1、 第 1 页 / 共 11 页 第第 1 讲：集合的概念与运算讲：集合的概念与运算 一、一、课程标准课程标准 1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系 2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集了解全集与空集的含义 3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 二、二、基础知识回顾基础知识回顾 1、元素与集合、元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和。 2、集合间的基本关系集合间的基本关系 (1)子
2、集：若对任意 xA，都有 xB，则 AB 或 BA。 (2)真子集：若 AB，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则 AB 或 BA。 (3)相等：若 AB，且 BA，则 AB。 (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3、集合的基本运算、集合的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 AB，即 ABx|xA，且 xB (2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 AB， 即 ABx|xA，或 xB (3)补集：对于一个集合 A，由
3、全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补 集，简称为集合 A 的补集，记作UA，即UAx|xU，且 xA 4、集合的运算性质、集合的运算性质 (1)AAA，A，ABBA。 (2)AAA，AA，ABBA。ABABAABBUAUB (3)A(UA)，A(UA)U，U(UA)A。 （4）U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)。 第 2 页 / 共 11 页 5、相关结论：、相关结论： (1)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n个，真子集有 2n1 个。 (2)不含任何元素的集合空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B
4、的真子集记作. 三、三、自主热身、归纳总结自主热身、归纳总结 1、已知集合 A1,3,5,7，B2,3，4,5，则 AB( ) A3 B5 C3,5 D1,2,3,4,5,7 【答案】C 【解析】 因为 AB1,3,5,72,3,4,53,5，故选 C. 2、已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)( ) A.x|x0 B.x|x1 C.x|0 x1 D.x|0x1 【答案】D 【解析】 Ax|x0，Bx|x1， ABx|x0 或 x1，在数轴上表示如图. U(AB)x|0x1. 3、已知集合 Ax|x22x30，Bx|00，且 1A，则实数 a 的取值范围是_. 【答案】(，
5、1 第 3 页 / 共 11 页 【解析】1x|x22xa0， 1x|x22xa0， 即 12a0，a1. 6、 （多选题）已知全集UR，集合A，B满足A B ，则下列选项正确的有( ) AA BB BA BB C( ) UA B D () U AB 【答案】B、D 【解析】AB， ABA ，A BB ，( ) U C AB ，() U AC B ， 7、 （多选题）已知集合 2A ，5)， ( ,)Ba若AB ，则实数a的值可能是( ) A3 B1 C2 D5 【答案】 、A、B 【解答】解：AB， 2a， 四、四、例题选讲、变式突破例题选讲、变式突破 考点一考点一 集合的基本概念集合的基本
6、概念 例 1、已知集合 A xZ x1 x20 ，则集合 A 的子集的个数为( ) A 7 B 8 C 15 D16 【答案】B 【解析】 由 x1 x20， 可得(x1)(x2)0， 且 x2， 解得1x2.又 xZ， 可得 x1,0,1， A1,0,1 集合 A 的子集的个数为 238. 【变式 1】若集合 AxR|ax23x20中只有一个元素，则 a( ) A. 9 2 B. 9 8 C.0 D.0 或 9 8 【答案】D 【解析】若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax23x20 只有一个实根或有两个相等实根. 当 a0 时，x 2 3，符合题意；当 a0 时，由 (3) 28a0，得
