1、2020-2021 学年江西省南昌市新建六中九年级（上）期中数学试卷学年江西省南昌市新建六中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1已知二次函数 yx24x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的两个实数根是（ ） Ax11，x21 Bx11，x22 Cx11，x20 Dx11，x23 2在平面直角坐标系中，若点 P（x，y）在第二象限，且|x|10，y240，则点 P 关于坐标原点对称 的点 P的坐标是（ ） AP（1，2） BP（1，2） CP（1，2） DP（1，
2、2） 3同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的如图是看到的万花筒的一个图案，图中所 有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形 AEFG 可以看成是把菱形 ABCD 以 A 为中心（ ） A顺时针旋转 60得到 B顺时针旋转 120得到 C逆时针旋转 60得到 D逆时针旋转 120得到 4已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） Ay2（x+1）2+8 By18（x+1）28 Cy（x1）2+8 Dy2（x1）28 5如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC由ABC 绕点 P 旋转得到，则点 P 的坐标为（ ） A （0，1） B （0，1） CC（1，1）
3、 D （1，0） 6若一次函数 y（m+1）x+m 的图象过第一、三、四象限，则函数 ymx2mx（ ） A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值 7在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 8 已知二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 有下列 5 个结论： abc0； bac； 4a+2b+c 0；3ac；a+bm（am+b） （m1 的实数） ，其中结论正确的有（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9抛物线 yax2+bx+c 经过 A（2，4） ，
4、B（6，4）两点，且顶点在 x 轴上，则该抛物线解析式为 10 若k为实数， 关于x的一元二次方程 （k1） x22 （k+1） x+k+50有实数根， 则实数k的取值范围为 11某超市今年一月份的营业额为 200 万元，三月份的营业额为 288 万元，如果平均每月的增长率为 x，由 题意列出方程是 12已知抛物线 y2x24x+5，将该抛物线沿 x 轴翻折后的新抛物线的解析式为 13如图，在ABC 中，点 D 是 BC 上的点，BADABC40，将ABD 沿着 AD 翻折得到AED， 则CDE 14如图，A 点的坐标为（1，5） ，B 点的坐标为（3，3） ，C 点的坐标为（5，3） ，D
5、点的坐标为（3， 1） ，小明发现：线段 AB 与线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得 到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 三、简答题（共三、简答题（共 56 分）分） 15 （6 分）解方程： （1）2（x2）2x24； （2）3x210 x+60 16 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0） 、B（0，2） ，点 P（a，a） （1）当 a2 时，将AOB 绕点 P（a，a）逆时针旋转 90得DEF，点 A 的对应点为 D，点 O 的对应 点为 E，点 B 的对应点为点 F，在平面直角坐标系中画出DEF，并写出点 D 的坐标 ； （
6、2） 作线段 AB 关于 P 点的中心对称图形 （点 A、 B 的对应点分别是 G、 H） ， 若四边形 ABGH 是正方形， 则 a 17 （6 分）已知二次函数 yx22mx+m2+3（m 是常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？ 18 （6 分）如图，已知O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，连接 AO 并延长交O 于点 E，连接 DE，若 AB 4，请完成下列计算 （1）求O 的半径长； （2）求 DE 的长 19 （7 分）如图 1，已知 AB 是O 的
7、直径，弦 CDAB 于点 E，点 M 在O 上，MD （1）判断 BC，MD 的位置关系，并说明理由； （2）若 AE16，BE4，求线段 CD 的长； （3）如图 2，若 MD 恰好经过圆心 O，求D 的度数 20 （9 分）已知二次函数 yx2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，与 y 轴 的交点坐标为（0，3） （1）求出 b、c 的值，并写出此二次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围； （3）当1x2 时，求 y 的取值范围 21 （9 分）已知矩形 ABCD，AB6，AD8，将矩形 ABCD 绕点 A
