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第01讲 集合的概念与运算(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 11 页 第第 1 讲:集合的概念与运算讲:集合的概念与运算 一、一、课程标准课程标准 1、通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系 2、.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集了解全集与空集的含义 3、.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集 4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 二、二、基础知识回顾基础知识回顾 1、元素与集合、元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为和。 2、集合间的基本关系集合间的基本关系 (1)子

2、集:若对任意 xA,都有 xB,则 AB 或 BA。 (2)真子集:若 AB,且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A,则 AB 或 BA。 (3)相等:若 AB,且 BA,则 AB。 (4)空集的性质:是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 3、集合的基本运算、集合的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集,记作 AB,即 ABx|xA,且 xB (2)并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为 A 与 B 的并集,记作 AB, 即 ABx|xA,或 xB (3)补集:对于一个集合 A,由

3、全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补 集,简称为集合 A 的补集,记作UA,即UAx|xU,且 xA 4、集合的运算性质、集合的运算性质 (1)AAA,A,ABBA。 (2)AAA,AA,ABBA。ABABAABBUAUB (3)A(UA),A(UA)U,U(UA)A。 (4)U(AB)(UA)(UB),U(AB)(UA)(UB)。 第 2 页 / 共 11 页 5、相关结论:、相关结论: (1)若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集有 2n个,真子集有 2n1 个。 (2)不含任何元素的集合空集是任何集合 A 的子集,是任何非空集合 B

4、的真子集记作. 三、三、自主热身、归纳总结自主热身、归纳总结 1、已知集合 A1,3,5,7,B2,3,4,5,则 AB( ) A3 B5 C3,5 D1,2,3,4,5,7 【答案】C 【解析】 因为 AB1,3,5,72,3,4,53,5,故选 C. 2、已知全集 UR,Ax|x0,Bx|x1,则集合U(AB)( ) A.x|x0 B.x|x1 C.x|0 x1 D.x|0x1 【答案】D 【解析】 Ax|x0,Bx|x1, ABx|x0 或 x1,在数轴上表示如图. U(AB)x|0x1. 3、已知集合 Ax|x22x30,Bx|00,且 1A,则实数 a 的取值范围是_. 【答案】(,

5、1 第 3 页 / 共 11 页 【解析】1x|x22xa0, 1x|x22xa0, 即 12a0,a1. 6、 (多选题)已知全集UR,集合A,B满足A B ,则下列选项正确的有( ) AA BB BA BB C( ) UA B D () U AB 【答案】B、D 【解析】AB, ABA ,A BB ,( ) U C AB ,() U AC B , 7、 (多选题)已知集合 2A ,5), ( ,)Ba若AB ,则实数a的值可能是( ) A3 B1 C2 D5 【答案】 、A、B 【解答】解:AB, 2a, 四、四、例题选讲、变式突破例题选讲、变式突破 考点一考点一 集合的基本概念集合的基本

6、概念 例 1、已知集合 A xZ x1 x20 ,则集合 A 的子集的个数为( ) A 7 B 8 C 15 D16 【答案】B 【解析】 由 x1 x20, 可得(x1)(x2)0, 且 x2, 解得1x2.又 xZ, 可得 x1,0,1, A1,0,1 集合 A 的子集的个数为 238. 【变式 1】若集合 AxR|ax23x20中只有一个元素,则 a( ) A. 9 2 B. 9 8 C.0 D.0 或 9 8 【答案】D 【解析】若集合 A 中只有一个元素,则方程 ax23x20 只有一个实根或有两个相等实根. 当 a0 时,x 2 3,符合题意;当 a0 时,由 (3) 28a0,得

7、 a9 8, 所以 a 的取值为 0 或 9 8. 第 4 页 / 共 11 页 【变式 2】设 a,bR,集合1,ab,a 0, b a,b ,则 ba( ) A1 B1 C2 D2 【答案】选 C 【解析】因为1,ab,a 0, b a,b ,a0,所以 ab0,则 b a1,所以 a1,b1,所以 ba 2.故选 C. 【变式 3】已知 Px|2xk,xN,若集合 P 中恰有 3 个元素,则 k 的取值范围为_ 【答案】(5,6 【解析】因为 P 中恰有 3 个元素,所以 P3,4,5,故 k 的取值范围为 5k6. 方法总结: 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清

