1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 8 讲：函数的单调性讲：函数的单调性 一、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的单调性的方法 3.能处理函数的最值问题。 二、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地， 对于给定区间上的函数 f(x)， 如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x1、 x2， 当 x1x2时， 都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数(或减函数) (2)如果函数 yf(x)在某个区间上是增函数(或减函数)， 那么就说 f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性， 这个区间叫做 f(x)的单调区间； 若函数是
2、增函数则称该区间为增区间， 若函数为减函数则称该区间为减区间 2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数 f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图 像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减 3. 复合函数的单调性 对于函数 yf(u)和 ug(x)，如果当 x(a，b)时，u(m，n)，且 ug(x)在区间(a，b)上和 yf(u)在区 间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数 yf(g(x)在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增 增(或减减)则增，增减(或减增)则减 4. 函数单调性的常用结论 (1)对x1，x2D(x1x2)， f
3、（x1）f（x2） x1x2 0f(x)在 D 上是增函数； f( ) x1 f( ) x2 x1x2 0)的增区间为(， a和 a，)，减区间为( a，0)和(0， a) (3)在区间 D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数 (4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减” 5.常用结论 1若函数 f(x)，g(x)在区间 I 上具有单调性，则在区间 I 上具有以下性质： 第 2 页 / 共 18 页 (1)当 f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)g(x)是增(减)函数； (2)若 k0，则 kf(x)与 f(x)单调性相
4、同；若 k0)在公共定义域内与 yf(x)，y 1 f（x）的单调性相反； (4)复合函数 yfg(x)的单调性与 yf(u)和 ug(x)的单调性有关简记：“同增异减” 2增函数与减函数形式的等价变形：x1，x2a，b且 x1x2，则 (x1x2)f(x1)f(x2)0 f（x1）f（x2） x1x2 0f(x)在a，b上是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)0 f（x1）f（x2） x1x2 0f(x)在a，b上是减函数 三、自主热身、归纳总结 1、函数 yx25x6 在区间2，4上是( ) A递减函数 B递增函数 C先递减再递增函数 D先递增再递减函数 【答案】C 【解析】作出函数
5、 yx25x6 的图象(图略)知开口向上，且对称轴为 x 5 2，在2，4上先减后增故选 C. 2、函数 y 1 x1在2，3上的最小值为( ) A2 B. 1 2 C. 1 3 D 1 2 【答案】B 【解析】 因为 y 1 x1在2，3上单调递减，所以 ymin 1 31 1 2.故选 B. 3、设函数 f(x)在 R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D ) A. y 1 f（x）在 R 上为减函数 B. y|f(x)|在 R 上为增函数 C. y 1 f（x）在 R 上为增函数 D. yf(x)在 R 上为减函数 【答案】D. 第 3 页 / 共 18 页 【解析】 如 f(x)x3
6、，则 y 1 f（x）的定义域为(，0)(0，)，在 x0 时无意义，A、C 错；y|f(x)| 是偶函数，在 R 上无单调性，B 错故选 D. 4、对数函数 log(0 a yx a且1)a 与二次函数 2 (1)yaxx在同一坐标系内的图象不可能是( ) A B C D 【答案】BD 【解析】：若1a ，则对数函数 logayx 在(0, )上单调递增，二次函数 2 (1)yaxx开口向上，对称 轴 1 0 2(1) x a ，经过原点，可能为A，不可能为B 若01a，则对数函数 logayx 在(0, )上单调递减，二次函数 2 (1)yaxx开口向下，对称轴 1 0 2(1) x a
7、，经过原点，可能为C，不可能为D 故选：BD 5、已知函数 2 ( )361f xxx，则( ) A函数 ( )f x有两个不同的零点 B函数 ( )f x在( 1,) 上单调递增 C当1a 时，若() x f a在 1x ，1上的最大值为 8，则3a D当0 1a时，若() x f a在 1x ，1上的最大值为 8，则 1 3 a 【答案】ACD 【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式 2 ( 6)4 3 ( 1)480 ， 所以函数 ( )f x有两个不同的零点，A正确； 因为二次函数 ( )f x图象的对称轴为1x ，且图象开口向上， 所以 ( )f x在(1,)上单调递增，B不
8、正确； 第 4 页 / 共 18 页 令 x ta，则 22 ()( )3613(1)4 x f ag tttt 当1a 时， 1 t a a 剟，故( )g t在 1 , a a 上先减后增， 又 1 1 2 a a ，故最大值为g（a） 2 3618aa ， 解得3a （负值舍去） 同理当01a时， 1 a t a 剟，( )g t在 1 ,a a 上的最大值为 2 136 ( )18g aaa ， 解得 1 3 a （负值舍去） 故选：ACD 6、函数 y|x22x1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 【答案】(1 2，1)，(1 2，)；(，1 2)，(1，1 2) 【解析】作出函数
