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第08讲 函数的单调性(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 8 讲:函数的单调性讲:函数的单调性 一、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的单调性的方法 3.能处理函数的最值问题。 二、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地, 对于给定区间上的函数 f(x), 如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x1、 x2, 当 x1x2时, 都有 f(x1)f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数(或减函数) (2)如果函数 yf(x)在某个区间上是增函数(或减函数), 那么就说 f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性, 这个区间叫做 f(x)的单调区间; 若函数是

2、增函数则称该区间为增区间, 若函数为减函数则称该区间为减区间 2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数 f(x),若函数图像从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增;若函数图 像从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减 3. 复合函数的单调性 对于函数 yf(u)和 ug(x),如果当 x(a,b)时,u(m,n),且 ug(x)在区间(a,b)上和 yf(u)在区 间(m,n)上同时具有单调性,则复合函数 yf(g(x)在区间(a,b)上具有单调性,并且具有这样的规律:增 增(或减减)则增,增减(或减增)则减 4. 函数单调性的常用结论 (1)对x1,x2D(x1x2), f

3、(x1)f(x2) x1x2 0f(x)在 D 上是增函数; f( ) x1 f( ) x2 x1x2 0)的增区间为(, a和 a,),减区间为( a,0)和(0, a) (3)在区间 D 上,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数 (4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减” 5.常用结论 1若函数 f(x),g(x)在区间 I 上具有单调性,则在区间 I 上具有以下性质: 第 2 页 / 共 18 页 (1)当 f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)g(x)是增(减)函数; (2)若 k0,则 kf(x)与 f(x)单调性相

4、同;若 k0)在公共定义域内与 yf(x),y 1 f(x)的单调性相反; (4)复合函数 yfg(x)的单调性与 yf(u)和 ug(x)的单调性有关简记:“同增异减” 2增函数与减函数形式的等价变形:x1,x2a,b且 x1x2,则 (x1x2)f(x1)f(x2)0 f(x1)f(x2) x1x2 0f(x)在a,b上是增函数; (x1x2)f(x1)f(x2)0 f(x1)f(x2) x1x2 0f(x)在a,b上是减函数 三、自主热身、归纳总结 1、函数 yx25x6 在区间2,4上是( ) A递减函数 B递增函数 C先递减再递增函数 D先递增再递减函数 【答案】C 【解析】作出函数

5、 yx25x6 的图象(图略)知开口向上,且对称轴为 x 5 2,在2,4上先减后增故选 C. 2、函数 y 1 x1在2,3上的最小值为( ) A2 B. 1 2 C. 1 3 D 1 2 【答案】B 【解析】 因为 y 1 x1在2,3上单调递减,所以 ymin 1 31 1 2.故选 B. 3、设函数 f(x)在 R 上为增函数,则下列结论一定正确的是(D ) A. y 1 f(x)在 R 上为减函数 B. y|f(x)|在 R 上为增函数 C. y 1 f(x)在 R 上为增函数 D. yf(x)在 R 上为减函数 【答案】D. 第 3 页 / 共 18 页 【解析】 如 f(x)x3

6、,则 y 1 f(x)的定义域为(,0)(0,),在 x0 时无意义,A、C 错;y|f(x)| 是偶函数,在 R 上无单调性,B 错故选 D. 4、对数函数 log(0 a yx a且1)a 与二次函数 2 (1)yaxx在同一坐标系内的图象不可能是( ) A B C D 【答案】BD 【解析】:若1a ,则对数函数 logayx 在(0, )上单调递增,二次函数 2 (1)yaxx开口向上,对称 轴 1 0 2(1) x a ,经过原点,可能为A,不可能为B 若01a,则对数函数 logayx 在(0, )上单调递减,二次函数 2 (1)yaxx开口向下,对称轴 1 0 2(1) x a