8、顺时针旋转 a（0a360） ，得到 矩形 AEFG （1）如图 1，当点 E 在 BD 上时求证：FDCD； （2）当 a 为何值时，GCGB？画出图形，并说明理由； （3）将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 90的过程中，求 CD 扫过的面积 22 （9 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+4x （1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点” 试求拋物线 yx2+4x 的“方点”的坐标； （2）如图，若将该抛物线向左平移 1 个单位长度，新抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点（A 在 B 左侧） ， 与 y 轴相交于点 C，连接 BC若点 P 是直线 B
9、C 上方抛物线上的一点，求PBC 的面积的最大值； （3） 第 （2） 问中平移后的抛物线上是否存在点 Q， 使QBC 是以 BC 为直角边的直角三角形？若存在， 直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1已知二次函数 yx24x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的两个实数根是（ ） Ax11，x21 Bx11，x22 Cx11，x20 Dx11，x23 【分析】根据抛物线与 x 轴交点的性质和根与
10、系数的关系进行解答 【解答】解：二次函数 yx24x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ， 关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的一个根是 x1 设关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的另一根是 t 1+t4， 解得 t3 即方程的另一根为 3 故选：D 2在平面直角坐标系中，若点 P（x，y）在第二象限，且|x|10，y240，则点 P 关于坐标原点对称 的点 P的坐标是（ ） AP（1，2） BP（1，2） CP（1，2） DP（1，2） 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数求出 x、y 的值，从而得到点 P 的坐标，再根 据关于原点对称的
11、点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答 【解答】解：点 P（x，y）在第二象限，且|x|10，y240， x1，y2， 点 P 的坐标为（1，2） ， 点 P 关于坐标原点对称的点 P的坐标是（1，2） 故选：B 3同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的如图是看到的万花筒的一个图案，图中所 有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形 AEFG 可以看成是把菱形 ABCD 以 A 为中心（ ） A顺时针旋转 60得到 B顺时针旋转 120得到 C逆时针旋转 60得到 D逆时针旋转 120得到 【分析】根据旋转的意义，找出图中菱形 AEFG 和菱形 ABCD 的对应点的变化情况，结合等边
12、三角形的 性质即可选择答案 【解答】解：根据旋转的意义，观察图片可知，菱形 AEFG 可以看成是把菱形 ABCD 以 A 为中心逆时针 旋转 120得到 故选：D 4已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） Ay2（x+1）2+8 By18（x+1）28 Cy（x1）2+8 Dy2（x1）28 【分析】顶点式：ya（xh）2+k（a，h，k 是常数，a0） ，其中（h，k）为顶点坐标 【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，8） 故二次函数的解析式为 y2（x1）28 故选：D 5如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC由ABC 绕点 P 旋转得到，则点 P 的坐标
13、为（ ） A （0，1） B （0，1） CC（1，1） D （1，0） 【分析】连接 AA，CC，线段 AA、CC的垂直平分线的交点就是点 P 【解答】解：连接 AA、CC， 作线段 AA的垂直平分线 MN，作线段 CC的垂直平分线 EF， 直线 MN 和直线 EF 的交点为 P，点 P 就是旋转中心 直线 MN 为：x1， 设直线 CC为 ykx+b，由题意：， ， 直线 CC为 yx+， 直线 EFCC，经过 CC中点（，） ， 直线 EF 为 y3x+2， 由得， P（1，1） 故选：C 6若一次函数 y（m+1）x+m 的图象过第一、三、四象限，则函数 ymx2mx（ ） A有最大值
14、 B有最大值 C有最小值 D有最小值 【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法 【解答】解：一次函数 y（m+1）x+m 的图象过第一、三、四象限， m+10，m0， 即1m0， 函数 ymx2mxm（x）2有最大值， 最大值为 故选：B 7在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在 y 左侧，a，b 同号，对称轴在 y 轴右侧 a，b 异号，以及当 a 大于 0 时开口向 上，当 a 小于 0 时开口向下，来分析二次函数；同时在假定
15、二次函数图象正确的前提下，根据一次函数 的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常 数项为正，交 y 轴于正半轴，常数项为负，交 y 轴于负半轴如此分析下来，二次函数与一次函数无矛 盾者为正确答案 【解答】解：由方程组得 ax2a， a0 x21，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除 B A：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；但是一次函数 b 为一次项系数，图象 显示从左向右上升，b0，两者矛盾，故 A 错； C：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；b 为一次函数的一次项系数
