1、1 20202020 年年重庆市沙坪坝区重庆市沙坪坝区高三上期第一次月考高三上期第一次月考数学试题数学试题 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1设集合 Aln(1)y yx，B 42xy y ，则 AB A0，2) B(0，2) C0，2 D0，1) 2设 a，b(0，)，Aab，Bab，则 A，B 的大小关系是 AAB BAB CAB DAB 3已知直线 l 是曲线2yxx的切线，则 l 的方程不可能是 A5210 xy B4210 xy C13690 xy D9440 x
2、y 4中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴一般情况下，折扇可看作是 从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 S1，圆面中剩 余部分的面积为 S2，当 S1与 S2的比值为 51 2 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角 的弧度数为 A(35) B( 51) C( 51) D( 52) 5若函数 , 2 ( ) log (2), x a axa f x xxa （其中 a0，a1）存在零点，则实数 a 的取值范围是 A( 1 2 ，1)(1，3) B(1，3 C(2，3) D(2，3 6已知 02，函数( )sin()3cos()f xxx，对任意 xR，都有() 3 fx (
3、)f x，则的 值为 A 1 2 B1 C 3 2 D2 7函数( )2cossin2f xxx的一个单调减区间是 A( 4 ， 2 ) B(0， 6 ) C( 2 ，) D( 5 6 ，) 8设函数( )f x在 R 上存在导数( )fx，对任意的 xR，有( )()2cosf xfxx，且在0，)上有 ( )sinfxx ，则不等式( )()cossin 2 f xfxxx 的解集是 2 A(， 4 B 4 ，) C(， 6 D 6 ，) 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个 是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位
4、置上） 9已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin2BsinAsinC，则角 B 的值不可能是 A45 B60 C75 D90 10下列说法正确的是 A “ 4 x ”是“tan1x ”的充分不必要条件 B命题 p： “若 ab，则 am2bm2”的否定是真命题 C命题“ 0 xR， 0 0 1 2x x ”的否定形式是“x R， 1 2x x ” D 将函数( )cos2f xxx的图像向左平移 4 个单位长度得到( )g x的图像， 则( )g x 的图像关于点(0， 4 )对称 11在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限
5、维空间，并 构成一般不动点定理的基石， 布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔(L.E.J.Brouwer)， 简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数( )f x，存在一个点 0 x，使得 00 ()f xx，那么我们称该函 数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是 A( )2xf xx B 2 ( )3g xxx C 2 21, 1 ( ) 2, 1 xx f x xx D( )ln1f xx 12已知函数( )sincos cossin f xxx，其中x表示不超过实数 x 的最大整数，关于( )f x有下述四 个结论，正确的是 A( )f x的一个周期是2 B( )f x
6、是非奇非偶函数 C( )f x在(0，)上单调递减 D( )f x的最大值大于2 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13若幂函数( )f x过点(2，8)，则满足不等式(3)(1)f afa的实数 a 的取值范围是 14已知 a1，b1，则 loglog 216 ab ba 的最小值是 3 15化简：4cos50tan40 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2，cos2A5cos(BC)3，点 P 是ABC 的重心，且 AP 2 7 3 ，则 c 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答
7、题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知点 P(2，1)在角的终边上，且 02 （1）求值： 2sincos 4sincos ； （2）若 3 2 ，且 10 sin() 210 ，求 2 的值 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2sin ()3cos2 4 f xxx （1）当 x 4 ， 2 时，求( )f x的值域； （2）是否存在实数 t(2，)，使得( )f x在(2，t)上单调递增？若存在，求出 t 的取值范围，若不存 在，说明理由 19 （本小题满分 12 分） 已知 aR，函数( )1 lnf xax
8、x 在 x1 处取得极值 （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若对x (0，)，( )2f xbx恒成立，求实数 b 的最大值 20 （本小题满分 12 分） 已知函数( )1f xxax，其中 a0 4 （1）求关于 x 的不等式 2 ( )f x a 的解集； （2）若 1 2 a ，求 x0，m时，函数( )f x的最大值 21 （本小题满分 12 分） 重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首某 人在歌乐山修建了一座避暑山庄 O（如图） 为吸引游客，准备在门前两条夹角为 6 （即AOB）的小路之 间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰
9、淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长AB2 3且点 A，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为 M，且MABMBA 6 ，设OBA （1）将 OA，OB 用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在 M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即 OA，OB 长度） ，才 使得喷泉 M 与山庄 O 距离即OM值最大？ 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )sinln()f xxaxb，( )g x是( )f x的导函数 （1）若 a0，当 b1 时，函数( )g x在(，4)内有唯一的极小值，求 a 的取值范围； 5 （2）若 a1，1e 2 b ，试研究( )f x的零点个数
10、参考答案 20209 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1设集合 Aln(1)y yx，B 42xy y ，则 AB A0，2) B(0，2) C0，2 D0，1) 答案：A 解析：Aln(1)y yxR，B 42xy y 0，2)， AB0，2)，故选 A 2设 a，b(0，)，Aab，Bab，则 A，B 的大小关系是 AAB BAB CAB DAB 答案：B 解析： 2 222 ()20ABababab， A2B2，故 AB，故选 B 3已知直线 l 是曲线2yxx的切线
11、，则 l 的方程不可能是 A5210 xy B4210 xy C13690 xy D9440 xy 答案：B 解析： 1 22 2 y x ，故选 B 4中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴一般情况下，折扇可看作是 6 从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 S1，圆面中剩 余部分的面积为 S2，当 S1与 S2的比值为 51 2 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角 的弧度数为 A(35) B( 51) C( 51) D( 52) 答案：A 解析： 51 2(35) 51 2 ，故选 A 5若函数 , 2 ( ) log (2), x a axa f x xxa （其中 a0
12、，a1）存在零点，则实数 a 的取值范围是 A( 1 2 ，1)(1，3) B(1，3 C(2，3) D(2，3 答案：C 解析：原函数若有零点，则log (2)0 a x，解得 x3，故 3a，又 a2， 实数 a 的取值范围是(2，3) 6已知 02，函数( )sin()3cos()f xxx，对任意 xR，都有() 3 fx ( )f x，则的 值为 A 1 2 B1 C 3 2 D2 答案：D 解析：根据() 3 fx ( )f x，得( 6 ，0)是( )f x的对称中心， ( )s i n ()3 c o s ()2 s i n () 3 fxxxx， 故26 63 kk ，02，
13、2，故选 D 7函数( )2cossin2f xxx的一个单调减区间是 A( 4 ， 2 ) B(0， 6 ) C( 2 ，) D( 5 6 ，) 答案：A 7 解析：( )2(sin1)(2sin1)fxxx ，当 x( 4 ， 2 )时，( )0fx，故( 4 ， 2 )是原函数的一个单 调减区间，故选 A 8设函数( )f x在 R 上存在导数( )fx，对任意的 xR，有( )()2cosf xfxx，且在0，)上有 ( )sinfxx ，则不等式( )()cossin 2 f xfxxx 的解集是 A(， 4 B 4 ，) C(， 6 D 6 ，) 答案：B 解析：设( )( )co
14、sF xf xx， ( )()2cosf xfxx，即( )coscos()f xxxfx，即( )()F xFx ， 故( )F x是奇函数， 在0，)上有( )sinfxx ，( )( )sin0F xfxx， 故( )F x在0，)单调递增，又( )F x是奇函数，( )F x在 R 上单调递增， ( )()cossin 2 f xfxxx ，( )cos()sin 2 f xxfxx ， 即( )() 2 F xFx ， 2 xx ，故 4 x ，选 B 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个 是符合题目要求的，请把答
15、案添涂在答题卡相应位置上） 9已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin2BsinAsinC，则角 B 的值不可能是 A45 B60 C75 D90 答案：CD 解析：sin2BsinAsinC， 2 bac， 22222 1 cos 222 acbacac B acac ，故 B(0， 3 ，故选 CD 10下列说法正确的是 A “ 4 x ”是“tan1x ”的充分不必要条件 8 B命题 p： “若 ab，则 am2bm2”的否定是真命题 C命题“ 0 xR， 0 0 1 2x x ”的否定形式是“x R， 1 2x x ” D 将函数( )cos2f xxx的图
16、像向左平移 4 个单位长度得到( )g x的图像， 则( )g x 的图像关于点(0， 4 )对称 答案：ABD 解析：因为“ 4 x ”可得“tan1x ” ，但是“tan1x ”不一定“ 4 x ” ，故“ 4 x ”是“tan1x ” 的充分不必要条件，即 A 正确； 因为命题 p： “若 ab，则 am2bm2”是假命题，所以命题 p 的否定是真命题，即 B 正确； 命题“ 0 xR， 0 0 1 2x x ”的否定形式是“x R， 1 2x x ” ，故 C 错误； 函 数()c o s 2fxxx的 图 像 向 左 平 移 4 个 单 位 长 度 ， 得 到()c o s 2 ()
17、 4 g xxx sin2 44 xx ，()cos2()sin2 444 gxxxxx ，故( )g x() 2 gx ， 故( )g x的图像关于点(0， 4 )对称，故 D 正确； 故选 ABD 11在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并 构成一般不动点定理的基石， 布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔(L.E.J.Brouwer)， 简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数( )f x，存在一个点 0 x，使得 00 ()f xx，那么我们称该函 数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是 A( )2xf xx B 2 (