8、该集合是数集、点集,还是其他集合;然后 再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义。 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时, 要注意检验集合中的元素是否满足互异 性。特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性 考点 2、集合间的基本关系集合间的基本关系 例 2、已知集合 M x x k 4 4,kZ ,集合 N x x k 8 4,kZ ,则( ) AMN BMN CNM DMNM 【答案】B 【解析】由题意可知,M x x 2k4 8 4,kZ x x 2n 8 4,nZ , N x x 2k 8 4或x 2k1

9、8 4,kZ , 所以 MN,故选 B。 例 3、已知集合 Ax|2x7,Bx|m1x2m1,若 BA,则实数 m 的取值范围是_. 【答案】(,4 【解析】当 B时,有 m12m1,则 m2. 当 B时,若 BA,如图. 第 5 页 / 共 11 页 则 m12, 2m17, m12m1, 解得 2m4. 综上,m 的取值范围为(,4. 【变式】已知集合 Ax|1x3,Bx|mx0 时,因为 Ax|1x3 若 BA,在数轴上标出两集合,如图, 所以 m1, m3, mm. 所以 00,知 Bx|x3 或 x0, AB4,即 AB 中只有一个元素. 【变式 2】已知集合 Mx|4x2,Nx|x

10、2x60,则 MN( ) Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|2x2 Dx|2x3 【答案】C 【解析】方法一:因为 Nx|2x3,Mx|4x2,所以 MNx|2x2,故选 C. 方法二:由通解可得 Nx|2x0,则RA( ) Ax|1x2 Bx|1x2 Cx|x2 Dx|x1x|x2 【答案】B 【解析】方法一:Ax|(x2)(x1)0 x|x2,所以RAx|1x2,故选 B。 方法二:因为 Ax|x2x20,所以RAx|x2x20 x|1x2,故选 B。 【规律方法】集合运算的常用方法 若集合中的元素是离散的,常用 Venn 图求解; 若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点

11、的情况 例5、 设集合A0, 4, Bx|x22(a1)xa210, xR 若ABB, 则实数a的取值范围是_ 【答案】 (,11 【解析】因为 A0,4,ABB,所以 BA,分以下三种情况: 当 BA 时,B0,4,由此可知,0 和4 是方程 x22(a1)xa210 的两个根,由根与系数的 关系,得 4(a1) 24(a21)0, 2(a1)4, a210, 解得 a1; 当 B且 BA 时,B0或 B4, 并且 4(a1)24(a21)0, 解得 a1,此时 B0满足题意; 第 7 页 / 共 11 页 当 B时,4(a1)24(a21)0, 解得 a1。 综上所述,所求实数 a 的取值

12、范围是(,11。 【变式】已知集合 A1,2,Bx|x2mx10,xR,若 BA,则实数 m 的取值范围为_ 【答案】2,2) 【解析】 :若 B,则 m240,解得2m2. 若 1B,则 12m10, 解得 m2,此时 B1,符合题意; 若 2B,则 222m10, 解得 m 5 2,此时 B 2, 1 2,不合题意 综上所述,实数 m 的取值范围为2,2) 方法总结:利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到; 若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解 考点五:集合的新定义问题考点五:集合的

13、新定义问题 例 6、.若 xA,则 1 xA,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M 1,0, 1 2,2,3 的所有非空子集中具有伙 伴关系的集合的个数是( ) A.1 B.3 C.7 D.31 【答案】B 【解析】 : 具有伙伴关系的元素组是1, 1 2, 2, 所以具有伙伴关系的集合有 3 个: 1, 1 2,2 , 1, 1 2,2 . 【变式】 给定集合 A,若对于任意 a,bA,有 abA,且 abA,则称集合 A 为闭集合,给出如下 三个结论: 集合 A4,2,0,2,4为闭集合; 集合 An|n3k,kZ为闭集合; 若集合 A1,A2为闭集合,则 A1A2为闭集合 其中正确结论的序

14、号是_ 【答案】 第 8 页 / 共 11 页 【解析】 :中,4(2)6A,所以不正确;中,设 n1,n2A,n13k1,n23k2,k1,k2Z, 则 n1n2A,n1n2A,所以正确;中,令 A1n|n3k,kZ,A 2n|n 2k,kZ,则 A1, A2为闭集合,但 3k 2k(A1A2),故 A1A2不是闭集合,所以不正确 方法总结:正确理解新定义:耐心阅读,分析含义,准确提取信息是解决这类问题的前提,剥去新定义、 新法则、新运算的外表,利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合,是解决这类问 题的突破口。 五、优化提升与真题演练五、优化提升与真题演练 1、设集合 Ax

