1、2020-2021 学年江苏省无锡市梁溪区名校八年级（上）期中数学试卷学年江苏省无锡市梁溪区名校八年级（上）期中数学试卷 一、精心选一选： （本大题共一、精心选一选： （本大题共 8 题，每小题题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 24 的平方根是（ ） A2 B2 C2 D16 3下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A1，1，2 B1，3 C2，3，4 D，3，4 4如图所示，ABAC，要说明ADCAEB，需添加的条件不能是（ ） ABC BADAE CADCAEB D
2、DCBE 5若等腰三角形一个外角等于 100，则它的顶角度数为（ ） A20 B80 C20或 80 D无法确定 6下列说法中，错误的有（ ） A平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 B周长相等的两个等边三角形全等 C两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴 D有两边及一角对应相等的两个三角形全等 7如图，等边ABC 的边长为 8cm，点 P 从点 C 出发，以 1cm/秒的速度由 C 向 B 匀速运动，点 Q 从点 C 出发，以 2cm/秒的速度由 C 向 A 匀速运动，AP、BQ 交于点 M，当点 Q 到达 A 点时，P、Q 两点停止运 动，设 P、Q 两点运动的时间为
3、t 秒，若AMQ60时，则 t 的值是（ ） A1 B2 C D3 8如图，四边形 ABCD 中，AC、BD 是对角线，ABC 是等边三角形，ADC30，AD2，BD3， 则 CD 的长为（ ） A B4 C D 二、细心填一填（本大题共二、细心填一填（本大题共 10 题，共题，共 20 分）分） 9 （2 分）16 的算术平方根是 10 （2 分）等腰三角形的两边长为 9 和 4，则该三角形的周长为 11 （2 分）在直角三角形中，两直角边为 3 和 4，则斜边上的中线等于 12 （2 分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有 1、2、3、4 的四块） ，你认 为将其中
4、的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块 13 （2 分）如图，在 RtABC 中，A90，BD 平分ABC，交 AC 于点 D，且 AB4，BD5，那么 点 D 到 BC 的距离是 14 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，且ABC 与 BCE 的周长分别是 16 和 10，则 AB 的长为 15 （2 分）如图，点 D 是 BC 上的一点，若ABCADE，且B65，则EAC 16 （2 分）如图，A、B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形、点 C 也在格点上， 且ABC 为等腰三角形，
5、则符合条件的点 C 共有 个 17 （2 分） 如图， 阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形， 已知 S1+S27， 且 AC+BC8，则 AB 的长为 18 （2 分）如图，在ABC 中，OA4，OB3，C 点与 A 点关于直线 OB 对称，动点 P、Q 分别在线段 AC、 AB上 （点P不与点A、 C重合） ， 满足BPQBAO 当PQB为等腰三角形时， OP的长度是 三、认真答一答（本大题共三、认真答一答（本大题共 7 小题，共小题，共 56 分）分） 19 （8 分）解方程： （1）x29； （2）4x2250 20 （8 分）如图，在边长为 1 的小正方形组
6、成的方格纸中，有一个以格点为顶点的ABC （1）ABC 的形状是 （2）利用网格线画ABC，使它与ABC 关于直线 l 对称 （3）在直线 l 上求作点 P 使 AP+CP 的值最小，则 AP+CP 的最小值 21 （8 分）已知：如图点 O 在射线 AP 上，1215，ABAC，B40 （1）求证：ABOACO； （2）求POC 的度数 22 （6 分）已知：如图，ABC 中，A90，现要在 AC 边上确定一点 D，使点 D 到 BA、BC 的距离 相等 （1）请你按照要求，在图上确定出点 D 的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若 BC10，AB8，则 AC ，AD （直
7、接写出结果） 23 （8 分）如图，四边形 ABCD 中，BAD90，DCB90，E、F 分别是 BD、AC 的中点 （1）请你猜想 EF 与 AC 的位置关系，并给予证明； （2）当 AC16，BD20 时，求 EF 的长 24 （8 分）如图 1，ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ABC 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上，连接 BD （1）求证：AECBDC； （2）求证：AE2+AD22AC2； （3）如图 2，过点 C 作 CO 垂直 AB 于 O 点并延长交 DE 于点 F，请直接写出线段 AE、AF、DF 间的数 量关系（不用证明） 25 （10 分）
