1、2020-2021 学年广东省中山市九年级上期中数学试卷学年广东省中山市九年级上期中数学试卷 一、选择题 1（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2（3 分）下列说法正确的是（ ） A弦是直径 B弧是半圆 C直径是圆中最长的弦 D半圆是圆中最长的弧 3（3 分）一元二次方程 x22x+10 的根的情况为（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 4（3 分）x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b0 的解，则 2a+4b（ ） A2 B3 C1 D6 5（3 分）一同学将方程 x24x30 化成了（x
2、+m）2n 的形式，则 m、n 的值应为（ ） Am2，n7 Bm2n7 Cm2，n1 Dm2n7 6（3 分）如图，将AOB 绕着点 O 顺时针旋转，得到COD，若AOB40，BOC25，则旋转 角度是（ ） A25 B15 C65 D40 7（3 分）某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统计如图所示设从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的 平均月增长率为 x，根据题意可得方程（ ） A180（1x）2461 B180（1+x） 2461 C368（1x）2442 D368（1+x） 2442 8（3 分）抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），对称
3、轴是直线 x1，其部分 图象如图所示，则此抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（ ） A（，0） B（3，0） C（，0） D（2，0） 9（3 分）在直径为 20cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油槽面宽 AB16cm，则油的 最大深度为（ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 10（3 分）如图，点 E、F、G、H 分别是正方形 ABCD 边 AB、BC、CD、DA 上的点，且 AEBFCG DH设 A、E 两点间的距离为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象可能为（ ） A B C D 二、填空题（每题 4 分，共 28 分） 11（4 分
4、）二次函数 y4（x3）2+7 的图象的顶点坐标是 12（4 分）若一元二次方程 x22x20 有两个实数根 x1，x2，则 x1+x2x1x2的值是 13（4分） 将抛物线y2 （x1） 2向左平移2个单位再向上平移3个单位所得到的抛物线解析式是 14（4 分）已知点 A（x2，3）与 B（x+4，y5）关于原点对称，则 xy 的值是 15（4 分）二次函数 yx22x+1 在 2x5 范围内的最小值为 16（4 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若ABC63，则D 的度数是 17（4 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30，得到正方形 ABCD，则图中
5、 阴影部分的面积为 三、解答题（共 8 小题，共 62 分） 18解方程：x2+6x+270 19如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4），B（1，1），C（4，3） （1）请画出ABC 关于原点对称的A1B1C1，并写出 A1，B1，C1的坐标； （2）请画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后的A2BC2 20已知二次函数 yx2（k+3）x+3k（k 为常数） （1）求证：无论 k 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点； （2）当 k 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴上方 21如图所示，在ABC 中，ACB90，AB50cm，AC40cm，点 P 从点 C
6、开始沿 CA 边向点 A 以 4cm/s 的速度运动，同时，另一点 Q 从点 C 开始以 3cm/s 的速度沿 CB 边向点 B 运动 （1）几秒钟后，PQ 的长度是 15cm？ （2）几秒钟后，PCQ 的面积是ABC 面积的？ 22如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且 CDAB 于点 E （1）求证：BCOD； （2）若 CD，AE2，求O 的半径 23某商场经销一种布鞋，已知这种布鞋的成本价为每双 30 元市场调查发现，这种布鞋每天的销售量 y （单位：双）与销售单价 x（单位：元）有如下关系：yx+60（30 x60）设这种布鞋每天的销售 利润为 w 元 （1）求 w 与
7、x 之间的函数解析式； （2）这种布鞋销售单价定价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24如图 1，若ABC 和ADE 为等边三角形，M，N 分别为 EB，CD 的中点 （1）求证：CDBE， （2）当把ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时，CDBE 吗？若相等请证明，若不等于请说明理由； （3）当把ADE 绕点 A 旋转到图 3 的位置时，AMN 还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说 明理由（可用第一问结论） 25如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴相交于 A（3，0）、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3），点 B 在 x 轴 的负半轴上，且 OA3OB
8、 （1）求抛物线的函数关系式； （2）若 P 是抛物线上且位于直线 AC 上方的一动点，求ACP 的面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在线段 OC 上是否存在一点 M，使 BM+CM 的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的 M 点的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称
