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第14讲 二次函数与幂函数(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 20 页 第第 14 讲:二次函数与幂函数讲:二次函数与幂函数 一、课程标准 1.通过实例,了解幂函数的概念 2结合函数 yx,yx2,yx3,y 1 x,yx 1 2的图象,了解它们的变化情况 3理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 二、基础知识回顾 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 yx的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, 为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 幂函数在(0,)上都有定义; 当 0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,)上单调递增; 当 0) yax2bxc(a0, 0;当 a0, 0 时,恒有

2、f(x)0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限; (2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 三、自主热身、归纳总结 1、幂函数 yf(x)的图象过点(4,2),则幂函数 yf(x)的大致图象是( ) 【答案】C 【解析】(1)设幂函数的解析式为 yx, 因为幂函数 yf(x)的图象过点(4,2), 所以 24,解得 1 2. 所以 y x,其定义域为0,),且是增函数,当 0x1 时,其图象在直线 yx 的上方,对照选项,C 第 3 页 / 共 20 页 正确. 2、(2020 衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函

3、数 f(x)(m1)xn的图象上,设 af 1 3,bf(ln ),cf(2 1 2), 则 a,b,c 的大小关系是( ) A.acb B.abc C.bca D.ba12 1 2 2 2 1 3, 所以 f(ln )f(2 1 2)f 1 3,则 bca. 3、若二次函数 ykx24x2 在区间1,2上是单调递增函数,则实数 k 的取值范围为( ) A2,) B(2,) C(,0) D(,2) 【答案】A 【解析】二次函数 ykx24x2 的对称轴为 x 2 k,当 k0 时,要使函数 ykx 24x2 在区间1,2上是 增函数,只需 2 k1,解得 k2. 当 k0 时, 2 k0, g

4、(1)(x2)x24x40, 解得 x3. 7、已知函数 f(x)x24xa,x0,1,若 f(x)有最小值2,则 f(x)的最大值为_. 【答案】1 【解析】f(x)x24xa(x2)2a4, 函数 f(x)x24xa 在0,1上单调递增, 当 x0 时,f(x)取得最小值,当 x1 时,f(x)取得最大值, f(0)a2,f(1)3a321. 8、(2017 徐州、连云港、宿迁三检)已知对于任意的 (,1)(5,)x ,都有 2 2(2)0 xaxa,则 实数a的取值范围是 【答案】 5 , 1 ( 【解析】 当04)2(4 2 aa,即045 2 aa,41 a时,满足题意; 第 5 页

5、 / 共 20 页 当04)2(4 2 aa,即045 2 aa,1a或4a时, 则 0)2(105 0)2(21 5 2 )2(2 1 2 2 aa aa a ,解之得 5 5 73 a a a ,所以53 a,又因为1a或4a,所以54 a , 综上所述,实数a的取值范围为5 , 1 (。 9、 (一题两空)已知函数f(x) x 2x,2xc, 1 x,cx3. 若c0, 则f(x)的值域是_; 若f(x)的值域是 1 4,2 , 则实数 c 的取值范围是_ 【答案】 1 4,2; 1 2c1. 【解析】解析:当 c0 时,当 x2,0时,f(x) 1 4,2 ,当 x(0,3时,f(x)

6、 1 3, ,所以 f(x) 的值域为 1 4, .作出 yx 2x 和 y1 x的图象如图所示,当 f(x) 1 4时,x 1 2;当 x 2x2 时,x1 或 x2;当 1 x2 时,x 1 2,由图象可知当 f(x)的值域为 1 4,2 时,需满足 1 2c1. 四、例题选讲 考点一 幂函数的图像与性质 例 1(1)下图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( ) A,yx 2, ,yx1 Byx3,yx2,yx1 Cyx2,yx3,yx1 第 6 页 / 共 20 页 D,yx 2,yx1 (1) 、幂函数 yf(x)的图象经过点(3,33),则 f(x)是( ) A偶函数

7、,且在(0,)上是增函数 B偶函数,且在(0,)上是减函数 C奇函数,且在(0,)上是增函数 D非奇非偶函数,且在(0,)上是减函数 【答案】 (1)B(2)C 【解析】 (1)的图象关于 y 轴对称,应为偶函数,故排除选项 C,D 由图象知,在第一象限内,图象下凸,递增的较快,所以幂函数的指数大于 1,故排除 A 故选:B (2)设 f(x)x,将点(3,33)代入 f(x)x,解得 1 3,所以 f(x)x 1 3,可知函数 f(x)是奇函数,且在(0, )上是增函数,故选 C. 变式 1、已知幂函数 f(x)(n22n2)xn 23n (nZ)的图象关于 y 轴对称,且在(0,)上是减函

