1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 11 讲：指数与对数的运算讲：指数与对数的运算 一、课程标准 1、理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； 3、了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 二、基础知识回顾 1. 有关指数幂的概念 (1)n 次方根 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是_0_；正数的偶次方根是 两个绝对值相等、符号相反的数，0 的偶次方根是_0_，负数没有偶次方根 (2)方根的性质 当 n 为奇数时，nana； 当 n 为偶数时，n
2、an| | a ,0 -a0. a a a ， ， (3)分数指数幂的意义 m n a nm a (a0，m、n 都是正整数，n1)； m n a 1 m n a 1 nm a (a0，m、n 都是正整数，n1) 2. 有理数指数幂的运算性质 设 s，tQ，a0，b0，则： (1)asatast； (2)(as)tast；(3)(ab)tatbt 3. 对数的相关概念 (1)对数的定义：如果 abN(a0，a1)，那么 b 叫做以 a 为底数 N 的对数，记作 logaNb (2)常用对数和自然对数：常用对数：以 10 为底 N 的对数，简记为：lgN；自然对数：以 e 为底 N 的对数，简记
3、为：lnN (3)指数式与对数式的相互转化：abNlogaNb(a0，a1，N0) 4. 对数的基本性质 设 N0，a0，a1，则：(1)logaa1；(2)loga10； 第 2 页 / 共 12 页 (3)logaaNN；(4)alogaNN 5. 对数运算的法则 设 M0，N0，a0，a1，b0，b1，则： (1)loga(MN) logaMlogaN； (2)loga M NlogaMlogaN； (3)logaMn nlogaM 6. 对数的换底公式 设 N0，a0，a1，b0，b1，则 logbN logaN logab. 三、自主热身、归纳总结 1、化简 4a 2 3 b1 3
4、2 3a 1 3b 2 3 的结果为( ) A 2a 3b B 8a b C 6a b D6ab 【答案】C 【解析】原式6a 2 3 1 3b 1 3 2 36ab 16a b. 2、(log29)(log32)loga 5 4loga 4 5a (a0，且 a1)的值为( ) A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】 原式(2log23)(log32)loga 5 4 4 5a 2 1logaa3. 3、 若 lg2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差数列，则 x 的值等于（ ） A. 1 B. 0 或 1 8 C. 1 8 D. log23 第 3 页 / 共 12 页 【答案】D
5、. 【解析】由 lg2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差数列，知 lg2lg(2x5)2lg(2x1)， 2(2x5)(2x1)2，即(2x)290，即 2x3，xlog23.故选 D. 4、 (多选)已知 aa13，在下列各选项中，其中正确的是( ) Aa2a27 Ba3a318 Ca 1 2a1 2 5 Da a 1 a a2 5 【答案】ABD 【解析】在选项 A 中，因为 aa13，所以 a2a2(aa1)22927，故 A 正确；在选项 B 中， 因为 aa13，所以 a3a3(aa1)(a21a2)(aa1) (aa1)233 618，故 B 正确；在选 项 C 中，因为 aa
6、13，所以(a 1 2a1 2) 2aa125，且 a0，所以 a 1 2a1 2 5，故 C 错误；在 选项 D 中，因为 a3a318，且 a0，所以 a a 1 a a 2 a3a3220，所以 a a 1 a a2 5，故 D 正确 5、log225 log3(2 2) log59_ 【答案】6 【解析】法一：log225 log3(2 2) log59log252 log32 3 2 log 53 26log 25 log32 log536. 法二：log225 log3(2 2) log59 lg 25 lg 2 lg（2 2） lg 3 lg 9 lg 5 lg 52 lg 2
7、lg 2 3 2 lg 3 lg 32 lg 56. 6、 已知 2lg xy 2 lgxlgy，则 x y的值为 【答案】1 2. 【解析】 利用对数的性质消去对数符号，得到关于 x，y 的方程再求解 由已知得 lg xy 2 2lg(xy)， xy 2 2xy， 即 x26xyy20， x y 26 x y10， x y3 2 2. 又 xy 2 0 且 x、y0，xy0，即 x y1， 第 4 页 / 共 12 页 x y32 2， x y1 2. 7、计算：log54 1 2log210(3 3) 2 37log 72_ 【答案】0 【解析】原式log52log210(3 3 2) 2
