1、1 江苏省徐州市江苏省徐州市 20212021 届高三第一学期期中考试届高三第一学期期中考试数学试题数学试题 202011 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已如集合 A 2x x ，B 2 20 x xx，则下列结论正确的是 AABR BAB CA( R B) DA( R B) 2复数 i 12i z （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3有 4 名学生志愿者到 3 个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名同学都只去 1
2、 个小区，每个小区至少 安排 1 名同学，则不同的安排方法为 A6 种 B12 种 C36 种 D72 种 4如图， 宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫 博物院，有甲、乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图 中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作，每人模仿一个动作，若他们 采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶” 且乙只能模仿“扶”或“检”的概率是 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 5唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”诗中隐含着一个有 趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从
3、山脚下某处出发，先到河边饮马后再回 军营， 怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中， 设军营所在区域为 x2y21， 若将军从点 A(4， 3)处出发，河岸线所在直线方程为 xy4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将 军饮马”的最短总路程为 A8 B7 C6 D5 6在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，设 AC 交 BD 于点 O，则异面直线 A1O 与 BD1 所成角的余弦值为 A 4 15 15 B 4 15 15 C 4 3 9 D 4 3 9 7若偶函数( )f x满足( )(1)2020f xf x，( 2)1f ，则(2021)f A202
4、0 B1010 C1010 D2020 8十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造 产物， 具有典型的分形特征， 其操作过程如下： 将闭区间0， 1均分为三段， 去掉中间的区间段( 1 3 ，2 3 )， 2 记为第一次操作；，再将剩下的两个区间0， 1 3 ， 2 3 ，1 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间 段， 记为第二次操作； ， 如此这样， 每次在上一次操作的基础上， 将剩下的各个区间分别均分为三段， 同样各自去掉中间的区间段 操作过程不断地进行下去， 以至无穷， 剩下的区间集合即是 “康托三分集” ， 若使去掉的各区间长度之和不小于
5、 9 10 ，则需要操作的次数 n 的最小值为（参考数据：lg20.3010，lg3 0.4771） A4 B5 C6 D7 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个 是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9已知曲线 C 的方程为 22 1 91 xy kk (kR) A当 k5 时，曲线 C 是半径为 2 的圆 B当 k0 时，曲线 C 为双曲线，其渐近线方程为 1 3 yx C存在实数 k，使得曲线 C 为离心率为2的双曲线 D “k1”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件 10设 a0，b
6、0，则 A 12 (2 )()9ab ab B 22 2(1)abab C 22 ab ab ba D 22 ab ab ab 11如图 BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条不同的直径，BF2FO，则 A 1 BFFC 3 B 8 FD FE 9 C1cos 4 5 D满足FCFDFE的实数与的和为定值 4 第 11 题 12在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到， 3 而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数， 4 1 sin(21) ( ) 21 i ix f x i 的图象就可以近似的模拟某种 信号的波形，则 A函数( )f x为周期函
7、数，且最小正周期为 B函数( )f x的图象关于点(2，0)对称 C函数( )f x的图象关于直线 x 2 对称 D函数( )f x的导函数( )fx的最大值为 4 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13 26 2 (1)()xx x 展开式中含 x2的项的系数为 14某学习小组研究一种卫星接收天线（如图所示） ，发 现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星 波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反 射聚焦到焦点处（如图所示） ，已知接收天线的口径 （直径）为 4.8m，深度为 1m，则该抛物线的焦点到顶 点的距离
8、为 m 第 14 题 15已知( 2 ，0)，sin( 4 ) 3 5 ，则 tan2的值为 16在平面四边形 ABCD 中，ABCD1，BC2，AD2，ABC90 ，将ABC 沿 AC 折成三棱 锥，当三棱锥 BACD 的体积最大时，三棱锥外接球的体积为 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在ccosBbcosC2，bcos( 2 C)ccosB，sinBcosB2这三个条件中任选一个， 补充在 下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由
9、问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A 6 ， ，b4？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 4 18 （本小题满分 12 分） 设 n S为数列 n a的前 n 项和，满足 1 23 nn Saa且 2 a， 3 2a ， 4 8a 成等差数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n n n b a ，求数列 n b的前 n 项和 n T 19 （本小题满分 12 分） 某生物研究所为研发一种新疫苗，在 200 只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据： 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 35 x y 注射疫苗 65 z
10、w 总计 100 100 200 现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 13 20 （1）能否有 99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？ （2）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取 2 只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为 X，求 X 的概 率分布和数学期望 E(X) 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd P( 2 0 Kk) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （本小题满分 12 分）
11、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA平面 ABCD （1）求证：平面 PAC平面 PBD； （2）若 APAB2，BAD60 ，求二面角 APBD 的余弦值 5 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2ln43f xxxx （1）求函数( )f x在1，2上的最小值； （2）若 3 ( )(1)f xa x，求实数 a 的值 22 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的右焦点为 F(1，0)，且过点(1， 2 2 ) （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A 是椭圆 C 上位于第一象限内的点，连接 AF 并延长交椭圆 C 于另一点 B，点 P(2，0)，若 PAB 为锐角，求ABP 的面积的取值范围 6 参考答案 1C 2A 3C 4C 5C 6D 7A 8C 9ABD 10ACD 11BCD 12BCD 13100 141.44 15 7 24 16 4 3 17 18 19 7 20 21 22 8