15、|x24x30,则 AB_. A. 3, 3 2 B. 3, 3 2 C. 1, 3 2 D. 3 2,3 【答案】D 【解析】易知 A(1,3),B 3 2, ,所以 AB 3 2,3 . 2、设全集 Ux|xN*,x6,集合 A1,3,B3,5,则U(AB)等于( ) A.1,4 B.1,5 C.2,5 D.2,4 【答案】D 【解析】 由题意得 AB1,33,51,3,5.又 U1,2,3,4,5,U(AB)2,4. 3、已知集合,则 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】因为,所以,故选 B。 4、若全集0,1, ,则 A B C D1, 【答案】B 2 2Axx x 5 |1

16、3 Bx x AB 2 0, 3 (,2)(0.) 2 ,2 3 0,2A 2 , 3 B ,2AB 第 9 页 / 共 11 页 【解析】全集0,1, , 则。 5、已知集合,则 ( ) A B C D 【答案】A 【解析】, 又,故选 A。 6、设集合 ,则(AC)B( ) A B C D 【答案】D 【解析】因为 AC1,2,故(AC)B1,2,3,4,故选 D。 7、已知集合 Ax|x10,B0,1,2,则 AB( ) A.0 B.1 C.1,2 D.0,1,2 【答案】C 【解析】由题意知,Ax|x1,则 AB1,2. 8、已知集合 M(x,y)|yf(x),若对于任意实数对(x1,

17、y1)M,都存在(x2,y2)M,使得 x1x2y1y20 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”给出下列四个集合: M x,y y 1 x ; M(x,y)|ylog2x; M(x,y)|yex2; M(x,y)|ysinx1 其中是“垂直对点集”的序号是( ) A B 2 1,0,1,2, |1ABx x AB 1,0,10,1 1,10,1,2 2 1,x 11x 11Bxx 1,0,1,2A 1,0,1AB 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R 22,3 1,2,31,2,3,4 第 10 页 / 共 11 页 C D 【答案】C 【解析】记 A(x1,y1),B(x2,

18、y2),则由 x1x2y1y20 得 OAOB.对于,对任意 AM,不存在 BM,使 得 OAOB.对于,当 A 为点(1,0)时,不存在 BM 满足题意对于,对任意 AM,过原点 O 可作 直线 OBOA,它们都与函数 yex2 及 ysinx1 的图象相交,即满足题意,故选 C。 9、 (多选题)已知 A 第一象限角, B 锐角, C 小于90的角,那么A、B、C关系是( ) AB AC BB CC CB AB DABC 【答案】B、C 【解析】 “小于90的角”和“第一象限角”都包含“锐角”, BC,BA BCC ,B AB ; “小于90的角“里边有”第一象限角”,从而B AC 10、

19、已知集合 A(x,y)|x,yR,且 x2y21,B(x,y)|x,yR,且 yx,则 AB 的元素个数为 _. 【答案】2 【解析】集合 A 表示圆心在原点的单位圆,集合 B 表示直线 yx,易知直线 yx 和圆 x2y21 相交,且 有 2 个交点,故 AB 中有 2 个元素. 11、.集合 Ax|x0,得 x0, B(,1)(0,), AB1,0). 12、 已知集合 AxR|x2|3, 集合 BxR|(xm)(x2)0, 且 AB(1, n), 则 mn_. 【答案】0 【解析】AxR|x2|3xR|5x1, 由 AB(1,n)可知 m1, 则 Bx|mx2,画出数轴,可得 m1,n1. 第 11 页 / 共 11 页 所以 mn0. 13(2019 年江苏高考) 、已知集合 1,0,1,6A , |0,Bx xxR,则AB _. 【答案】1,6. 【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 由题知,1,6AB .本题主要考查交集的运算,属于基础题. 14(2018 年江苏高考) 、.已知集合0,1,2,8A,1,1,6,8B ,那么AB_ 【答案】1,8. 【解析】根据交集定义ABx xAxB且求结果.由题设和交集的定义可知:1,8AB.