7、 a9 8， 所以 a 的取值为 0 或 9 8. 第 4 页 / 共 11 页 【变式 2】设 a，bR，集合1，ab，a 0， b a，b ，则 ba( ) A1 B1 C2 D2 【答案】选 C 【解析】因为1，ab，a 0， b a，b ，a0，所以 ab0，则 b a1，所以 a1，b1，所以 ba 2.故选 C. 【变式 3】已知 Px|2xk，xN，若集合 P 中恰有 3 个元素，则 k 的取值范围为_ 【答案】(5,6 【解析】因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P3,4,5，故 k 的取值范围为 5k6. 方法总结： 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清
8、该集合是数集、点集，还是其他集合；然后 再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时， 要注意检验集合中的元素是否满足互异 性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性 考点 2、集合间的基本关系集合间的基本关系 例 2、已知集合 M x x k 4 4，kZ ，集合 N x x k 8 4，kZ ，则( ) AMN BMN CNM DMNM 【答案】B 【解析】由题意可知，M x x 2k4 8 4，kZ x x 2n 8 4，nZ ， N x x 2k 8 4或x 2k1
9、8 4，kZ ， 所以 MN，故选 B。 例 3、已知集合 Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围是_. 【答案】(，4 【解析】当 B时，有 m12m1，则 m2. 当 B时，若 BA，如图. 第 5 页 / 共 11 页 则 m12， 2m17， m12m1， 解得 2m4. 综上，m 的取值范围为(，4. 【变式】已知集合 Ax|1x3，Bx|mx0 时，因为 Ax|1x3 若 BA，在数轴上标出两集合，如图， 所以 m1， m3， mm. 所以 00，知 Bx|x3 或 x0， AB4，即 AB 中只有一个元素. 【变式 2】已知集合 Mx|4x2，Nx|x
10、2x60，则 MN( ) Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|2x2 Dx|2x3 【答案】C 【解析】方法一：因为 Nx|2x3，Mx|4x2，所以 MNx|2x2，故选 C. 方法二：由通解可得 Nx|2x0，则RA( ) Ax|1x2 Bx|1x2 Cx|x2 Dx|x1x|x2 【答案】B 【解析】方法一：Ax|(x2)(x1)0 x|x2，所以RAx|1x2，故选 B。 方法二：因为 Ax|x2x20，所以RAx|x2x20 x|1x2，故选 B。 【规律方法】集合运算的常用方法 若集合中的元素是离散的，常用 Venn 图求解； 若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点
11、的情况 例5、 设集合A0， 4， Bx|x22(a1)xa210， xR 若ABB， 则实数a的取值范围是_ 【答案】 (，11 【解析】因为 A0，4，ABB，所以 BA，分以下三种情况： 当 BA 时，B0，4，由此可知，0 和4 是方程 x22(a1)xa210 的两个根，由根与系数的 关系，得 4（a1） 24（a21）0， 2（a1）4， a210， 解得 a1； 当 B且 BA 时，B0或 B4， 并且 4(a1)24(a21)0， 解得 a1，此时 B0满足题意； 第 7 页 / 共 11 页 当 B时，4(a1)24(a21)0， 解得 a1。 综上所述，所求实数 a 的取值
12、范围是(，11。 【变式】已知集合 A1,2，Bx|x2mx10，xR，若 BA，则实数 m 的取值范围为_ 【答案】2,2) 【解析】 ：若 B，则 m240，解得2m2. 若 1B，则 12m10， 解得 m2，此时 B1，符合题意； 若 2B，则 222m10， 解得 m 5 2，此时 B 2， 1 2，不合题意 综上所述，实数 m 的取值范围为2,2) 方法总结：利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； 若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解 考点五：集合的新定义问题考点五：集合的
13、新定义问题 例 6、.若 xA，则 1 xA，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M 1，0， 1 2，2，3 的所有非空子集中具有伙 伴关系的集合的个数是( ) A.1 B.3 C.7 D.31 【答案】B 【解析】 ： 具有伙伴关系的元素组是1， 1 2， 2， 所以具有伙伴关系的集合有 3 个： 1， 1 2，2 ， 1， 1 2，2 . 【变式】 给定集合 A，若对于任意 a，bA，有 abA，且 abA，则称集合 A 为闭集合，给出如下 三个结论： 集合 A4，2,0,2,4为闭集合； 集合 An|n3k，kZ为闭集合； 若集合 A1，A2为闭集合，则 A1A2为闭集合 其中正确结论的序
