1、 第 1 页 / 共 14 页 第第 6 讲：函数的概念与运算讲：函数的概念与运算 一、课程标准 1.通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学会用集合与对应的语言来刻画函数， 体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 2.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 二、基础知识回顾 1函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫 做函数
2、值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系 (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等 的依据 2函数的三种表示法 解析法 图象法 列表法 就是把变量 x，y 之间的关系 用一个关系式 yf(x)来表示， 通过关系式可以由 x 的值求 出 y 的值. 就是把 x，y 之间的关系绘制 成图象， 图象上每个点的坐标 就是相应的变量 x，y 的值. 就是将变量 x，y 的取值列成 表格， 由表格直接反映出两者 的关系. 3分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的
3、函数通常叫做分 段函数 三、自主热身、归纳总结 1、集合 Ax|1x2，Bx|1x4，有以下 4 个对应法则： A. f：xyx2 B. f：xy3x5 C. f：xyx4 D. f：xy4x2 其中能构成从 A 到 B 的函数的是( ) 第 2 页 / 共 14 页 【答案】A 【解析】 按函数的定义判断，A 中的对应能构成从 A 到 B 的函数；B 中若 x1，则 y2B；C 中若 x 2，则 y6B；D 中若 x2，则 y0B，即 B、C、D 中的对应不能构成从 A 到 B 的函数故选 A. 2、下列各组函数中，表示同一函数的是( ) Af(x)eln x，g(x)x Bf(x) x24
4、 x2，g(x)x2 Cf(x) sin 2x 2cos x，g(x)sin x Df(x)|x|，g(x) x2 【答案】D 【解析】A，B，C 的定义域不同，所以答案为 D. 3、已知 2 (21)4fxx，则下列结论正确的是( ) Af（3） 9 B( 3)4f C 2 ( )f xx D 2 ( )(1)f xx 【答案】BD 【解析】 2 (21)(21)2(21) 1fxxx，故 2 ( )21f xxx，故选项C错误，选项D正确； f（3）16 ， ( 3)4f ，故选项A错误，选项B正确 4、已知函数 f(x) x 1 x2，x2， x22，x2， 则 f(f(1)( ) A
5、1 2 B2 C4 D11 【答案】C 【解析】因为 f(1)1223，所以 f(f(1)f(3)3 1 324.故选 C. 5、已知 f(x) 1 3 x，x0， log3x，x0， 则 f f 1 9 _. 【答案】9 【解析】f 1 9log3 1 92， f f 1 9 f(2) 1 3 29. 第 3 页 / 共 14 页 6、(2019 南京三模）若函数 f(x) 2x， x0 f(x2)，x0，则 f(log23) 【答案】 3 4 【解析】因为 1 2 log 32，所以 f(log23)f(log232) 2 2 log 3 log 3 2 2 23 2 24 . 7、已知
6、f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(1)_ 【答案】9 【解析】 设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即 ax 5ab2x17 不论 x 为何值都成立 a2, 517,ba ，解得 2, 7, a b f(x)2x7，从而得 f(1)9. 7、函数 yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的 x 值与 之对应的 y 值的范围是_ 【答案】3，02，3 1，5 1，2)(4，5 【解析】观察图像结合函数的概念。 四、例题选讲 考点一、函数的概念 例 1 (1)已知 A
7、1，2，3，k，B4，7，a4，a23a，aN*，kN*，xA，yB，f：xy3x1 是从定义域 A 到值域 B 的一个函数，求 a，k 的值； (2)下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有( ) A ( )f xx 与 2 ( )g xx B ( ) |1|f tt 与 ( ) |1|g xx C ( )f xx 与 2 ( )log 2xg x D 2 1 ( ) 1 x f x x 与 ( )1g xx 【答案】BC 第 4 页 / 共 14 页 【解答】(1)(定义法)由对应法则 14，27，310，又 k3k1，故 a23a10(a410 舍去)，解得 a 2 或 a5(舍去)
8、，故 3k1a416，解得 k5.a2，k5.【分析】根据两个函数的定义域相同，对 应关系也相同，即可判断是相同函数 （2）对于A，函数 ( )f xx 与 2 ( )|g xxx的解析式不同，表示相同函数； 对于B，函数 ( ) |1|f tt 的定义域为R， ( ) |1|g xx 的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相 同函数； 对于C，函数 ( )f xx 的定义域为R， 2 ( )log 2g x x x的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是 相同函数； 对于D，函数 2 1 ( )1 1 x f xx x 的定义域为(，1) ( 1 ， )，( )1g xx 的定义域
