1、 第 1 页 / 共 6 页 第第 33 讲：复数讲：复数 一、课程标准 1、了解复数的概念 2、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义 3、掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.基础知识回顾 二、知识梳理 1. 复数 (1)复数的意义：形如 zabi(a、bR)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i21，a 叫做实 部，b 叫做虚部，复数集记作 C，数集 N、Z、Q、R、C 的关系是：NZQRC. (2)复数的模：zabi，|z| a2b2 (3)复数相等：z1a1b1i，z2a2b2i，z1z2，则 a1a2，b1b2 (4)共轭复数：zabi
2、，zabi；z 与 z互为共轭复数 2. 复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 乘法：z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i； 除法：z1 z2 abi cdi （abi）（cdi） （cdi）（cdi） （acbd）（bcad）i c2d2 (cdi0) 3. 复数的几何意义 (1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 (2)实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴
3、实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚 轴上的点都表示纯虚数 4. 复数的几何表示 复数 zabi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量OZ (a，b)(a，bR)是一一对应关系 第 2 页 / 共 6 页 三、自主热身、归纳总结 1、(2017 无锡期末） 已知复数 z 2 1i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数为_ 2、(2017 常州期末） 已知 x0，若(xi)2是纯虚数(其中 i 为虚数单位)，则 x_. 3、(2017 苏州期末）已知复数 z1i 2i ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为_ 4、(2018 苏州期末） 已知 i 为虚数单位，复数 z 3 2 3
4、 2i 的模为_ 5、(2018 常州期末）若复数 z 满足 z 2i|z|21(其中 i 为虚数单位)，则|z|_ 6、(2017 南京学情调研）设复数 z 满足(zi)i34i(i 为虚数单位)，则 z 的模为_ 7、 (2017 南京、 盐城二模） 若复数 z 满足 z(1i)2i(i 是虚数单位)，z 是 z 的共轭复数， 则 zz _. 8、(2017 泰州期末） 如图，在复平面内，点 A 对应的复数为 z1，若z2 z1i(i 为虚数单位)，则 z2_. 四、例题选讲 考点一、复数的有关概念 例 1、 (2019 苏北四市、 苏中三市三调） 已知复数 i 13i a z （i 是虚
5、数单位） 是纯虚数， 则实数a的值为 变式 1、(2019 南京三模）若复数 z 满足 z(1i)1，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平面内对应的点在第 象限 变式 2、(2019 南京、盐城二模） 若复数 z 满足 z a2ii(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数 a 的值 为_ 变式 3、 已知 i 是虚数单位， 复数 zm2(1i)m(23i)4(2i)， 当 m 分别取何实数时， z 满足如下条件？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零 第 3 页 / 共 6 页 方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为 abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部(2)对
6、于 复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和 虚部满足的方程(不等式)组特别要注意：纯虚数的充要条件是：a0 且 b0. 考点二、复数的运算 例 2、 、(2019 苏锡常镇调研）已知复数 34i 5i z ，其中i是虚数单位，则z 变式 1、(2019 南通、泰州、扬州一调）已知复数 z 2i 1i3i(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为_ 变式 2、(2019 泰州期末）复数 z 满足 zi43i(i 是虚数单位)，则|z|_ 变式 3、(2019 扬州期末） 若 i 是虚数单位，且复数 z 满足(1i)z2，则|z|_ 变式 4、(1
7、)复数 2 1i(i 为虚数单位)的共轭复数是 (2)(1i 1i) 6 2 3i 3 2i_ _ (3)若复数 z 满足 2zz32i，其中 i 为虚数单位，则 z_ 方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则 (2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设 zabi，再通过四则运算，计算出 a，b 的值 考点三、复数的几何意义 第 4 页 / 共 6 页 例 1、(1)已知复数 zxyi，且|z2| 3，则y x的最大值为_ 变式 1、如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0，32i， 24i，试求： AO ，BC 所表示的复数； 对角线CA 所表示的复数；
8、 B 点对应的复数 变式 2、 （1）设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则 xyi 在复平面内所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( ) A(，1) B(，1) C(1，) D(1，) 方法总结：准确理解复数的几何意义 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系，即 zabi(a，bR)Z(a，b) OZ. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时 第 5 页 / 共 6 页 可运用数形结合的方法，使问
9、题的解决更加直观 (3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式； (4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系， 依据是复数 abi(a， bR)与复平面上的点(a， b)一一对应 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年北京卷】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i z （ ） A. 1 2i B. 2 i C. 1 2i D. 2 i 2、 【2020 年江苏卷】已知i是虚数单位，则复数 (1 i)(2i)z 的实部是_. 3、 【2020 年全国 1 卷】若 z=1+i，则|z22z|=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 4、 【2020 年全国 3 卷
10、】复数 1 13i 的虚部是（ ） A. 3 10 B. 1 10 C. 1 10 D. 3 10 5、 【2020 年浙江卷】.已知 aR，若 a1+(a2)i(i为虚数单位)是实数，则 a=（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 6、 【2020 年山东卷】 2i 12i （ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 7、 【2019 年高考北京卷理数】已知复数2iz ，则z z A3 B 5 C3 D5 8、 【2019 年高考全国卷理数】设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A 22 +11()xy B 22 1(1)xy C 22 (1)1yx D 22 ( +1)1yx 9、 【2019 年高考全国卷理数】设 z=3+2i，则在复平面内z对应的点位于 第 6 页 / 共 6 页 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 10、 【2019 年高考全国卷理数】若(1 i)2iz，则 z= A1i B1i C1i D1i 11、 【2018 年高考浙江卷】复数 2 1i (i 为虚数单位)的共轭复数是 A1+i B1i C1+i D1i