8、数,则 n 的值为( ) A3 B1 C2 D1 或 2 【答案】B 【解析】幂函数 f(x)(n22n2)xn 23n 在(0,)上是减函数, n22n21, n23n0, n1, 又 n1 时,f(x)x2的图象关于 y 轴对称,故 n1.故选 B. 变式 2、若 a 1 2 2 3,b 1 5 2 3,c 1 2 1 3,则 a,b,c 的大小关系是( ) Aabc Bcab Cbca Dbab 1 5 2 3,因为 y 1 2 x 是减函数,所以 a 1 2 第 7 页 / 共 20 页 2 3c 1 2 1 3,所以 ba2, fmin(x)f(2)3 或 0 m 22, fmin(

9、x)f m 23 或 m 24, m5 10或 0m4, m 1 2 或 m0, m1 2, m5 10或 m1 2. 综上所述,实数 m 的取值范围是 m1 2或 5 10. 变式 2、函数 f(x)x24x1 在区间t,t1(tR)上的最大值为 g(t) (1)求 g(t)的解析式; (2)求 g(t)的最大值 【解】 (1)f(x)x24x1(x2)23. 当 t12,即 t2 时,f(x)在区间t,t1上为减函数, g(t)f(t)t24t1. 综上所述,g(t) t 22t2,t2. (2)当 t1 时,g(t)t22t2(t1)232 时,g(t)t24t1(t2)232xm恒成立

10、, 则实数m的取值范围是_ 【答案】 (,1) 【解析】f(x)2xm 等价于 x2x12xm, 即 x23x1m0, 令 g(x)x23x1m, 要使 g(x)x23x1m0 在1,1上恒成立, 只需使函数 g(x)x23x1m 在1,1上的最小值大于 0 即可 g(x)x23x1m 在1,1上单调递减, g(x)ming(1)m1. 由m10,得 m1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(,1) 变式 1、若 1 4t 2kt10 在 t1,1上恒成立,求实数 k 的取值范围 第 14 页 / 共 20 页 【解析】求二次函数 f(t) 1 4t 2kt1 在给定区间上的最大值 M,二

11、次函数 f(t)的图像的对称轴为直线 t2k. 当 2k1,1,即 k 1 2, 1 2时,Mf(1)或 f(1),由 M0,得 f(1)0 且 f(1)0,解得 3 4k 3 4, 又 k 1 2, 1 2,故 1 2k 1 2; 当 2k1,即 k 1 2时,函数 f(t)在2k,1上单调递增,故 Mf(1) 1 4k1,由 M0,得 k 3 4,又 k 1 2,故 3 4k1,即 k 1 2时,函数 f(t)在1,2k上单调递减,故 Mf(1) 1 4k1,由 M0,得 k 3 4,又 k 1 2, 故 1 2k 3 4. 综上知,实数 k 的取值范围为 3 4, 3 4. 变式 2、

12、(苏北四市、苏中三市三调)已知函数 2 ( )23f xxxa, 2 ( ) 1 g x x 若对任意 1 0 3x ,总存 在 2 2 3x ,使得 12 ( )()f xg x 成立,则实数a的值为 【答案】 1 3 【解析】因为 2 ( ) 1 g x x 在2 3 ,上单调递减,所以 2max ()2g x , 解法解法 1 由题意得, 1 ( )2f x,即 2 232xxa在0 3,上恒成立, 即即 2 2232xxa,在 0 3,上恒成立, 所以 2 2 322 322 axx axx , , 即 2 2 3(1)1 3(1)3 ax ax , 在 0 3,上恒成立, 所以31a

13、 , 1 3 a . 解法解法 2 1 max ( )2f x .因为 1 max ()Max(1)(3)f xff, ,所以 (1)2 (3)2 f f , , 即 312 332 a a , , 解得 1 3 a . 方法总结:(1)、“任意-任意”型这类问题的表现形式为: 1122 ,xDxD ,不等式成立. 11221211221 max2min ,()g(),()g()xDxDf xxxD xDf xx时,. (2)、“任意-存在”型 第 15 页 / 共 20 页 这类问题的表现形式有二: 1122 ,xDxD,等式成立. 1122 ,xDxD,不等式成立. 这种“任意-存在”型问

14、题的常见题型及具体转化策略为: 1、 1122121122 ,()=g()()g()xDxDf xxf xDxD在上值域在上值域; 1122121122 ,()g()()g()xDxDf xxf xDxD在上最小值在上最小值; 2、 1122121122 ,()g()()g()()g()xD xDf xxf xDxD在上的最大值与在上的最大值 五、优化提升与真题演练 1、【2017 年浙江 05】 若函数 f (x) x 2+ax+b 在区间0, 1上的最大值是 M, 最小值是 m, 则 Mm ( ) A与 a 有关,且与 b 有关 B与 a 有关,但与 b 无关 C与 a 无关,且与 b 无