9、 y|x22x1|的图像如图所示由图像可知，函数 y|x22x1|的单调增区间为(1 2，1)，(1 2，)；单调递减区间是(，1 2)，(1，1 2)故应分别 7、已知 f(x) x xa(xa)，若 a0 且 f(x)在(1，)上是减函数，则实数 a 的取值范围是 【答案】(0，1 【解析】 任设 1x1x2，则 f(x1)f(x2) x1 x1a x2 x2a a（x2x1） （x1a）（x2a）. a0，x2x10，要使 f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0 恒成立a1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1 8、函数 y x2x6的单调递增区间为_，单调递减区间为_ 【答
10、案】 (1)B (2)2，) (，3 第 5 页 / 共 18 页 【解析】 (1)y|x23x2| x23x2，x1或x2， （x23x2），1x0 且 a1)，若 f(0)0， 可得3x1， 故函数的定义域为x|3x1. 根据 f(0)loga30，可得 0a1，又 g(x)在定义域(3，1)内的减区间是1，1)，f(x)的单 调递增区间为1，1). 变式 3、.函数 y|x|(1x)的单调递增区间是_. 【答案】 0， 1 2 【解析】 y|x|(1x) x（1x），x0， x（1x），x0 x 2x，x0， x2x，x0，解得 x4 或 x0，得2x3，故函数的定义域为(2，3)，令
11、tx2x6，则 ylog1 2t，易 知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数 tx2x6 在(2，3)上的单调递减区 间.利用二次函数的性质可得 tx2x6 在定义域(2，3)上的单调递减区间为 1 2，3 ，故选 A. 变式 2、函数 f(x)2 xx2的单调递增区间为( ) A. ， 1 2 B. 0， 1 2 C. 1 2， D. 1 2，1 【答案】B 【解析】令 t xx2，由 xx20，得 0 x1，故函数的定义域为0，1因为 g(t)2t是增函数，所以 f(x) 的单调递增区间即 t xx2的单调递增区间 利用二次函数的性质， 得 t xx2的单调递增区间为 0
12、， 1 2， 即原函数的单调递增区间为 0， 1 2.故选 B. 方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合 而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。 考点三 函数单调性的证明与判断 例 3、判断函数 f(x) x 1x2在区间1，)上的单调性并证明你的结论 第 9 页 / 共 18 页 【解析】 函数 f（x） 2 1 x x 在区间1，）上是单调减函数，证明如下： 设 x1、 x21， ） ， 且 x1x2， 则 f （x1） f （x2） 1 2 1 1 x x 2 2 2 1 x x 22 1221 22 12 (1)(1) 1)
13、(1) xxxx xx （ 1 112 22 12 ()(1) 1)(1) x xx x xx （ . x1、x21，） ，且 x1x2， x1x20，1x 1x20， f（x1）f（x2）0， 即 f（x1）f（x2）. f（x） 2 1 x x 在1，）上为减函数. 变式 1、已知函数 f(x) 1 a 1 x(a0，x0). (1)求证：f(x)在(0，)上是增函数； (2)若 f(x)在 1 2，2 上的值域是 1 2，2 ，求 a 的值. 【解析】(1)证明 设 x2x10，则 x2x10，x1x20， f(x2)f(x1 ) 1 a 1 x2 1 a 1 x1 1 x1 1 x2
14、x2x1 x1x2 0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0， )上是增函数. (2)解 f(x)在 1 2，2 上的值域是 1 2，2 ， 又由(1)知 f(x)在 1 2，2 上是单调增函数， f 1 2 1 2，f(2)2，易得 a 2 5. 变式 2、试讨论函数 f(x) ax x21(a0)在(0，)上的单调性，并证明你的结论 【解析】 (方法 1)设 x1， x2(0， )且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) ax1 x211 ax2 x221 ax1（x221）ax2（x211） （x211）（x2 21） ax1x22x1x2x21x2 （x211）（x2 21） a（x2
15、x1）（x1x21） （x211）（x2 21） . x1x2，x2x10，又 a0，(x2 11)(x 2 21)0. 当 x1，x2(0，1)时，x1x210， 从而 a（x2x1）（x1x21） （x211）（x2 21） 0，即 f(x1)f(x2)0f(x1)0， 第 10 页 / 共 18 页 从而 a（x2x1）（x1x21） （x211）（x2 21） 0，即 f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，此时 f(x) ax x21 (a0)单调递减 函数 f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数 (方法 2)f(x) a（x21）ax 2x （x21）2 a（1x
16、2） （x21）2 a（1x）（1x） （x21）2 .a0，x(0，)， 由 f(x) a（1x）（1x） （x21）2 0，解得 0x1， 由 f(x) a（1x）（1x） （x21）2 1. 函数 f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数 方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有： （1）定义法； （2）图像法； （3）利用常见函数的单调 性； （4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法. 2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下： 取值 作差 变形 确定符号 得出结论 其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式