9、为R，定义域不 同，不是相同函数 故选：BC 变式 1、下列各组函数中，表示同一函数的是_. f(x)|x|，g(x) x2； f(x) x2，g(x)( x)2； f(x) x21 x1，g(x)x1； f(x) x1 x1，g(x) x21. 【答案】 【解答】 (1)由一个变量 x 仅有一个 f(x)与之对应，得不是函数图象.故正确. (2)中，g(x)|x|，f(x)g(x). 中，f(x)|x|(xR)，g(x)x (x0)， 两函数的定义域不同. 中，f(x)x1 (x1)，g(x)x1(xR)， 两函数的定义域不同. 中，f(x) x1 x1(x10 且 x10)，f(x)的定义
10、域为x|x1； g(x) x21(x210)， g(x)的定义域为x|x1 或 x1. 两函数的定义域不同.故只有符合. 第 5 页 / 共 14 页 变式 2、已知集合 Px|0 x4，Qy|0y2，下列从 P 到 Q 的各对应关系 f 不是函数的是_(填 序号) f：xy 1 2x；f：xy 1 3x；f：xy 2 3x；f：xy x. 【答案】 ： 【解答】 ：对于，因为当 x4 时，y 2 3 4 8 3Q，所以不是函数 方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质要判定一个对应是不是从定 义域 A 到值域 B 的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然
11、； (2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数， 而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数 考点二、函数的解析式 例 2、(1)已知 f 2 x1 lg x，求 f(x)的解析式； (2)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0，f(x1)f(x)x1，求 f(x)的解析式； (3)已知函数 f(x)满足 f(x)2f(x)2x，求 f(x)的解析式 【解答】 (1)(换元法)令 2 x1t，得 x 2 t1， 代入得 f(t)lg 2 t1，又 x0，所以 t1， 故 f(x)的解析式是 f(x)lg 2 x1， x(1，) (2
12、)(待定系数法)设 f(x)ax2bxc(a0)， 由 f(0)0，知 c0，f(x)ax2bx， 又由 f(x1)f(x)x1， 得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1， 即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1， 所以 2abb1， ab1， 解得 ab 1 2. 第 6 页 / 共 14 页 所以 f(x) 1 2x 21 2x，xR. (3)(解方程组法)由 f(x)2f(x)2x， 得 f(x)2f(x)2x， 2， 得 3f(x)2x12x. 即 f(x) 2x12x 3 . 故 f(x)的解析式是 f(x) 2x12x 3 ，xR. 变式 1、已知 f(x)是二次函数，且
13、f(0)0，f(x1)f(x)x1，求 f(x)的解析式 【答案】f(x) 1 2x 21 2x， 【解析】设 f(x)ax2bxc(a0)， 由 f(0)0，知 c0，f(x)ax2bx， 又由 f(x1)f(x)x1， 得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1， 即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1， 所以 2abb1， ab1， 解得 ab 1 2. 所以 f(x) 1 2x 21 2x，xR. 变式 2、若函数 f（x）对于任意实数 x 恒有 f（x）2f（x）3x1，则 f（x）等于（ ） Ax+1 Bx1 C2x+1 D3x+3 【答案】A 【解析】函数 f（x）对于任意实
14、数 x 恒有 f（x）2f（x）3x1， 令 xx，则：f（x）2f（x）3（x）1 则：， 解方程组得：f（x）x+1 故选：A 变式 3、如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 上有一点 P，沿着折线 BCDA 由 B 点(起点)向 A 点(终点)移动， 第 7 页 / 共 14 页 设点 P 移动的路程为 x，ABP 的面积为 yf(x) (1)求ABP 的面积与点 P 移动的路程间的函数关系式； (2)作出函数的图像，并根据图像求 y 的最大值 【解析】 (1)考虑到点 P 在正方形 ABCD 四边上移动时ABP 的面积 y 与路程 x 的解析式不同，应分段进 行考虑，首先，这个函数的
15、定义域为(0，12 当 0 x4 时，Sf(x) 1 2 4 x2x； 当 4x8 时，Sf(x)8； 当 8x12 时，Sf(x) 1 2 4 (12x)2(12x)242x. 这个函数的解析式为 f(x) 2x,(0,4 8,(4,8 242 ,(8,12 x x x x (2)作出其图像如图所示，由图像可知，f(x)max8.y 的最大值为 8. 方法总结：函数解析式的常见求法 函数解析式的求法主要有以下几种： (1)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (2)配凑法：由已知条件 f(g(x)f(x)，可将 f(x)改写成关于 g(x)的表达
16、式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解 析式； (3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数 f(x)可设为 f(x) ax2bxc(a0)，其中 a，b，c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出 a，b，c 即可 (4)解方程组法：已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还有其他未知量，如 f 1 x(或 f(x) 第 8 页 / 共 14 页 等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x) 考点三 分段函数 例 3、（1）已知函数 f(x) x2 x3，x1， lg（x21），x0， 若
