1、 第 1 页 / 共 14 页 第第 12 讲：指数函数讲：指数函数 一、课程标准 1. 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象。 2. 探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 3.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 二、基础知识回顾 指数函数的概念 函数 yax(a0， 且 a1)叫做指数函数， 其中指数 x 是自变量， 函数的定义域是 R， a 是底数 形如 ykax， yaxk(kR 且 k0，a0 且 a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数 3指数函数 yax(a0，且 a1)的图象与性质 底数 a1 0a0 时，恒有 y1；当
2、 x0 时，恒有 0y0 时， 恒有 0y1； 当 x1 在定义域 R 上为增函数 在定义域 R 上为减函数 注意 指数函数 yax(a0，且 a1)的图象和性质与 a 的取值有关，应分 a1 与 0a1，b1，b0 C.0a0 D.0a1，b0 【答案】D 【解析】由 f(x)axb的图象可以观察出，函数 f(x)axb在定义域上单调递减，所以 0a1. 函数 f(x)axb的图象是在 f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以 b0. 3、若函数 y(a21)x是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是( ) A. 1a 2 B. 2a1 C. 1a 2，或 2a1 D. 2 2a1，或
3、1a 2 【答案】C 第 3 页 / 共 14 页 【解析】 由 y(a21)x在(，)上为减函数，得 0a211，1a22，即 1a 2或 2a1. 数 a 的取值范围是 1a 2或 2a 1 3对一切实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 【答案】0，1) 【解析】 原不等式即为 2 2 3ax ax 31，则有 ax22ax1，即ax22ax10 对一切实数恒成立当 a0 时，满足题意；当 a0 时，(2a)24a0，即 a2a0，解得 0a1. 实数 a 的取值范围是0，1) 四、 五、例题选讲 考点一 指数函数的性质与应用 例 1、已知 f(x)2x2x，a 7 9 1 4 ，b
4、 9 7 1 5，clog27 9，则 f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( ) Af(b)f(a)f(c) Bf(c)f(b)f(a) Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c) 9 7 1 5b0，clog27 9bc， 所以 f(c)f(b)0，且 1bxax，则( ) 第 4 页 / 共 14 页 A0ba1 B0ab1 C1ba D1a0 时，11. 因为 x0 时，bx0 时， a b x 1. 所以 a b1，所以 ab，所以 1ba. 变式 2、已知函数 f（x）（ ） x，若 af（20.3） ，bf（2） ，cf（log 25） ，则 a，b，c 的大小关系为（
5、） Acba Babc Ccab Dbca 【答案】B 【解析】根据题意，函数 f（x）（ ）x，则 f（x）在 R 上为减函数， 又由 20.3212log25， 则 abc； 故选：B 例 2、设函数 f(x) 1 2 x7，x0， x，x0， 若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是 ； 【答案】(3，1) 【解析】当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 1 2 a 71，即 1 2 a 8，即 1 2 a 3. 又 a0，3a0.当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 a1.0a1， 综上，a 的取值范围为(3，1) 变式、(2020 包头模拟)已知实数 a1，函数 f(x) 4x
6、，x0， 2ax，x0，若 f(1a)f(a1)，则 a 的值为_. 【答案】 1 2. 【解析】(1)当 a1 时，代入不成立.故 a 的值为 1 2. 第 5 页 / 共 14 页 例 3、 （1）函数 f(x) 2 21 1 2 xx 的单调减区间为 （2）(一题两空)已知函数 f(x)a|x1|(a0，且 a1)的值域为1，)，则 a 的取值范围为_，f(4) 与 f(1)的大小关系是_ （3）（2019 福建泉州五中模拟）设 a0，且 a1，函数 ya2x2ax1 在1，1上的最大值是 14，则实 数 a 的值为_ 【答案】 （1） (，1 （2）(1，) f(4)f(1)（3） 1