14、号是_ 【答案】 第 8 页 / 共 11 页 【解析】 ：中，4(2)6A，所以不正确；中，设 n1，n2A，n13k1，n23k2，k1，k2Z， 则 n1n2A，n1n2A，所以正确；中，令 A1n|n3k，kZ，A 2n|n 2k，kZ，则 A1， A2为闭集合，但 3k 2k(A1A2)，故 A1A2不是闭集合，所以不正确 方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、 新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问 题的突破口。 五、优化提升与真题演练五、优化提升与真题演练 1、设集合 Ax
15、|x24x30，则 AB_. A. 3， 3 2 B. 3， 3 2 C. 1， 3 2 D. 3 2，3 【答案】D 【解析】易知 A(1，3)，B 3 2， ，所以 AB 3 2，3 . 2、设全集 Ux|xN*，x6，集合 A1，3，B3，5，则U(AB)等于( ) A.1，4 B.1，5 C.2，5 D.2，4 【答案】D 【解析】 由题意得 AB1，33，51，3，5.又 U1，2，3，4，5，U(AB)2，4. 3、已知集合，则 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】因为，所以，故选 B。 4、若全集0，1， ，则 A B C D1， 【答案】B 2 2Axx x 5 |1
16、3 Bx x AB 2 0, 3 (,2)(0.) 2 ,2 3 0,2A 2 , 3 B ,2AB 第 9 页 / 共 11 页 【解析】全集0，1， ， 则。 5、已知集合，则 （ ） A B C D 【答案】A 【解析】， 又，故选 A。 6、设集合 ，则(AC)B（ ） A B C D 【答案】D 【解析】因为 AC1，2，故(AC)B1，2，3，4，故选 D。 7、已知集合 Ax|x10，B0，1，2，则 AB( ) A.0 B.1 C.1，2 D.0，1，2 【答案】C 【解析】由题意知，Ax|x1，则 AB1，2. 8、已知集合 M(x，y)|yf(x)，若对于任意实数对(x1，
17、y1)M，都存在(x2，y2)M，使得 x1x2y1y20 成立，则称集合 M 是“垂直对点集”给出下列四个集合： M x，y y 1 x ； M(x，y)|ylog2x； M(x，y)|yex2； M(x，y)|ysinx1 其中是“垂直对点集”的序号是( ) A B 2 1,0,1,2, |1ABx x AB 1,0,10,1 1,10,1,2 2 1,x 11x 11Bxx 1,0,1,2A 1,0,1AB 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R 22,3 1,2,31,2,3,4 第 10 页 / 共 11 页 C D 【答案】C 【解析】记 A(x1，y1)，B(x2，
18、y2)，则由 x1x2y1y20 得 OAOB.对于，对任意 AM，不存在 BM，使 得 OAOB.对于，当 A 为点(1,0)时，不存在 BM 满足题意对于，对任意 AM，过原点 O 可作 直线 OBOA，它们都与函数 yex2 及 ysinx1 的图象相交，即满足题意，故选 C。 9、 （多选题）已知 A 第一象限角， B 锐角， C 小于90的角，那么A、B、C关系是( ) AB AC BB CC CB AB DABC 【答案】B、C 【解析】 “小于90的角”和“第一象限角”都包含“锐角”， BC，BA BCC ，B AB ； “小于90的角“里边有”第一象限角”，从而B AC 10、
19、已知集合 A(x，y)|x，yR，且 x2y21，B(x，y)|x，yR，且 yx，则 AB 的元素个数为 _. 【答案】2 【解析】集合 A 表示圆心在原点的单位圆，集合 B 表示直线 yx，易知直线 yx 和圆 x2y21 相交，且 有 2 个交点，故 AB 中有 2 个元素. 11、.集合 Ax|x0，得 x0， B(，1)(0，)， AB1，0). 12、 已知集合 AxR|x2|3， 集合 BxR|(xm)(x2)0， 且 AB(1， n)， 则 mn_. 【答案】0 【解析】AxR|x2|3xR|5x1， 由 AB(1，n)可知 m1， 则 Bx|mx2，画出数轴，可得 m1，n1. 第 11 页 / 共 11 页 所以 mn0. 13（2019 年江苏高考） 、已知集合 1,0,1,6A ， |0,Bx xxR，则AB _. 【答案】1,6. 【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 由题知，1,6AB .本题主要考查交集的运算，属于基础题. 14（2018 年江苏高考） 、.已知集合0,1,2,8A，1,1,6,8B ，那么AB_ 【答案】1，8. 【解析】根据交集定义ABx xAxB且求结果.由题设和交集的定义可知：1,8AB.