8、在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是 90如图，长方形 ABCD 中，AD9cm，AB4cm，E 为边 AD 上一动点，从点 D 出发，以 1cm/s 向终点 A 运动，同时动点 P 从点 B 出发，以 acm/s 向终点 C 运动，运动的时间为 ts （1）当 t3 时， 求线段 CE 的长； 当 EP 平分AEC 时，求 a 的值； （2）若 a1，且CEP 是以 CE 为腰的等腰三角形，求 t 的值； （3）连接 DP，直接写出点 C 与点 E 关于 DP 对称时的 a 与 t 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、精心选一选： （本大题共一、精心选一
9、选： （本大题共 8 题，每小题题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】利用轴对称图形的概念可得答案 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A 24 的平方根是（ ） A2 B2 C2 D16 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2a，则 x 就是 a 的平方根， 由此即可解决问题 【解答】解：（2）
10、24， 4 的平方根是2 故选：C 3下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A1，1，2 B1，3 C2，3，4 D，3，4 【分析】根据勾股定理的逆定理和各个选项中三条线段的长，可以判断哪个选项中的三条线段的长可以 构成直角三角形，本题得以解决 【解答】解：1+12，故线段 1，1，2 不能构成三角形，故选项 A 不符合题意； 12+（）232，故选项 B 不符合题意； 22+3242，故选项 C 不符合题意； （）2+（3）242，故选项 D 符合题意； 故选：D 4如图所示，ABAC，要说明ADCAEB，需添加的条件不能是（ ） ABC BADAE CADCAEB DDCBE 【
11、分析】ADC 和AEB 中，已知的条件有 ABAC，AA；要判定两三角形全等只需条件：一组 对应角相等， 或 ADAE 即可 可据此进行判断， 两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的 【解答】解：A、当BC 时，符合 ASA 的判定条件，故 A 正确； B、当 ADAE 时，符合 SAS 的判定条件，故 B 正确； C、当ADCAEB 时，符合 AAS 的判定条件，故 C 正确； D、当 DCBE 时，给出的条件是 SSA，不能判定两个三角形全等，故 D 错误； 故选：D 5若等腰三角形一个外角等于 100，则它的顶角度数为（ ） A20 B80 C20或 80 D无法确定 【分析】此
12、外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为 180，可求出顶角的度数 【解答】解：若 100是顶角的外角，则顶角18010080； 若 100是底角的外角，则底角18010080，那么顶角18028020 故选：C 6下列说法中，错误的有（ ） A平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 B周长相等的两个等边三角形全等 C两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴 D有两边及一角对应相等的两个三角形全等 【分析】全等图形以及轴对称的性质和线段垂直平分线的性质分别分析得出答案 【解答】解：A、平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，正确，不合题
13、意； B、周长相等的两个等边三角形全等，正确，不合题意； C、两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，正确，不合题意； D、有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，符合题意 故选：D 7如图，等边ABC 的边长为 8cm，点 P 从点 C 出发，以 1cm/秒的速度由 C 向 B 匀速运动，点 Q 从点 C 出发，以 2cm/秒的速度由 C 向 A 匀速运动，AP、BQ 交于点 M，当点 Q 到达 A 点时，P、Q 两点停止运 动，设 P、Q 两点运动的时间为 t 秒，若AMQ60时，则 t 的值是（ ） A1 B2 C D3 【分析】由等边三角形性质可得：AC
