f(x)x，解得 1 3，所以 f(x)x 1 3，可知函数 f(x)是奇函数，且在(0， )上是增函数，故选 C. 变式 1、已知幂函数 f(x)(n22n2)xn 23n (nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函
8、数，则 n 的值为( ) A3 B1 C2 D1 或 2 【答案】B 【解析】幂函数 f(x)(n22n2)xn 23n 在(0，)上是减函数， n22n21， n23n0， n1， 又 n1 时，f(x)x2的图象关于 y 轴对称，故 n1.故选 B. 变式 2、若 a 1 2 2 3，b 1 5 2 3，c 1 2 1 3，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aabc Bcab Cbca Dbab 1 5 2 3，因为 y 1 2 x 是减函数，所以 a 1 2 第 7 页 / 共 20 页 2 3c 1 2 1 3，所以 ba2， fmin（x）f（2）3 或 0 m 22， fmin（
9、x）f m 23 或 m 24， m5 10或 0m4， m 1 2 或 m0， m1 2， m5 10或 m1 2. 综上所述，实数 m 的取值范围是 m1 2或 5 10. 变式 2、函数 f(x)x24x1 在区间t，t1(tR)上的最大值为 g(t) (1)求 g(t)的解析式； (2)求 g(t)的最大值 【解】 (1)f(x)x24x1(x2)23. 当 t12，即 t2 时，f(x)在区间t，t1上为减函数， g(t)f(t)t24t1. 综上所述，g(t) t 22t2，t2. (2)当 t1 时，g(t)t22t2(t1)232 时，g(t)t24t1(t2)232xm恒成立
10、， 则实数m的取值范围是_ 【答案】 (，1) 【解析】f(x)2xm 等价于 x2x12xm， 即 x23x1m0， 令 g(x)x23x1m， 要使 g(x)x23x1m0 在1，1上恒成立， 只需使函数 g(x)x23x1m 在1，1上的最小值大于 0 即可 g(x)x23x1m 在1，1上单调递减， g(x)ming(1)m1. 由m10，得 m1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1) 变式 1、若 1 4t 2kt10 在 t1，1上恒成立，求实数 k 的取值范围 第 14 页 / 共 20 页 【解析】求二次函数 f(t) 1 4t 2kt1 在给定区间上的最大值 M，二
11、次函数 f(t)的图像的对称轴为直线 t2k. 当 2k1，1，即 k 1 2， 1 2时，Mf(1)或 f(1)，由 M0，得 f(1)0 且 f(1)0，解得 3 4k 3 4， 又 k 1 2， 1 2，故 1 2k 1 2； 当 2k1，即 k 1 2时，函数 f(t)在2k，1上单调递增，故 Mf(1) 1 4k1，由 M0，得 k 3 4，又 k 1 2，故 3 4k1，即 k 1 2时，函数 f(t)在1，2k上单调递减，故 Mf(1) 1 4k1，由 M0，得 k 3 4，又 k 1 2， 故 1 2k 3 4. 综上知，实数 k 的取值范围为 3 4， 3 4. 变式 2、
12、（苏北四市、苏中三市三调）已知函数 2 ( )23f xxxa， 2 ( ) 1 g x x 若对任意 1 0 3x ，总存 在 2 2 3x ，使得 12 ( )()f xg x 成立，则实数a的值为 【答案】 1 3 【解析】因为 2 ( ) 1 g x x 在2 3 ，上单调递减，所以 2max ()2g x ， 解法解法 1 由题意得， 1 ( )2f x，即 2 232xxa在0 3，上恒成立， 即即 2 2232xxa，在 0 3，上恒成立， 所以 2 2 322 322 axx axx ， ， 即 2 2 3(1)1 3(1)3 ax ax ， 在 0 3，上恒成立， 所以31a
13、 ， 1 3 a . 解法解法 2 1 max ( )2f x .因为 1 max ()Max(1)(3)f xff， ，所以 (1)2 (3)2 f f ， ， 即 312 332 a a ， ， 解得 1 3 a . 方法总结：(1)、“任意-任意”型这类问题的表现形式为： 1122 ,xDxD ，不等式成立. 11221211221 max2min ,()g(),()g()xDxDf xxxD xDf xx时，. (2)、“任意-存在”型 第 15 页 / 共 20 页 这类问题的表现形式有二： 1122 ,xDxD，等式成立. 1122 ,xDxD，不等式成立. 这种“任意-存在”型问
14、题的常见题型及具体转化策略为： 1、 1122121122 ,()=g()()g()xDxDf xxf xDxD在上值域在上值域； 1122121122 ,()g()()g()xDxDf xxf xDxD在上最小值在上最小值； 2、 1122121122 ,()g()()g()()g()xD xDf xxf xDxD在上的最大值与在上的最大值 五、优化提升与真题演练 1、【2017 年浙江 05】 若函数 f （x） x 2+ax+b 在区间0， 1上的最大值是 M， 最小值是 m， 则 Mm （ ） A与 a 有关，且与 b 有关 B与 a 有关，但与 b 无关 C与 a 无关，且与 b 无
