1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 25 讲：三角函数的图像与性质讲：三角函数的图像与性质 一、课程标准 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在 2， 2 上的性质 二、基础知识回顾 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理： 在正弦函数 ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)， 2，1 ，(，0)， 3 2 ，1 ，(2，0) 在余弦函数 ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)， 2，0 ，(，1)， 3 2 ，0 ，(2，1). (
2、2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定 义 域 R R R R x xR R，且xk 2 ，kZ Z 值域 1,1 1,1 R R 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 第 2 页 / 共 10 页 单 调 性 在 22k， 22k (kZ Z)上是递增函数， 在 22k， 3 2 2k (k Z Z)上是递减函数 在2k， 2k(kZ Z)上是 递增函数，在 2k，2k(k Z Z)上是递减函 数 在 2k， 2k (kZ Z)上是 递增函数 周 期 性 周 期 是 2k(k Z Z 且
3、k0)，最小正周期是 2 周期是2k(kZ Z 且 k0)，最小 正周期是 2 周期是 k(kZ Z 且 k0)， 最小正 周期是 对 称 性 对称轴是 x 2k(k Z Z)，对称中心是(k，0)(k Z Z) 对称轴是 x k(kZ Z)，对称 中心是 k 2，0 (k Z Z) 对称中心是 k 2 ，0 (kZ Z) 三、自主热身、归纳总结 1、函数 2tan 2 3 yx 的定义域为（ ） A | 12 x x B| 12 x x C |, 12 x xkkZ D|, 212 k x xkZ 2、在函数ycos|2x|，y|cosx|，ycos 2x 6 ，ytan 2x 4 中，最小
4、正周期为的所有函数 为( ) 第 3 页 / 共 10 页 A. B. C. D. 3、函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0， 2 上的最小值为( ) A. 1 B. 2 2 C. 2 2 D. 0 4、下列关于函数 y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是( ) A在，0上是增函数，在0，上是减函数 B在 2， 2 上是增函数，在 ， 2 和 2， 上是减函数 C在0，上是增函数，在，0上是减函数 D在 2， 和 ， 2 上是增函数，在 2， 2 上是减函数 5、 （安徽省淮南市 2019 届高三模拟） 若函数 f(x)sin x(0)在区间 0， 3 上单调递增，在区间 3， 2
5、 上 单调递减，则 等于( ) A.2 3 B. 3 2 C2 D3 6、下列关于函数tan() 3 yx 的说法正确的是( ) A在区间 5 (,) 66 上单调递增 B最小正周期是 C图象关于(,0) 4 成中心对称 D图象关于直线 6 x 成轴对称 7、函数 ycos 2x 4 的单调递减区间为_ 第 4 页 / 共 10 页 8、函数 y32cos x 4 的最大值为_，此时 x_. 四、例题选讲 考点一、三角函数的定义域 例 1 (1)函数 y sinxcosx的定义域为 (2)函数 y 12cosxlg(2sinx1)的定义域为 变式 1、 (1)函数 y 1 tan x1的定义域
6、为_. (2)函数 ylg(sin x)cos x1 2的定义域为_. 变式 2、函数 y sin xcos x的定义域为_ 方法总结：三角函数定义域的求法 (1)以正切函数为例， 应用正切函数 ytan x 的定义域求函数 yAtan(x)的定义域转化为求解简单的 三角不等式 (2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式 2简单三角不等式的解法 第 5 页 / 共 10 页 (1)利用三角函数线求解 (2)利用三角函数的图象求解 考点二、三角函数的值域(最值) 例 2、 （1）2017 全国高考函数 f( )x sin2x 3cosx3 4(x 0， 2 )的最大值是_ (2)函数 y
7、sinx2 sinx1的值域为_ _ (3)函数 f(x)cos2x6cos( 2 x)的最大值为_ 变式 1、(1)函数 f(x)3sin 2x 6 在区间 0， 2 上的值域为_ (2)设 x 0， 2 ，则函数 y sin 2x 2sin2x1的最大值为_ (3)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 变式 2、 （南京期末）若函数( )14sinf xxt 在区间(,2 ) 6 上有 2 个零点，则t的可能取值为( ) A3 B0 C3 D4 方法总结：求三角函数的值域(最值)的 3 种类型及解法思路 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yA
