1、 第 1 页 / 共 7 页 第第 22 讲：同角三角函数的基本关系及诱导公式讲：同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、课程标准 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，sin x cos xtan x. 2借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 2 、的正弦、余弦、正切 . 二、基础知识回顾 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21； (2)商数关系：tan sin cos . 平方关系对任意角都成立，而商数关系中 k 2(kZ Z) 2诱导公式 一 二 三 四 五 六 2k (kZ Z) 2 2 sin sin sin sin_ cos_ cos_ c
2、os cos cos cos_ sin_ sin_ tan tan tan tan_ 3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下： 第 2 页 / 共 7 页 即：去负脱周化锐的过程上述过程体现了转化与化归的思想方法 4、三角形中的三角函数关系式 sin(AB)sin(C)sinC； cos(AB)cos(C)cosC； tan(AB)tan(C)tanC； sin A 2 B 2 sin 2 C 2 cosC 2； cos A 2 B 2 cos 2 C 2 sinC 2. 三、自主热身、归纳总结 1、是第三象限角，且 3 sin- 2 ，则tan（ ）
3、A- 3 B3 C 3 - 3 D 3 3 2、已知 sin2 2sin3cos5 ，则tan（ ） A6 B6 C 2 3 D 2 3 3、(多选)已知sin 3cos 3cos sin 5，下列计算结果正确的是( ) Atan 1 2 Btan 2 第 3 页 / 共 7 页 Ccos21 2sin 2 3 5 Dsin 2cos 26 5 4、化简： cos 2 sin 5 2 sin()cos(2)_. 5、(一题两空)已知 sin cos 1 5，(0，)，则 sin cos()_，tan _. 四、例题选讲 考点一、 三角函数的诱导公式 例 1、角的终边在直线2yx上，则 sinc
4、os sincos （ ） A 1 3 B1 C3 D1 变式 1、 已知 sin(3)1 3，则 cos() coscos（）1 cos()2 sin 3 2 cos()sin 3 2 _ _ 变式 2、已知 f()2sin（）cos（）cos（） 1sin2cos 3 2 sin2 2 (sin 0 且 12sin 0)，则 f 23 6 _. 第 4 页 / 共 7 页 变式 3、(1)设 f() 2sincoscos 1sin2cos 3 2 sin2 2 (12sin 0)，则 f 23 6 _. (2)已知 cos 6 a，则 cos 5 6 sin 2 3 的值是_ 方法总结：1
5、、熟知将角合理转化的流程 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了” 2明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名 (2)用诱导公式，统一角 (3)用因式分解将式子变形，化为最简 考点二 同角函数关系式的运用 例 2 (1)若 是三角形的内角，且 tan1 3，则 sincos的值为_ _ (2)已知 sincos1 8，且 5 4 3 2 ，则 cossin的值为_ _ 变式 1、若 3sincos0，则 1 cos22sincos _ 第 5 页 / 共 7 页 变式 2（徐州开学初模拟）已知 3 2 sincos 5 xx，则cos 2 = 2 x （ ） A 7 25 B 7
6、 25 C 4 5 D 4 5 变式 3、(1)若 tan()1 2，则 sin21 cos2sin2( ) A.1 2 B.2 C.1 2 D.2 (2)已知 tan 2，则 sin2sin cos 2cos2 等于( ) A.4 3 B.5 4 C.3 4 D.4 5 方法总结：本题考查同角三角函数的关系式利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化， 利用sin costan可以实现角 的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论应用公式时注意方程 思想的应用：对于 sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)21 2sincos ，可以知一求二
7、所求式是关于 sin，cos的齐次式时，分子分母同除以 cos，可化成 tan的函数式 求值本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想 考点三、同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例 3、已知 tan20192 ，则 2 2sin sin 64 （ ） A2 B 2 31 5 C 2 33 5 D 3 5 第 6 页 / 共 7 页 变式 1、(1)(2020 邯郸联考)已知 3sin 33 14 5cos 5 14 ，则 tan 5 14 ( ) A.5 3 B.3 5 C.3 5 D.5 3 (2)已知 为锐角，且 2tan()3cos 2 50，tan()6sin()10，则 sin
8、( ) A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 变式 2、是否存在角 和 ，当 2 ， 2 ，(0，)时，等式 sin( )3 2cos 2 ， 3cos() 2cos() 同时成 立？若存在，则求出 和 的值；若不存在，请说明理由 方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活 使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 五、优化提升与真题演练 1、(2019 高考全国卷)已知 0， 2 ，2sin 2cos 21，则 sin ( ) A.1 5 B. 5 5 C. 3 3 D.2 5 5 2、 （2018 年高考全国理数）已知sin cos1 ，cos sin0 ，则sin( )_ 第 7 页 / 共 7 页 3、在ABC 中，若 sin(2A) 2sin(B)， 3cosA 2cos(B)，求ABC 的三个内角 .4、已知关于 x 的方程 2x2( 31)xm0 的两根分别是 sin和 cos，(0，2)，求： (1) sin2 sincos cos 1tan的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时的值