16、，图象显 示从左向右下降，b0，两者相符，故 C 正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故 D 错 故选：C 8 已知二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 有下列 5 个结论： abc0； bac； 4a+2b+c 0；3ac；a+bm（am+b） （m1 的实数） ，其中结论正确的有（ ） A B C D 【分析】由抛物线对称轴的位置判断 ab 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴 及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：对称轴在 y 轴的右侧， ab0， 由图象可知：c0， abc0， 故不正确； 当
17、 x1 时，yab+c0， bac， 故正确； 由对称知，当 x2 时，函数值大于 0，即 y4a+2b+c0， 故正确； x1， b2a， ab+c0， a+2a+c0， 3ac， 故不正确； 当 x1 时，y 的值最大此时，ya+b+c， 而当 xm 时，yam2+bm+c， 所以 a+b+cam2+bm+c（m1） ， 故 a+bam2+bm，即 a+bm（am+b） ， 故正确 故正确 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9抛物线 yax2+bx+c 经过 A（2，4） ，B（6，4）两点，且顶点在 x 轴上，则该抛物线解析式为 y x+1
18、 【分析】先根据点 A、B 的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把 A 点的坐标代入求出 a，即可 得出函数解析式 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 经过 A（2，4） ，B（6，4）两点， 抛物线的对称轴是直线 x2， 即顶点坐标为（2，0） ， 设 yax2+bx+ca（x2）2+0， 把（2，4）代入得：4a（22）2+0， 解得：a， 即 y（x2）2+0 x2x+1， 故答案为：yx2x+1 10若 k 为实数，关于 x 的一元二次方程（k1）x22（k+1）x+k+50 有实数根，则实数 k 的取值范围为 k3 且 k1 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得
19、出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出 结论 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x22（k+1）x+k+50 有实数根， ， 解得：k3 且 k1 故答案为：k3 且 k1 11某超市今年一月份的营业额为 200 万元，三月份的营业额为 288 万元，如果平均每月的增长率为 x，由 题意列出方程是 200（1+x）2288 【分析】设平均每月的增长率为 x，根据一月份的营业额为 200 万元，三月份的营业额为 288 万元，可 列出方程 【解答】解：设平均每月的增长率为 x， 200（1+x）2288 故答案为：200（1+x）2288 12已知抛物线 y2x24x+5，将该抛
20、物线沿 x 轴翻折后的新抛物线的解析式为 y2（x1）23 【分析】图象沿 x 轴的翻折后，顶点为（2，5） ，a2 即可求解 【解答】解：抛物线 y2x24x+52（x1）2+3，其顶点坐标是（1，3） ，将该抛物线沿 x 轴翻折后的 新抛物线的顶点坐标是（1，3） ，抛物线开口方向与原抛物线方向相反，所以新抛物线的解析式为 y 2（x1）23 故答案是：y2（x1）23 13如图，在ABC 中，点 D 是 BC 上的点，BADABC40，将ABD 沿着 AD 翻折得到AED， 则CDE 20 【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可 【解答】解：BADABC40，将ABD 沿着 AD
21、翻折得到AED， ADC40+4080，ADEADB1804040100， CDE1008020， 故答案为：20 14如图，A 点的坐标为（1，5） ，B 点的坐标为（3，3） ，C 点的坐标为（5，3） ，D 点的坐标为（3， 1） ，小明发现：线段 AB 与线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得 到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 （1，1）或（4，4） 【分析】分点 A 的对应点为 C 或 D 两种情况考虑：当点 A 的对应点为点 C 时，连接 AC、BD，分别 作线段 AC、BD 的垂直平分线交于点 E，点 E 即为旋转中心；当点 A 的对应点为
22、点 D 时，连接 AD、 BC，分别作线段 AD、BC 的垂直平分线交于点 M，点 M 即为旋转中心此题得解 【解答】 解： 当点 A 的对应点为点 C 时， 连接 AC、 BD， 分别作线段 AC、 BD 的垂直平分线交于点 E， 如图 1 所示， A 点的坐标为（1，5） ，B点的坐标为（3，3） ， E 点的坐标为（1，1） ； 当点 A 的对应点为点 D 时， 连接 AD、 BC， 分别作线段 AD、 BC 的垂直平分线交于点 M， 如图 2 所示， A 点的坐标为（1，5） ，B 点的坐标为（3，3） ， M 点的坐标为（4，4） 综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）