7、,经过原点,可能为C,不可能为D 故选:BD 5、已知函数 2 ( )361f xxx,则( ) A函数 ( )f x有两个不同的零点 B函数 ( )f x在( 1,) 上单调递增 C当1a 时,若() x f a在 1x ,1上的最大值为 8,则3a D当0 1a时,若() x f a在 1x ,1上的最大值为 8,则 1 3 a 【答案】ACD 【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式 2 ( 6)4 3 ( 1)480 , 所以函数 ( )f x有两个不同的零点,A正确; 因为二次函数 ( )f x图象的对称轴为1x ,且图象开口向上, 所以 ( )f x在(1,)上单调递增,B不

8、正确; 第 4 页 / 共 18 页 令 x ta,则 22 ()( )3613(1)4 x f ag tttt 当1a 时, 1 t a a 剟,故( )g t在 1 , a a 上先减后增, 又 1 1 2 a a ,故最大值为g(a) 2 3618aa , 解得3a (负值舍去) 同理当01a时, 1 a t a 剟,( )g t在 1 ,a a 上的最大值为 2 136 ( )18g aaa , 解得 1 3 a (负值舍去) 故选:ACD 6、函数 y|x22x1|的单调递增区间是 ;单调递减区间是 【答案】(1 2,1),(1 2,);(,1 2),(1,1 2) 【解析】作出函数

9、 y|x22x1|的图像如图所示由图像可知,函数 y|x22x1|的单调增区间为(1 2,1),(1 2,);单调递减区间是(,1 2),(1,1 2)故应分别 7、已知 f(x) x xa(xa),若 a0 且 f(x)在(1,)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 【答案】(0,1 【解析】 任设 1x1x2,则 f(x1)f(x2) x1 x1a x2 x2a a(x2x1) (x1a)(x2a). a0,x2x10,要使 f(x1)f(x2)0,只需(x1a)(x2a)0 恒成立a1. 综上所述,a 的取值范围是(0,1 8、函数 y x2x6的单调递增区间为_,单调递减区间为_ 【答

10、案】 (1)B (2)2,) (,3 第 5 页 / 共 18 页 【解析】 (1)y|x23x2| x23x2,x1或x2, (x23x2),1x0 且 a1),若 f(0)0, 可得3x1, 故函数的定义域为x|3x1. 根据 f(0)loga30,可得 0a1,又 g(x)在定义域(3,1)内的减区间是1,1),f(x)的单 调递增区间为1,1). 变式 3、.函数 y|x|(1x)的单调递增区间是_. 【答案】 0, 1 2 【解析】 y|x|(1x) x(1x),x0, x(1x),x0 x 2x,x0, x2x,x0,解得 x4 或 x0,得2x3,故函数的定义域为(2,3),令

11、tx2x6,则 ylog1 2t,易 知其为减函数,由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数 tx2x6 在(2,3)上的单调递减区 间.利用二次函数的性质可得 tx2x6 在定义域(2,3)上的单调递减区间为 1 2,3 ,故选 A. 变式 2、函数 f(x)2 xx2的单调递增区间为( ) A. , 1 2 B. 0, 1 2 C. 1 2, D. 1 2,1 【答案】B 【解析】令 t xx2,由 xx20,得 0 x1,故函数的定义域为0,1因为 g(t)2t是增函数,所以 f(x) 的单调递增区间即 t xx2的单调递增区间 利用二次函数的性质, 得 t xx2的单调递增区间为 0

12、, 1 2, 即原函数的单调递增区间为 0, 1 2.故选 B. 方法总结:求复合函数的单调性,首先要注意复合函数的定义域,其次要确定函数是有哪些基本函数复合 而成,根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。 考点三 函数单调性的证明与判断 例 3、判断函数 f(x) x 1x2在区间1,)上的单调性并证明你的结论 第 9 页 / 共 18 页 【解析】 函数 f(x) 2 1 x x 在区间1,)上是单调减函数,证明如下: 设 x1、 x21, ) , 且 x1x2, 则 f (x1) f (x2) 1 2 1 1 x x 2 2 2 1 x x 22 1221 22 12 (1)(1) 1)