14、BCAB8cm，BACABCC60，根据题意可得： CPtcm，CQ2tcm，进而可得：BP（8t）cm，AQ（82t）cm，根据三角形外角性质可得： ABQCAP，即可证明：ABQCAP（ASA） ，即可求得 t 的值 【解答】解：ABC 是等边三角形 ACBCAB8cm，BACABCC60 由题意，得：CPtcm，CQ2tcm， BP（8t）cm，AQ（82t）cm， ABQ+BAPAMQ60，CAP+BAPBAC60 ABQCAP 在ABQ 和CAP 中 ABQCAP（ASA） AQCP 82tt，解得：t（秒） 故选：C 8如图，四边形 ABCD 中，AC、BD 是对角线，ABC 是等
15、边三角形，ADC30，AD2，BD3， 则 CD 的长为（ ） A B4 C D 【分析】在 CD 外侧作等边CDE，连接 AE，易证ACEBCD，进而可以证明ACEBCD，可 得 AEBD，在 RtADE 中根据勾股定理可以求得 DE 的长，即可解题 【解答】解：如图，在 CD 外侧作等边CDE，连接 AE， 则ADE90，DEDC，DCE60， ACBDCE60， ACEBCD， 在ACE 和BCD 中， ， ACEBCD（SAS） ， AEBD， 在 RtADE 中，DE2AE2AD2BD2AD25， DE， CD， 故选：A 二、细心填一填（本大题共二、细心填一填（本大题共 10 题，
16、共题，共 20 分）分） 9 （2 分）16 的算术平方根是 4 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果 【解答】解：4216， 4 故答案为：4 10 （2 分）等腰三角形的两边长为 9 和 4，则该三角形的周长为 22 【分析】由于等腰三角形的腰长和底边不能确定，故应分 4 为腰长和 9 为腰长两种情况进行讨论 【解答】解：当腰长为 4，底边为 9 时，4+49，以 4，4，9 为边长无法组成三角形； 当腰长为 9，底边为 4 时，周长 C92+422 故答案为：22 11 （2 分）在直角三角形中，两直角边为 3 和 4，则斜边上的中线等于 【分析】 先根据勾股定理求出斜边的长度， 再
17、根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质解答 【解答】解：根据勾股定理得，斜边5， 斜边上的中线5 故答案为： 12 （2 分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有 1、2、3、4 的四块） ，你认 为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 2 块 【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证 【解答】解：1、3、4 块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第 2 块有完整的两角及夹边，符合 ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的 故答案为：2 13 （2 分）如图，在 RtABC
18、中，A90，BD 平分ABC，交 AC 于点 D，且 AB4，BD5，那么 点 D 到 BC 的距离是 3 【分析】首先过点 D 作 DEBC 于 E，由在 RtABC 中，A90，BD 平分ABC，根据角平分线 的性质，即可得 DEAD，又由勾股定理求得 AD 的长，继而求得答案 【解答】解：过点 D 作 DEBC 于 E， 在 RtABC 中，A90，BD 平分ABC， 即 ADBA， DEAD， 在 RtABC 中，A90，AB4，BD5， AD3， DEAD3， 点 D 到 BC 的距离是 3 故答案为：3 14 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于点
19、 D，交 AC 于点 E，且ABC 与 BCE 的周长分别是 16 和 10，则 AB 的长为 6 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EAEB，根据三角形的周长公式计算即可 【解答】解：DE 是 AB 的垂直平分线， EAEB， EBC 的周长是 10， BC+BE+EC10，即 AC+BC10， ABC 的周长是 16， AB+AC+BC16， AB16106 故答案为：6 15 （2 分）如图，点 D 是 BC 上的一点，若ABCADE，且B65，则EAC 50 【分析】根据全等三角形的性质得到 ABAD，EADCAB，根据等腰三角形的性质、三角形内角 和定理计算，得到答案 【解答】
20、解：ABCADE， ABAD，EADCAB， ADBB65，EADCADCABCAD， EACBAD50， 故答案为：50 16 （2 分）如图，A、B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形、点 C 也在格点上， 且ABC 为等腰三角形，则符合条件的点 C 共有 9 个 【分析】根据已知条件，可知按照点 C 所在的直线分两种情况：点 C 以点 A 为标准，AB 为底边； 点 C 以点 B 为标准，AB 为等腰三角形的一条边 【解答】解：点 C 以点 A 为标准，AB 为底边，符合点 C 的有 5 个； 点 C 以点 B 为标准，AB 为等腰三角形的一条边，符合点 C 的有