17、f(a1) 1 2，则实数 a_ （4） 、(2018 南京、盐城、连云港、徐州二模）已知函数 f(x) 1 2x1， x0， x12， x0， 则不等式 f(x)1 的 解集是_ 【答案】（1）0 2 23； （2）6（3） log23（4） 4,2 【解析】（1）f(3)lg(3)21lg 101， f(f(3)f(1)0， 当 x1 时，f(x)x 2 x32 23，当且仅当 x 2时，取等号，此时 f(x)min2 230； 当 x0，即 a1 时，f(a1)2a11 1 2， 解得 alog23. 第 9 页 / 共 14 页 （4）当 x0 时，不等式 f(x)1 可以化为 1 2
18、x11， 解之得 x4，此时4x0；当 x0 时，不等式 f(x)1 可以化为(x1)21， 解之得 02， 若 f(2m)f(2m)，则 m 的值为_ (2)设函数 f(x) x 3x 1,1 2 ,1 x x ， ， 则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是 ； 【答案】（1）m 8 3.（2）a 2 3. 【解析】 (1)11. 8 或 8 3 当 m0 时，2m2，所以 3(2m)m(2m)2m，所以 m8； 当 m2,2m2，所以 3(2m)m(2m)2m，所以 m 8 3. (2)由 f(f(a)2f(a)，得 f(a)1.当 a1 时，有 3a11，a 2 3， 2 3
19、a0， 2x，x0， 若 f(a) 1 2，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 1， 3 3 【解析】当 a0 时，令 2a 1 2，解得10 时，令a 1 2，解得 0a0， 则满足 f(x1)f(2x)的 x 的取值范围是( ) A(，1 B(0，) C(1,0) D(，0) 【答案】D 【解析】 方法一：当 x10， 2x0， 即 x1 时，f(x1)f(2x)即为 2(x1)22x，即(x1)2x， 解得 x0 时，不等式组无解 当 x10， 2x0， 即1x0 时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0， 2x0， 即 x0 时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意 综上，不等式
20、 f(x1)0， 函数 f(x)的图象如图所示 1 3 log 1 3 log 第 12 页 / 共 14 页 结合图象知，要使 f(x1)f(2x)， 则需 x10， 2x0， 2xx1 或 x10， 2x0， x0，故选 D. 4、(2017 山东卷)设 ,01 21 ,x1 xx f x x ，若 f(a)f(a1)，则 f 1 a( ) A2 B4 C6 D8 【答案】C 【解析】由已知得 0a1，a11， f(a)f(a1)， a2(a11)， 解得 a 1 4，f 1 af(4)2 (41)6. 5、德国数学家狄里克雷(Dirichlet，PeterGustavLejeune，18
21、051859)在 1837 年时提出：“如果对于x的每 一个值，y总有一个完全确定的值与之对应， 那么y是x的函数”这个定义较清楚地说明了函数的内涵 只 要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是 用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数 ( )D x，即：当自变量取有理数时，函数值为 1；当自变量取 无理数时，函数值为 0下列关于狄里克雷函数 ( )D x的性质表述正确的是( ) A ( )0D B ( )D x的值域为0，1 C ( )D x的图象关于直线1x 对称 D ( )D x的图象关于直线2x 对称 【分析】结合已知定义可写出函数
22、解析式，然后结合函数的性质即可判断 【解答】解：由题意可得 0, 1, x D x xQ 为无理数 ， 由于为无理数，则 ( )0D ，故A正确； 第 13 页 / 共 14 页 结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域0，1，故B正确； 结合函数可知，当x Q 时， ( )1D x 关于1x ，2x 都对称，当x为无理数时， ( )0D x 关于1x ，2x 都对称 故选：ABCD 6、(2018 江苏卷)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x) cos x 2，0 x2， x 1 2，2x0， 则 f(f(15)的值为_ 【答案】 2 2 【解析】
23、f(x4)f(x)，函数 f(x)的周期为 4， f(15)f(1) 1 2，f 1 2cos 4 2 2， f(f(15)f 1 2 2 2. 7、 已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(1)_ 【答案】9 【解析】 设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即 ax 5ab2x17 不论 x 为何值都成立 a2, 517,ba ，解得 2, 7, a b f(x)2x7，从而得 f(1)9. 8、 根据下列条件，求函数的解析式： (1)已知 f( x1)x2 x； (2)若 f(x)对于任意实数 x
24、 恒有 2f(x)f(x)3x1； (3)已知 f(0)1，对任意的实数 x，y 都有 f(xy)f(x)y(2xy1) 【解】 (1)(方法 1)(换元法)：设 t x1，则 x(t1)2(t1)代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t22t 12t2t21.f(x)x21(x1) (方法 2)(配凑法)：x2 x( x)22 x11( x1)21， f( x1)( x1)21( x11)，即 f(x)x21(x1) 第 14 页 / 共 14 页 (2)用x 换 x 得 2f(x)f(x)3x1，与原式联立消去 f(x)得 f(x)x1. (3)令 x0，得 f(y)f(0)y(y1)1y2y，f(y)y2y1，即 f(x)x2x1.