23、 故答案为： （1，1）或（4，4） 三、简答题（共三、简答题（共 56 分）分） 15 （6 分）解方程： （1）2（x2）2x24； （2）3x210 x+60 【分析】 （1）移项，利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可 【解答】解： （1）2（x2）2x24， 2（x2）2（x2） （x+2）0， （x2）2（x2）（x+2）0， x20 或 x60， x12，x26 （2）3x210 x+60， a3，b10，c6， 10043628， x x1，x2 16 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0） 、B（0，2） ，点 P（a，a） （1）当 a2 时，
24、将AOB 绕点 P（a，a）逆时针旋转 90得DEF，点 A 的对应点为 D，点 O 的对应 点为 E，点 B 的对应点为点 F，在平面直角坐标系中画出DEF，并写出点 D 的坐标 （4，4） ； （2） 作线段 AB 关于 P 点的中心对称图形 （点 A、 B 的对应点分别是 G、 H） ， 若四边形 ABGH 是正方形， 则 a 1 【分析】 （1）根据要求画出图形即可 （2）画出图形即可解决问题 【解答】解： （1）DEF 如图所示 点 D 的坐标为（4，4） ； （2）观察图象可知 P（1，1）时，满足条件，故 a1 故答案为1 17 （6 分）已知二次函数 yx22mx+m2+3（m
25、 是常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？ 【分析】 （1）求出根的判别式，即可得出答案； （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可 【解答】 （1）证明：（2m）241（m2+3）4m24m212120， 方程 x22mx+m2+30 没有实数解， 即不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； （2）解：yx22mx+m2+3（xm）2+3， 把函数 y（xm）2+3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 y（xm）2的图
26、象，它的 顶点坐标是（m，0） ， 因此，这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点， 所以，把函数 yx22mx+m2+3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有 一个公共点 18 （6 分）如图，已知O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，连接 AO 并延长交O 于点 E，连接 DE，若 AB 4，请完成下列计算 （1）求O 的半径长； （2）求 DE 的长 【分析】首先连接 BE，由O 的半径 OD弦 AB 于点 C，AB4，根据垂径定理可求得 ADBD， 然后设 OAx，利用勾股定理，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得 BE 的长，又 由 A
27、E 是直径，可得B90，继而求得答案 【解答】解： （1）连接 BE， O 的半径 OC弦 AB 于点 D，AB4， ADBD2， 设 OAx， ODx， 在 RtAOD 中，AD2+OD2OA2， 2+2x2， 解得：x4， 即O 的半径长是 4； （2）由（1）OAOE4，OD2， BE2OD4， AE 是直径， B90， DE， 19 （7 分）如图 1，已知 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 M 在O 上，MD （1）判断 BC，MD 的位置关系，并说明理由； （2）若 AE16，BE4，求线段 CD 的长； （3）如图 2，若 MD 恰好经过圆心 O，求D 的度数 【分
28、析】 （1）根据圆周角定理得到MC，得到CD，根据平行线的判定定理证明； （2）连接 OD，根据勾股定理求出 ED，根据垂径定理计算； （3）根据圆周角定理计算 【解答】解： （1）BCMD， 理由如下：由圆周角定理得，MC，又MD， CD， BCMD； （2）连接 OD， AE16，BE4， OB10， OE1046， ED8， AB 是O 的直径，弦 CDAB， CD2ED16； （3）MBOD，MD， DBOD， D30 20 （9 分）已知二次函数 yx2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，与 y 轴 的交点坐标为（0，3） （1）求出 b、c 的值，
29、并写出此二次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围； （3）当1x2 时，求 y 的取值范围 【分析】 （1）由二次函数图象与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，与 y 轴的交点坐标为（0，3） ，分别 把横坐标和纵坐标代入二次函数解析式，得到关于 b 与 c 的方程组，求出方程组的解得到 b 与 c 的值， 进而确定出二次函数的解析式； （2） 令二次函数解析式中的 y0 得到关于 x 的方程， 求出方程的解即为二次函数与 x 轴交点的横坐标， 根据图象可得出 y 大于 0 时 x 的范围； （3）当1x2 时，y 在 x1 和顶点处取得最小和
30、最大值，即可求解 【解答】解： （1）二次函数图象与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，与 y 轴的交点坐标为（0，3） ， x1，y0 代入 yx2+bx+c 得：1b+c0， 把 x0，y3 代入 yx2+bx+c 得：c3， 把 c3 代入，解得 b2， 则二次函数解析式为 yx2+2x+3； （2）令二次函数解析式中的 y0 得：x2+2x+30， 可化为： （x3） （x+1）0， 解得：x13，x21， 由函数图象可知：当1x3 时，y0； （3）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线 x1， 当1x2 时，y 在 x1 和顶点处取得最小和最大值， 当 x1 时，y0， 当 x