21、 4 个 所以符合条件的点 C共有 9 个 17 （2 分） 如图， 阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形， 已知 S1+S27， 且 AC+BC8，则 AB 的长为 6 【分析】根据勾股定理得到 AC2+BC2AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可 【解答】解：由勾股定理得 AC2+BC2AB2， S1+S27， （）2+（）2+ACBC（）27， ACBC14， AB6 故答案为：6 18 （2 分）如图，在ABC 中，OA4，OB3，C 点与 A 点关于直线 OB 对称，动点 P、Q 分别在线段 AC、AB 上（点 P 不与点 A、C 重合） ，满足BP
22、QBAO当PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是 1 或 【分析】分为三种情况：PQBP，BQQP，BQBP，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求 解 【解答】解：OA8，OB6，C 点与 A 点关于直线 OB 对称， BCAB5， 分为 3 种情况： 当 PBPQ 时， C 点与 A 点关于直线 OB 对称， BAOBCO， BPQBAO， BPQBCO， APBAPQ+BPQBCO+CBP， APQCBP， 在APQ 与CBP 中， ， APQCBP（AAS） ， PABC， 此时 OP541； 当 BQBP 时， BPQBQP， BPQBAO， BAOBQP， 根据三角形外角性质得：BQP
23、BAO， 这种情况不存在； 当 QBQP 时， QBPBPQBAO， PBPA， 设 OPx，则 PBPA8x 在 RtOBP 中，PB2OP2+OB2， （4x）2x2+32， 解得：x； 点 P 在 AC 上， 点 P 在点 O 左边， 此时 OP 当PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是 1 或 故答案为：1 或 三、认真答一答（本大题共三、认真答一答（本大题共 7 小题，共小题，共 56 分）分） 19 （8 分）解方程： （1）x29； （2）4x2250 【分析】利用直接开平方法求解即可 【解答】解： （1）x29， x13，x23； （2）4x2250， 4x225， 则 x2，
24、 x1，x2 20 （8 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的ABC （1）ABC 的形状是 直角三角形 （2）利用网格线画ABC，使它与ABC 关于直线 l 对称 （3）在直线 l 上求作点 P 使 AP+CP 的值最小，则 AP+CP 的最小值 3 【分析】 （1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理分析得出答案； （2）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用对称点求最短路线的方法得出答案 【解答】解： （1）BC212+122， AB222+228， AC212+3210， AB2+BC2AC2， ABC 是直角三角形；
25、 故答案为：直角三角形； （2）如图所示：ABC即为所求； （3）如图所示：点 P 即为所求，AP+CP 的最小值AC3 故答案为：3 21 （8 分）已知：如图点 O 在射线 AP 上，1215，ABAC，B40 （1）求证：ABOACO； （2）求POC 的度数 【分析】 （1）根据全等三角形的判定定理结论得到结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：在ABO 与ACO 中， ABOACO（SAS） ； （2）解：ABOACO， CB40， POC2+C15+4055 22 （6 分）已知：如图，ABC 中，A90，现要在 AC 边上确定一点
26、 D，使点 D 到 BA、BC 的距离 相等 （1）请你按照要求，在图上确定出点 D 的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若 BC10，AB8，则 AC 6 ，AD （直接写出结果） 【分析】 （1）作ABC 的角平分线交 AC 于点 D，点 D 即为所求 （2）证明ABDHBD（AAS） ，推出 ABBH8，ADDH，设 ADDHx，在 RtCDH 中，根 据 CD2DH2+CH2构建方程求出 x 即可解决问题 【解答】解： （1）如图，点 D 即为所求 （2）作 DHBC 于 H 在 RtABC 中，BC10，AB8， AC6， BD 平分ABC， ABDHBD， ADH