18、 )3g xxx C 2 21, 1 ( ) 2, 1 xx f x xx D( )ln1f xx 答案：BC 解析：选项 A，若 00 ()f xx，则 0 20 x ，该方程无解，故 A 中函数不是“不动点”函数； 选项 B，若 00 ()g xx，则 2 00 230 xx，解得 0 x3 或1，故 B 中函数是“不动点”函数； 9 选项 C，若 00 ()f xx，则 0 1x ， 2 00 21xx ，或 0 1x ， 00 2xx，解得 0 x1，故 C 中函 数是“不动点”函数； 选项 D，若 00 ()f xx，则 00 ln1xx ，该方程无解，故 D 中函数不是“不动点”函
19、数 故选 BC 12已知函数( )sincos cossin f xxx，其中x表示不超过实数 x 的最大整数，关于( )f x有下述四 个结论，正确的是 A( )f x的一个周期是2 B( )f x是非奇非偶函数 C( )f x在(0，)上单调递减 D( )f x的最大值大于2 答案：ABD 解析：( )(2 )f xf x，故 A 正确； ( )()f xfx，且( )()f xfx，故 B 正确； x(0， 2 )时，( )1f x ，故 C 错误； (0)1 sin12f ，故( )f x的最大值大于2，故 D 正确 故选 ABD 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计
20、 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13若幂函数( )f x过点(2，8)，则满足不等式(3)(1)f afa的实数 a 的取值范围是 答案：(，2 解析：因为幂函数( )f xx过点(2，8)，故82，3， 3 ( )f xx，在 R 上单调递增，又 (3)(1)f afa，所以3 1aa ，故2a 14已知 a1，b1，则 loglog 216 ab ba 的最小值是 答案：8 解析： logloglogloglog4log2 4 2162 216=2 22 28 ababab bababa ， 当logab2 时取“” 15化简：4cos50tan40 答案：3 10 解析： s
21、in402sin80sin(12080 ) 4cos50tan404sin40 cos40cos40 33 sin80cos80 3sin50 22 3 cos40cos40 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2，cos2A5cos(BC)3，点 P 是ABC 的重心，且 AP 2 7 3 ，则 c 答案：4 解析：设 BC 边上的中线为 AD，AP 2 7 3 ，AD7， 1 () 2 ADABAC， 2221 (2) 4 ADABACAB AC， 22 1 7(2cos) 4 cbbcA， cos2A5cos(BC)3，2cos2A5cosA20，cosA
22、1 2 （另一值已舍） ， 22 11 7(22 2) 42 cc ，化简得 2 2240cc，解得 c4（负值已舍） 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知点 P(2，1)在角的终边上，且 02 （1）求值： 2sincos 4sincos ； （2）若 3 2 ，且 10 sin() 210 ，求 2 的值 解：由题意，且 （1）； 11 （2）， ， 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2sin ()3cos2 4 f xxx （1）当 x 4 ， 2 时，求
23、( )f x的值域； （2）是否存在实数 t(2，)，使得( )f x在(2，t)上单调递增？若存在，求出 t 的取值范围，若不存 在，说明理由 解： （1） 又，即，； （2）由得， 所以的递增区间是，递减区间是 ，令 k0，函数在上递减，而， 即函数在上是递减的，故不存在实数，使得在(2，t)上递增 19 （本小题满分 12 分） 已知 aR，函数( )1 lnf xaxx 在 x1 处取得极值 （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若对x (0，)，( )2f xbx恒成立，求实数 b 的最大值 12 解：，由得， （1），由得 x1，故函数( )f x在(0，1)上单调递减，在(
24、1，)上单调递增 （2），令，则， 由，得，故在(0，e2)上递减，在(e2，)上递增， ，即，故实数 b 的最大值是 20 （本小题满分 12 分） 已知函数( )1f xxax，其中 a0 （1）求关于 x 的不等式 2 ( )f x a 的解集； （2）若 1 2 a ，求 x0，m时，函数( )f x的最大值 解： （1）， 当时，故和有唯一交点且其横坐标 大于由得故由函数的图像可知，所求解集为 （2），由得，由的图像可知， 当时，函数的最大值为 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为 综上所述，函数的最大值为 21 （本小题满分 12 分） 13 重庆、武汉、南京并称为三大“火
25、炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首某 人在歌乐山修建了一座避暑山庄 O（如图） 为吸引游客，准备在门前两条夹角为 6 （即AOB）的小路之 间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长AB2 3且点 A，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为 M，且MABMBA 6 ，设OBA （1）将 OA，OB 用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在 M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即 OA，OB 长度） ，才 使得喷泉 M 与山庄 O 距离即OM值最大？ 解： （1）在ABC 中，由正弦定理可知，则； 同理由正弦定理可得 则 OB
26、 （2），AMBM2 在OMB 中，由余弦定理可知 ， 当时，即时，取最大值 14 此时， 即当时，取最大值 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )sinln()f xxaxb，( )g x是( )f x的导函数 （1）若 a0，当 b1 时，函数( )g x在(，4)内有唯一的极小值，求 a 的取值范围； （2）若 a1，1e 2 b ，试研究( )f x的零点个数 解： （1）当 b1 时， 在(，4)是增函数， ， 当时，( )g x在(，4)是减函数，无极值； 当时，使得， 从而在单调递减，在单调递增，为唯一的极小值点，所以 （2）当 a1 时，可知， 时，无零点；所以只需研究， 时，可知单调递减， ， 唯一的，； （iii）当，是减函数，且， 则，在是增函数，是减函数，并且 15 ， 所以，且知 在减，在增，在减， 又因为， ，综上所述，由可知，有 3 个零点 （注：也可转化为讨论，但若转化为，用直线和曲线的图形来说明最多得 3 分）