1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 38 讲：数列的综合运用讲：数列的综合运用 一、课程标准 1、理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用。 2、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。 3、会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题。 二、基础知识回顾 1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题 (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n 项和公式、求和方 法等对式子化简变形 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为
2、正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊 性 数列在实际问题中的应用 2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识 去解决 1数列实际应用中的常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差； (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就 是公比； (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第 n 项 an与第 n1 项 an1的递推关系还是前 n 项和 Sn与前 n1 项和 Sn1之间的递
3、推关系 2解决数列实际应用题的 3 个关键点 (1)根据题意，正确确定数列模型； (2)利用数列知识准确求解模型； 三、自主热身、归纳总结 1. 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，点(a1 010，a1 012)在直线 xy20 上，则 S2 021等于( ) A. 4 042 B. 2 021 C. 1 010 D. 1 012 2、(2019 广东潮州二模)我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重 第 2 页 / 共 10 页 四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：现有一根金箠，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤若 该金箠从头到尾，每
4、一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重( ) A6 斤 B.7 斤 C9 斤 D15 斤 3、 （2019 南充高三第二次诊断）已知等比例an中的各项都是正数，且 a1，1 2a3，2a2 成等差数列，则a10a11 a8a9 ( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 32 2 D. 32 2 4、(2019 吉林长春 5 月联考)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差 d0，a6和 a8是函数 f(x)15 4 ln x1 2x 2 8x 的极值点，则 S8( ) A38 B38 C17 D17 5、已知 x0，y0，x，a1，a2，y 成等差数列，x，b1，b2，y 成等比数列，那么（
5、a1a2） 2 b1b2 的最小值是_ 6、(2019 河北石家庄 4 月模拟)数列an的前 n 项和为 Sn，定义an的“优值”为 Hna12a22 n1a n n ， 现已知an的“优值”Hn2n，则 Sn_. 四、例题选讲 考点一 数列在数学文化与实际问题中的应用 例 1、(1)(2020 长沙模拟)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重 四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗 的一端截下 1 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细 是均匀变
6、化的，其重量为 M，现将该金箠截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 ai(i1,2，10)，且 a1a2Tn，求证：anbn. 变式 2、设函数 f(x)1 2 1 x，正项数列an满足 a11，anf 1 an1 ，nN*，且 n2. 第 6 页 / 共 10 页 (1)求数列an的通项公式； (2)求证： 1 a1a2 1 a2a3 1 a3a4 1 anan12. 方法总结：数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题 (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n 项和公
7、式、求和方 法等对式子化简变形 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊 性 2数列与不等式综合问题的求解策略 解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决 考点三、数列中的“定义型问题” 例 1、 （2019 苏州调研改编） 定义： 对于任意 nN*， xnxn2xn1仍为数列 xn中的项， 则称数列 xn为“回 归数列” (1)已知 an2n(nN*)，判断数列 an是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若数
8、列 bn为“回归数列”，b33，b99，且对于任意 nN*，均有 bnbn1成立，求数列 bn的通项 公式 第 7 页 / 共 10 页 变式 1、 （2020 届江苏省南通市如皋中学高三下学期 3 月线上模拟）如果无穷数列an满足条件： 2 1 2 nn n aa a ； 存在实数 M，使得 anM，其中 nN*，那么我们称数列an为 数列. （1）设数列bn的通项为 bn20n2n，且是 数列，求 M 的取值范围； （2）设cn是各项为正数的等比数列，Sn是其前 n 项和，c3 1 4 ，S3 7 4 ，证明：数列Sn是 数列； （3）设数列dn是各项均为正整数的 数列，求证：dndn1.
9、 变式 2、(2019 南京学情调研）如果数列an共有 k(kN*，k4)项，且满足条件： a1a2ak0； |a1|a2|ak|1， 则称数列an为 P(k)数列 (1) 若等比数列an为 P(4)数列，求 a1的值； (2) 已知 m 为给定的正整数，且 m2. 若公差为正数的等差数列an是 P(2m3)数列，求数列an的公差； 第 8 页 / 共 10 页 若 an q n1 3 ，1nm，nN*， mn 12 ，m1n2m，nN*， 其中 q 为常数，q1.判断数列an是否为 P(2m)数列，说明 理由 五、优化提升与真题演练 1、 （山东省日照市 2019 届高三联考） 已知等差数列
10、的公差为 2， 若成等比数列，是 的前项和，则等于（ ） A-8 B-6 C10 D0 2、 （北京市朝阳区 2019 届高三模拟）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘 台共有三层（如图 1 所示） ，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图 2 所 示） 上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二 十七环共有九环；第一环的扇面形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块，则第二 十七环的扇面形石块数是_；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_ n a 134 ,a a a n
11、S n a n 9 S 第 9 页 / 共 10 页 3、 （湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三模拟）在各项均为正数的等比数列中，当取最 小值时，则数列的前项和为_ 4、已知数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且 b1a11，b2a1a2，a32b36.(1)求数列an， bn的通项公式； (2)设 cn 1 bnbn2，数列cn的前 n 项和为 Tn，证明： 1 5Tn 1 3. 5、 （2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟）在数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ，且对任意的nN*，都有 21 32 nnn aaa . （）证明数列 +1nn aa是等比数列，并求数列 n a
12、的通项公式； （）设 1 2n n nn b a a ，记数列 n b的前n项和为 n S，若对任意的nN*都有 1 n n Sm a ，求实数m的取 值范围. 6、 （2020 年江苏卷）.已知数列 * () n anN的首项 a1=1，前 n项和为 Sn设 与 k 是常数，若对一切正整 数 n，均有 111 11 kkk nnn SSa 成立，则称此数列为“k”数列 （1）若等差数列 n a是“1”数列，求 的值； n a 31 8aa 4 a 2 n nan 第 10 页 / 共 10 页 （2）若数列 n a是“ 3 2 3 ”数列，且 an0，求数列 n a的通项公式； （3）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列 n a为“3”数列，且 an0?若存在，求 的取值范围；若不 存在，说明理由，