13、(1) xxxx xx ( 1 112 22 12 ()(1) 1)(1) x xx x xx ( . x1、x21,) ,且 x1x2, x1x20,1x 1x20, f(x1)f(x2)0, 即 f(x1)f(x2). f(x) 2 1 x x 在1,)上为减函数. 变式 1、已知函数 f(x) 1 a 1 x(a0,x0). (1)求证:f(x)在(0,)上是增函数; (2)若 f(x)在 1 2,2 上的值域是 1 2,2 ,求 a 的值. 【解析】(1)证明 设 x2x10,则 x2x10,x1x20, f(x2)f(x1 ) 1 a 1 x2 1 a 1 x1 1 x1 1 x2

14、x2x1 x1x2 0,f(x2)f(x1),f(x)在(0, )上是增函数. (2)解 f(x)在 1 2,2 上的值域是 1 2,2 , 又由(1)知 f(x)在 1 2,2 上是单调增函数, f 1 2 1 2,f(2)2,易得 a 2 5. 变式 2、试讨论函数 f(x) ax x21(a0)在(0,)上的单调性,并证明你的结论 【解析】 (方法 1)设 x1, x2(0, )且 x1x2, 则 f(x1)f(x2) ax1 x211 ax2 x221 ax1(x221)ax2(x211) (x211)(x2 21) ax1x22x1x2x21x2 (x211)(x2 21) a(x2

15、x1)(x1x21) (x211)(x2 21) . x1x2,x2x10,又 a0,(x2 11)(x 2 21)0. 当 x1,x2(0,1)时,x1x210, 从而 a(x2x1)(x1x21) (x211)(x2 21) 0,即 f(x1)f(x2)0f(x1)0, 第 10 页 / 共 18 页 从而 a(x2x1)(x1x21) (x211)(x2 21) 0,即 f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2),此时 f(x) ax x21 (a0)单调递减 函数 f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,)上为减函数 (方法 2)f(x) a(x21)ax 2x (x21)2 a(1x

16、2) (x21)2 a(1x)(1x) (x21)2 .a0,x(0,), 由 f(x) a(1x)(1x) (x21)2 0,解得 0x1, 由 f(x) a(1x)(1x) (x21)2 1. 函数 f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,)上为减函数 方法总结: 1. 判断函数的单调性,通常的方法有: (1)定义法; (2)图像法; (3)利用常见函数的单调 性; (4)导数法.而要证明一个函数的单调性,基本方法是利用单调性定义或导数法. 2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性,其基本步骤如下: 取值 作差 变形 确定符号 得出结论 其中,变形是十分重要的一步,其目的是使得变形后的式

17、子易于判断符号,常用的方法是(1)分解因式;(2) 配方;(3)通分约分等 考点四 函数单调性的应用 例 4、已知函数 f(x) (12a)x3a,x1, 2x1,x1 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 0, 1 2 【解析】:当 x1 时,f(x)2x11, 函数 f(x) (12a)x3a,x1, 2x1,x1 的值域为 R, 当 x1 时,(12a)x3a 必须取遍(,1)内的所有实数, 则 12a0, 12a3a1,解得 0a 1 2. 变式 1、 (2019 安徽皖南八校第三次联考)已知函数 f(x) log2(x1),x1, 1,x1, 则满足 f(2x1)f(3

18、x2)的实 数 x 的取值范围是( ) A(,0 B(3,) 第 11 页 / 共 18 页 C1,3) D(0,1) 【答案】B 【解析】 法一:由 f(x) log2(x1),x1, 1,x1 可得当 x1 时,f(x)1,当 x1 时,函数 f(x)在1,) 上单调递增,且 f(1)log221, 要使得 f(2x1)f(3x2),则 2x13x2, 3x21, 解得 x3, 即不等式 f(2x1)f(3x2)的解集为(3,),故选 B. 法二: 当x1时, 函数f(x)在1, )上单调递增, 且f(x)f(1)1, 要使f(2x1)f(3x2)成立, 需 2x11, 2x13x2 或