9、图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 2（3 分）下列说法正确的是（ ） A弦是直径 B弧是半圆 C直径是圆中最长的弦 D半圆是圆中最长的弧 解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意； B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意； C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意； D、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意， 故选：C 3（3 分）一元二次方程 x22x+10 的根的情况为（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 解：（2）24110， 方程有两个相等的实数根， 故选：A 4（3 分）x1 是关于
10、 x 的一元二次方程 x2+ax+2b0 的解，则 2a+4b（ ） A2 B3 C1 D6 解：把 x1 代入方程 x2+ax+2b0 得 1+a+2b0， 所以 a+2b1， 所以 2a+4b2（a+2b）2（1）2 故选：A 5（3 分）一同学将方程 x24x30 化成了（x+m）2n 的形式，则 m、n 的值应为（ ） Am2，n7 Bm2n7 Cm2，n1 Dm2n7 解：（x+m）2n 可化为：x2+2mx+m2n0， ，解得： 故选：A 6（3 分）如图，将AOB 绕着点 O 顺时针旋转，得到COD，若AOB40，BOC25，则旋转 角度是（ ） A25 B15 C65 D40
11、解：AOB40，BOC25， AOC65， 将AOB 绕着点 O 顺时针旋转，得到COD， 旋转角为AOC65， 故选：C 7（3 分）某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统计如图所示设从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的 平均月增长率为 x，根据题意可得方程（ ） A180（1x）2461 B180（1+x） 2461 C368（1x）2442 D368（1+x） 2442 解：从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方程：180（1+x）2461， 故选：B 8（3 分）抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），对
12、称轴是直线 x1，其部分 图象如图所示，则此抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（ ） A（，0） B（3，0） C（，0） D（2，0） 解：设抛物线与 x 轴交点横坐标分别为 x1、x2，且 x1x2， 根据两个交点关于对称轴直线 x1 对称可知：x1+x22， 即 x212，得 x23， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0）， 故选：B 9（3 分）在直径为 20cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油槽面宽 AB16cm，则油的 最大深度为（ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 解：过圆心 O 向 AB 作垂线，交 AB 于点 C 根据勾股定理可得 OC6 所以
13、油的最大深度为 1064（cm） 故选：A 10（3 分）如图，点 E、F、G、H 分别是正方形 ABCD 边 AB、BC、CD、DA 上的点，且 AEBFCG DH设 A、E 两点间的距离为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象可能为（ ） A B C D 解：设正方形的边长为 m，则 m0， AEx， DHx， AHmx， EH2AE2+AH2， yx2+（mx）2， yx2+x22mx+m2， y2x22mx+m2， 2（xm）2+， 2（xm）2+m2， y 与 x 的函数图象是 A 故选：A 二、填空题（每题 4 分，共 28 分） 11（4 分）二次函数
14、y4（x3）2+7 的图象的顶点坐标是 （3，7） 解： y4（x3）2+7， 顶点坐标为（3，7）， 故答案为：（3，7） 12（4 分）若一元二次方程 x22x20 有两个实数根 x1，x2，则 x1+x2x1x2的值是 4 解：一元二次方程 x22x20 的两个实数根为 x1，x2， x1+x22，x1 x22， x1+x2x1x2（x1+x2）x1x22（2）4， 故答案为：4 13（4 分）将抛物线 y2（x1）2向左平移 2 个单位再向上平移 3 个单位所得到的抛物线解析式是 y 2（x+1）2+3 解：将抛物线 y2（x1）2向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到 y2
15、（x1+2）2+3故 得到抛物线的解析式为 y2（x+1）2+3 故答案为：y2（x+1）2+3 14（4 分）已知点 A（x2，3）与 B（x+4，y5）关于原点对称，则 xy 的值是 2 解：点 A（x2，3）与 B（x+4，y5）关于原点对称， x2+x+40，3+y50， 解得：x1，y2， 则 xy 的值是：2 故答案为：2 15（4 分）二次函数 yx22x+1 在 2x5 范围内的最小值为 1 解：二次函数 yx22x+1（x1）2， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 在 2x5 范围内，当 x2 时，y 取得最小值，此时 y（21）21， 故答案为：1 16（4 分）如
16、图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若ABC63，则D 的度数是 27 解：AB 是O 的直径， ACB90， A90ABC906327， DA27 故答案为 27 17（4 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30，得到正方形 ABCD，则图中 阴影部分的面积为 解：设 BC与 CD 交于点 E，连接 AE 在ABE 与ADE 中，ABEADE90， ， ABEADE（HL）， BAEDAE BAB30，BAD90， BAEDAE30， DEAD tanDAE S四边形ABED2SADE2 阴影部分的面积S正方形ABCDS四边形ABED1 三、解答题（共 8 小题
