1、 第 1 页 / 共 7 页 第第 21 讲：弧度制及任意角的三角函数讲：弧度制及任意角的三角函数 一、课程标准 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化 2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 角的概念的推广 (1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所 形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角 (2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终 边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角终边落在坐标
2、轴上的角(轴线角)不属于任何象限 (3)终边相同的角：与角 的终边相同的角的集合为|k 360 ，kZ 2. 弧度制 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|_，l 是以角 作为 圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 弧度与角度的换算：360 _2_rad；180 _rad；1 _rad；1 rad_度 弧长公式：_ 扇形面积公式：S扇形_ 3. 任意角的三角函数 (1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin_，cos_，tan y x( )x0 (2)特殊角的三角函数值
3、角 0 30 45 60 90 180 270 弧 度数 _ _ _ _ _ _ _ sin _ _ _ _ _ _ _ 第 2 页 / 共 7 页 cos _ _ _ _ _ _ _ tan _ _ _ _ _ （2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起 点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线和正 切线 三、自主热身、归纳总结 1、已知 sin20，且|cos|cos，则点 P(tan，sin)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2、已知角 终
4、边上一点 P 的坐标是(2sin2，2cos2)，则 sin 等于( ) A. sin2 B. sin2 C. cos2 D. cos2 3、若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A. 6 B 3 C3 D. 3 4、(多选)下列与角2 3 的终边不相同的角是( ) A.11 3 B2k2 3 (kZ) C2k2 3 (kZ) D(2k1)2 3 (kZ) 5、已知一扇形的弧长为2 9 ，面积为2 9 ，则其半径 r _，圆心角 _. 第 3 页 / 共 7 页 6、(一题两空)在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边交单
5、 位圆 O 于点 P(a，b)，且 ab7 5，则 ab_，cos 2 2 _. 四、例题选讲 考点一 角的表示及象限角 例 1（1）集合 kk 4 ，kZ 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) （2）若角 是第二象限角，则 2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第一或第三象限角 D第二或第四象限角 变式 1、(1)已知 2 020 ，则与角 终边相同的最小正角为_，最大负角为_ (2)如果角 是第三象限角，那么， 角的终边落在第几象限？ 2是第几象限的角？ 变式 2、(1)设集合 M x|xk 2 180 45 ，kZ ，N x|xk 4 180 45 ，kZ ，那么( ) A.MN
6、B.MN C.NM D.MN (2)若角 是第二象限角，则 2是第_象限角. (3)终边在直线 y 3x 上，且在2，2)内的角 的集合为_. 方法总结：本题考查象限角、终边相同的角、三角函数值所在象限的符号利用终边相同的角的集合可以 求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋 值来求得所需的角 三角函数值象限的符号牢记： “一全正、 二正弦、 三正切、 四余弦” 考查运算求解能力， 逻辑思维能力，考查转化与化归思想 第 4 页 / 共 7 页 考点二 扇形的有关运算 例 2、扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3
7、 cm2，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 变式 1、 已知扇形的圆心角是 ，半径是 r，弧长为 l. (1)若 100 ，r2，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为 20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数 变式 2、若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，求其圆心角的弧度数 方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 考点
8、三、三角函数的定义及应用 例 3（1）已知角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos 5 13，则 1 sin 1 tan_ （2）已知角 的终边与单位圆的交点为 P 1 2，y ，则 sintan_ _ 第 5 页 / 共 7 页 变式 1、(1)函数 yloga(x3)2(a0 且 a1)的图象过定点 P，且角 的顶点在原点，始边与 x 轴非负半轴 重合，终边过点 P，则 sin cos 的值为( ) A.7 5 B6 5 C. 5 5 D.3 5 5 (2)已知角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos 5 13，则 1 sin 1 tan _. 变式 2、(2020 江西九江一模)若
9、sin x0，则角 x 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 变式 3、(多选)在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，终边经过点 P(1，m)(m0)，则下列各式的 值一定为负的是( ) Asin cos Bsin cos Csin cos D.sin tan 方法总结：三角函数定义的应用 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三 角函数值. (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值. 2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再
10、根据正、余弦函数值在各象限 第 6 页 / 共 7 页 的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解. 五、优化提升与真题演练 1、 在平面直角坐标系中， 角的顶点在原点， 始边在x轴的正半轴上， 角的终边经过点M cos 8，sin 8 ， 且 02，则 ( ) A. 8 B.3 8 C.5 8 D.7 8 2、已知角 的终边过点 P(8m，6sin 30 )，且 cos 4 5，则 m 的值为( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 2 D. 3 2 3、(2019 黑龙江哈尔滨六中质量检测)已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心 角的弧度数为(
11、 ) A. 2 4 B 2 2 4、若角 与 的终边关于 x 轴对称，则有( ) A90 B90 k 360 ，kZ C2k 180 ，kZ D180 k 360 ，kZ 5、.(2018 全国卷)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上有两点 A(1，a)，B(2， b)，且 cos 22 3，则|ab|( ) A.1 5 B. 5 5 C.2 5 5 D.1 6、.(多选题)如图，A，B 是单位圆上的两个质点，点 B 的坐标为(1，0)，BOA60 ，质点 A 以 1 rad/s 的 角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点 B 以 2 rad/s 的角速度按顺时针方向在
12、单位圆上运动，则( ) 第 7 页 / 共 7 页 A.经过 1 s 后，BOA 的弧度数为 33 B.经过 12 s 后，扇形 AOB 的弧长为 7 12 C.经过 6 s 后，扇形 AOB 的面积为 3 D.经过5 9 s 后，A，B 在单位圆上第一次相遇 7、若两个圆心角相同的扇形的面积之比为 14，则这两个扇形的周长之比为_ 8、 如图， 在 RtPBO 中， PBO90 ， 以 O 为圆心、 OB 为半径作圆弧交 OP 于 A 点 若圆弧 AB 等分POB 的面积，且AOB，则 tan _. 9、在一块顶角为 120 、腰长为 2 的等腰三角形厚钢板废料 OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种 方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则方案_最优