1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 45 讲讲 空间向量在立体几何中的运用空间向量在立体几何中的运用 一、课程标准 1、 能用向量方法解决点到直线、 点到平面、 相互平行的直线、 相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题， 2、能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 二、基础知识回顾 1. 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量： 如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合， 则称此向量 a 为直 线 l 的方向向量 (2)平面的法向量：直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 的法向量 2. 空间位置关系的向量表示
2、位置关系 向量表示 直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2 l1l2 n1n2n1n2 l1l2 n1n2n1n20 直线 l 的方向向量为 n，平面 的法向量为 m, l,nmnm0 l,nmnm 平面 ，的法向量分别为 n，m, ,nmnm ,nmnm0 3. 异面直线所成的角 设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 a 与 b 的夹角 l1与 l2所成的角 范围 (0，) 0， 2 a 与 b 的夹角 l1与 l2所成的角 求法 cos a b |a|b| cos|cos |a b| |a|b| 4. 求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向
3、量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，则 sin|cosa，n 第 2 页 / 共 10 页 |a n| |a|n|. 5. 求二面角的大小 (1)如图，AB，CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB ，CD (2)如图，n1，n2 分别是二面角 l 的两个半平面 ，的法向量，则二面角的大小 满足 |cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角) 三、自主热身、归纳总结 1、若直线 l 的方向向量为 a(1，0，2)，平面 的法向量为 n(2，0，4)，则( ) A. l B. l C. l D. l 与 斜交 2、
4、已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( ) A. (1，1，1) B. (1，1，1) C. 3 3 ， 3 3 ， 3 3 D. 3 3 ， 3 3 ， 3 3 3、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，F 为 B1C1的中点，则异面直线 AF 与 C1E 所成角的正 切值为（ ） A. 5 2 B. 2 3 C. 2 5 5 D. 5 3 4、如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 CD，CC1的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成角的 大小是_ 第 3 页 / 共 10 页 5、已知
5、四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧棱 AA1垂直于底面，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABBC， ADABAA12BC，E 为 DD1的中点，F 为 A1D 的中点，则直线 EF 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 _ 四、例题选讲 考点 异面直线所成的角 例 1 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，E 是 PC 的中点已知 AB2， AD2 2，PA2，求异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小 变式 1、 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为_ 变式 2、(
6、2019 浙江高考)如图，已知三棱柱 ABC- A1B1C1，平面 A1ACC1平面 ABC，ABC90 ，BAC 30 ，A1AA1CAC，E，F 分别是 AC，A1B1的中点 (1)证明：EFBC； (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值 第 4 页 / 共 10 页 方法总结：利用向量法求异面直线所成角的方法：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确 定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦 值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 考点二 直线与平面所成的角 例 2 如图，在直棱
7、柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90 ，ACBD，BC1，ADAA13. (1) 证明：ACB1D； (2) 求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值 变式 1、如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面 ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD 4k，BC5k，DC6k(k0)若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为6 7，求实数 k 的值 第 5 页 / 共 10 页 变式 2、 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，BF平面 ABCD，DE平面 ABCD，BF DE，M 为棱 AE 的中点 (1)求证：平面 BD
8、M平面 EFC； (2)若 DE2AB，求直线 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值 方法总结：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求 两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求， 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的 锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角 考点三 二面角 例 3 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点，AA1ACCB 2 2 AB. (1) 证明：BC1平面 A1CD； (2) 求二面角 DA1CE 的正弦值 第 6 页 / 共 10 页 变式 1、 2018 天津高考如图
9、，ADBC 且 AD2BC，ADCD，EGAD 且 EGAD，CDFG 且 CD 2FG，DG平面 ABCD，DADCDG2. (1)若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN平面 CDE； (2)求二面角 EBCF 的正弦值； (3)若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长 变式 2、(2019 全国卷)图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB1， BEBF2，FBC60 .将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2. (1)证明：图 2 中的
10、 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； (2)求图 2 中的二面角 B- CG- A 的大小 方法总结：利用向量法计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平 面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的 大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向 量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 考点四 求空间距离 例 5、 如图， BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形， 平面 MCD平面 BCD， AB平面 BCD， AB2 3， 求点
11、 A 到平面 MBC 的距离 第 7 页 / 共 10 页 变式 1、在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E 为线段 A1B1的中点，F 为线段 AB 的中点 (1)求点 B 到直线 AC1的距离； (2)求直线 FC 到平面 AEC1的距离 方法总结：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离(2)等体积法(3)向量法其中向量 法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便 考点五 利用空间向量解决探索性问题 例 5、 （2019 湖南五市联考）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADBC，ADCD，且 AD CD2 2，BC4 2，PA2. (1
12、)求证：ABPC； (2)在线段 PD 上，是否存在一点 M，使得二面角 MACD 的大小为 45，如果存在，求 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由 第 8 页 / 共 10 页 变式 1、 (探点得平行关系)已知四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形， DE平面 ABCD， AFDE， DE3AF， BE 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1) 求证：AC平面 BDE； (2) 求二面角 FBED 的余弦值； (3) 设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM平面 BEF，并证明你的结论 方法总结：用向量法解决与垂直、平行有关的探
13、索性问题的方法： (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证 明，得出结论 (2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组) 求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年全国 2 卷】如图，已知三棱柱 ABC- A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，M，N分 别为 BC，B1C1的中点，P为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC于 F. 第 9 页 / 共 10 页 （1）证明：A
14、A1MN，且平面 A1AMNEB1C1F； （2）设 O为A1B1C1的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E与平面 A1AMN 所成角的正弦 值. 2、【2020 年全国 3 卷】 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 点,E F分别在棱 11 ,DD BB上， 且 1 2DEED， 1 2BFFB （1）证明：点 1 C在平面AEF内； （2）若2AB ，1AD ， 1 3AA ，求二面角 1 AEFA的正弦值 3、【2020 年天津卷】 如图， 在三棱柱111 ABCABC中， 1 CC 平面,2ABC ACBC ACBC， 1 3CC ， 点,DE分别在棱 1 AA和棱 1 CC上，且12,ADCEM 为棱 11 AB的中点 （）求证： 11 C MB D； 第 10 页 / 共 10 页 （）求二面角 1 BBED的正弦值； （）求直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值 4、 【2020 年山东卷】.如图，四棱锥 P- ABCD的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD与平面 PBC 的交线为 l （1）证明：l平面 PDC； （2）已知 PD=AD=1，Q为 l上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值