7、 3或 3 【解析】 （1）设 ux22x1，y 1 2 a 在 R 上为减函数，函数 f(x) 2 21 1 2 xx 的减区间即为函 数 ux22x1 的增区间又 ux22x1 的增区间为(，1，f(x)的减区间为(，1 （2） 因为|x1|0， 函数 f(x)a|x1|(a0， 且 a1)的值域为1， )， 所以 a1.由于函数 f(x)a|x1|在(1， )上是增函数，且它的图象关于直线 x1 对称，则函数 f(x)在(，1)上是减函数，故 f(1)f(3)， f(4)f(1) （3）令 tax(a0，且 a1)， 则原函数化为 yf(t)(t1)22(t0) 当 0a1 时，x1，1
8、，tax 1 a，a ， 此时 f(t)在 1 a，a 上是增函数所以 f(t)maxf(a)(a1) 2214，解得 a3 或 a5(舍去)综上得 a1 3 或 3. 方法总结 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、 最值等等 (1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用 函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较 第 6 页 / 共 14 页 (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将 其化归于指数函数来解，体现化归与转化思
9、想的运用 (3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时须分 底数 0a1 两种情形进行分类讨论，防止错解 考点二 指数函数的图像与性质 例 4、（2019 广西北海一中月考）函数 yax 1 a(a0，且 a1)的图象可能是( ) 【答案】D 【解析】当 a1 时，yax 1 a是增函数 当 x0 时，y1 1 a(0，1)，A，B 不满足 当 0a1 时，yax 1 a在 R 上是减函数 当 x0 时，y1 1 a0， 且 a1， 若函数 y|ax2|与 y3a 的图象有两个交点， 则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 0， 2 3 【解析
10、】当 0a1 时，作出函数 y|ax2|的图象如图(1)若直线 y3a 与函数 y|ax2|(0a1)的图象 第 7 页 / 共 14 页 有两个交点，则由图象可知 03a2，所以 0a1 时，作出函数 y|ax2|的图象如图(2)，若直线 y3a 与函数 y|ax2|(a1)的图象有两个交点， 则由图象可知 03a2，此时无解 所以实数 a 的取值范围是 0， 2 3. 变式 3、 已知 f(x)|2x1|. (1)求 f(x)的单调区间； (2)比较 f(x1)与 f(x)的大小； (3)试确定函数 g(x)f(x)x2的零点的个数 【解析】 (1)由 f(x)|2x1| 2x1，x0，
11、12x，x0 可作出函数的图像如图所示 因此函数 f(x)的单调减区间是(，0)上，单调增区间是(0，) (2)在同一坐标系中，分别作出函数 f(x)、f(x1)的图像如图所示 由图像知，当 0 1 2x 11 0 2x，即 x0log2 2 3时，两图像相交， 当 xf(x1)； 第 8 页 / 共 14 页 当 x 2 2 log 3 时，f(x)f(x1)； 当 x 2 2 log 3 时，f(x)f(x1) (3)将 g(x)f(x)x2的零点个数问题转化为函数 f(x)与 yx2的图像的交点个数问题，在同一坐标系中，分 别作出函数 f(x)|2x1|和 yx2的图像(如图所示)，有四
12、个交点，故 g(x)有四个零点 方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用 (1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换 而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论； (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解 考点三 指数函数的综合运用 例 5 已知定义域为 R 的函数 f(x) 2xb 2x1a是奇函数 (1) 求 a，b 的值； (2) 若对任意的 t
13、R，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范围 【解】 (1) f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0，即 b1 a20b1，f(x) 12x a2x1. 又由 f(1)f(1)，得 12 a4 1 1 2 a1a2. 经检验知，a2，b1 为所求 (2)(方法 1)由(1)得 f(x) 12x 22x1 1 2 1 2x1，易知 f(x)在(，)上为减函数 f(x)是奇函数，f(t22t)f(2t2k)0f(t22t)k2t2，即对一切 t 有 3t22tk0. 第 9 页 / 共 14 页 412k0k 1 3. (方法 2)由(1)知 f(x) 12x 22x1，
