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第48讲 圆的方程(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 6 页 第第 48 讲讲 圆的方程圆的方程 一、课程标准 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 二、基础知识回顾 1、 圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准 方程 (xa)2(yb)2r2 (r0) 圆心 C:(a,b) 半径:r 一般 方程 x2y2DxEyF0 (D2E24F0) 圆心: D 2, E 2 半径:r D2E24F 2 2、 点与圆的位置关系 (1)理论依据:点与圆心的距离与半径的大小关系 (2)三种情况 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2,点 M(x0,y0)

2、 (x0 a)2(y0 b)2r2点在圆上; (x0 a)2(y0 b)2r2点在圆外; (x0a)2(y0 b)2r2点在圆内 3、常用结论 (1)二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0, B0, D2E24AF0. (2)以 A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0. 三、自主热身、归纳总结 1、 已知圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1,则 a 的值为( ) A. 4 3 B. 3 4 C. 3 D. 2 2、 点(m2,5)与圆 x2y224 的位置关系是( ) 第

3、 2 页 / 共 6 页 A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不能确定 3、圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1,则 a( ) A4 3 B3 4 C. 3 D2 4、点 P(4,2)与圆 x2y24 上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 5、(多选)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段,弧长比为 12,则圆 C 的方程为( ) Ax2 y 3 3 24 3 Bx2 y 3 3 24 3 C(x 3)2y2

4、4 3 D(x 3)2y24 3 6、已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为_ 四、例题选讲 考点一 圆的方程 例 1、(2019 苏州期末)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(1,3),B(4,6),且圆心在直线 x2y10 上 的圆的标准方程为_ 变式 1、(湖北武汉二中 2019 届模拟)根据下列条件,求圆的方程 (1)经过点 A(5,2),B(3,2),且圆心在直线 2xy30 上; (2)经过 P(2,4),Q(3,1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6. 第 3 页 / 共 6 页 变式 2、 (1) 已知圆 C 经过

5、 P(2,4),Q(3,1)两点,且在 x 轴上截得的弦长为 6,则圆 C 的方程为 _ (2) 已知圆心在直线 y4x 上,且圆与直线 l:xy10 相切于点 P(3,2),则该圆的方程是 _ (3) 若一个圆与 y 轴相切,圆心在直线 x3y0 上,且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7,则该圆的方 程为_ 方法总结: 求圆的方程的方法: (1)直接法: 根据圆的几何性质, 直接求出圆心坐标和半径, 进而写出方程 (2) 待定系数法: 若已知条件与圆心(a, b)和半径 r 有关, 则设出圆的标准方程, 依据已知条件列出关于 a, b, r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值;若已知条件

6、没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据 已知条件列出关于 D,E,F 的方程组,进而求出 D,E,F 的值. 考点二 与圆有关的最值问题 例 2 若实数 x,y 满足 x2y22x4y10,求下列各式的最大值和最小值 (1) y x4; (2)3x4y; (3)x2y2. 变式 1、已知点(x,y)在圆(x2)2(y3)21 上,求 xy 的最大值和最小值 第 4 页 / 共 6 页 变式 2、已知实数 x,y 满足方程 x2y24x10,则 (1)y x的最大值和最小值分别为_和_; (2)yx 的最大值和最小值分别为_和_; (3)x2y2的最大值和最小值分别为_和_ 方法总结:

7、(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法:一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何 性质数形结合求解 (2)与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:形如 yb xa形式的最值问题,可转化为动直线斜 率的最值问题;形如 taxby 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;形如(xa)2(y b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 考点三 与圆有关的轨迹问题 例 3 已知ABC 中,ABAC 3,ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB2PC23PA23,则ABC 面积 的最大值为_ 变式 1、已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB,且 A(1,0),B(3,0

8、) (1)求直角顶点 C 的轨迹方程; (2)求直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 第 5 页 / 共 6 页 变式 2、已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若PBQ90 ,求线段 PQ 中点的轨迹方程 方法总结:求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法:根据 圆、直线等定义列方程(3)几何法:利用圆的几何性质列方程(4)代入法:找到要求点与已知点的关系, 代入已知点满足的关系式等 五、优化提升与真题演练 1、 (2020 年北京卷)已知半径为 1的圆经

9、过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2、 (2020 年全国 2 卷) .若过点 (2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线230 xy的距离为 ( ) A. 5 5 B. 2 5 5 C. 3 5 5 D. 4 5 5 3、 (2020 年天津卷)知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于 ,A B两点若| 6AB ,则r 的值为_ 4、(2019 镇江期末)已知圆 C 与圆 x2y210 x10y0 相切于原点,且过点 A(0,6),则圆 C 的标准方 程为_ 第 6 页 / 共 6 页 5、在平面直角坐标系内,若曲线 C:x2y22ax4ay5a240 上所有的点均在第四象限内,则实数 a 的取值范围为_ 6、(一题两空)设抛物线 C:y24x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,|AB| 8.(1)直线 l 的方程为_;(2)过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程为_ 7、 已知 M 为圆 C:x2y24x14y450 上任意一点,且点 Q(2,3) (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)若 M(m,n),求n3 m2的最大值和最小值