1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 27 讲：正弦定理、余弦定理讲：正弦定理、余弦定理 一、课程标准 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 2、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 二、基础知识回顾 1正弦定理 a sin A b sin B c sin C2R(R 为ABC 外接圆的半径) 正弦定 理的常 见变形 (1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； (2)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； (3)abcsin Asin Bsin C； (4) abc sin Asin Bsin C a sin A. 2余
2、弦定理 a2b2c22bccos A； b2c2a22cacos B； c2a2b22abcos C. 余弦定理的常见变形 第 2 页 / 共 10 页 (1)cos Ab 2c2a2 2bc ； (2)cos Bc 2a2b2 2ca ； (3)cos Ca 2b2c2 2ab . 3三角形的面积公式 (1)SABC1 2aha(ha 为边 a 上的高)； (2)SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B； (3)S1 2r(abc)(r 为三角形的内切圆半径) 三、自主热身、归纳总结 1、在ABC 中，AB5，AC3，BC7，则BAC( ) A. 6 B 3
3、C.2 3 D.5 6 2、在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b 3. 则SABC( ) A. 2 B. 3 第 3 页 / 共 10 页 C. 3 2 D2 3、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是( ) A 222 2cosabcbcA BsinsinaBbA CcoscosabCcB DcoscossinaBbAC 4、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 sinsinsin ( 34 ABC k k 为非零实数） ，则下列结 论正确的是( ) A当5k 时，ABC是直角三角形 B当3k
4、时，ABC是锐角三角形 C当2k 时，ABC是钝角三角形 D当1k 时，ABC是钝角三角形 5、在ABC 中，若 A60 ，a4 3，b4 2，则 B 等于_ . 6在ABC中，角A，B，C满足 sin Acos Csin Bcos C0，则三角形的形状为_ 7、在ABC 中，AB 3，AC1，B30，ABC 的面积为 3 2 ，则 C_ 四、例题选讲 考点一、运用正余弦定理解三角形 例 1、 （2020 届山东实验中学高三上期中）在ABC中，若 13,3,120ABBCC，则AC= （ ） A1 B2 C3 D4 变式 1、 【2020 江苏淮阴中学期中考试】在ABC中，如果sin:sin:
5、sin2:3:4ABC ，那么tanC 第 4 页 / 共 10 页 _ 变式 2、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为, ,a b c，若 coscossinABC abc ， 222 6 5 bcabc，则tanB _ 变式 3、(2020贵阳模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为 2 的等差数列，C120. (1)求边长a； (2)求AB边上的高CD的长 变式 4、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已 知10ab，5c ，sin2sin0BB （1）求a，b的值： （
6、2）求sinC的值 第 5 页 / 共 10 页 方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时， 则要考虑两个定理都有可能用到考查基本运算能力和转化与化归思想 考点二、利用正、余弦定理判定三角形形状 例 2 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC. (1)求 A 的大小； (2)若 sinBsinC1，试判断ABC 的形状 变式 1、(1)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为
7、 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形 状为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin A sin B a c，(bca)(bca)3bc，则ABC 的形状为( ) A直角三角形 B等腰非等边三角形 C等边三角形 D钝角三角形 第 6 页 / 共 10 页 变式 2、ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2b2c2ab，且 2cosAsinBsinC，试 确定ABC 的形状 方法总结： 判定三角形形状的途径：化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；化
8、角为边，通过 代数变形找出边之间的关系正(余)弦定理是转化的桥梁考查转化与化归思想 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积 例 3、 （2020 届山东省临沂市高三上期末）在 3 cos 5 A， 2 5 cos 5 C ，sinsinsincCA bB， 60B ，2c ， 1 cos 8 A 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若3a ，_，求ABC的面积 S. 第 7 页 / 共 10 页 变式 1、 （2020 届山东实验中学高三上期中）在ABC中，, ,a b c分别为内角, ,A B C的对边，若 3 2sins
9、insin,cos 5 BACB，且6 ABC S，则b_ 变式 2、 【2020 江苏溧阳上学期期中考试】 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若3b， 222 sinsin3sinABC ， 1 cos 3 A ，则ABC的面积是_ 变式 3、 2017 南通调研在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，(abc)(abc)ab. (1)求角 C 的大小； (2)若 c2acosB，b2，求ABC 的面积 方法总结：1求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、 余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之 积，代入公式求面积
10、(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图 形恰当选择面积公式是解题的关键 第 8 页 / 共 10 页 2已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解 (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 五、优化提升与真题演练 1、【2018 年高考全国理数】在ABC中， 5 cos 25 C ，1BC ，5AC ，则AB A4 2 B 30 C29 D2 5 2、【2018 年高考全国理数】ABC的内角A BC， ，的对边分别为a，b，c，若 ABC的面积为 222 4 a
11、bc ，则C A 2 B 3 C 4 D 6 3、【2019 年高考全国卷理数】ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c.若 6,2 , 3 bac B，则 ABC的面积为_ 4、【2019 年高考浙江卷】在ABC中，90ABC，4AB ，3BC ，点D在线段AC上，若 45BDC，则BD _，cosABD_ 第 9 页 / 共 10 页 5、 【2018 年高考浙江卷】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若7a ，b=2，A=60，则 sin B=_，c=_ 6、【2019 年高考北京卷理数】在ABC 中，a=3，bc=2，cosB= 1 2 （1）求
12、b，c 的值； （2）求 sin（BC）的值 7、【2020 江苏镇江期中考试】 已知 ABC的内角 , ,A B C所对应的边分别为, ,a b c， 且 22 c o sacb cA (1)求角B的大小； (2)若2 3b ，4ac ，求ABC的面积 第 10 页 / 共 10 页 8、 【2020 江苏盐城中学月考】已知ABC中， 1 tan 4 A， 3 tan 5 B ，17AB 求： (1)角C的大小； (2)ABC 中最小边的边长 9、 【2020 江苏南京上学期开学考】在ABC 中，A 3 4 ，AB6，AC3 2 (1)求 sinB 的值； (2)若点 D 在 BC 边上，ADBD，求ABD 的面积