31、1 时，yx2+2x+34， 故当1x2 时，求 y 的取值范围 0y4 21 （9 分）已知矩形 ABCD，AB6，AD8，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 a（0a360） ，得到 矩形 AEFG （1）如图 1，当点 E 在 BD 上时求证：FDCD； （2）当 a 为何值时，GCGB？画出图形，并说明理由； （3）将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 90的过程中，求 CD 扫过的面积 【分析】 （1）先运用 SAS 判定AEDFDE，可得 DFAE，再根据 AEABCD，即可得出 CD DF； （2）当 GBGC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据DA
32、G60，即可得到旋 转角 的度数 （3）边 CD 扫过的（阴影部分）面积就是两个扇形的面积之差，利用扇形的面积公式即可求得 【解答】解： （1）由旋转可得，AEAB，AEFABCDAB90，EFBCAD， AEBABE， 又ABE+EDA90AEB+DEF， EDADEF， 又DEED， AEDFDE（SAS） ， DFAE， 又AEABCD， CDDF； （2）如图，当 GBGC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上， 分两种情况讨论： 当点 G 在 AD 右侧时，取 BC 的中点 H，连接 GH 交 AD 于 M， GCGB， GHBC， 四边形 ABHM 是矩形， AMBHADAG， G
33、M 垂直平分 AD， GDGADA， ADG 是等边三角形， DAG60， 旋转角 60； 当点 G 在 AD 左侧时，同理可得ADG 是等边三角形， DAG60， 旋转角 36060300 （3）如图 3， S扇形ACF25，S扇形ADG16， S阴影S扇形ACFS扇形ADG25169 22 （9 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+4x （1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点” 试求拋物线 yx2+4x 的“方点”的坐标； （2）如图，若将该抛物线向左平移 1 个单位长度，新抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点（A 在 B 左侧） ， 与 y 轴相交于
34、点 C，连接 BC若点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一点，求PBC 的面积的最大值； （3） 第 （2） 问中平移后的抛物线上是否存在点 Q， 使QBC 是以 BC 为直角边的直角三角形？若存在， 直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由“方点”的定义可列出关于 x 的方程x2+4xx，解方程即可； （2）如图 1，过 P 点作 y 轴的平行线交 BC 于点 D，求出向左平移 1 个单位长度后抛物线的表达式，写 出点 A，B，C 的坐标，求出直线 BC 的解析式，设 P（m，m2+2m+3） ，则 D（m，m+3） ，求出 PD 的长度，并表示出PBC
35、的面积，由二次函数的图象及性质可求出其最大值； （3）先求出CBO45，然后分两种情况讨论：当点 B 为直角顶点时，如图 2，过点 B 作直线 BC 的垂线，交 y 轴于点 M，交抛物线于点 Q，求出直线 BM 的解析式，求出其与抛物线的交点即可；当 点 C 为直角顶点时，如图 2，过点 C 作直线 BC 的垂线，交抛物线于点 Q，求出直线 CQ 的解析式，求 出其与抛物线的交点即可 【解答】解： （1）由题意得：xy， x2+4xx， 解得，x10，x23， 抛物线的方点坐标是（0，0） ， （3，3） ； （2）如图 1，过 P 点作 y 轴的平行线交 BC 于点 D， yx2+4x（x2
36、）2+4， 向左平移 1 个单位长度后抛物线的表达式为 y（x1）2+4x2+2x+3， 在 yx2+2x+3 中， 当 x0 时，y3；当 y0 时，x11，x23， C（0，3） ，A（1，0） ，B（3，0） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+3， 将点 B（3，0）代入， 得，k1， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 设 P（m，m2+2m+3） ，则 D（m，m+3） ， PDm2+2m+3（m+3）m2+3m（0m3） ， （0m3） ， 当时，PBC 的面积最大，最大值为； （3）存在，理由如下： C（0，3） ，B（3，0） ， OBOC3， OBC 为等腰直角三角形，
37、CBO45， 当点 B 为直角顶点时，如图 2，过点 B 作直线 BC 的垂线，交 y 轴于点 M，交抛物线于点 Q， 则OBM45， OBM 为等腰直角三角形， OBOM3， M（0，3） ， 设直线 BM 的解析式为 ykx3， 将点 B（3，0）代入， 得，k1， 直线 BM 的解析式为 yx3， 联立，得， 解得，x12，x23（舍弃） ， Q1（2，5） ； 当点 C 为直角顶点时，如图 2，过点 C 作直线 BC 的垂线，交抛物线于点 Q， 则 QCBM， 则直线 QC 的解析式为 yx+3， 联立，得， 解得，x10，x21， Q2（1，4） ， 综上所述，点 Q 的坐标为（2，5）或（1，4）