8、 32log 5(1032)log551. 8、化简 (0.064 1 5)2.5 2 3 3 3 3 8 0； 【答案】0 【解析】(0.064 1 5)2.5 2 3 3 3 3 8 0 64 1 000 1 5 5 2 2 3 27 8 1 31 4 10 3 1 5 5 2 2 3 3 2 3 1 315 2 3 210. 四、例题选讲 考点一 指数幂的运算 例 1 化简下列各式(其中各字母均为正数) (1) 27 8 2 3 0.002 1 210( 52)10 (2) a3b23ab2 （a 1 4b 1 2）4a 1 3b 1 3 (a0，b0) (3) 12 53 (0.064
9、 )2.5 3 3 3 8 0； (4) 1 211 2 1 332 65 abab a b 【解析】(1)原式 3 2 2 500 1 2 10（ 52） （ 52）（ 52）1 第 5 页 / 共 12 页 4 910 510 5201 167 9 . (2)原式 (a3b2a 1 3b 2 3) 1 2 ab2a 1 3b 1 3 a 3 2 1 61 1 3b1 1 32 1 3a b. (3 原式 2 5 3 11 2 53 6427 1 10008 = 1521 33 5233 43 102 1 5 2 3 210. (4)原式 1111 1 111 1 5 3322 3 262
10、3 6 15 66 a bab ab a b 1 a. 变式 1、 计算下列各式的值： （）； （） 【解析】 （）原式； （）原式 变式 2、已知 11 22 xx 3，求 22 33 22 2 3 xx xx 的值 【解析】设 1 2 x t，则 1 2 x 1 t，已知即 t 1 t3. 于是， 33 22 xx t3 1 t3 t 1 t t2 1 t21 ， 而 x2x2t4 1 t4 22 2 1 ()t t 2, 将 t 1 t3，平方得 t 21 t229，于是 t 21 t27.从而，原式 t2 1 t2 22 t 1 t t2 1 t21 3 722 3 （71）3 47
11、15. 第 6 页 / 共 12 页 方法总结(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意： 必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 考点二 对数的运算 例 2 化简下列各式： (1) 1 2lg25lg2lg 10lg(0.01) 1； (2)(lg2)2lg2 lg50lg25； (3)计算(log32log92) (log43log83)； （4）2log32log3 32 9log383log55； 【解析】 (1)
12、原式lg 25 1 2 2 10 1 2 （10 2）1 lg 5 2 10 1 2 10 2 7 2 lg10 7 2. (2) 原式(lg2)2(1lg5)lg2lg52(lg2lg51)lg22lg5 (11)lg22lg5 2(lg2lg5) 2. (3) (log32log92) (log43log83) lg2 lg3 lg2 lg9 lg3 lg4 lg3 lg8 lg2 lg3 lg2 2lg3 lg3 2lg2 lg3 3lg2 3lg2 2lg3 5lg3 6lg2 第 7 页 / 共 12 页 5 4. （4）2log32log3 32 9log383log55 log3
13、22log3(32 25)log3233 log3(22 32 25 23)3 log3323 23 1. 变式 1、(1)2log32log3 32 9log38 5 log 3 5 ； (2)(log2125log425log85) (log52log254log1258) 【解析】(1)原式2log325log3223log3231. (2)(方法 1)原式 log253 log225 log24 log25 log28 log52 log54 log525 log58 log5125 3log25 2log25 2log22 log25 3log22 log52 2log52 2log
14、55 3log52 3log55 31 1 3log25 3log52 13 log55 log52 log52 13. (方法 2) 原式 lg125 lg2 lg25 lg4 lg5 lg8 lg2 lg5 lg4 lg25 lg8 lg125 3lg5 lg2 2lg5 2lg2 lg5 3lg2 lg2 lg5 2lg2 2lg5 3lg2 3lg5 13 3 lg5 lg2 3 lg2 lg5 13. 变式 2、(1)若 alog43，则 2a2a ； 化简 2(lg 2)2lg 2 lg5（lg 2）2lg21_ _ 【解析】 (1)alog432 2 log31 2log23lo
15、g2 3， 第 8 页 / 共 12 页 2a2a log 3 2 2 log 3 2 3 2 3 log 3 2 3 3 3 4 3 3 . 2(lg 2)2lg 2 lg5（lg 2）2lg21 2 1 2lg2 21 2lg2 lg5 （lg 21）2 1 2lg2(lg2lg5)1 1 2lg2 1 2lg21 1 2lg21. 方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例 如： (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对 数运算性质化简合并； (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍
16、数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、 商、幂的运算 考点三 指数是与对数式的综合 例 3 (1)已知 a，b，c 均为正数，且 3a4b6c，求证： 2 a 1 b 2 c ； (2)若 60a3，60b5，求 1 2(1) 12 a b b 的值 【解析】 (1)设 3a4b6ck，则 k1.由对数定义得 alog3k，blog4k，clog6k， 则 2 a 1 b 2 log3k 1 log4k 2logk3logk4 logk9logk4 logk36. 又 2 c 2 log6k2logk6logk36， 2 a 1 b 2 c. (2)由 alog603，blo
17、g605，得 1b1log605log6012， 于是 1ab1log603log605log604， 第 9 页 / 共 12 页 则有 1ab 1b log604 log6012log124， 12 1ab 2（1b） 12 1 2log124 12log1222. 变式 1、设 2a5bm，且 1 a 1 b2，则 m 等于_. 由 2a5bm 得 alog2m，blog5m， 1 a 1 blogm2logm5logm10. 1 a 1 b2，logm102，m 210，m 10. 方法总结： 这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注： 1. 根据对数的定义
18、，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是 化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算 经常使用的方法 2. 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的对数 的运算法则进行计算和化简，求得结果 五、优化提升与真题演练 1、设 a0，将 a2 a 3 a2 表示成分数指数幂，其结果是( ) Aa 1 2 Ba 5 6 Ca 7 6 Da 3 2 【答案】C 【解析】由题意 a2 a 3 a2 a2 1 2 1 3a 7 6.故选 C. 2、已知奇函数 f（x）满足
19、 f（x）f（x+4） ，当 x（0，1）时，f（x）4x，则 f（log4184）（ ） 第 10 页 / 共 12 页 A B C D 【答案】A 【解析】奇函数 f（x）满足 f（x）f（x+4） ， 当 x（0，1）时，f（x）4x， f（log4184）f（log41844） （） 3、(多选)已知实数 a，b 满足等式 18a19b，下列选项有可能成立的是( ) A0ba Bab0 C0ab Dba0 【答案】AB 【解析】 实数 a，b 满足等式 18a19b，即 y18x在 xa 处的函数值和 y19x在 xb 处的函数值相等， 由下图可知 A，B 均有可能成立 4、化简： （
20、a 2 3 b1）1 2 a 1 2 b 1 3 6 a b5 (a0，b0)_ 【答案】 1 a 【解析】原式 a 1 3 b 1 2 a1 2 b 1 3 a 1 6 b 5 6 a 1 3 1 2 1 6 b 1 2 1 3 5 6 1 a. 5、计算 3 （1 2）3 4 （1 2）4_ 第 11 页 / 共 12 页 【答案】2 2 【解析】 3 （1 2）3 4 （1 2）41 2|1 2|2 2. 6、. （1log6 3）2 log62 log618 log64 _ 【答案】1 【解析】原式 （log66log6 3）2 log62 log618 log622 （log6 2）
21、2 log62 log618 2log62 log62（log62log618） 2log62 log62 log6（2 18） 2log62 log62 log636 2log62 2log62 2log621. 7、若 2x3y5z，且 x，y，z 都是正数，则 2x，3y，5z 从小到大依次为 【答案】3y2x1，x lgt lg2，y lgt lg3， z lgt lg5，2x3y 2lgt lg2 3lgt lg3 lgt （lg9lg8） lg2 lg3 0， 2x3y. 同理可得：2x5z0，2x5z. 3y2x5z. 8、 化简下列各式： (1)(0.064 1 5)2.5 2 3 3 3 3 8 0； (2) 5 6a 1 3 b2 3a 1 2b1 4a 2 3 b3 1 2 . 【解析】(1)原式 64 1 000 1 5 5 2 2 3 27 8 1 31 4 10 3 1 5 5 2 2 3 3 2 3 1 31 5 2 3 210. (2)原式 5 2a 1 6b3 4a 2 3 b3 1 2 第 12 页 / 共 12 页 5 4a 1 6b3 (a 1 3b 3 2) 5 4a 1 2 b 3 2 5 4 1 ab3 5 ab 4ab2.