14、 2 2 2 21 1 2 22 tt tt 2 2 2 21 1 2 22 tk tk 0， 即( 2 21 2 tk 2)(1 2 2 2t t )( 2 22 2t t 2)(1 2 2 2 tk 0. 上式对一切 tR 均成立，从而 412k0k 1 3. 变式 1、设 a 是实数，f(x)a 2 2x1(xR) (1) 试证明对于任意 a，f(x)都为增函数； (2) 试确定 a 的值，使 f(x)为奇函数 【证明】 (1)设 x1，x2R，且 x1x2，则 f(x1)f(x2) 1 2 21 x a 2 2 21 x a = 21 22 2121 xx 12 12 2(22 ) 2
15、121 xx xx . 由于指数函数 y2x在 R 上是增函数，且 x1x2， 1 2x 2 2x，即 12 22 xx 0，得 1 2x10， 2 2x10. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0， 3a4 a 1，解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 f(x)的值域为(0，)，应使 yax24x3 的值域为 R， 只能 a0(若 a0，则 yax24x3 为二次函数，其值域不可能为 R)故 a 的值为 0. 方法总结：是指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上 问题都是指数型函数问题，关键
16、应判断其单调性，对于形如 yaf(x)的函数的单调性，它的单调区间与 f(x) 的单调区间有关：若 a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调增(减)区间；若 0a0，a1)的图象恒过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是( ) A.y 1x B.y|x2| C.y2x1 D.ylog2(2x) 【答案】 A 【解析】f(x)过定点 A(1，1)，将点 A(1，1)代入四个选项，y 1x的图象不过点 A(1，1). 4、(2018 上海卷)已知常数 a0，函数 f(x) 2x 2xax的图象经过点 P p， 6 5、Q q， 1 5.若 2 pq36pq，则 a _ 【
17、答案】6 【解析】依题设知 f(p) 6 5，且 f(q) 1 5， 所以 2p 2pap 6 5， 2q 2qaq 1 5， 得 2p（2qaq）2q（2pap） （2pap）（2qaq）1， 整理得 2pqa2pq. 又 2pq36pq，所以 a2pq36pq. 第 12 页 / 共 14 页 由于 pq0，得 a236(a0)，则 a6. 5、(2020 河南商丘模拟)已知函数 f(x)(a22a2)ax是指数函数 (1)求 f(x)的表达式； (2)判断 F(x)f(x) 1 f（x）的奇偶性，并加以证明 解：(1)由 a22a21，可得 a3 或 a1(舍去)， f(x)3x. (2
18、)F(x)是偶函数，证明如下：F(x)f(x) 1 f（x） 3x3x，xR. F(x)3x3xF(x)， F(x)是偶函数 6、已知函数 f(x)a|xb|(a0，bR) (1)若 f(x)为偶函数，求实数 b 的值； (2)若 f(x)在区间2，)上是增函数，试求实数 a，b 应满足的条件 解：(1)因为 f(x)为偶函数， 所以对任意的 xR，都有 f(x)f(x) 即 a|x b| a|x b|，|xb|xb|， 解得 b0. (2)记 h(x)|xb| xb，xb， xb，x1 时，f(x)在区间2，)上是增函数，即 h(x)在区间2，)上是增函数， 所以b2，b2. 当 0a1，且
19、 b2. 7、设函数 f(x)kaxa x(a0 且 a1，kR)，f(x)是定义域为 R 的奇函数 (1)求 k 的值， (2)判断并证明 当 a1 时，函数 f(x)在 R 上的单调性； (3)已知 a3，若 f(3x) f(x)对于 x1，2时恒成立请求出最大的整数 【证明】 (1)f(x)kaxax(a0 且 a1，kR)是定义域为 R 上的奇函数，f(0)0，解得 k1.此时 f(x) axax，对任意 xR，有 f(x)axax(axax)f(x)，即 f(x)是 R 上的奇函数，符合题意故 第 13 页 / 共 14 页 k1. (2)由(1)得 f(x)axax. 设 x1，x
20、2R，且 x11，且 x1x2， 1 x a 2 x a 0， f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0，a1)且 f(0)0. (1)求 a 的值； (2)若函数 g(x)(2x1) f(x)k 有零点，求实数 k 的取值范围； (3)当 x(0，1)时，f(x)m 2x2 恒成立，求实数 m 的取值范围 【解析】(1)对于函数 f(x)1 4 2axa(a0，a1)， 由 f(0)1 4 2a0，得 a2. (2)由(1)知 f(x)1 4 2 2x21 2 2x1. 因为 g(x)(2x1) f(x)k2x12k2x1k 有零点， 所以函数 y2x的图象和直线 y1k 有交点，所以 1k0，即 km 2x2 恒成立， 即 1 2 2x1m 2 x2 恒成立， 亦即 m3 2x 2 2x（2x1）恒成立 令 t2x，则 t(1，2)，且 m 1 2 2 21 7 6，所以 m 7 6. 故实数 m 的取值范围是 ， 7 6.