1、 第 1 页 / 共 5 页 第第 36 讲：数列的递推关系与通项讲：数列的递推关系与通项 一、课程标准 1、掌握常见的根据的递推关系式求数列的通项公式 2、掌握求常见数列的通项公式的方法 二、基础知识回顾 正确选用方法求数列的通项公式 (1)对于递推关系式可转化为 an1anf(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式 (2)对于递推关系式可转化为an 1 an f(n)的数列，并且容易求数列f(n)前 n 项的积时，采用累乘法求数列 an的通项公式 (3)对于递推关系式形如 an1panq(p0,1，q0)的数列，采用构造法求数列的通项 2避免 2 种失误 (1)利用累乘法，易
2、出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a2 a1，漏掉 a1 而导致错误；二是根 据连乘求出 an之后，不注意检验 a1是否成立 (2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式 三、自主热身、归纳总结 1、数列an的前几项为1 2，3， 11 2 ，8，21 2 ，则此数列的通项可能是( ) Aan5n4 2 Ban3n2 2 Can6n5 2 Dan10n9 2 2、在数列an中，a11，an11 n an1 (n2)，则 a5等于( ) A.3 2 B.5 3 C.8 5 D.2 3 3、已知数列an中，a11 中，an1ann(nN*)中，则 a4_
3、，an_. 4、设数列an中，a12，an1ann1，则 an_. 第 2 页 / 共 5 页 5、 在数列an中， a13， 且点 Pn(an， an1)(nN*)在直线 4xy10 上， 则数列an的通项公式为_ 四、例题选讲 考点一 有递推关系研究数列的通项 例 1、在数列 n a 中，已知 1 1a ，且对于任意的 * ,m nN ，都有 m nmn aaamn ，则数列 n a 的通 项公式为（ ） A n an B 1 n an C (1) 2 n n n a D (1) 2 n n n a 变式1、 (2019南京学情调研） 在数列an中， 已知a11， an1an 1 n（n1
4、）(nN *)， 则a 10的值为_ 变式 2、 (1)已知数列an满足：a11，an1 an 2nan1(nN *)，求a n的通项公式； (2)在数列an中，已知 a13，(3n2)an1(3n2)an(nN*)，an0，求 an. 变式 3、(一题两空)在数列an中，a13，an1an 1 nn1，则 a2_，通项公式 an_. 变式 4、(多选)已知数列an满足 an11 1 an(nN *)，且 a 12，则( ) Aa31 B.a2 0191 2 CS63 D2S2 0192 019 变式 5、已知数列an满足 a11，a24，an22an3an1(nN*)，求数列an的通项公式
5、an. 第 3 页 / 共 5 页 方法总结：给出了两种不同形式的递推关系，经常采取其它方法：取倒数后，相邻两项的差是一个等比数 列，迭加即可；变形为an 1 an 3n2 3n2，再用累乘处理，累加、累乘是递推数列的基本而常用的方法，考查我 们的观察、变形和转化的能力，需要牢固掌握 考点二 由 Sn与 an的递推关系求通项公式 例 2、(2018 盐城三模）设数列 n a的前n项和为 n S，若 * 2() nn San nN，则数列 n a的通项公式 为 n a 变式 1、(栟茶中学 2019 届质检)已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 log2(Sn1)n1，则数列an的通项公 式为
6、_. 变式 2、已知正项数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1a，(an1)(an11)6(Snn)，nN*.求数列 an的通 项公式 变式 3、已知各项均为正数的数列 an的首项 a11，Sn是数列 an的前 n 项和，且满足：anSn1an1Sn anan11 2anan1(an0，nN *)求 an的通项公式 第 4 页 / 共 5 页 方法总结：an与 Sn关系的应用 (1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列， 一般利用公式SnSn1an(n2)实施消元法， 将递推关系转化为仅含 an的关系式或仅含 Sn的关系式，即“二者消元留一象” (2)究竟消去 an留 Sn
7、好，还是消去 Sn留 an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可 求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去 an留 Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应 当消去 an留 Sn，否则就尝试消去 Sn留 an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找” (3)值得一提的是：数列通项公式 an求出后，还需要验证数列首项 a1是否也满足通项公式，即“通项求 出莫疏忽，验证首项满足否”。 考点三 构造等差、等比数列研究通项 例 3、(2019 常州期末）已知数列an中，a11，且 an13an40，nN*.求证：an1是等比数列，并 求数列an的通项公式； 变式 1、(1)已知数列
8、an满足 a11，an1 2an11(n2)，求数列an的通项公式； (2)2018 无锡期末调研数列an满足 a12 3，当 n2 时，an 1 2an1，求数列an的通项公式 变式 2、已知数列an满足 a11，an12an3n，求数列an的通项公式； 第 5 页 / 共 5 页 方法总结：构造等差、等比数列求通项，常见形式一：an1panq(p，q 为常数，p0，p1)，常利用待定 系数构造，可化为 an1xp(anx)，从而解出 x q p1. 常见形式二：an1panqn(p，q 为常数，p0，p1，q0)，可以通过两边同时除以 qn 1，得an1 qn1 p q an qn 1 q
9、，换元 bn an qn，即转化形式一当然， 五、优化提升与真题演练 1、 （2018 年高考全国 I 卷理数）记 n S为数列 n a的前n项和，若21 nn Sa，则 6 S _ 2、（2020 年全国 2 卷） 数列 n a中，12a ， m nmn aa a ， 若 1 55 121 0 22 kkk aaa ， 则k （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3、 (2019 南京三模） 已知数列an满足 a11， a21 2， 且 an(an1an1)2an1an1(n2)， 则 a2 015_. 4、 （2019 年高考全国 II 卷理数）已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0， 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba . （1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式. 5、(2019 苏北四市摸底）已知数列an满足 2an1anan2k(nN*，kR)，且 a12，a3a54. (1) 若 k0，求数列an的前 n 项和 Sn； (2) 若 a41，求数列an的通项公式