15、关 D与 a 无关，但与 b 有关 【答案】B 【解析】函数 f（x）x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线 x为对称轴的抛物线， 当1 或0，即 a2，或 a0 时， 函数 f（x）在区间0，1上单调， 此时 Mm|f（1）f（0）|a+1|， 故 Mm 的值与 a 有关，与 b 无关 当1，即2a1 时， 函数 f（x）在区间0，上递减，在，1上递增， 第 16 页 / 共 20 页 且 f（0）f（1） ， 此时 Mmf（0）f（）， 故 Mm 的值与 a 有关，与 b 无关 当 0，即1a0 时， 函数 f（x）在区间0，上递减，在，1上递增， 且 f（0）f（1） ， 此时 Mmf
16、（1）f（）1+a， 故 Mm 的值与 a 有关，与 b 无关 综上可得：Mm 的值与 a 有关，与 b 无关 2、(多选)已知函数 f(x)|x22axb|(xR)，给出下列命题，其中是真命题的是( ) A若 a2b0，则 f(x)在区间a，)上是增函数 B存在 aR，使得 f(x)为偶函数 C若 f(0)f(2)，则 f(x)的图象关于 x1 对称 D若 a2b20，则函数 h(x)f(x)2 有 2 个零点 【答案】AB 【解析】对于选项 A，若 a2b0，则 f(x)|(xa)2ba2|(xa)2b a2在区间a， )上是增函数，故 A 正确；对于选项 B，当 a0 时，f(x)|x2
17、b|显然是偶函数， 故 B 正确；对于选项 C，取 a0，b2，函数 f(x)|x22axb|化为f(x)|x22|， 满足 f(0)f(2)， 但 f(x)的图象关于 x1 不对称， 故 C 错误； 对于选项 D， 如图， a2b20， 即 a2b2， 则 h(x)|(xa)2ba2|2 有 4 个零点，故 D 错误 3、 【2019 年天津理科 08】已知 aR设函数 f（x）若关于 x 的不等式 f（x）0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A0，1 B0，2 C0，e D1，e 【答案】C 【解析】当 x1 时，f（1）12a+2a10 恒成立； 第 17 页 / 共 20
18、 页 当 x1 时，f（x）x22ax+2a02a恒成立， 令 g（x）（1x2） （2 2）0， 2ag（x）max0，a0 当 x1 时，f（x）xalnx0a恒成立， 令 h（x），则 h（x）， 当 xe 时，h（x）0，h（x）递增， 当 1xe 时，h（x）0，h（x）递减， xe 时，h（x）取得最小值 h（e）e， ah（x）e， 综上 a 的取值范围是0，e 故选：C 4、 【2019 年全国新课标 2 理 2】设函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+1）2f（x） ，且当 x（0，1时， f（x）x（x1） 若对任意 x（，m，都有 f（x），则 m 的取值范围是（
19、） A （， B （， C （， D （， 【答案】B 【解析】 ：因为 f（x+1）2f（x） ，f（x）2f（x1） ， 第 18 页 / 共 20 页 x（0，1时，f（x）x（x1），0， x（1，2时，x1（0，1，f（x）2f（x1）2（x1） （x2），0； x（2，3时，x1（1，2，f（x）2f（x1）4（x2） （x3）1，0， 当 x（2，3时，由 4（x2） （x3）解得 m或 m， 若对任意 x（，m，都有 f（x），则 m 故选：B 5二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式为_ 【答案】f(x) 1 2x 22x1 【解析】 ：依题意
20、可设 f(x)a(x2)21(a0)，又其图象过点(0，1)，所以 4a11，所以 a 1 2，所以 f(x) 1 2(x2) 211 2x 22x1. 6当 0 x1 时，f(x)x2，g(x)x 1 2，h(x)x2，则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是_ 【答案】h(x)g(x)f(x) 【解析】 ：分别作出 yf(x)，yg(x)，yh(x)的图象如图所示，可知 h(x)g(x)f(x) 第 19 页 / 共 20 页 7、 【2017 年上海 09】已知四个函数：yx，y，yx3，y，从中任选 2 个，则事件“所 选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 【答案】 【解析】 ：给出四个函数：yx，y，yx3，y， 从四个函数中任选 2 个，基本事件总数 n， 有两个公共点（0，0） ， （1，1） 事件 A：“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ，共 2 个， 事件 A：“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为 P（A） 故答案为： 8 【2018 年上海 07】已知 2，1，1，2，3，若幂函数 f（x）x为奇函数，且在（0， +）上递减，则 【答案】1 【解析】2，1，1，2，3， 幂函数 f（x）x为奇函数，且在（0，+）上递减， a 是奇数，且 a0， a1 故答案为：1 第 20 页 / 共 20 页