15、关 D与 a 无关,但与 b 有关 【答案】B 【解析】函数 f(x)x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线 x为对称轴的抛物线, 当1 或0,即 a2,或 a0 时, 函数 f(x)在区间0,1上单调, 此时 Mm|f(1)f(0)|a+1|, 故 Mm 的值与 a 有关,与 b 无关 当1,即2a1 时, 函数 f(x)在区间0,上递减,在,1上递增, 第 16 页 / 共 20 页 且 f(0)f(1) , 此时 Mmf(0)f(), 故 Mm 的值与 a 有关,与 b 无关 当 0,即1a0 时, 函数 f(x)在区间0,上递减,在,1上递增, 且 f(0)f(1) , 此时 Mmf

16、(1)f()1+a, 故 Mm 的值与 a 有关,与 b 无关 综上可得:Mm 的值与 a 有关,与 b 无关 2、(多选)已知函数 f(x)|x22axb|(xR),给出下列命题,其中是真命题的是( ) A若 a2b0,则 f(x)在区间a,)上是增函数 B存在 aR,使得 f(x)为偶函数 C若 f(0)f(2),则 f(x)的图象关于 x1 对称 D若 a2b20,则函数 h(x)f(x)2 有 2 个零点 【答案】AB 【解析】对于选项 A,若 a2b0,则 f(x)|(xa)2ba2|(xa)2b a2在区间a, )上是增函数,故 A 正确;对于选项 B,当 a0 时,f(x)|x2

17、b|显然是偶函数, 故 B 正确;对于选项 C,取 a0,b2,函数 f(x)|x22axb|化为f(x)|x22|, 满足 f(0)f(2), 但 f(x)的图象关于 x1 不对称, 故 C 错误; 对于选项 D, 如图, a2b20, 即 a2b2, 则 h(x)|(xa)2ba2|2 有 4 个零点,故 D 错误 3、 【2019 年天津理科 08】已知 aR设函数 f(x)若关于 x 的不等式 f(x)0 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围为( ) A0,1 B0,2 C0,e D1,e 【答案】C 【解析】当 x1 时,f(1)12a+2a10 恒成立; 第 17 页 / 共 20

18、 页 当 x1 时,f(x)x22ax+2a02a恒成立, 令 g(x)(1x2) (2 2)0, 2ag(x)max0,a0 当 x1 时,f(x)xalnx0a恒成立, 令 h(x),则 h(x), 当 xe 时,h(x)0,h(x)递增, 当 1xe 时,h(x)0,h(x)递减, xe 时,h(x)取得最小值 h(e)e, ah(x)e, 综上 a 的取值范围是0,e 故选:C 4、 【2019 年全国新课标 2 理 2】设函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x+1)2f(x) ,且当 x(0,1时, f(x)x(x1) 若对任意 x(,m,都有 f(x),则 m 的取值范围是(

19、) A (, B (, C (, D (, 【答案】B 【解析】 :因为 f(x+1)2f(x) ,f(x)2f(x1) , 第 18 页 / 共 20 页 x(0,1时,f(x)x(x1),0, x(1,2时,x1(0,1,f(x)2f(x1)2(x1) (x2),0; x(2,3时,x1(1,2,f(x)2f(x1)4(x2) (x3)1,0, 当 x(2,3时,由 4(x2) (x3)解得 m或 m, 若对任意 x(,m,都有 f(x),则 m 故选:B 5二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x2,最小值为1,则它的解析式为_ 【答案】f(x) 1 2x 22x1 【解析】 :依题意

20、可设 f(x)a(x2)21(a0),又其图象过点(0,1),所以 4a11,所以 a 1 2,所以 f(x) 1 2(x2) 211 2x 22x1. 6当 0 x1 时,f(x)x2,g(x)x 1 2,h(x)x2,则 f(x),g(x),h(x)的大小关系是_ 【答案】h(x)g(x)f(x) 【解析】 :分别作出 yf(x),yg(x),yh(x)的图象如图所示,可知 h(x)g(x)f(x) 第 19 页 / 共 20 页 7、 【2017 年上海 09】已知四个函数:yx,y,yx3,y,从中任选 2 个,则事件“所 选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 【答案】 【解析】 :给出四个函数:yx,y,yx3,y, 从四个函数中任选 2 个,基本事件总数 n, 有两个公共点(0,0) , (1,1) 事件 A:“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有: ,共 2 个, 事件 A:“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为 P(A) 故答案为: 8 【2018 年上海 07】已知 2,1,1,2,3,若幂函数 f(x)x为奇函数,且在(0, +)上递减,则 【答案】1 【解析】2,1,1,2,3, 幂函数 f(x)x为奇函数,且在(0,+)上递减, a 是奇数,且 a0, a1 故答案为:1 第 20 页 / 共 20 页