19、2x11, 3x21,解得 x3.故选 B. 变式 2、已知函数 f(x)是定义在区间0,)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足 f(2x1)f 1 3的 x 的取值范围是( ) A. 1 3, 2 3 B. 1 3, 2 3 C. 1 2, 2 3 D. 1 2, 2 3 【答案】D 【解析】 因为函数 f(x)是定义在区间0, )上的增函数,满足 f(2x1)f 1 3.所以 02x1 1 3,解得 1 2x 2 3. 故选 D. 变式 3、如果函数 f(x) (2a)x1,x0 成立,那么 a 的 取值范围是_. 【答案】 3 2,2 【解析】对任意 x1x2,都有 f(x1)f(x2

20、) x1x2 0, 所以 yf(x)在(,)上是增函数. 所以 2a0, a1, (2a) 11a, 解得 3 2a2. 第 12 页 / 共 18 页 故实数 a 的取值范围是 3 2,2 . 变式 4、 【2019 年天津理科 06】已知 alog52,blog0.50.2,c0.50.2,则 a,b,c 的大小关系为( ) Aacb Babc Cbca Dcab 【答案】A 【解析】由题意,可知: alog521, blog0.50.2log25log242 c0.50.21, b 最大,a、c 都小于 1 alog52,c0.50.2 而 log25log242 , ac, acb 故

21、选:A 方法总结 1.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式,其实质是函数单调性的逆用,由条件脱去“f”. 3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是:根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得 到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 五、优化提升与真题演练 1、 【2019 年新课标 1 理科 03】已知 alog20.2,b20.2,c0.20.3,则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca 【答案】B 第 13 页 / 共 18 页 【解析】:alog20.2log210, b

22、20.2201, 00.20.30.201, c0.20.3(0,1) , acb, 故选:B 2、 【2017 年新课标 1 理科 05】函数 f(x)在(,+)单调递减,且为奇函数若 f(1)1,则满 足1f(x2)1 的 x 的取值范围是( ) A2,2 B1,1 C0,4 D1,3 【答案】D 【解析】函数 f(x)为奇函数 若 f(1)1,则 f(1)1, 又函数 f(x)在(,+)单调递减,1f(x2)1, f(1)f(x2)f(1) , 1x21, 解得:x1,3, 故选:D 3、已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f 1 x f(1)的实数 x 的取值范围是( ) A

23、(1,1) B(0,1) C(1,0)(0,1) D(,1)(1,) 【答案】C 【解析】 (1)由 f(x)为 R 上的减函数且 f 1 x 1, x0, 即 |x|1, x0. 所以1x0 或 0x0, 解得 a 1 3, a 1 8, a0, 所以 a 1 8, 1 3. 9、定义在2,2上的函数 f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0,x1x2,且 f(a2a)f(2a2),则实数 a 的取值范 围为_ 【答案】0,1) 【解析】因为函数 f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0,x1x2,所以函数在2,2上单调递增, 所以22a2a2a2, 解得 0a0, 2a2,即

24、2a210, a1, 即 a1. 11、设函数 f(x) x 24x,x4, log2x,x4. 若函数 yf(x)在区间(a,a1)上单调递增,则实数 a 的取 值范围是_. 【答案】(,14,) 【解析】作函数 f(x)的图象如图所示, 由图象可知 f(x)在(a,a1)上单调递增,需满足 a4 或 a12,即 a1 或 a4. 12、已知 f(x) x xa(xa) (1)若 a2,试证 f(x)在(,2)内单调递增; (2)若 a0 且 f(x)在(1,)内单调递减,求 a 的取值范围 【解析】:(1)证明:当 a2 时,f(x) x x2. 任取 x1,x2(,2),且 x1x2, 则 f(x1)f(x2 ) x1 x12 x2 x22 2(x1x2) (x12)(x22). 因为(x12)(x22)0,x1x20, 所以 f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2), 所以 f(x)在(,2)内单调递增 (2)任取 x1,x2(1,),且 x1x2, 则 f(x1)f(x2 ) x1 x1a x2 x2a a(x2x1) (x1a)(x2a). 第 18 页 / 共 18 页 因为 a0,x2x10,又由题意知 f(x1)f(x2)0, 所以(x1a)(x2a)0 恒成立,所以 a1. 所以 0a1. 所以 a 的取值范围为(0,1