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第03讲 不等式及性质(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 3 讲:不等式及性质讲:不等式及性质 一、课程标准 1、通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系, 2、了解不等式(组)的实际背景 3、掌握不等式的性质及应用 二、基础知识回顾 1、两个实数比较大小的依据 (1)ab0ab. (2)ab0ab. (3)ab0ab. 2、不等式的性质 (1)对称性:abbb,bcac; (3)可加性:abacbc;ab,cdacbd; (4)可乘性:ab,c0acbc; ab0,cd0acbd; cb0anbn(nN,n1); (6)可开方性:ab0na n b(nN,n2) 3、常见的结论 (1)ab,

2、ab0 1 a 1 b. (2)a0b 1 ab0,0c b d. (4)0axb 或 axb0 1 b 1 xb0,m0,则 (1) b a bm am(bm0) 第 2 页 / 共 10 页 (2) a b am bm; a b0) 三、自主热身、归纳总结 1、若 a ln 2 2,b ln 3 3,则 a_b(填“”或“”) 【答案】 【解析】 :易知 a,b 都是正数, b a 2ln 3 3ln 2log891,所以 ba. 2、已知1x4,2y3,则 xy 的取值范围是_,3x2y 的取值范围是_ 【答案】 :(4,2) (1,18) 【解析】1x4,2y3,3y2, 4xy2.

3、由1x4,2y3,得33x12,42y6, 13x2yb,则 ac2bc2 B若 ab,cd,则 acbd C若 a|b|,则 a2b2 D若 ab,则 1 a1,31,而 23|b|知 a0,所以 a2b2,故选 C 4、设 ab1,c c b;a cloga(bc) 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 第 3 页 / 共 10 页 【答案】D 【解析】由不等式性质及 ab1,知 1 a 1 b, 又 c c b,正确; 构造函数 yxc, cb1,acb1,cbc1, logb(ac)loga(ac)loga(bc),正确 5、(多选)设 ba0,cR,则下列不等式中正确的是(

4、 ) Aa 1 2b 1 2 B. 1 ac 1 bc C. a2 b2 a b Dac2bc2 【答案】ABC 【解析】因为 yx 1 2在(0,)上是增函数,所以 a 1 2b 1 2.因为 y 1 xc 在(0,)上是减函数,所以 1 ac 1 bc.因为 a2 b2 a b 2ba b2b0,所以 a2 b2 a b.当 c0 时,ac 2bc2,所以 D 不成立故选 A、B、C. 四、例题选讲 考点 1、不等式的性质 例 1、若 1 a 1 b0,给出下列不等式: 1 ab 1 ab;|a|b0;a 1 ab 1 b;ln a 2ln b2.其中正确的 不等式是( ) A. B. C

5、. D. 【答案】 C 【解析】方法一 因为 1 a 1 b0,故可取 a1,b2. 显然|a|b1210,所以错误;因为 ln a2ln(1)20,ln b2ln(2)2ln 40,所以错误. 综上所述,可排除 A,B,D. 方法二 由 1 a 1 b0,可知 ba0.中,因为 ab0,ab0,所以 1 ab0, 1 ab0.故有 1 ab 1 ab,即 正确; 第 4 页 / 共 10 页 中,因为 ba0,所以ba0.故b|a|,即|a|b0,故错误; 中,因为 ba0,又 1 a 1 b0,则 1 a 1 b0, 所以 a 1 ab 1 b,故正确; 中,因为 ba0,根据 yx2在(

6、,0)上为减函数,可得 b2a20,而 yln x 在定义域(0,)上 为增函数,所以 ln b2ln a2,故错误.由以上分析,知正确. 变式 1、设, ,a b c为实数,且0ab,则下列不等式正确的是( ) A. 11 ab B. 22 acbc C. ba ab D. 22 aabb 【答案】D 【解析】对于 A,令 11 1 2,1,1 2 ab ab ,故 A 错误; 对于 B,当0c =时,则 22 0acbc,故 B 错误; 对于 C,则 11 ab ,1,2ba ,则 ba ab ,故 C 错误; 对于 D, 2 0,abaab 且 2 abb,故 D 正确,故选 D。 变式

7、 2、已知 x,yR,且 xy0,则( ) A 1 x 1 y0 Bsinxsiny0 C 1 2 x 1 2 y0 【答案】 C 【解析】 函数 y 1 2 x 在(0,)上为减函数,当 xy0 时, 1 2 x 1 2 y,即 1 2 x 1 2 yy0 1 x 1 y 1 x 1 yy0 时,不能比较 sinx 与 siny 的大小,故 B 错误;xy0 xy1ln (xy)0ln xln y0,故 D 错误 方法总结:判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式 的性质,常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:不等式两边都乘以一个代数式时,考察所

8、乘的代 数式是正数、 负数或 0; 不等式左边是正数, 右边是负数, 当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变; 不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等. 考点 2、结合不等式比较大小 例 2、设 ab0,试比较 a2b2 a2b2与 ab ab的大小 第 5 页 / 共 10 页 解法一(作差法): a2b2 a2b2 ab ab 2222 22 abababab abab 2 22 2222 2 ababab ab ab abababab 因为 ab0,所以 ab0,ab0,2ab0 所以 22 2ab ab abab 0,所以 a2b2 a2b2 ab ab 解

9、法二(作商法): 因为 ab0,所以 a2b2 a2b20, ab ab0 所以 a2b2 a2b2 ab ab 2 22 ab ab a2b22ab a2b2 1 2ab a2b21 所以 a2b2 a2b2 ab ab 变式 1、已知等比数列an中,a10,q0,前 n 项和为 Sn,则 S3 a3与 S5 a5的大小关系为_ 【答案】 : S3 a3 S5 a5 【解析】 :当 q1 时, S3 a33, S5 a55,所以 S3 a3 S5 a5. 当 q0 且 q1 时, S3 a3 S5 a5 a11q3 a1q21q a11q5 a1q41q q21q31q5 q41q q1 q