17、，共 62 分） 18解方程：x2+6x+270 解：x2+6x+270 a1，b6，c27， b4ac3641270， 方程无实数根 19如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4），B（1，1），C（4，3） （1）请画出ABC 关于原点对称的A1B1C1，并写出 A1，B1，C1的坐标； （2）请画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后的A2BC2 解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求，A1（2，4）； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求 20已知二次函数 yx2（k+3）x+3k（k 为常数） （1）求证：无论 k 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点； （2）当 k
18、 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴上方 解：（1）yx2（k+3）x+3k， （k+3）243kk26k+9（k3）20， 无论 k 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点； （2）当 x0 时，yx2（k+3）x+3k3k， 该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 3k， 当 3k0，即 k0 时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方 21如图所示，在ABC 中，ACB90，AB50cm，AC40cm，点 P 从点 C 开始沿 CA 边向点 A 以 4cm/s 的速度运动，同时，另一点 Q 从点 C 开始以 3cm/s 的速度沿 CB 边向点 B 运动 （1）几秒钟
19、后，PQ 的长度是 15cm？ （2）几秒钟后，PCQ 的面积是ABC 面积的？ 解：（1）设 t 秒钟后，PQ 的长度是 15cm，此时 CP4tcm，CQ3tcm C90， PQ2CP2+CQ2，即 152（4t）2+（3t）2， 解得：t13，t23（不合题意，舍去） 答：3 秒钟后，PQ 的长度是 15cm （2）在 RtABC 中，ACB90，AB50cm，AC40cm， BC30cm 设 x 秒后，PCQ 的面积是ABC 面积的，此时 CP4xcm，CQ3xcm 依题意，得：CP CQAC BC， 即4x3x4030， 解得：x15，x25（不合题意，舍去） 答：5 秒后，PCQ
20、的面积是ABC 面积的 22如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且 CDAB 于点 E （1）求证：BCOD； （2）若 CD，AE2，求O 的半径 【解答】（1）证明：如图 OCOB， BCOB BD， BCOD； （2）AB 是O 的直径，且 CDAB 于点 E， CECD42， 在 RtOCE 中，OC2CE2+OE2， 设O 的半径为 r，则 OCr，OEOAAEr2， r2（2 ）2+（r2）2， 解得：r3， O 的半径为 3 23某商场经销一种布鞋，已知这种布鞋的成本价为每双 30 元市场调查发现，这种布鞋每天的销售量 y （单位：双）与销售单价 x（单位：元）有如下
21、关系：yx+60（30 x60）设这种布鞋每天的销售 利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数解析式； （2）这种布鞋销售单价定价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：（1）w（x30） y（x+60）（x30）x2+30 x+60 x1800 x2+90 x1800， 故 w 与 x 之间的函数解析式 wx2+90 x1800； （2）根据题意得：wx2+90 x1800（x45）2+225， 10， 当 x45 时，w 有最大值，最大值是 225 24如图 1，若ABC 和ADE 为等边三角形，M，N 分别为 EB，CD 的中点 （1）求证：CDBE， （2）当把
22、ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时，CDBE 吗？若相等请证明，若不等于请说明理由； （3）当把ADE 绕点 A 旋转到图 3 的位置时，AMN 还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说 明理由（可用第一问结论） 解：（1）ABC 和ADE 为等边三角形， ADAE，ACAB， ACADABAE， CDBE； （2）CDBE理由如下： ABC 和ADE 为等边三角形， ABAC，ADAE，BACEAD60， BAEBACEAC60EAC， DACDAEEAC60EAC， BAEDAC， 在ABE 和ACD 中， ， ABEACD（SAS） CDBE； （3）AMN 是等边三角形 理由如
23、下： ABEACD， ABEACD M、N 分别是 BE、CD 的中点，BMCN ABAC，ABEACD， 在ABM 和ACN 中， ， ABMACN（SAS） AMAN，MABNAC NAMNAC+CAMMAB+CAMBAC60 AMN 是等边三角形 25如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴相交于 A（3，0）、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3），点 B 在 x 轴 的负半轴上，且 OA3OB （1）求抛物线的函数关系式； （2）若 P 是抛物线上且位于直线 AC 上方的一动点，求ACP 的面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在线段 OC 上是否存在一点 M，使 BM+C
24、M 的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的 M 点的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）OA3OB3，则点 B（1，0）， 抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）a（x22x3）， 即3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2+2x+3； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 CA 于点 H， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为：yx+3 ACP 的面积PHOA3（x22x+3+x3）（x2+3x）， 当 x时，ACP 的面积的最大，最大值为：，此时点 P（，）； （3）过点 M 作 MNAC，则 MNCM， 故当 B、M、N 三点共线时，BM+CMBN 最小， 直线 CA 的倾斜角为 45，BNAC，则NBA45， 即 BNAB2AN， 则点 N（1，2）， 由点 B、N 的坐标得，直线 BN 的表达式为：yx+1， 故点 M（0，1）