27、B90，BDBD， ABDHBD（AAS） ， ABBH8，ADDH，设 ADDHx， 在 RtCDH 中，CD2DH2+CH2， （6x）2x2+22， x， AD， 故答案为 6， 23 （8 分）如图，四边形 ABCD 中，BAD90，DCB90，E、F 分别是 BD、AC 的中点 （1）请你猜想 EF 与 AC 的位置关系，并给予证明； （2）当 AC16，BD20 时，求 EF 的长 【分析】 （1）结论：EFAC利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题 （2）在 RtECF 中，利用勾股定理即可解决问题 【解答】解： （1）EFAC理由如下： 连接 AE、CE， BA
28、D90，E 为 BD 中点， AEDB， DCB90， CEBD， AECE， F 是 AC 中点， EFAC； （2）AC16，BD20，E、F 分别是边 AC、BD 的中点， AECE10，CF8， EFAC EF6 24 （8 分）如图 1，ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ABC 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上，连接 BD （1）求证：AECBDC； （2）求证：AE2+AD22AC2； （3）如图 2，过点 C 作 CO 垂直 AB 于 O 点并延长交 DE 于点 F，请直接写出线段 AE、AF、DF 间的数 量关系（不用证明） AE2+DF2AF2
29、【分析】 （1）连接 BD，根据 SAS 可证明AECBDC； （2） 由全等三角形的性质得到 BDAE， ADB 是直角三角形； 由勾股定理可知 AD2+BD2AB2， AC2+BC2 AB2；最后根据 ACBC 即可得出结论； （3）连接 BD，BF，由（1）可知 AEDB，FDB90；再通过三线合一判定 CF 是 AB 的垂直平分 线，得到 AFBF，最后由 RtBDF 勾股定理即可得到答案 【解答】 （1）证明：连接 BD， ACDACB90， ACEBCD 在AEC 和BDC 中， ， AECBDC（SAS） ； （2）AECBDC， AEBD，CDBE45， 又CDE45， ADB
30、CDE+CDB90 在 RtADB 中，由勾股定理可知 AD2+BD2AB2， 同理，在 RtACB 中，AC2+BC2AB2， 又ACBC，BDAE， AE2+AD22AC2 （3）解：线段 AE，AF，DF 关系为：AE2+DF2AF2 理由如下：连接 BD，BF， 由（2）可知 AEDB，FDB90 CFAB，ACBC， AOBO， CF 为 AB 的垂直平分线， AFBF 在 RtBDF 中，DB2+DF2BF2， AE2+DF2AF2 故答案为：AE2+DF2AF2 25 （10 分）在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是 90如图，长方形 ABCD 中，AD
31、9cm，AB4cm，E 为边 AD 上一动点，从点 D 出发，以 1cm/s 向终点 A 运动，同时动点 P 从点 B 出发，以 acm/s 向终点 C 运动，运动的时间为 ts （1）当 t3 时， 求线段 CE 的长； 当 EP 平分AEC 时，求 a 的值； （2）若 a1，且CEP 是以 CE 为腰的等腰三角形，求 t 的值； （3）连接 DP，直接写出点 C 与点 E 关于 DP 对称时的 a 与 t 的值 【分析】 （1）先得出 BPat3a，DEt3，CPBCBP93a 在 RtCDE 中，根据勾股定理得，CE5， 先判断出CPECEP，得出 CPCE5，进而建立方程即可得出结论
32、； （2） 先得出 DEt， BPt， CP9t， 再分两种情况CECP， CEPE， 建立方程即可得出结论； （3）先判断出 DECD，PEPC，进而求出 tt，再构造出直角三角形，得出 PE2（54a）2+16， 进而建立方程即可得出结论 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是长方形， ADBC，BCAD9，CDAB4， 当 t3 时，由运动知，BPat3a，DEt3， CPBCBP93a 在 RtCDE 中，根据勾股定理得，CE5， ADBC， AEPCPE， EP 平分AEC， AEPCEP， CPECEP， CPCE5， 93a5， a； （2）当 a1 时，由运动知，DEt，BPt， CP9t， 在 RtCDE 中，CE， CEP 是以 CE 为腰的等腰三角形， CECP， 16+t2（9t）2， t CEPE， CPDE， 9t2t， t3， 即：t 的值为 3 或； （3）如图， 由运动知，BPat，DEt， CPBCBP9at， 点 C 与点 E 关于 DP 对称， DECD，PEPC， t4， BP4a，CP94a， 过点 P 作 PFAD 于 F， 四边形 CDFP 是长方形， PFCD4，DFCP， 在 RtPEF 中，PF4，EFDFDE54a， 根据勾股定理得，PE2（54a）2+16， （54a）2+16（94a）2， a，