17、子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2) 配方；(3)通分约分等 考点四 函数单调性的应用 例 4、已知函数 f(x) （12a）x3a，x1， 2x1，x1 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 0， 1 2 【解析】：当 x1 时，f(x)2x11， 函数 f(x) （12a）x3a，x1， 2x1，x1 的值域为 R， 当 x1 时，(12a)x3a 必须取遍(，1)内的所有实数， 则 12a0， 12a3a1，解得 0a 1 2. 变式 1、 (2019 安徽皖南八校第三次联考)已知函数 f(x) log2（x1），x1， 1，x1， 则满足 f(2x1)f(3
18、x2)的实 数 x 的取值范围是( ) A(，0 B(3，) 第 11 页 / 共 18 页 C1，3) D(0，1) 【答案】B 【解析】 法一：由 f(x) log2（x1），x1， 1，x1 可得当 x1 时，f(x)1，当 x1 时，函数 f(x)在1，) 上单调递增，且 f(1)log221， 要使得 f(2x1)f(3x2)，则 2x13x2， 3x21， 解得 x3， 即不等式 f(2x1)f(3x2)的解集为(3，)，故选 B. 法二： 当x1时， 函数f(x)在1， )上单调递增， 且f(x)f(1)1， 要使f(2x1)f(3x2)成立， 需 2x11， 2x13x2 或
19、2x11， 3x21，解得 x3.故选 B. 变式 2、已知函数 f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x1)f 1 3的 x 的取值范围是( ) A. 1 3， 2 3 B. 1 3， 2 3 C. 1 2， 2 3 D. 1 2， 2 3 【答案】D 【解析】 因为函数 f(x)是定义在区间0， )上的增函数，满足 f(2x1)f 1 3.所以 02x1 1 3，解得 1 2x 2 3. 故选 D. 变式 3、如果函数 f(x) （2a）x1，x0 成立，那么 a 的 取值范围是_. 【答案】 3 2，2 【解析】对任意 x1x2，都有 f（x1）f（x2
20、） x1x2 0， 所以 yf(x)在(，)上是增函数. 所以 2a0， a1， （2a） 11a， 解得 3 2a2. 第 12 页 / 共 18 页 故实数 a 的取值范围是 3 2，2 . 变式 4、 【2019 年天津理科 06】已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Babc Cbca Dcab 【答案】A 【解析】由题意，可知： alog521， blog0.50.2log25log242 c0.50.21， b 最大，a、c 都小于 1 alog52，c0.50.2 而 log25log242 ， ac， acb 故
21、选：A 方法总结 1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”. 3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得 到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 五、优化提升与真题演练 1、 【2019 年新课标 1 理科 03】已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 【答案】B 第 13 页 / 共 18 页 【解析】：alog20.2log210， b
22、20.2201， 00.20.30.201， c0.20.3（0，1） ， acb， 故选：B 2、 【2017 年新课标 1 理科 05】函数 f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若 f（1）1，则满 足1f（x2）1 的 x 的取值范围是（ ） A2，2 B1，1 C0，4 D1，3 【答案】D 【解析】函数 f（x）为奇函数 若 f（1）1，则 f（1）1， 又函数 f（x）在（，+）单调递减，1f（x2）1， f（1）f（x2）f（1） ， 1x21， 解得：x1，3， 故选：D 3、已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f 1 x f(1)的实数 x 的取值范围是( ) A
23、(1，1) B(0，1) C(1，0)(0，1) D(，1)(1，) 【答案】C 【解析】 (1)由 f(x)为 R 上的减函数且 f 1 x 1， x0， 即 |x|1， x0. 所以1x0 或 0x0， 解得 a 1 3， a 1 8， a0， 所以 a 1 8， 1 3. 9、定义在2，2上的函数 f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，且 f(a2a)f(2a2)，则实数 a 的取值范 围为_ 【答案】0，1) 【解析】因为函数 f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，所以函数在2，2上单调递增， 所以22a2a2a2， 解得 0a0， 2a2，即
24、2a210， a1， 即 a1. 11、设函数 f(x) x 24x，x4， log2x，x4. 若函数 yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数 a 的取 值范围是_. 【答案】(，14，) 【解析】作函数 f(x)的图象如图所示， 由图象可知 f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足 a4 或 a12，即 a1 或 a4. 12、已知 f(x) x xa(xa) (1)若 a2，试证 f(x)在(，2)内单调递增； (2)若 a0 且 f(x)在(1，)内单调递减，求 a 的取值范围 【解析】：(1)证明：当 a2 时，f(x) x x2. 任取 x1，x2(，2)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2 ) x1 x12 x2 x22 2（x1x2） （x12）（x22）. 因为(x12)(x22)0，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在(，2)内单调递增 (2)任取 x1，x2(1，)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2 ) x1 x1a x2 x2a a（x2x1） （x1a）（x2a）. 第 18 页 / 共 18 页 因为 a0，x2x10，又由题意知 f(x1)f(x2)0， 所以(x1a)(x2a)0 恒成立，所以 a1. 所以 0a1. 所以 a 的取值范围为(0，1