10、4 0, 所以 S3 a3 S5 a5.综上可知 S3 a3 S5 a5. 变式 2、设 0x0 且 a1,比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小 解法一:当 a1 时,由 0x1 知, loga(1x)0, |loga(1x)|loga(1x)| loga(1x)loga(1x)loga(1x2), 01x21, 第 6 页 / 共 10 页 loga(1x2)0, 故|loga(1x)|loga(1x)| 当 0a|loga(1x)| 解法二(平方作差): |loga(1x)|2|loga(1x)|2 loga(1x)2loga(1x)2 loga(1x2) loga 1x

11、1x loga(1x2) loga 1 2x 1x0 |loga(1x)|2|loga(1x)|2, 故|loga(1x)|loga(1x)| 变式 3、已知奇函数在上是增函数,若,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意,为奇函数,则, 又由, 又由在上是增函数, 则有,故选 D。 方法总结:比较大小的方法 (1)作差法,其步骤:作差变形判断差与 0 的大小得出结论 (2)作商法,其步骤:作商变形判断商与 1 的大小得出结论 (3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小 考点 3、运用不等式求代数式的取值范围 例 3、设 f(x)ax2bx,若 1f

12、(1)2,2f(1)4,则 f(2)的取值范围是_. 【答案】5,10 第 7 页 / 共 10 页 【解析】方法一 设 f(2)mf(1)nf(1)(m,n 为待定系数),则 4a2bm(ab)n(ab), 即 4a2b(mn)a(nm)b. 于是得 mn4, nm2,解得 m3, n1. f(2)3f(1)f(1). 又1f(1)2,2f(1)4. 53f(1)f(1)10, 故 5f(2)10. 变式、若 2 2,则 的取值范围是_ 【答案】(,0) 【解析】由 2 2, 2 2,得0. 方法总结:利用不等式性质求某些代数式的范围时,一般式利用整体的思想,通过一次性不等式的关系运 算求得

13、整体范围。 五、优化提升与真题演练 1、a,bR,ab 和 1 a 1 b同时成立的条件是_ 【答案】a0b 【解析】若 ab0,由 ab 两边同除以 ab 得, 1 b 1 a,即 1 a 1 b;若 ab0,则 1 a 1 b. 所以 ab 和 1 a 1 b同时成立的条件是 a0b. 2、已知1 1xy ,13xy,则 1 8 2 y x 的取值范围是 【答案】 7 2,2 【解析】令3xys xyt xyst xst y 则 3 1 st st , 1 2 s t , 第 8 页 / 共 10 页 又11xy , 13xy, 226xy 得137xy 则 37 1 822,2 2 y

14、xx y 3、若 1 a 1 b0,则下列结论不正确的是( ) Aa2b2 Babb2 Cab|ab| 【答案】D 【解析】 1 a 1 b0,baa2,abb2,ab0,A,B,C 均正确bab1,则下列不等式成立的是( ) Aaln bbln a Baln bbln a Caebbea 【答案】 C 【解析】 观察 A,B 两项,实际上是在比较 ln b b和 ln a a的大小,引入函数 y ln x x,x1则 y 1ln x x2 ,可 见函数 y ln x x在(1,e)上单调递增,在(e,)上单调递减函数 y ln x x在(1,)上不单调,所以函数在 xa和xb处的函数值无法比

15、较大小 对于C, D两项, 引入函数f(x) ex x, x1, 则f(x) xexex x2 2 1 x xe x 0, 所以函数 f(x) ex x在(1,)上单调递增,又因为 ab1,所以 f(a)f(b),即 ea a eb b,所以 ae bbea故选 C 5、(2018 全国卷)设 alog0.20.3,blog20.3,则( ) Aabab0 Babab0 Cab0ab Dab0ab 【答案】B 【解析】解法一:alog0.20.3log0.210,blog20.3log210,ab0,排除 C. 第 9 页 / 共 10 页 0log0.20.3log0.20.21,log20

16、.3log20.51,即 0a1,b1,ab0,排除 D. b a log20.3 log0.20.3 lg0.2 lg2log20.2, b b alog20.3log20.2log2 3 21, b1 b aabab,排除 A.故选 B. 解法二:易知 0a1,b1,ab0,ab0, 1 a 1 blog0.30.2log0.32log0.30.41,即 ab ab1, abab,abab0,故选 B. 6、(2017 山东卷)若 ab0,且 ab1,则下列不等式成立的是( ) Aa 1 b b 2alog2(ab) B. b 2alog2(ab)a 1 b Ca 1 blog2(ab)

17、b 2a Dlog2(ab)a 1 b b 2a 【答案】B 【解析】特值法:令 a2,b 1 2,可排除 A,C,D.故选 B. 7、(2016 北京卷)已知 x,yR,且 xy0,则( ) A. 1 x 1 y0 Bsinxsiny0 C. 1 2 x 1 2 y0 Dlnxlny0 【答案】C 【解析】函数 y 1 2 x在(0,)上为减函数,当 xy0 时, 1 2 x 1 2 y,即 1 2 x 1 2 y0,故 C 正确; 函数 y 1 x在(0,)上为减函数, 由 xy0 1 x 1 y 1 x 1 y0,故 A 错误; 函数 ysinx 在(0,)上不单调, 当 xy0 时,不能比较 sinx 与 siny 的大小,故 B 错误; 当 x0 且 y0 时,lnxlny0lnxy0 xy1,而 xy0A/xy1,故 D 错误 第 10 页 / 共 10 页