1、 第 1 页 / 共 11 页 第第 28 讲：正弦定理、余弦定理得应用讲：正弦定理、余弦定理得应用 一、课程标准 1.解三角形的实际应用 2.正、余弦定理在平面几何中的应用 3.解三角形与三角函数的综合问题 二、基础知识回顾 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图) 2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图) 3方向角：相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东 ，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图) (2)北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 区分两种
2、角 (1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 第 2 页 / 共 11 页 (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 4坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角) (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i 为坡度)坡度又称为坡比 三、自主热身、归纳总结 1、(2019 苏州三市、 苏北四市二调） 在ABC 中， 已知 C120， sinB2sinA， 且ABC 的面积为 2 3， 则 AB 的长为_ 2、 (2019 南京学情调研） 已知ABC 的面积为 3 15， 且 ACAB2， cosA1 4， 则 BC 的长为
3、_ 3、(2019 苏锡常镇调研（一） ）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 5a8b，A2B， 则 sin A 4 _ 4、(2018 苏北四市期末）在ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 bsinAsinBacos2B 2c，则a c的值为_ 5、(一题两空)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sin Asin B5 4sin C，且ABC 的 周长为 9，ABC 的面积为 3sin C，则 c_，cos C_. 6、(多选)下列命题中，正确的是( ) A在ABC 中，若 AB，则 sin Asin B B在
4、锐角三角形 ABC 中，不等式 sin Acos B 恒成立 C在ABC 中，若 acos Abcos B，则ABC 必是等腰直角三角形 D在ABC 中，若 B60 ，b2ac，则ABC 必是等边三角形 四、例题选讲 第 3 页 / 共 11 页 考点 1 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题 例1、如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一 段长度为 300 3 m 且和 P，Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点，现测 得PAB90 ，PAQPBAPBQ60 ，则 P，Q 两点间的距离为_ m. 变式 1、(2017(2017 南京、盐城二模）南京、盐城
5、二模）如图，测量河对岸的塔高 AB 时，选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD30 ，BDC120 ，CD10 m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ，则塔高 AB _m. 变式 2、 如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向距 A 为( 31)海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北 偏西 75方向，距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船 此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走 私船？并求出所需要的时间(注： 62.449) 第 4 页 / 共 11 页 变
6、式 3、如图，在某港口 A 处获悉，其正东方向距离 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船 在港口的南偏西 30距港口 10 海里的 C 处，救援船接到救援命令立即从 C 处沿直线前往 B 处营救渔船 (1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离； (2)试问救援船在 C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援？(已知 cos49 21 7 ) 方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若 有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 题型二 正余弦定理
7、在三角形中的运用 第 5 页 / 共 11 页 例 1、(2015 南京、盐城、徐州二模）如图，在ABC 中，D 是 BC 上的一点已知B60 ，AD2，AC 10，DC 2，则 AB_. 变式 1、(2015 南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在ABC 中，AB3，AC2，BC4，点 D 在边 BC 上，BAD45 ，则 tanCAD 的值为_ 变式 2、 (2017 徐州、 连云港、 宿迁三检） 如图， 在ABC中， 已知点D在边AB上，3ADDB， 4 cos 5 A， 5 cos 13 ACB，13BC （1）求cosB的值； （2）求CD的长 第 6 页 / 共 11 页 变式 3
8、、(2016 徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形 ABCD 中，已知 ADBC，AD1，BD2 10， CAD 4，tanADC2. (1) 求 CD 的长； (2) 求BCD 的面积 变式 4、 （2017 年苏北四市模拟）如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB13，AC10，AD5，CD 65，AB AC 50. (1) 求 cosBAC 的值； (2) 求 sinCAD 的值； (3) 求BAD 的面积 第 7 页 / 共 11 页 方法总结：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就 要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选
9、择边和角都比较多的条件的三角形，然 后运用正余弦定理解决。 考点三、正余弦定理的综合问题 例 1、 （1） （2020 届山东省济宁市高三上期末）在ABC中,1,3,1ABACAB AC ,则ABC的面积 为( ) A 1 2 B1 C 2 D 2 2 （2） （2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 2 coscoscosbBaCcA，2b，则ABC面积的最大值是 A1 B3 C2 D4 变式 1、【2020 江苏南京 9 月调研】 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b， c， 且 asin2B 2bsin
10、A (1)求 B 的大小； (2)若 cosC 5 5 ，求sin()AC的值 第 8 页 / 共 11 页 变式 2、(2019 常州期末）已知ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，且 b22 3 3 bcsinA c2a2. (1) 求角 A 的大小； (2) 若 tanBtanC3，且 a2，求ABC 的周长 方法总结：在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用 面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问 题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围
11、”或者“已知一条边的长度 和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系， 建立函数关系式，如sin()yAxb，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具 体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年江苏卷】在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB 第 9 页 / 共 11 页 （1）求sinC的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC ，求tan DAC的值 2、 【2020 年山东卷】.在3ac ，sin3cA，3cb这三个条件中
12、任选一个，补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB=， 6 C ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 3、【2018 年高考北京卷理数】在ABC 中，a=7，b=8，cosB= 1 7 （1）求A； （2）求 AC 边上的高 第 10 页 / 共 11 页 4、 【2019 年高考全国卷理数】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsin 2 AC abA （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1
13、，求ABC 面积的取值范围 5、【2019 年高考天津卷理数】在ABC中，内角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知 2bca ， 3 sin4 sincBaC （1）求cosB的值； （2）求sin 2 6 B 的值 6、【2019 年高考江苏卷】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 a=3c，b= 2，cosB= 2 3 ，求 c 的值； （2）若 sincos 2 AB ab ，求sin() 2 B 的值 第 11 页 / 共 11 页 7、【2017 年高考全国理数】ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知sin3cos0AA， a=2 7，b=2. （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积.