8、sin(x)k 的形式，再求值域(最值)； (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数， 可先设 tsin x cos x， 化为关于 t 的二次函数求值域(最 值) 考点三、三角函数的单调性 第 6 页 / 共 10 页 例 3 若 f(x)2sinx1(0)在区间 2 ，2 3 上是增函数，求的取值范围 变式 1、(1)函数ysin 3 2x的单调递减区间为_ (2)函数y|tan x|的单调递增区间为_，单调递减区间为_ 变式 2、已知
9、0，函数f(x)sin x 4 在 2 ， 上单调递减，则的取值范围是_. 方法总结： 本题考查三角函数的单调性 首先化成 yAsin(x)的形式， 再把 x 看作整体代入 ysinx 的相应单调区间内求 x 的范围即可 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题， 首先， 明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间 的关系可求解考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想 考点四、三角函数的奇偶性、周期性及对称性 例 4、 (1)函数 f(x)|tan x|的最小正周期是_. (2)函数 f(x)cos23 2xsin 23 2x
10、 的最小正周期是_. 变式 1、(1)若函数 f(x)3sin 2x 3 ，(0，)为偶函数，则 的值为_ (2)若函数 ycos x 6 (N*)图像的一个对称中心是 6 ，0 ，则 的最小值为_ 第 7 页 / 共 10 页 变式 2、下列函数，最小正周期为的偶函数有( ) Atanyx B|sin|yx C2cosyx Dsin(2 ) 2 yx 变式 3、 （1） 已知函数f(x)sin(x) 0，| 2 的最小正周期为 4， 且xR R， 有f(x)f 3 成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( ) A. 2 3 ，0 B. 3 ，0 C. 2 3 ，0 D. 5 3 ，0 (2
11、)(2020武汉调研)设函数f(x)sin 1 2x 3cos 1 2x | 2 的图象关于y轴对称，则 ( ) A. 6 B. 6 C. 3 D. 3 方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性求 f(x)的对称轴，只需令x 2 k(kZ)，求 x 即 可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)，求 x 即可奇偶性可以用定义判断，也可 以通过诱导公式将 yAsin(x)转化为 yAsinx 或 yAcosx.考查运算求解能力，整体代换及转化与 化归的思想 五、优化提升与真题演练 第 8 页 / 共 10 页 1、【2019 年高考全国卷理数】函数 f(x)=在, 的图像大致
12、为 A B C D 2、【2019 年高考全国卷理数】关于函数( )sin|sin |f xxx有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（ 2 ，）单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 3、【2019 年高考全国卷理数】下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ， 2 )单调递增的是 Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df(x)=sin|x| 4、 【2018 年高考浙江卷】函数 y=2 x sin2x 的图象可能是 2 sin cos xx xx 第 9 页 / 共
13、10 页 A B C D 5、 (2018 全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则( ) Af(x)的最小正周期为 ，最大值为 3 Bf(x)的最小正周期为 ，最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 6、 【2017 年高考全国理数】设函数 ( 3 cos)f xx，则下列结论错误的是 A( )f x的一个周期为2 B( )yf x的图象关于直线 8 3 x 对称 C()f x的一个零点为 6 x D( )f x在( 2 ，)单调递减 7、关于x的函数( )sin()f xx有以下四个选项，错误的有( ): A对任意的，( )f x都是非奇非偶函数 B存在，使( )f x是偶函数 C存在，使( )f x是奇函数 第 10 页 / 共 10 页 D对任意的，( )f x都不是偶函数 8最小正周期为的函数有( ) A 2 cos 2 x y B|sin|yx Ccos|2 |yx Dtan(2) 4 yx 9、【2019 年高考北京卷理数】函数 f（x）=sin22x 的最小正周期是_ 10、【2018 年高考全国理数】已知函数 2sinsin2f xxx，则 f x的最小值是_