1、 第 1 页 / 共 6 页 第第 32 讲：平面向量的应用讲：平面向量的应用 一、课程标准 1、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 2、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 3、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 4、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1. 向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定 义 (2)证明线段平行， 三角形相似， 判断两直线(或线段)是否平行， 常运用向量平行(共线)的条件， abx1 x2 y1 y2x1
2、y2x2y10(x20，y20) (3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，aba b0 x1x2y1y20 (4)求夹角问题：利用夹角公式 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21x22y22. (5)用向量方法解决几何问题的步骤： 建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 把运算结果“翻译”成几何关系 2. 向量在解析几何中的应用 (1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系 设直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k，向量 a(a1，a2)平行于 l，则 ktana2 a1
3、；如果已知直线的斜率为 k a2 a1，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与 l 平行 (2)与 a(a1，a2)平行且过 P(x0，y0)的直线方程为 yy0a2 a1(xx0)，过点 P(x0，y0)且与向量 a(a1，a2) 垂直的直线方程为 yy0a1 a2(xx0) 第 2 页 / 共 6 页 三、自主热身、归纳总结 1、 已知O是平面上的一定点， A， B， C是平面上不共线的三个动点， 若动点P满足 OP OA( AB AC)， (0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 2、在ABC 中，(BC BA ) AC |AC |2，则A
4、BC 的形状一定是_三角形( ) A. 等边 B. 等腰 C. 直角 D. 等腰直角 3. 在ABCD 中，|AB |8，|AD |6，N 为 DC 的中点，BM 2MC ，则AM NM 等于( ) A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 4. 设 a，b，c 都是单位向量，且 a b0，则(ca) (cb)的最小值为_ _ 5、平面上有三个点 A(2，y)，B(0，y 2)，C(x，y)，若AB BC ，则动点 C 的轨迹方程为 _ 6、在ABC 所在平面上有一点 P，满足PA PBPCAB ，则PAB 与ABC 的面积的比值是_. 7、在ABC 中，AB3，AC2，BAC120 ，
5、BM BC .若AM BC 17 3 ，则实数 的 值为_ 四、例题选讲 考点一、向量的平行与垂直 例 1、(1)已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则 ( ) A4 B3 C2 D1 (2)已知向量 AB 与 AC的夹角为 120 ，且| AB|3，| AC|2.若 AP AB AC，且 AP BC，则实数 的值为_ 变式 1、(1)平面四边形 ABCD 中，AB CD 0，(AB AD ) AC 0，则四边形 ABCD 的形状是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 (2)已知 O 是平面上的一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个动点， 若动
6、点 P 满足OP OA (AB AC )， (0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) 第 3 页 / 共 6 页 A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 变式 2、(2018 苏北四市期末） 如图，在ABC 中，已知 AB3，AC2，BAC120 ，D 为边 BC 的中 点若 CEAD，垂足为 E，连结 BE，则EB EC的值为_ 方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标 运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可 2已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的
7、充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数 考点二、 平面向量与三角综合 例 2、 （2016 无锡期末） 已知平面向量 ， 满足|1，且 与 的夹角为 120 ，则 的模的取值范围 为_ 变式 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调）在平面直角坐标系中，设向量 a(cos，sin)，b(sin( 6)， cos( 6)，其中 0 2. (1) 若 ab，求 的值； (2) 若 tan21 7，求 a b 的值 变式 2(2019 苏锡常镇调研（一） ）已知向量 a(2cos，2sin)，b(cossin，cossin) (1) 求向量 a 与 b 的夹角； (2) 若(ba)a，求实数 的值
8、第 4 页 / 共 6 页 变式 3、在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 m cosB，2cos2C 21 ，n (c，b2a)，且 m n0. (1)求C 的大小； (2)若点 D 为边 AB 上一点，且满足AD DB ， |CD | 7，c2 3，求ABC 的面积 方法总结：(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然 后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的 思想方法 (2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中 的相关方法与
9、技巧求解 (3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误 考点三、平面向量与解析几何 例 3 (1)已知向量 OA (k,12)， OB(4,5)， OC(10，k)，且 A，B，C 三点共线，当 kb0)，A(2，0)是长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中心 O，且AC BC 0，|OC OB |2|BC BA |. (1)求椭圆的方程； (2)若 AB 上的一点 F 满足BO 2OA 3OF 0，求证：CF 平分BCA. 变式 2、(2018 苏中三市、苏北四市三调）如图，已知2AC ，B为AC的中点，分别以 AB, AC为直径 在AC的同侧作半圆， M,
10、N分别为两半圆上的动点 （不含端点ABC， ，） ， 且BMBN， 则A M C N 的最大值为 第 6 页 / 共 6 页 方法总结：向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解 决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用， 对于解析几何中出现的垂直可 转化为向量数量积等于 0，对于共线的线段长度乘积可转化为向量的数量积等 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年全国 2 卷】.已知单位向量a ,b 的夹角为 45 ，k a b 与a 垂直，则 k=_. 2、 【2020 年全国 3 卷】.已知向量 a，b 满足| 5a ，| 6b ，6a b ，则cos ,=a ab （ ） A. 31 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 3、 【2019 年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点E 在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE_ 4、 【2019 年高考江苏卷】如图，在ABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于 点O.若 6AB ACAO EC ，则 AB AC 的值是_