1、 第 1 页 / 共 9 页 第第 24 讲：三角恒等变换（讲：三角恒等变换（2） 一、课程标准 1、能熟练运用两角和与差以及二倍角进行化简求值 2、能熟练解决变角问题 3、能熟练的运用公式进行求角 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角 函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦 2. 要注意对“1”的代换： 如 1sin2cos2tan 4 ，还有 1cos2cos2 2，1cos2sin 2 2. 3. 对于 sincos与 sincos同时存在的试题，可通过换元完成： 如设 tsincos，则
2、sincos t21 2 . 4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如 2()()，( )()， 3是 2 3 的半角， 2是 4的倍角等 5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)yasinxbcosxa2b2sin(x)，其中 cos a a2b2，sin b a2b2.则 a2b2y a2b2. (2)yasin2xbsinxcosxccos2x 可先降次，整理转化为上一种形式 (3)yasinxb csinxd(或 y acosxb ccosxd) 第 2 页 / 共 9 页 可转化为只有分母含 sinx 或 cosx 的函数式 sinxf(y)
3、的形式，由正、余弦函数的有界性求解 6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)yasin2xbcosxc 可转化为关于 cosx 的二次函数式 (2)yasinx c bsinx(a，b，c0)，令 sinxt，则转化为求 yat c bt(1t1)的最值，一般可用基本不 等式或单调性求解 三、自主热身、归纳总结 1、已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 sin 2 4 的值为( ) A. 7 2 10 B. 7 2 10 C. 2 10 D. 2 10 2、若 sin 2 5 5 ，sin() 10 10 ，且 4， ， ，3 2 ，则
4、 的值是( ) A.7 4 B.9 4 C.5 4 或7 4 D.5 4 或9 4 3、已知 cos 4 cos 4 1 4，则 sin 4cos4的值为_ 4、已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ， 均为锐角，则 _. 5、(一题两空)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单位圆分 别交于A， B两点， x轴正半轴与单位圆交于点M， 已知SOAM 5 5 ， 点B的纵坐标是 2 10.则cos()_， 2_. 第 3 页 / 共 9 页 四、例题选讲 考点一、变角的运用 例 1、（2020 江苏苏州五校 12 月月考） 已知 5 cos
5、 45 ，0, 2 ， 则s i n 2 4 的值为_ 变式 1、(2017 苏锡常镇调研（一） ） 已知 sin3sin 6，则 tan 12_. 变式 2、(2019 通州、海门、启东期末）设 0， 3 ，已知向量 a( 6sin， 2)，b 1，cos 6 2 ， 且 ab. (1) 求 tan 6 的值； (2) 求 cos 27 12 的值 方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行 求解。 考点二、求角 第 4 页 / 共 9 页 例 2、(2019 苏州期初调查）已知 cos4 3 7 ， 0， 2 . (1) 求 sin 4 的
6、值； (2) 若 cos()11 14， 0， 2 ，求 的值 变式 1、 （2020 江苏扬州高邮上学期开学考）在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点为坐标原点O，始 边为x轴的非负半轴，终边上有一点(1,2)P (1)求cos2sin2 的值； (2)若 10 sin() 10 ，且 0, 2 ，求角的值 变式 3、(2017 南京学情调研）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 和钝角 的 终边分别与单位圆交于点 A，B.若点 A 的横坐标是3 10 10 ，点 B 的纵坐标是2 5 5 . (1) 求 cos()的值； (2) 求 的大小 第 5 页 / 共 9
7、 页 变式 4、 已知 cos1 7，cos() 13 14(0 2 )，求(1)tan2；(2)求 的值 方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值， （结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确 定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。 考点三、公式的综合运用 例 3、 （2020 江苏淮安楚州中学月考）已知函数 2 ( )( 3cossin )2 3sin2f xxxx=+- (1)求函数 ( )f x的最小值，并写出( )f x取得最小值时自变量 x 的取值集合； (2)若 , 2 2 x ，求函数 ( )f x的单调增区间 第 6 页 / 共 9 页 变式 1
8、、 （2020 江苏如东高级中学月考） 已知函数 若， 求函数 的值域 变式 2、已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(3， 3) (1)求 sin 2tan 的值； (2)若函数 f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数 g(x) 3f 22x 2f 2(x)在区间 0，2 3 上的值 域 变式 3、如图，在直角坐标系 xOy 中，角 的顶点是原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 A， 且 ( 3 ， 2 )，将角 的终边按逆时针旋转 6 ，交单位圆于点 B. 记 A(x1，y1)，B(x2，y2) 2sincos 3 f xxx
9、 0 2 x f x 第 7 页 / 共 9 页 (1)若 x11 4，求 x2； (2)分别过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C，D. 记AOC 的面积为 S1，BOD 的面积为 S2.若 S1 S2.求角 的值 五、优化提升与真题演练 1、 （2020 春鼓楼区校级月考）在ABC中，若sinsin()sin2CBAA，则ABC的形状( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D锐角三角形 2、(多选题)已知函数 f(x)sin 5 6 2x 2sin x 4 cos x3 4 ，则下列关于函数 f(x)的描述正确的是( ) A.f(x)在区间 0， 3 上单调递增 B.f(x
10、)图象的一个对称中心是 3，0 C.f(x)图象的一条对称轴是 x 6 第 8 页 / 共 9 页 D.将 f(x)的图象向右平移 3个单位长度后，所得函数图象关于 y 轴对称 3、(2017 苏州期末） 若 2tan3tan 8，则 tan 8 _. 4、 （2020 江苏淮安四校期中考试）已知 5 cos 45 ，0, 2 ，则tan_ 5、 （2019 年高考江苏卷）已知 tan2 3 tan 4 ，则 sin 2 4 的值是 . 6、（2019 年高考浙江卷）设函数( )sin ,f xx xR. （1）已知0,2 ),函数()f x是偶函数，求的值； （2）求函数 22 () () 124 yf xf x 的值域 7、 （2017 年高考浙江卷）已知函数 22 sincos2 3sincos ()( )xxxf xx xR （1）求 2 () 3 f 的值 （2）求( )f x的最小正周期及单调递增区间 第 9 页 / 共 9 页 8、 （2018 年高考浙江卷）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P （ 34 55 ，-） （1）求 sin（+）的值； （2）若角 满足 sin（+）= 5 13 ，求 cos 的值