1、 第 1 页 / 共 7 页 第第 35 讲：等比数列讲：等比数列 一、课程标准 1.通过实例，理解等比数列的概念 2.探索并掌握等比数列的通项公式与前 n 项和的公式 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 4.体会等比数列与指数函数的关系. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母_q_表示 2. 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列an的第 n 项 an，有公式 ana1qn 1，这就是等比数
2、列a n的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比第二通项公式为：anamqn m 3. 等比数列的前 n 项和公式 等比数列an的前 n 项和公式：Sna1（1q n） 1q (q1)或 Sna1anq 1q (q1) 注意：(1)当 q1 时，该数列是各项不为零的常数列，Snna1； (2)有关等比数列的求和问题，当 q 不能确定时，应分 q1，q1 来讨论 4. 等比数列的性质 (1)若 a，G，b 成等比数列，则称 G 为 a 和 b 的等比中项，则 G2ab. (2)等比数列an中， 若 mnkl(m， n， k， lN*)， 则有 am anak al， 特别地， 当 mn2p 时
3、， am an a2p. (3)设 Sm是等比数列an的前 n 项和，则 Sm，S2mSm，S3mS2m满足关系式(S2mSm)2Sm (S3mS2m) (4)等比数列的单调性，若首项 a10，公比 q1 或首项 a10，公比 0q1，则数列为递增数列；若首 项 a10，公比 0q0，dS40 B. a1d0，dS40，dS40 D. a1d0 2、若等比数列 an满足 anan116n，则公比为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3、 2017 新课标高考我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题： “远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：
4、一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1 盏 B. 3 盏 C. 5 盏 D. 9 盏 4、已知数列an满足 log2an11log2an(nN*)，且 a1a2a3a101，则 log2(a101a102a110) _. 5、已知数列an是等比数列，Sn为其前 n 项和，若 a1a2a34，a4a5a68，则 S12_. 四、例题选讲 考点一 等比数列的基本运算 例 1、 （1） (2019 苏锡常镇调研 （二） ） 已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 若 62 2aa， 则 12 8 S S （2）(
5、2019 苏北四市、苏中三市三调）已知 n a是等比数列，前n项和为 n S若 32 4aa， 4 16a ，则 3 S 的值为 （3） 、(2019 南京、盐城一模）已知等比数列an为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn，若 a22，S37， 则 a5的值为_ 变式 1、已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1a35 2，a2a4 5 4，则 Sn an_ 变式 2、2018 苏州模拟已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且S6 S3 19 8 ，a4a215 8 ，则 a3的值为_ 方法总结：(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a1，n，
6、q， an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解； (2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，an的前 n 项和 Snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sna1 1qn 1q a1anq 1q 。 第 3 页 / 共 7 页 考点二 等比数列的性质 例 2、(1)已知等比数列an的各项为正数，且 a5a6a4a718，则 log3a1log3a2log3a10( ) A12 B10 C8 D2log35 (2)设等比数列an中，前 n 项和为 Sn，已知 S38，S67，则 a7a8a9等于( ) A.1 8 B 1 8 C.57 8
7、 D.55 8 (3)已知等比数列an共有 2n 项， 其和为240， 且奇数项的和比偶数项的和大 80， 则公比 q_. 变式 1、(1)(2019 洛阳市第一次联考)在等比数列an中，a3，a15是方程 x26x20 的两根，则a2a16 a9 的值 为( ) A2 2 2 B. 2 C. 2 D 2或 2 (2)等比数列an的各项均为正数，且 a1a54，则 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_. 变式 2、 (1)2018 如东中学在等比数列an中，各项均为正值，且 a6a10a3a541，a4a85，则 a4a8 _； (2)2016 常熟中学等比数列an的
8、首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10 S5 31 32，则公比 q_ 方法总结：(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 mnp q(m，n，p，qN*)，则 am anap aq”，可以减少运算量，提高解题速度 (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而 不求思想的运用 考点三 等比数列的判定与证明 例 3、 (2019 苏州三市、 苏北四市二调） 已知数列an的各项均不为零 设数列an的前 n 项和为 Sn， 数列a2n 的前 n 项和为 Tn，且 3S2n4SnTn0，nN*. (1) 求
9、a1，a2的值； (2) 证明：数列an是等比数列； 第 4 页 / 共 7 页 变式 1、（江苏启东中学 2019 届高三模拟）已知数列an的首项 a10，an1 3an 2an1(nN *)，且 a 12 3. (1)求证： 1 an1 是等比数列，并求出an的通项公式； (2)求数列 1 an 的前 n 项和 Tn. 变式 2、已知在正项数列an中，a12，点 An()an， an1在双曲线 y2x21 上在数列bn中，点(bn， Tn)在直线 y1 2x1 上，其中 Tn 是数列bn的前 n 项和 (1)求数列an的通项公式； (2)求证：数列bn是等比数列 第 5 页 / 共 7 页
10、 方法总结：证明一个数列为等差数列或者等比数列常用定义法与等差、等比中项法，其他方法只用于选择、 填空题中的判定；若证明某数列不是等差或等比数列，则只要证明存在连续三项不成等差或等比数列即 可而研究数列中的取值范围问题，一般都是通过研究数列的单调性来进行求解 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年全国 2 卷】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石 板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9块，下一层的第一环比上 一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729块，则三层共
11、 有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 2、 【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且， 则 a3 =（ ） A16 B8 C4 D2 3、 【2020 年江苏卷】设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和 2 21() n n Snnn N，则 d+q 的值是_ 4、【2019 年高考全国 I 卷理数】 记 Sn为等比数列an的前 n 项和 若 ， 则 S5=_。 5、【2018 全国高考】已知数列满足，设 （1）求；
12、（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； 531 34aaa 2 146 1 3 aaa， 第 6 页 / 共 7 页 （3）求的通项公式 6、 【2018 全国卷】等比数列an中，a11，a54a3. (1)求an的通项公式； (2)记 Sn为an的前 n 项和若 Sm63，求 m. 7、 【2020 年全国 1 卷】.设 n a是公比不为 1的等比数列， 1 a为 2 a， 3 a的等差中项 （1）求 n a的公比； （2）若 1 1a ，求数列 n na的前n项和 8、(2017 苏州暑假测试）在数列an中，已知 a12，an13an2n1. (1) 求证：数列ann为等比数列； 第 7 页 / 共 7 页 (2) 记 bnan(1)n，且数列bn的前 n 项和为 Tn，若 T3为数列Tn中的最小项，求 的取值范围