1、 第 1 页 / 共 6 页 第第 48 讲讲 圆的方程圆的方程 一、课程标准 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 二、基础知识回顾 1、 圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准 方程 (xa)2(yb)2r2 (r0) 圆心 C：(a，b) 半径：r 一般 方程 x2y2DxEyF0 (D2E24F0) 圆心： D 2， E 2 半径：r D2E24F 2 2、 点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系 (2)三种情况 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)
2、 (x0 a)2(y0 b)2r2点在圆上； (x0 a)2(y0 b)2r2点在圆外； (x0a)2(y0 b)2r2点在圆内 3、常用结论 (1)二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0， B0， D2E24AF0. (2)以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0. 三、自主热身、归纳总结 1、 已知圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a 的值为( ) A. 4 3 B. 3 4 C. 3 D. 2 2、 点(m2，5)与圆 x2y224 的位置关系是( ) 第
3、 2 页 / 共 6 页 A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不能确定 3、圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a( ) A4 3 B3 4 C. 3 D2 4、点 P(4，2)与圆 x2y24 上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 5、(多选)已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段，弧长比为 12，则圆 C 的方程为( ) Ax2 y 3 3 24 3 Bx2 y 3 3 24 3 C(x 3)2y2
4、4 3 D(x 3)2y24 3 6、已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为_ 四、例题选讲 考点一 圆的方程 例 1、(2019 苏州期末）在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线 x2y10 上 的圆的标准方程为_ 变式 1、（湖北武汉二中 2019 届模拟）根据下列条件，求圆的方程 (1)经过点 A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线 2xy30 上； (2)经过 P(2,4)，Q(3，1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6. 第 3 页 / 共 6 页 变式 2、 (1) 已知圆 C 经过
5、 P(2，4)，Q(3，1)两点，且在 x 轴上截得的弦长为 6，则圆 C 的方程为 _ (2) 已知圆心在直线 y4x 上，且圆与直线 l：xy10 相切于点 P(3，2)，则该圆的方程是 _ (3) 若一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，则该圆的方 程为_ 方法总结： 求圆的方程的方法： (1)直接法： 根据圆的几何性质， 直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程 (2) 待定系数法： 若已知条件与圆心(a， b)和半径 r 有关， 则设出圆的标准方程， 依据已知条件列出关于 a， b， r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；若已知条件
6、没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值. 考点二 与圆有关的最值问题 例 2 若实数 x，y 满足 x2y22x4y10，求下列各式的最大值和最小值 (1) y x4； (2)3x4y； (3)x2y2. 变式 1、已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21 上，求 xy 的最大值和最小值 第 4 页 / 共 6 页 变式 2、已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则 (1)y x的最大值和最小值分别为_和_； (2)yx 的最大值和最小值分别为_和_； (3)x2y2的最大值和最小值分别为_和_ 方法总结：
7、(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何 性质数形结合求解 (2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如 yb xa形式的最值问题，可转化为动直线斜 率的最值问题；形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(y b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 考点三 与圆有关的轨迹问题 例 3 已知ABC 中，ABAC 3，ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB2PC23PA23，则ABC 面积 的最大值为_ 变式 1、已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0
8、) (1)求直角顶点 C 的轨迹方程； (2)求直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 第 5 页 / 共 6 页 变式 2、已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若PBQ90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据 圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系， 代入已知点满足的关系式等 五、优化提升与真题演练 1、 （2020 年北京卷）已知半径为 1的圆经
9、过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2、 （2020 年全国 2 卷） .若过点 （2， 1） 的圆与两坐标轴都相切， 则圆心到直线230 xy的距离为 （ ） A. 5 5 B. 2 5 5 C. 3 5 5 D. 4 5 5 3、 （2020 年天津卷）知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于 ,A B两点若| 6AB ，则r 的值为_ 4、(2019 镇江期末）已知圆 C 与圆 x2y210 x10y0 相切于原点，且过点 A(0，6)，则圆 C 的标准方 程为_ 第 6 页 / 共 6 页 5、在平面直角坐标系内，若曲线 C：x2y22ax4ay5a240 上所有的点均在第四象限内，则实数 a 的取值范围为_ 6、(一题两空)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB| 8.(1)直线 l 的方程为_；(2)过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程为_ 7、 已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3) (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若 M(m，n)，求n3 m2的最大值和最小值